北京市北京师范大学附中2024-2025学年高二上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

北京师范大学附中 2024-2025 学年高二上学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.在空间直角坐标系 中，点 (2, 3,1)关于原点对称的点的坐标为( )
A. ( 2, 3, 1) B. (2,3, 1) C. ( 2,3,1) D. ( 2,3, 1)
2.已知直线 的一个方向向量为( 1,1)，则直线 的倾斜角为( )
A. 45° B. 90° C. 120° D. 135°
3.抛物线 2 = 12 的焦点为 ，点 在此抛物线上，| | = 6，则点 的横坐标为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4.圆( 3)2 + ( + 2)2 = 1与圆( 7)2 + ( 1)2 = 16的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
2
5.( 2)
6的展开式中，常数项为( )

A. 60 B. 15 C. 15 D. 60
6.某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同
学，则不同的安排方法种数为( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
7.已知正四棱锥 的高为4，棱 的长为2，点 为侧棱 上一动点，那么△
面积的最小值为( )
A. √ 2
√ 3
B.
2
√ 2
C.
3
4√ 2
D.
3
8.已知直线 ：√ 3 + 4 = 0，圆 ： 2 + 2 = 2( > 0)，若直线 上存在两点 ， ，圆 上存在点 ，
使得| | = 2，且∠ = 90°，则 的取值范围是( )
A. [1,3] B. [2,3] C. [1,+∞) D. [2,+∞)
9.已知直线 1， 2的斜率分别为 1， 2，倾斜角分别为 1， 2，则“cos( 1 2) ≤ 0”是“ 1 2 ≤ 0”的( )
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A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线 2 + 4 = 2围成的平面区域的直径
为( )
4
A. √32 B. 3 C. 2√ 2 D. 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.直线 ： 2 + 2 = 0过椭圆的左焦点 1和一个顶点 ，该椭圆的离心率为______．
12.圆 2 + 2 2 8 + 13 = 0的圆心到直线 + 1 = 0的距离为1，则 的值为 ．
13.若(2 1)4 = 4 + 3 24 3 + 2 + 1 + 0，则 1 + 2 + 3 + 4 = ______．
2
14.双曲线 ： 2 = 1的渐近线方程为______；若 与圆 ： 2 + 2 = 2( > 0)交于 ， ， ， 四点，
3
且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 = ______．
15.已知正方体 1 1 1 1的棱长为2， 为 的中点，点 在正方体的表面上运动，且满足平面
1 ⊥平面 1E.给出下列四个结论：
① △ 1 的面积的最大值为√ 5；
②满足使△ 1 的面积为2的点 有且只有4个；
③点 可以是 1的中点；
④线段 的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名．
(Ⅰ)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？
(Ⅱ)从6名中选出3人参加某公益活动．
( )共有多少种不同的选择方法？
( )如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
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17.(本小题13分)
已知 (2,4)， ( 1,1)， 为坐标原点，圆 为△ 的外接圆．
(Ⅰ)求圆 的标准方程；
(Ⅱ)过原点的直线 被圆 截得的弦长为3√ 2，求直线 的方程．
18.(本小题14分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， ⊥ ， = = 2， 1 = 3，点 ， 分别在棱 1
和棱 1上，且 = 1， = 2， 为棱 1 1的中点．
(Ⅰ)求证： 1 ⊥ 1 ；
(Ⅱ)求二面角 1 1 的余弦值．
19.(本小题15分)
2 2 √ 2
已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (1,0)，离心率为 ，直线 过点 且不平行于坐标轴， 与 有两 2
个交点 ， ，线段 的中点为 ．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)延长线段 与椭圆 交于点 ，若四边形 为平行四边形，求此时直线 的斜率．
20.(本小题15分)
如图，正方体 1 1 1 1的棱长为2， 为 的中点，点 在 1上.再从下列三个条件中选择一个作
为已知，使点 唯一确定，并解答问题．
条件①： = ；
条件②： ⊥ ；
条件③： //平面 1 1．
(Ⅰ)求证： 为 1的中点；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的大小，及点 到平面 的距离．
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注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅰ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分．
21.(本小题15分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为4． 2
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
1
(Ⅱ)设 为椭圆 的右顶点， 为椭圆的上顶点，直线 ： = 与椭圆交于 ， 两点( 在第三象限)， 是椭
2
圆上的动点(不与原点重合)，直线 ， 分别交直线 于点 ， ，记 = ； = ，求证： + 为
定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
2√ 5
11.【答案】
5
4
12.【答案】
3
13.【答案】0
14.【答案】 = ±√ 3 √ 3
15.【答案】①④
16.【答案】解：(Ⅰ)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法： 4 24 5 = 480种．
(Ⅱ)从6名中选出3人参加某公益活动．
( )共有 36 = 20种不同的选择方法．
( )如果至少有1位女生入选，共有 36
3
4 = 16种不同的选择方法．
17.【答案】解：(Ⅰ)设圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0，
圆 过点 (2,4)， ( 1,1)， (0,0)，
22 + 42 + 2 + 4 + = 0 = 2
则{1 + 1 + + = 0 ，解得{ = 4，
= 0 = 0
故圆 的方程为 2 + 2 2 4 = 0，
所以圆 的标准方程为( 1)2 + ( 2)2 = 5；
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时，显然不符合题意，
当直线的斜率存在时，可设直线方程为 = 0，
过原点的直线 被圆 截得的弦长为3√ 2，
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( 1)2 + ( 2)2 = 5，
则圆心 (1,2)，半径 = √ 5，
3√ 2 √ 2
圆心 到直线 的距离 = √ 2 ( )2 = ，
2 2
| 2| √ 2
故 = ，解得 = 1或 = 7，
2 2√ +1
所求直线方程为 = 或 = 7 ．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：由于 1 ⊥ ， 1 ⊥ ， ⊥ ，
故以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 1(2,0,3)， 1(0,2,3)， (1,1,3)， 1(0,0,3)， (2,0,1)， (0,0,2)，
所以 1 = (1,1,0), 1 = (2, 2, 2)，
因为 1 1 = (1,1,0) (2, 2, 2) = 2 2 + 0 = 0，
所以 ⊥ 1 1 ，因此 1 ⊥ 1 ；
(Ⅱ)因为 ⊥平面 1 1，所以平面 1 1 的一个法向量为 = (1,0,0)，
由(1)知， = (0, 2, 1)， 1 1 = (2, 2, 2)，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， 1 1 ⊥ ，
= 2 = 0
所以{ 1 ，令 = 2，则 = (1, 1,2)，
1 = 2 2 2 = 0
设二面角 1 1 的平面角为 ，由图可知 为钝角，
| | 1 √ 6
所以 = | < cos , > | = = = ．
| | | | √ 6 6
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知， = 1， √ 2 = = ，
2
因为 2 = 2 + 2，所以 = √ 2， = 1，
则椭圆的方程为
2
+ 2 = 1；
2
(Ⅱ)设直线 的方程为 = ( 1)( ≠ 0)，
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( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 1)
联立{ 2 2 ，消去 ，得(2
2 + 1) 2 4 2 + 2 2 2 = 0，
+ = 1
2
2
4 2
则 1 + 2 = ， 2 1 + 2 = ( 1 + 2) 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
若四边形 为平行四边形，则 + = ，设 ( 3, 3)，
2
4 2
所以 3 = 1 + 2 = ， = + = ， 2 3 1 2 2
2 +1 2 +1
因为点 在椭圆上，
2
4 2
所以( )22 + 2 × ( 2 )
2 = 2，
2 +1 2 +1
1
解得 √ 2 2 = ，即 = ± ，
2 2
当四边形 为平行四边形时，
直线 的斜率为 √ 2 = ± ．
2
20.【答案】选条件①：
如图1所示，连接 ， 相交于点 ，连接 ，则 为 的中点，
若 为 1的中点，则 // 1，但由 = 得不出 // 1，
所以 点不唯一确定，不符合题意．
选条件②：
(Ⅰ)证明：如图2所示，连接 1，
由正方体的性质知， ⊥平面 1 1， 1 平 面 1 1，
所以 ⊥ 1， 因为 ⊥ ， // ，
所以 ⊥ ， 所以 // 1，
又 为 的中点，所以 为 1的中点． (Ⅱ)解：以 为坐标原点，
建立如图3所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,2,0)， (1,2,0)， (1,1,1)，
所以 = (0,2,0)， = (1,1,1)， = (0, 1,1)，
= 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= + + = 0
令 = 1，则 = 0， = 1，所以 = (1,0, 1)，
设直线 与平面 所成的角为 ，
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| | | 1| 1
则 = |cos < ， > | = = = ，
| | | | √ 2×√ 2 2
| | 1 √ 2
所以直线 与平面 所成角的大小为30°，点 到平面 的距离为 = = = ．
| | √ 2 2
选条件③：
(Ⅰ)证明：如图2所示，连接 1，
因为 //平面 1 1， 平面 1，平面 1 ∩平面 1 1 = 1，
所以 // 1，
又 为 的中点，所以 为 1的中点．
(Ⅱ)解：以下过程同选择条件②．
21.【答案】解：(Ⅰ)由椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为4，
1
得 2 2 = 2 = 4，则 = 2，
2
2
由 的离心率为√ 3，得√ 2 √ 3= ， 2 2
则 = 2 ，解得 = 2， = 1，
2
所以椭圆 的标准方程为 + 2 = 1；
4
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知， (2,0)， (0,1)，
2
+ 2 = 1 = √ 2 = √ 2
由{ 4 ，解得{
1 √ 2
或{ √ 2 ，
= = =
2 2 2
则 √ 2 √ 2 ( √ 2, )， (√ 2, )，
2 2
2
设 ( 0, 0)， 0 0 ≠ 0，有
0 + 2 ，
4 0
= 1
1
直线 的方程为 = 0 + 1，
0
0 1 = + 1 0
由{ 0 ，解得点 的横坐标 = 0
1 +1
，
= 2 0
2

直线 的方程为 = 0 ( 2) ， 0 2
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= 0 ( 2)
0 2
2
= 0由{ ，解得点 的横坐标 0 ， 1
= 0
+1
2
2
√ 2 √ 2由 = ，得 = ，同理 = ，
+√ 2 +√ 2
2 4所以 + = ，
( +√ 2)( +√ 2)
4
2 0
0 4 0 0
而 4 = 0 2 4 = 4 = 0， 1 (
2 0
) 0 0
所以 + = 0为定值．
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