广东省广州市2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

广东省广州市 2024-2025 学年高一上学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列与44°角终边相同的角为( )
A. 326° B. 326° C. 342° D. 316°
3
2.已知集合 = { | < }， = { |1 2 > 0}，则( )
2
1
A. ∩ = { | < } B. ∩ =
2
1
C. ∪ = { | < } D. ∪ =
2
3.已知幂函数 = ( )的图象经过点(4,2)，则 (3) =( )
3 √ 3
A. B. 9 C. D. √ 3
2 3
4
4.已知圆心角为72°的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为( )
5
8 4 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
5.函数 ( ) = 的零点所在的区间为( )

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
+2
6.已知 ， 为正实数，则“ < ”是“ < ”的( )
+2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4 1
7.若存在正实数 ， 满足 + = 1，且使不等式 + < 2 3 有解，则实数 的取值范围是( )
4
A. ( 4,1) B. ( 1,4)
C. ( ∞, 4) ∪ (1, +∞) D. ( ∞, 1) ∪ (4, +∞)
8.已知函数 ( ) = 2 + + ，若关于 的不等式 ( ) < 1的解集为( , + 2)，则函数 ( )的值域为( )
5 3
A. [ , +∞) B. [ , +∞) C. [1, +∞) D. [0, +∞)
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列能够表示集合 = { 2,0,1}到集合 = { 1,0,1,2,4}的函数关系的是( )
A. = B. = | | C. = 2 D. = 2
1
10.已知 + = ， ∈ (0, )，则下列等式正确的是( )
5
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12 7
A. = B. =
25 5
3 37
C. = D. sin3 + cos3 =
4 125
2
11.已知函数 ( ) = +2 ，则( )
A. 当 = 0时， ( )为偶函数 B. ( )既有最大值又有最小值
C. ( )在( ∞, ]上单调递增 D. ( )的图象恒过定点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知命题 ： < 0， 4 2 > 2，则命题 的否定为______．
13.已知 ( )满足 ( + ) = ( ) + ( ) + 2，且 (2) = 2，则 (3) = ______．
2
14.已知函数 ( ) = {√ + 2, ≥ 1在 上单调递增，则实数 的取值范围为______．
+ , < 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 2 < < 6}， = { | 2 < < + 2}．
(1)若 ∈ 成立的一个必要条件是 ∈ ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)

已知函数 ( ) = 2 (2 + )．
6

(1)填写下表，用“五点法”画出函数 ( ) = 2 (2 + )在一个周期上的图象；
6
5 2

12 12 3

2 + 2
6 2
( ) 0 2 0 0
(2)解不等式√ ( ) ≤ 1．
17.(本小题15分)
已知二次函数 ( )满足 ( + 2) + ( ) = 2 2 2．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = ( ) 2( 1) ， ∈ [ 1,2]，求 ( )的最小值．
18.(本小题17分)
近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱.某平台从2021年建立
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开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加.已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表
所示．
建立平台第 年 1 2 3
会员人数 (千人) 22 34 70
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第 ( ∈ )年年末会员人
数 (千人)，求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；

① = + ( > 0)；② = + ( > 0且 ≠ 1)；③ = + ( > 0且 ≠ 1)．
(2)为了更好地维护管理平台，该平台规定第 年年末的会员人数上限为 9 ( > 0)千人，请根据(1)中得
到的函数模型，求 的最小值．
19.(本小题17分)
5
已知函数 ( ) = log 2 ( + 1) ( > 0, ≠ 1, ∈ )的图象经过点(0,1)，(1, 2 )． 2
(1)证明：函数 ( )的图象是轴对称图形；
(2)求关于 的不等式2 ( )+ 2 7 ≤ 0的解集；
(3)若函数 = ( ) 有且只有一个零点，求实数 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 < 0， 4 2 ≤ 2
13.【答案】4
3
14.【答案】(0, ]
4
15.【答案】解：(1)若 ∈ 成立的一个必要条件是 ∈ ，所以 ，
因为集合 = { | 2 < < 6}， = { | 2 < < + 2}．
2 ≥ 2
则{ ，所以0 ≤ ≤ 4，
+ 2 ≤ 6
故实数 的取值范围[0,4]．
(2)若 ∩ = ，则 + 2 ≤ 2或 2 ≥ 6，
所以 ≤ 4或 ≥ 8，
故实数 的取值范围( ∞, 4] ∪ [8, +∞)．

16.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 (2 + )，列表，
6
5 2 11

12 6 12 3 12
3
2 + 0 2 6 2 2
( ) 0 2 0 2 0
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画出函数 ( ) = 2 (2 + )在一个周期上的图象如图所示：
6
(2)由√ ( ) ≤ 1得0 ≤ ( ) ≤ 1，

由图象得 ≤ ≤ 0时，0 ≤ ( ) ≤ 1，
12

因为函数 ( ) = 2 (2 + )的最小正周期为 ，
6

所以 + ≤ ≤ ， ∈ 时，0 ≤ ( ) ≤ 1，
12

故不等式√ ( ) ≤ 1的解集为[ + , ]， ∈ ． 12
17.【答案】解：(1)设 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，
因为二次函数 ( )满足 ( + 2) + ( ) = 2 2 2，
所以 ( + 2)2 + ( + 2) + + 2 + + = 2 2 2，
即2 2 + (4 + 2 ) + 4 + 2 + 2 = 2 2 2，
2 = 2
所以{4 + 2 = 0 ，
4 + 2 + 2 = 2
= 1
解得{ = 2，
= 1
所以 ( ) = 2 2 1；
(2)由(1)可知 ( ) = 2 2 1，
所以 ( ) = ( ) 2( 1) = ( )2 2 1， ∈ [ 1,2]，
当 ≤ 1时， ( )在[ 1,2]上单调递增，
所以 ( ) = ( 1) = 2 ，
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当 1 < < 2时， ( ) 2 = ( ) = 1，
当 ≥ 2时， ( )在[ 1,2]上单调递减，
所以 ( ) = (2) = 3 4 ，
2 , ≤ 1
综上， ( ) = {
2 1, 1 < < 2．
3 4 , ≥ 2
18.【答案】解：(1)某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加，
已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表所示：
建立平台第 年 1 2 3
会员人数 (千人) 22 34 70
由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是 + = 22， 2 + = 34， 3 + = 70，解得 = 3， = 2， = 16，
所以函数模型对应的解析式为 = 2 3 + 16( ∈ )，
当 = 4时，预测2024年年末的会员人数为2 × 34 + 16 = 178千人；
(2)为了更好地维护管理平台，该平台规定第 年年末的会员人数上限为 9 ( > 0)千人，
16 2
由(1)及已知得，对 ∈ ，都有2 3 + 16 ≤ 9 ，令 = 3 ≥ 3，则 ≥ 2 + ，
1 1
令 = ∈ (0, ]，则不等式右边等价于函数 ( ) = 16 2 + 2 ，
3
1 1 1 1 22
函数 ( )在区间(0, ]上单调递增，因此 ( ) = ( ) = 16 × + 2 × = ， 3 3 9 3 9
22 22
则 ≥ ，所以 的最小值为 ．
9 9
2 = 1
19.【答案】解：(1)证明：根据题意可得{ 5，又 > 0， ≠ 1， ∈ ，
2 ( + 1) = 2 2
解得 = 2， = 1，
22 +1
∴ ( ) = log2(2
2 + 1) = log2(2
2 + 1) log 2 2 = 2 =

2 2
(2 + 2 )，
又 ∈ ，且 ( ) = ( )，∴ ( )为偶函数，
∴ ( )的图象关于 轴对称，
∴函数 ( )的图象是轴对称图形；
(2)由(1)可得 ( ) = log 2 2(2 + 1) ，
∴关于 的不等式2 ( )+ 2 7 ≤ 0可化为：
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22 + 1 2 7 ≤ 0，
∴ (2 )2 2 6 ≤ 0，
∴ (2 + 2)(2 3) ≤ 0，
∴ 2 3 ≤ 0，∴ ≤ log23，
∴原不等式的解集为( ∞, log23]；
(3)由(1)可知 ( ) = (2 + 2 2 )， ∈ ，
∴ = ( ) 有且只有一个零点即为：
= ( )与 = 在 上只有一个交点，
1
令 = 2 + 2 = 2 + ≥ 2√ 1，当且仅当 = 0时，等号成立，
2
1
又由 = 2 与 = + ( > 1)都为增函数，

可得 = 2 + 2 在(0, +∞)上单调递增，又 = log2 在(0, +∞)上单调递增，
∴ = ( ) = (2 2 + 2
)在(0, +∞)上单调递增，又 ( )为偶函数， (0) = 1，
∴要使 = ( )与 = 在 上只有一个交点，则 = 1，
故实数 的值为1．
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