福建省漳州市平和县广兆中学2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

福建省平和县广兆中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < ≤ 1}， = { 2, 1,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1} B. { 1,1} C. [ 1,1] D. { 2, 1,0,1,2}
2.“ 2 ≠ 0”是“ 2 + 6 ≠ 0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若函数 ( )满足 ( 1) = 2 1，则 ( )的解析式为( )
A. ( ) = 2 2 B. ( ) = 2 + 2 C. ( ) = 2 + 2 D. ( ) = 2 2
4.函数 ( ) = log ( 23 1)的定义域为( )
A. ( ∞, 1) B.
C. (0, +∞) D. ( ∞, 1) ∪ (1, +∞)
5.计算 21° 39° + 69° 39°的结果等于( )
1 √ 3 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
6.已知正实数 ， 满足 + + = 8，则 + 的最小值是( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
(2 1)
7.函数 ( ) = 的大致图象是( )
1
A. B.
C. D.
8.已知函数 ( ) = 5 + 12 ( > 0)在区间(0, )内没有零点，但有极值点，则5 + 12
的取值范围是( )
119 120 119 120 119 120
A. [ , 13] B. ( , 13] C. [ , ) D. ( , ]
13 13 13 13 13 13
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二、多选题：本题共 3 小题，共 104 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数 ( ) = 2 (2 ) + 1，则下列选项中正确的是( )
4

A. ( )的最小值为 2 B. ( )在(0, )上单调递增
4

C. ( )的图象关于点( , 0)中心对称 D. ( )在[ , ]上值域为[√ 2 + 1,3]
8 4 2
10.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A. = (2 + 2 ) B. = log 22
3
C. = lg(1 ) + lg(1 + ) D. =
1
11.函数 ( )的定义域为 ，且满足 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )， (4) = 1，则下列结论正确的有( )
A. (0) = 0 B. (2) = 0
C. ( )为偶函数 D. ( )的图象关于(1,0)对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 1
12.不等式 < 0的解集为______．
1
2
13.已知 = ，则 2 = ______．
3
14.已知函数 ( ) = |lg( 1)|，满足 ( ) = ( )，且 ≠ ，则 + 4 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { |2 1 < < + 1}， = { | 1 ≤ ≤ 2}．
(1)若 = 1，求( ) ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
幂函数 ( ) = ( 2 5) 1的定义域是全体实数．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = 2 ( ) 4 + 1 2 ，且不等式 ( ) > 0在区间[0,4]上恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
3
sin( )cos( + )tan( )
已知 为第三象限角， ( ) = 2 2 ．
tan( )sin( )
(1)化简 ( )；
3 1
(2)若cos( ) = ，求 ( )的值．
2 5
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18.(本小题12分)
2 2
已知函数 ( ) = 是定义在 上的奇函数． 2 +2
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 = ( )的单调性并证明；
(3)求函数 ( )的值域．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，我们把函数 = ( )， ∈ 上满足 ∈ ， ∈ (其中 表示正整数)的点 ( , )称
为函数 = ( )的“正格点”．

(1)写出当 = 时，函数 ( ) = ， ∈ (0,10)图象上的正格点坐标；
2
(2)若函数 ( ) = ， ∈ ， ∈ (1,2)与函数 ( ) = 的图象有正格点交点，求 的值．
5 √ 2
(3)对于(2)中的 值和函数 ( ) = ，若当 ∈ (0, ]时，不等式 > ( )恒成立，求实数 的取9 2
值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】{ | < < 1}
2
12
13.【答案】
13
14.【答案】9
15.【答案】解：(1)当 = 1时， = { | 3 < < 0}，则 = { | ≤ 3或 ≥ 0}，
则( ) ∪ = { | ≤ 3或 ≥ 1}．
(2)由题意可得 ，
当 = 时，2 1 ≥ + 1，解得 ≥ 2；
2 1 < + 1
当 ≠ 时，{2 1 ≥ 1 ，解得0 ≤ ≤ 1；
+ 1 ≤ 2
综上所述，实数 的取值范围是[0,1] ∪ [2, +∞)．
16.【答案】解：(1)由题意得 2 5 = 1，解得 = 2或3，
当 = 2时， ( ) = 3，此时定义域不是全体实数，故舍去；
当 = 3时， ( ) = 2，满足题意；
所以 ( )的解析式为 ( ) = 2．
(2) ( ) = 2 ( ) 4 + 1 2 = 2 2 4 + 1 2 ，
不等式 ( ) > 0在区间[0,4]上恒成立，
即2 2 4 + 1 2 > 0在区间[0,4]上恒成立，
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即2 < 2 2 4 + 1在区间[0,4]上恒成立，
所以2 < (2 2 4 + 1) ，
令 ( ) = 2 2 4 + 1， ∈ [0,4]，
所以 ( ) = (1) = 1，
1
所以2 < 1，解得 < ，
2
1
即 的取值范围是( ∞, ).
2
3
sin( )cos( + )tan( )
17.【答案】解：(1) ( ) = 2 2
tan( )sin( )
( )( )( )
=
( tan )sin
=
3 1
(2) ∵ cos( ) =
2 5
1 1
∴ = 从而 =
5 5
又 为第三象限角
2√ 6
∴ = √ 1 sin2 =
5
2√ 6
即 ( )的值为 ．
5
18.【答案】解：(1)因为函数 ( )是定义在 上的奇函数，
20 20
所以 (0) = 0，即
20+20
= 0，解得 = 1，
2 2
此时 ( ) =
2 +2
，满足 ( ) = ( )，
故 = 1．
(2) ( )在 上单调递增，证明如下：
2 2 2
( ) =
2 +2
= 1
22
，
+1
则对任意 1、 2 ∈ ，且 1 > 2，
2 2 2 2 22 1+1 22 2+1
则 ( 1) ( 2) = (1
22
) (1
1+1 22
) = = ，
2+1 22 2+1 22 1+1 (22 2+1)(22 1+1)
因为22 1+1 22 2+1 > 0，则 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以 ( )在 上单调递增．
2
(3) ( ) = 1
22
， ∈ ，
+1
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1
因为22 > 0，所以22 + 1 > 1，0 <
22
< 1，
+1
2 2
所以0 < 2 < 2， 2 < 2 +1 22
< 0，
+1
2
所以 1 < 1 2 < 1， 2 +1
所以函数 ( )的值域为( 1,1)．

19.【答案】解：(1)因为 = ，所以 ( ) = sin ， ∈ (0,10)，
2 2
所以函数的正格点为(1,1)，(5,1)，(9,1)；
(2)根据题设，可得两个函数大致图象如下，
函数 ( ) = ( ∈ )与函数 ( ) = 的图象只有一个“正格点”交点(10,1)．
所以 10 = 1，

则2 + = 10
4 +1
， ∈ ，则 = ( ∈ )，
2 20
又 ∈ (1,2)，
9
可得 = 2， = ；
20
9 5
(3)由(2)知 ( ) = sin ， ∈ (0, ],
20 9
9
则 ∈ (0, ],
20 4
所以 9 √ 2 ( ) = sin ∈ (0, ],
20 2
故√ 2 1 ( ) ∈ (0, ]；
2 2
5
当 > 1时， = log 在(0, ]上单调递增， 9
所以不等式 √ 2 9 > sin 不能恒成立； 2 20
5
当0 < < 1时， = log 在(0, ]上单调递减， 9
5
当 = 时，函数 = log
9
取最小值，
如下图知 5 √ 2 1 > sin = ， 9 2 4 2
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5 1 25
由 > = √ ，解得 < < 1， 9 2 81
25
综上，实数 的取值范围为( , 1)．
81
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