2024-2025学年甘肃省白银市靖远四中高二（上）期末数学模拟试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年甘肃省白银市靖远四中高二（上）期末
数学模拟试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
2.过点且斜率为的直线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
3.袜子由袜口、袜筒、脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为( )
A. B. C. D.
4.在一次志愿者活动中，某居民小区有男女报名，活动方需从中选取人，则选中男女的概率是( )
A. B. C. D.
5.设，则( )
A. B. C. D.
6.若的展开式中含的系数为，则实数( )
A. B. C. D.
7.直线过抛物线：的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的离心率为，直线：过双曲线的右焦点且与双曲线交于，两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“六艺”即“礼、乐、射、御、书、数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法、乐舞、射箭、驾车、书法和算术，其中射箭、驾车御战车、驾车为军事技能某国学馆开设“传承优秀文
化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是( )
A. “礼”与“射”必须相邻的培训方法有种
B. 先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为
C. “御、书、数”相邻的培训方法种数为
D. “射”排在最后的培训方法种数为
10.记为等比数列的前项和，若，，则满足不等式的的值可能为( )
A. B. C. D.
11.设曲线关于直线对称的曲线为，曲线的焦点为，则下列关于曲线的说法正确的是( )
A. 曲线的方程为
B. 以曲线的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为
C. 若直线与曲线恰有一个公共点，则
D. 从曲线上一点向准线作垂线，垂足为，若，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项为，则 ______．
13.某城市一地铁站有，，，四个出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互独立地任选一个出站口出站，则共有______种出站方法．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的最小值为______，最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
现有编号分别为，，，，，的个不同的小球，将这些小球排成一排．
若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？
若要求不排在两端，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为与的交点．
证明：直线平面．
若，，求三棱锥的体积．
17.本小题分
设椭圆方程的离心率为，上、下顶点分别为，，右焦点为，且______．
在，这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答．
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于，两点不同于，两点，且，试求直线的方程．
注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．
18.本小题分
双曲线：的一条渐近线方程为，点在双曲线上．
求双曲线的标准方程；
过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为，求该圆的方程．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，点，，在抛物线上，其中，直线，的倾斜角互补，直线的斜率为．
求抛物线的方程；
求直线的斜率；
设点到直线的距离为，当取最大值时，求．
参考答案
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15.解：把，，看成一个整体与剩余的个球全排列，则不同的排法有种．
因为，，各不相邻，所以这三个小球的位置只能在第，，或，，或，，或，，位，
因为不排在两端，所以当，，三个小球的位置在第，，或，，位时，
不同的排法种数为种；
当，，三个小球的位置在第，，或，，位时，不同的排法种数为种．
所以共有种不同的排法．
16.解：因为底面为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，，所以平面．
因为，，
所以．
在中，，
因为平面，即平面，
所以三棱锥的体积．
17.
18.解：因为点在双曲线上，
所以，
又双曲线的一条渐近线方程，
可得，
联立，解得，，
则双曲线的标准方程为；
不妨设的中点为，，
过点作轴，垂足为，
若轴被以为直径的圆所截得的弦长为，
此时，
即，
因为，
所以，
此时，
解得，
因为点在双曲线上，
当时，
解得，
所以，
此时，
所以以为直径的圆的圆心为，半径，
则所求圆的方程为．
19.解：将点代入抛物线方程得：，
所以抛物线的方程：．
设：，
与抛物线方程联立可得：，
所以，，
因为直线，的倾斜角互补，用代可得：，
因此，，
所以．
由得，，，
因此的方程：，，
点到直线的距离，
，
所以，
令，，则，
所以，
当且仅当时，即，则时，取等号，
所以的最大值为．
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