江苏省扬州市邗江中学2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷（12月份）（PDF版，含答案）

江苏省扬州市邗江中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学模拟试卷
（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
11
1.cos =( )
3
√ 3 √ 3 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
1
2.设集合 = { | ≤ 0}, = { |3 2 7 ≤ 10}，则 ∩ =( )

10
A. ( 1,1) B. (0, ) C. [0,1] D. (0,1]
3
3.关于 的方程 2 + ( 2) + 5 = 0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数 的取值范围是( )
A. { | < 5或 > 4} B. { | 5 < < 4}
C. { | < 5} D. { | > 4}
4.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ≥ 0时 ( ) = 2 1，则 ( 13) =( )
2
2 2
A. 2 B. C. D. 2
3 3
5.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + 3) = ( )，当 ∈ [0,3]时， ( ) = 2 3 + 2，则函数 ( )在区间
[0,30]上的零点个数为( )
A. 10 B. 20 C. 21 D. 30
6.若 = 0.50.6， = 0.60.5， = 3 62，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.设方程3 + 4 = 0的根为 ，方程log3 + 4 = 0的根为 ，则3
+ log3 的值为( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. 4
8.已知函数 ( ) = 3 3 + ，则满足 (2 2) + ( 1) > 6的实数 的取值范围是( )
1 3 7
A. ( , +∞) B. ( , +∞) C. ( , +∞) D. (3, +∞)
3 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
3
9.已知 = ， ∈ ( , 0)，则( )
5 2
4 4
A. sin( + ) = B. cos( + ) =
5 2 5
4 3 3
C. tan( ) = D. sin( + ) =
3 2 5
10.给出下列四个选项中，其中正确的选项有( )
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3
A. 若角 的终边过点 ( 3, )且 = ，则 = ±4
5

B. sin <
5 5
C. 命题“ ∈ ，使得 2 + 1 < 0”的否定是：“ ∈ ，均有 2 + 1 > 0”
1 1
D. 若 ， ∈ ，则“ > > 0”是“ < ”的充分不必要条件

11.波恩哈德 黎曼(1866.07.20～1926.09.17)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要
贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义
域为[0,1]，其解析式为：
1
, = ( , 为正数数且 , 互质)
( ) = { ，下列关于黎曼函数的说法正确的是( )
0, = 0 或 1 或(0,1)内的无理数
6 1
A. ( ) = B. ( ) ( ) ≤ ( )， ， ∈ [0,1]
7 7
1 1
C. ( )的值域为[0, ] D. = ( + )为偶函数
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = log (2 3) + 8的图象恒过定点 ， 在幂函数 ( )的图象上，则 (4) = ______．
13.如图，分别以正五边形 的顶点 、 为圆心， 长为半径画弧，两弧交
4 于点 ， 的长为 ，则扇形 的面积为______．
3
14.已知正实数 ， 满足方程 2 1 + 2 = 3
1
+ 4 ，则 + 的最小值为 ．

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
求下列各式的值：
1 2
(1)( ) 3 + 25 + 4 + 7 72；
64
√ 1 2 10° 10°
(2) ．
10 √ 1 sin210
16.(本小题12分)
已知角 满足 + 3 = 0．
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(1)若 < < 0，求 ， 的值；
2
3
(2)若角 的终边与角 的终边关于 轴对称，求 的值．
2 +cos
17.(本小题12分)
已知 > 2， > 0， = + 4．
(1)求 + 的最小值和( 1)2 + 2的最小值；
4
(2)求 + 的最小值．
4
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + + 1( > 0)．
(1)若关于 的不等式 ( ) < 0的解集为( 3, )，求 ， 的值；
(2)已知 ( ) = 4 +1 2 + 2，当 ∈ [ 1,1]时， (2 ) ≤ ( )恒成立，求实数 的取值范围；
(3)定义：闭区间[ 1, 2]( 1 < 2)的长度为 2 1，若对于任意长度为1的闭区间 ，存在 ， ∈ ，| ( )
( )| ≥ 1，求正数 的最小值．
19.(本小题12分)
( )
已知函数 ( )满足 ( ) + 2 ( ) = 3 2 + 2 + 3，函数 ( ) = ．

(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若不等式 (log2 ) 2 ≤ 0在 ∈ [4,8]上恒成立，求实数 的取值范围；
6 7
(3)若关于 的方程2 (| |) + 4 2 = 0有四个不同的实数解，求实数 的取值范围．
| |
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】64
15
13.【答案】
2
3
14.【答案】
2
1 2 1 2
15.【答案】解：(1)( ) 3 + 25 + 4 + 7 72 = [( )3] 3 + lg(25 × 4) + 2 = 16 + 2 + 2 = 20；
64 4
2
√ 1 2 10° 10° √ ( 10° 10°) |cos10° sin10°| 10° 10°
(2) = = = = 1．
2 10° 10° sin10
cos10 10 10
10 √ 1 sin 10
16.【答案】解：(1) + 3 = 0，即 = 3 ，又sin2 + cos2 = 1，
1
故sin2 + 9 2 = 1，sin2 = ，
10
√ 10 3√ 10
又 < < 0，故 = ， = √ 1 sin2 = ．
2 10 10
(2)角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则 = + 2 ， ∈ ，
1 1
= = = ， = tan( + 2 ) = tan( ) = = ，
cos 3 3 3
1
3 3 3
故 = = 3
8
2 = ． 2 +cos 2 +1 +1 5
3
17.【答案】解：(1)因为 > 2， > 0， = + 4，
4
所以 = 1 + > 2，解得0 < < 4，

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4 4 4
所以 + = 1 + + ≥ 1 + 2√ = 5，当且仅当 = ，即 = 2， = 3时取等号，

所以 + 的最小值为5；
16 16 16
又( 1)2 + 2 = 2 +
2 ≥ 2√ 2
2 = 8，当且仅当 2 =
2，即 = 2， = 3时取等号，

所以( 1)2 + 2的最小值为8．
4
(2)因为 = 1 + ， > 2且0 < < 4，

4 4 4 +(4 ) +(4 )
所以 + = 1 + + = 1 + +
4 4 4
4 4
= 1 + 1 + + + 1 ≥ 3 + 2√ = 5，
4 4
4
当且仅当 = ，即 = 2， = 3时取等号，
4
4
所以 + 的最小值为5．
4
18【. 答案】解：(1) ∵不等式 ( ) < 0的解集为( 3, )，则方程 ( ) = 2 + + 1 = 0的根为 3， ，且 3 < ，
> 0 2
1 =
∴ { = 3 + ，解得{ 9 ， 3
1
= 3 = 2

2 3
故 = , = ．
9 2
1 1 1
(2)令 = ∈ [ , 2]，
2 2
1 4 1
若 (2 ) ≤ ( )，即 2 + + 1 ≤ + 2， 2
则 4 ≤ 2 2 ，
2 1∵ = 2 的开口向上，对称轴为 = 1，则 = 2 2 在[ , 1]单调递减，在(1,2]单调递增，且 |
2 =1
= 1，
∴ 4 ≤ 1，即0 < ≤ 3，
故实数 的取值范围为(0,3]．
1
(3) ( ) = 2 + + 1( > 0)的开口向上，对称轴为 = ，
2
1
∵ 2 1 = 1，根据二次函数的对称性不妨设 1 + 2 ≥ ，则有：
1
当 1 ≥ 时， ( )在[ 1, 2]上单调递增，则可得 ( 2) ( 1) = (
2
2 + 2 + 1) (
2
2 + 1 + 1) =2
[( + 1)21
2
1 ] + 1 = 2 1 + + 1 ≥ 1，
1
即2 × ( ) + + 1 ≥ 1，解得 ≥ 1；
2
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1 1 1 1
当 1 < ，即 2 > 时， ( )在[ 1, )上单调递减，在[ , 2 2 2 2 2
]上单调递增，
1 1 1
则可得 ( 2) ( ) = (
2
2 + 2 + 1) (1 ) = ( 2 + )
2 ≥ 1，
2 4 2
2 1 = 1 1 1
∵ { 1，则 + ≥ ，
21 + 2 ≥ 2 2
1
∴ ≥ 1，即 ≥ 4；
4
综上所述： ≥ 4，
故正数 的最小值为4．
19.【答案】解：(1)因为 ( ) + 2 ( ) = 3 2 + 2 + 3，
所以 ( ) + 2 ( ) = 3 2 2 + 3，
故联立上述方程组，解得 ( ) = 2 2 + 1．
( ) 1
(2)由(1)知， ( ) = 2 2 + 1， ( ) = = + 2．

因为不等式 (log2 ) 2 ≤ 0在 ∈ [4,8]上恒成立，
1
所以 2 + 2 2 ≤ 0在 ∈ [4,8]上恒成立， 2
1
设 = log2 ，则 ∈ [2,3]，所以 + 2 ≤ 0在 ∈ [2,3]上恒成立，
1 2 1
所以 ≥ 1 + = ( 1)22 ，在 ∈ [2,3]上恒成立，
1 1 1 1 1 1 1 4
因为 ∈ [2,3]，所以 ∈ [ , ]当 = 时，( 1)2取得最大值，最大值为( 1)2 = ，
3 2 3 3 9
1 2 1
所以 ≥ 1 + = ( 1)2
4
2 在 ∈ [2,3]上恒成立，则 ≥ ， 9
4
所以 的取值范围是[ , +∞)．
9
6 7 2 6 7
(3)方程2 (| |) + = 4 = 2 = 0等价于2 + 4 + 4 2 = 0，
| | | | | |
即2| |2 (4 + 6)| | + 6 5 = 0，| | ≠ 0，
令| | = ，则2 2 (4 + 6) + (6 5) = 0( ≠ 0)，
6 =7
因为方程2 (| |) + 4 2 = 0有四个不同的实数解，
| |
所以2 2 (4 + 6) + (6 5) = 0( ≠ 0)，有两个不同的正根 1 2，
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> 0
记 ( ) = 2 2 (4 + 6) + (6 = 5)，所以{ (0) = 6 5 > 0
5
， > ．
4 6 6
> 0
2×2
5
综上， 的取值范围为{ | > }.
6
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