广西百色市田东实验高级中学2024-2025学年高二上学期质检数学试卷（PDF版，含答案）

广西百色市田东实验高级中学 2024-2025 学年高二上学期质检数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 与 轴所成角为30°，直线 的斜率为( )
√ 3 √ 3
A. B. √ 3 C. ± D. ±√ 3
3 3
2.若直线( 1) + + 2 = 0与直线2 + 1 = 0平行，则 的值为( )
A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2或1
3.已知 = ( 5,6,1)， = (6,5,0)，则 与 ( )
A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向
4.“ = 4”是“直线 + 2 = 0与直线( 3) 4 + 1 = 0垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知空间向量 = (2,1,0)， = (1,0, 1)，则 在 上的投影向量为( )
1 1
A. B. C. D.
2 2
6.正方体 1 1 1 1的棱长为2， 、 、 分别为 1、 、 1的中点，则
直线 与 所成角的余弦值为( )
√ 3
A.
3
√ 30
B.
10
3√ 3
C.
6
2
D.
5
7.设点 (2, 3)， ( 3, 2)，直线 过点 (1,2)且与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是( )
A. ≤ 1或 ≥ 5 B. 5 ≤ ≤ 1 C. 1 ≤ ≤ 5 D. ≤ 5或 ≥ 1
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8.如图在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若记 = ， = ， = ，则 =( )
1 1 1 1 1 3
A. + + B. + +
2 2 4 2 4 4
1 1 1 1 1 1
C. + + D. + +
2 4 2 2 4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线3 + 4 2 = 0的一个方向向量为( )
A. (4,3) B. (4, 3) C. ( 4,3) D. ( 4, 3)
10.对于任意非零向量 = ( 1, , 1 1)， = ( 2, 2, 2)，以下说法错误的有( )
A. 若 ⊥ ，则 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0

B. 若 // ，则 1 = 1 = 1
2 2 2
| 1 + + |C. cos < ， >= 2 1 2 1 2
√ 2+ 2 21 1+ 1 √
2 2 2
2+ 2+ 2
D. 若 1 = 1 = 1 = 1，则 为单位向量
11.已知直线 1： + 1 = 0， 2： + + 1 = 0， ∈ ，以下结论正确的是( )
A. 1在 轴上的截距为1
B. 当 变化时， 1与 2分别经过定点 (0,1)和 ( 1,0)
C. 无论 为何值， 1与 2都关于直线 + = 0对称
D. 无论 为何值， 1与 2都互相垂直
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1, 3,2)， = ( 2, , 4)，若 ⊥ ，则实数 的值是______．
13.若直线 1： + + 6 = 0与 2：( 2) + 3 + 2 = 0平行，则 1与 2之间的距离为______．
14.正四面体 中，平面 与平面 所成角余弦值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
在△ 中， (2, 5,3), = (4,1,2), = (3, 2,5)．
(1)求顶点 ， 的坐标；
(2)求 ．
16.(本小题15分)
已知 = ( + 1,1,2 )， = (6,2 1,2)．
(1)若 // ，分别求 与 的值；
(2) 与 = (2, 2 , )垂直，求 ．
17.(本小题15分)
求经过直线 1：3 + 4 5 = 0与直线 2：2 3 + 8 = 0的交点 ，且满足下列条件的直线方程
(1)与直线2 + + 5 = 0平行；
(2)与直线2 + + 5 = 0垂直．
18.(本小题17分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点．
(Ⅰ)求证： 1//平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， ⊥ ， = = 2， 1 = 3，点 ， 分别在棱 1
和棱 1上，且 = 1， = 2， 为棱 1 1的中点．
(Ⅰ)求证： 1 ⊥平面 1 ；
(Ⅱ)求二面角 1 的余弦值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
10
12.【答案】
3
8√ 2
13.【答案】
3
1
14.【答案】
3
15【. 答案】解：(1)设 ( , , )，因为 = ( , , ) = ( 2, + 5, 3) = (4,1,2)，
2 = 4 = 6
所以{ + 5 = 1 , { = 4，所以 (6, 4,5)．
3 = 2 = 5
设 ( , , )，因为 = ( , , ) = ( 6, + 4, 5) = (3, 2,5)，
6 = 3 = 9
所以{ + 4 = 2 , { = 6，所以 (9, 6,10)．
5 = 5 = 10
(2)因为 = ( 7,1, 7), = (3, 2,5)，
所以 = 21 2 35 = 58．
16.【答案】解：(1)因为 = ( + 1,1,2 )， = (6,2 1,2)，且 // ，
设 = ( ∈ )，即( + 1,1,2 ) = (6,2 1,2)，
1
+ 1 = 6 = 5 1
即{1 = (2 1)，解得{ = 3，故 = ， = 3．
5
2 = 2 1 =
5
(2)由题意可知， = 2( + 1) 2 2 2 = 2 2 + 2 = 0，解得 = ±1，
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当 = 1时， = (2,1,2)；当 = 1时， = (0,1, 2)．
因此， = (2,1,2)或 = (0,1, 2)．
3 + 4 = 5 = 1
17.【答案】解：由{ ，解得 { ，所以，交点 ( 1,2)．
2 3 = 8 = 2
(1) ∵斜率 = 2，由点斜式求得所求直线方程为 2 = 2( + 1)，即2 + = 0．
1 1
(2) ∵斜率 = ，由点斜式求得所求直线方程为 2 = ( + 1)，即 2 + 5 = 0．
2 2
18.【答案】(Ⅰ)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
在正方形 中， = ．
因为 为 1的中点，
所以 // 1
因为 1 平面 ， 平面 ，
所以 1//平面 ．
(Ⅱ)解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
则 (0,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,2,1)，
所以 = (0,2,0)， = (2,2,0)， = (0,2,1).
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0, 2 + 2 = 0, = ,
所以{ 所以{ 即{
= 0, 2 + = 0, = 2 ,
令 = 1，则 = 1， = 2，
于是 = (1, 1,2)．
设直线 与平面 所成角为 ，

则sin = |cos
| | 2 √ 6
, | = = = ．
| | | | 2√ 6 6
所以直线 与平面 所成角的正弦值为√ 6．
6
19【. 答案】(Ⅰ)证明：因为 1 ⊥平面 ，
平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，又因为 ⊥
，
所以 、 、 1两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系， 1(0,0,3)， (2,0,0)， (0,2,0)，
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(2,0,1)， (1,1,3)，
1 = (1,1,0)， = ( 2,2,0)， = (0,0,1)，
所以 = 0， 1 1 = 0，所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
因为 平面 1 ， 平面 1 ， ∩ = ，
所以 1 ⊥平面 1D.
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知 (0,0,2)， 1(0,2,3)，
= (2,0, 1)， 1 = (0,2,1)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
{ ，令 = 2， = (1, 1,2)，
1 = 2 + = 0
平面 1 的法向量为 = (1,0,0)，
| | 1 √ 6
所以二面角 1 的余弦值为 = = ． | | | | √ 6 1 6
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