辽宁省2023-2024学年高二下学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省 2023-2024 学年高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知集合 = { |1 < 2 < 4}, = { | < 3 < 9}，则 ∩ =( )
3
A. ( 2, 1) B. ( 1,2) C. (1,2) D. ( 2, 1) ∪ (1,2)
2.已知 ， 为实数，则“ > > 0”成立的充分不必要条件是( )
1 1
A. > B. 2 > 2

C. ln( + 1) > ln( + 1) D. √ 2 > √ 2
2
3.已知函数 ( ) = + ，则 ( )的零点所在的区间为( )

A. ( 1,1) B. (1,2) C. (2, ) D. ( , 3)
2 1
4.定义行列式∣ ∣∣∣ ∣∣ = ，若行列式∣
∣2 1
∣ ∣
∣
∣ > ∣
∣ ∣
∣ ∣，则实数 的取值范围为( ) 2 2 4 5 2 ∣
3 3
A. ( 1, ) B. ( ∞, 1) ∪ ( ,+∞)
2 2
1 1
C. ( , 2) D. ( ∞, ) ∪ (2,+∞)
2 2
1
5.已知 = 5 , = 3, = ，则 ， ， 的大小关系( ) 3
A. > > B. > > C. > > D. > >
ln(√ 9 2+1 3 )
6.函数 ( ) = 的图象大致为( )
|3 2|
A. B.
C. D.
1 2 7.若对任意的 1， 2 ∈ ( , +∞)，且 1 <
2 1
2，都有 < ，则 的最小值是( ) 2 1
A. √ B. C. 0 D. 1
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8.已知等差数列{ }的公差为 ，且集合 = { | = sin( ), ∈

}中有且只有5个元素，则 中的所有元素4
之积为( )
1 1
A. 0 B. C. D. 1
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若函数 ( )的定义域为[0,1]，则函数 (4 )的定义域为[0,4]
2 2 2
B. 函数 ( ) = 2 的值域为[ , 1) +3 3
1C. 若 94 = 1，则2 = 3
2
D. 若幂函数 ( ) = (2 2 6 + 5) 1，且在 ∈ (0,+∞)上是增函数，则实数 = 1
10.已知函数 = ( + 2)是定义在 上的偶函数，且 (3 ) = ( + 5)，当 ∈ [0,2]时， ( ) = 9 3 ，
则下列选项正确的是( )
A. ( )的图象关于点(2,0)对称 B. ( )的最小正周期为4
C. ( )为偶函数 D. ∑2026 =1 ( ) = 6
11.已知实数 ， 满足 > 0， > 0，且 + 3 = 1，则下列结论正确的是( )
1 2 √ 10
A. + 的最小值为7 + 2√ 6 B. 2 + 2的最小值为
10
C. 2 + 3 < 1 D. 3 < 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知 ( ) = + 是定义在 上的奇函数，且 ( 35) = ，则 (1) = ______． 3 +1 2
13.已知数列{ }的首项为2， 是△ 边 所在直线上一点，且2 + 5( + 3) ( +1 + 1) = 0 ，
则数列{ }的前 项和为______．
14.若关于 的不等式 2 2 ( + 3) ≥ 0在(0,+∞)上恒成立，则实数 的取值范围______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = log2( + 3) log2( 3)．
(1)判断函数 ( )的单调性并证明；
(2)若关于 的方程 ( ) = log2( + )在区间[4,6]上有解，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用.喷漆房的过滤系
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统主要作用是净化空气.能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量 (单位： / )与时
间 ( ≥ 0)(单位： )间的关系为 = 0
，其中 0， 为正常数，已知过滤2 消除了20%的有害物质．
(1)过滤4 后还剩百分之几的有害物质？
(2)要使有害物质减少80%，大约需要过滤多少时间(精确到1 )？参考数据： 2 ≈ 0.3
17.(本小题15分)
已知数列{ }满足 1 = 3， +1 = 7 + 3．
1
(1)证明{ + }是等比数列，并求{ }的通项公式； 2
1 1 1 7
(2)证明： + + + < ．
1 2 18
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ．

(1)求证：当 ∈ [ ,+∞)时， ( )有两个零点；
2
(2)若 ( ) ≥ 2 在[0,+∞)上恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：( 2 2 2 21 + 2 + + )( 1 +
2

2 + +
2
) ≥ ( 1 1 + 2 2 + + )
2，等号成立条件为 1 = 2 = = 或 ， ， = 1，2，3， ， 1 2
至少有一方全为0.柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题.已知数列{ }满足
1 1
1 = , +1 = ( ∈
)．
3 2
1
(1)证明：数列{ }为等差数列，并求数列{ }的通项公式； 1
2 2 2
(2)证明： ( 1 + 2

+ + ) < ln√ 2 + 1．
2 1+ 2+ 1 + 1
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】
8
5 +1 12 5
13.【答案】
4
1
14.【答案】[0, 2]
15.【答案】解：(1)单调递减，证明如下：
易知定义域为{ | > 3}，
由 ( ) = log2( + 3) log2( 3)，
1 1 6
得到 ′( ) = = ，
( +3) 2 ( 3) 2 ( 2 9) 2
因为 > 3，
所以( + 3)( 3) > 0，又 2 > 0，
故 ′( ) < 0在区间(3,+∞)上恒成立，
所以函数 ( )在区间(3,+∞)上单调递减；
+3
(2)由 ( ) = log2( + )，得到 2 = 2( + )， ∈ [4,6]， 3
+3
又 = log2 是增函数，得到 = + 在区间[4,6]上有解， 3
2 2 +4 +3 ( 3) 2( 3)+6 6
即 = = = ( 3) + 2在区间[4,6]上有解，
3 3 3
6
令 3 = ∈ [1,3]， ( ) = + 2, ∈ [1,3]，

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6
则 ′( ) = 1 < 0在区间[1,3]恒成立，
2
6
即 ( ) = + 2在区间[1,3]上单调递减，

所以 3 ≤ ( ) ≤ 3，
故实数 的取值范围[ 3,3]．
16.【答案】解：(1)当 = 0时， = 0，
所以 0是初始有害物质的含量，
由题意可知，0.8 2 0 = 0 ，得
2 = 0.8，
4 后有害物质含量 = 4 = ( 2 20 0 ) = 0.64 0，
所以过滤4小时后还剩64%的有害物质；
(2)设过滤 小时后，有害物质减少80%，即还剩20%，

则0.2 = = ( 2 0 0 0 )2 = 0(0.8)2，

则(0.8)2 = 0.2，
0.2 2 1 2 1 0.3 1
则 = 0.80.2 = = = ≈ = 7， 2 0.8 8 1 3 2 1 0.9 1
则 = 14，
所以要使有害物质减少80%，大约需要过滤14小时．
1 1 1 7 1
17.【答案】证明：(1)因为 +1 = 7 + 3，所以 +1 + = 7( + )，且 1 + = ，则 + ≠ 0， 2 2 2 2 2
1
+1+2 1 1 7即 1 = 7，所以数列{ + }是首项为 1 + = ，公比为7的等比数列，
+ 2 2 22
1 7 7 7 1
所以 + = 7
1 = ，则 = ；
2 2 2 2
1 2
(2)由(1)可知， = ，
7
1
7 1 6 7 1 = 7 1 1 ≥ 0，即7 1 ≥ 6 7 1，只有当 = 1时，等号成立，
1 2 1
所以 = ≤ ，只有当 = 1时，等号成立，
7
1 3 7 1
1 1 7
当 = 1时， = < ，成立，
1 3 18
1
1 1 1 2 1 1 1 1 ( ) 7
当 ≥ 2时， + +. . . + < (1 + +. . . + 7
6 7 7
) = × 1 < ，
1 2 3 1 18
7
1 1 1 7
综上可知， + + + < ．
1 2 18
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18.【答案】解：(1)证明：当 ∈ (0,+∞)时， > 1， ≤ 1，所以 > 0，
所以 ( )无零点，

当 ∈ [ , 0]时，由 ( ) = ，得 ′( ) = + ，
2
令 ( ) = ′( ) = + ，则 ′( ) = + > 0，

所以 ( )在[ , 0]上递增，即 ′( )在[ , 0]上递增，
2 2
1
因为 ′( ) = 2 1 = 1 < 0, ′(0) = 1 > 0，
2 2

所以存在唯一 0 ∈ [ , 0]，使得 ′( 0) = 0， 2

所以当 < < 0时， ′( ) < 0，当 0 < < 0时， ′( ) > 0， 2

所以 ( )在( , 0)上递减，在( 2 0
, 0)上递增，
因为 (0) = 0， ( )在( 0, 0)上递增，所以 ( 0) < 0，

因为 ( ) = 2 > 0，
2

所以存在唯一 1 ∈ ( , 0)，使得 ( 1) = 0， 2
所以 ( )有两个零点 1和0；
(2)若 ( ) ≥ 2 在[0,+∞)上恒成立，则 ≥ 2 恒成立，
设 ( ) = 2 + ( ≥ 0)，即证 ( ) ≥ 0在[0,+∞)上恒成立，
′( ) = + 2 + ( ≥ 0)，令 ( ) = ′( ) = + 2 + ( ≥ 0)，
则 ′( ) = + 2( ≥ 0)，令 ( ) = ′( ) = + 2( ≥ 0)，
则 ′( ) = ( ≥ 0)，
因为 ≥ 1，sin ≤ 1，所以 ′( ) = ≥ 0( ≥ 0)，所以 ( )在[0,+∞)上递增，
即 ′( )在[0,+∞)上递增，所以 ′( ) ≥ ′(0) = 0，
所以 ( )在[0,+∞)上递增，即 ′( )在[0,+∞)上递增，
①当 ≥ 1时， ′(0) = 1 + ≥ 0，则 ′( ) ≥ 0，
所以 ( )在[0,+∞)上递增，
因为 (0) = 0，所以 ( ) ≥ 0在[0,+∞)上恒成立，所以 ≥ 1，
②当 < 1时， ′(0) = 1 + < 0，
令 ( ) = ( ≥ 0)，则 ′( ) = ( ≥ 0)，
当0 ≤ < 1时， ′( ) < 0，当 > 1时， ′( ) > 0，
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所以 ( )在[0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 0，所以 ≥ ，
因为 ≥ 1，
1 1 1 1 1 1
所以 ′( ) = 2 + sin 2 + ≥ 1 2 + = 1 + 1 = 0，
2 2 2 2 2
所以存在 2 ∈ (0,+∞)，使得 ′( 2) = 0，
所以 ( )在(0, 2)上递减，
因为 (0) = 0，所以 ∈ (0, 2)时， ( ) < 0不合题意，
综上，实数 的取值范围为[ 1,+∞)．
1
19.【答案】(1)证明：因为 +1 = ( ∈ )， 2
1 1 1 1 2 1 1 所以 = 1 = =
= 1为常数，
+1 1 1 1 1 1 (2 ) 1 1
2
1 1 1 3
又 1 = ，得到 = = ， 3 11 1 1 2
3
1 3
所以数列{ }为首项为 ，公差为 1的等差数列，
1 2
1 3 1 2 1
由 = + ( 1) × ( 1) = ，得到
1 2 2
= ．
2 +1
2 2 2
(2)证明：要证 ( 1 + 2 + + ) < ln√ 2 + 1，
2 1+ 2+ 1 + 1
2 2 2
即证 ln√ 2 + 1 < 1 + 2

+ + ，
2 1+ 2+ 1 + 1
2 2 2
即证 ln(2 + 1) < 2( 1 + 2 + + )，
1+ 2+ 1 + 1
2 2 2
由柯西不等式知( 1

+ 2 + + )[( 1 + ) + ( 2 + 1) + + ( + 1)] ≥ ( 1 + 2 + + 1+ 2+ 1 + 1
)
2，
1 2 当且仅当 = = = 时取等号，
1+ 2+ 1 + 1
2 2 2
即2( 1 + 2 + + ) ≥ ( 1 + 2 + + )， 1+ 2+ 1 + 1
所以只需证明 ln(2 + 1) < 1 + 2 + + ，
2 1 2
由(1)知 = = 1 ， 2 +1 2 +1
2 2 2
所以只需证明 ln(2 + 1) < ( + + + )，
3 5 2 +1
2 2 2
即证明 + + + < ln(2 + 1)，
3 5 2 +1
下面用数学归纳法证明，
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2
(1)当 = 1时，不等式左边= < 1，不等式右边= 3 > 1，所以 = 1时，不等式成立，
3
2 2 2
(2)假设 = ( ∈ )时，不等式成立，即 + + + < ln(2 + 1)成立，
3 5 2 +1
2 2 2 2 2则 = + 1( ∈ )时， + + + + < ln(2 + 1) + ，
3 5 2 +1 2 +3 2 +3
1 1 1 1
令 = + 1，则 ′ = 2 = 2 > 0在区间(1,+∞)上恒成立，
1 1
即 = + 1在区间(1,+∞)上单调递增，所以 = + 1 > 1 + 1 1 = 0，

1 2 +3 2 +3 1 2
得到 > 1 ，取 = > 1，得到ln > 1 = ，
2 +1 2 +1 2 +3 2 +3
2 +1
2 2
整理得到ln(2 + 3) ln(2 + 1) > ，即ln(2 + 3) > ln(2 + 1) + ，
2 +3 2 +3
2 2 2 2 2
所以 + + + + < ln(2 + 1) + < ln(2 + 3)，
3 5 2 +1 2 +3 2 +3
即 = + 1( ∈ )，不等式仍成立，
2 2 2
由(1)(2)知，对一切 ∈ ， + + + < ln(2 + 1)，
3 5 2 +1
2 2 2
所以 ( 1 + 2 + + ) < ln√ 2 + 1．
2 1+ 2+ 1 + 1
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