上海市闵行区七宝中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

上海市闵行区七宝中学 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线 = + 1与圆( 2)2 + 2 = 9相交于 、 两点，则| |的值可能是( )
A. 3.5 B. 5 C. 6.5 D. 7
2.在平面内， , 是两个定点， 是动点．若 = 1，则点 的轨迹为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线

3.设 、 分别是事件 、 的对立事件， ( ) > 0， ( ) > 0，则下列结论不正确的是( )

A. ( ) + ( ) = 1
B. 若 、 是互斥事件，则 ( ∩ ) = ( ) ( )

C. ( ∪ ) = 1
D. 若 、 是独立事件，则 ( ∩ ) = ( ) ( )
4.设 2 是等差数列{ }的前 项和，若( ) = 2对任意 ∈ ， ≥ 1恒成立，则这样的等差数列有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.抛物线 = 2的准线方程是______．
6.直线 1： = 3 + 1与直线 2： = 3的夹角的大小为______．
7.若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为______．
2 2
8.若双曲线 ： = 1的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为______．
9
9.四面体 中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面 相交的概率是______．
10.某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方
法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为______．
11.在数列{ }中， 1 = 2， + = + ，若 +1 = 440，则正整数 = ______．

12.已知空间向量 ， ， 的模长分别为2，2，3，且两两夹角均为 ，点 为△ 的重心，则| | =
3
______．
13.已知数列{ }是首项为 1，公差为 的等差数列，其前 项和为 ，若直线 = 1 + 与圆( 2)
2 +
2
1
= 1的两个交点关于直线 + 2 = 0对称，则数列{ }的前100项和为______．

第 1 页，共 7 页
14.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点 为双
2 2
曲线( 1, 2为焦点)上一点，点 处的切线平分∠ 1 2.已知双曲线 ： = 1， 为坐标原点， 是点4 2
√ 10
(3, )处的切线，过左焦点 1作 的垂线，垂足为 ，则| | = ． 2
15.在平面直角坐标系 中，定义 ( , ) = | 1 2| + | 1 2|为 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点之间的“折线
1
距离”.已知点 (1,0)，若动点 满足 ( , ) = ，则点 的轨迹所围成图形的面积为______．
2
16.如图，棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1上运动，以下
四个命题：
①三棱锥 1的体积为定值；
② 1 ⊥ 1；
③若 ∈平面 ，则三棱锥 1 的外接球半径为√ 3；
④| 1 | + | |的最小值为√ 2 + √ 5．
其中真命题有______. (写出所有真命题的序号)
三、解答题：本题共 5 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知定点 ( 1,1)，圆 ： 2 + 2 = 4．
(1)求圆心 到点 的距离；
(2)若以 ( 1,1)为圆心， 为半径的圆与圆 有两个不同公共点，求 的取值范围．
18.(本小题14分)
果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，
在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求．
(1)统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个

数据的平均数 与方差 2；
(2)统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照[5,15)，[15,25)，[25,35)，
[35,45)，[45,55]分组，得到如下频率分布直方图．
(ⅰ)估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；
(ⅱ)估计这600名中国果切消费者年龄的中位数 (结果保留整数)．
第 2 页，共 7 页
19.(本小题14分)
2
已知双曲线 ： 2 = 1与直线 ： = 3相交于 、 两点， 为线段 的中点．
4
(1)当 = √ 5时，求双曲线 的左焦点到直线 的距离；
(2)若 与双曲线 的两条渐近线分别相交于 、 两点，问：是否存在实数 ，使得 、 是线段 的两个三
等分点？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
20.(本小题16分)
如果无穷数列{ }满足“对任意正整数 、 ( ≠ )，都存在正整数 ，使得 = ”，则称数列{ }具有
“性质 ”．
(1)若等比数列{ }的前 项和为 ，且 > 0， 3 = 14， 3 = 2 + 2 1.求证：数列{ }具有“性质 ”；

(2)在(1)的条件下，若 + < 对任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围；

(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列{ }具有性质“ ”，且2
16、315、414、615四个数中恰有两个出现
在{ }中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．
21.(本小题18分)
2 2 √ 3 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，左、右顶点分别为 、 ，过点 ( , 0)的直线与椭圆 2 2
3
相交于不同的两点 、 (异于 、 )，且 = ．
5
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 、 的斜率分别为 1、 2，且 1 = 2，求 的值；
(3)设△ 和△ 的面积分别为 1、 2，求| 1 2|的最大值．
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】4 + 1 = 0

6.【答案】 3．
2
1
7.【答案】
3
√ 7
8.【答案】 = ±
3
3
9.【答案】
5
10.【答案】12
11.【答案】10
√ 33
12.【答案】
3
100
13.【答案】
101
14.【答案】2
1
15.【答案】
2
16.【答案】①②③
17.【答案】解：(1)因为圆 ： 2 + 2 = 4，
所以圆心 (0,0)，
又定点 ( 1,1)，
所以| | = √ ( 1 0)2 + (1 0)2 = √ 2；
(2)以 ( 1,1)为圆心， 为半径的圆的方程为：( + 1)2 + ( 1)2 = 2，
因为与圆 有两个不同公共点，
所以|2 | < | | < 2 + ，
即|2 | < √ 2 < 2 + ，
√ 2 < 2 +
即{ ，
|2 | < √ 2
因为 > 0，所以√ 2 < 2 + ，恒成立，
第 4 页，共 7 页
所以 √ 2 < 2 < √ 2，
即2 √ 2 < < 2 + √ 2，
所以 的取值范围是(2 √ 2, 2 + √ 2)．
1+3+4×2+5+6×2+7×3
18.【答案】解：(1) = = 5，
10
2 2 2 2 2 2
2 (1 5) +(3 5) +2×(4 5) +(5 5) +2×(6 5) +3×(7 5) = = 3.6．
10
(2)(ⅰ)600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为：
(0.015 + 0.005) × 10 × 600 = 120．
(ⅱ)由0.020 × 10 = 0.2 < 0.5，(0.020 + 0.035) × 10 = 0.55 > 0.5，可得15 < < 25，
0.3
所以0.20 + ( 15) × 0.035 = 0.5，解得 = + 15 ≈ 24，
0.035
所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24．
19.【答案】解：(1) = √ 5时，直线 的方程为：√ 5 3 = 0，
2
由双曲线 ： 2 = 1可得 = 2， = 1，所以 = √ 2 + 2 = √ 5，
4
所以左焦点 ( √ 5, 0)，
| √ 5×√ 5 0 3| 4√ 6
所以 到直线 的距离 = = ；
3
√ 2 2 (√ 5) +( 1)
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 0, 0)，
= 3
联立{ 2 ，整理可得：(1 4 2) 2 + 24 40 = 0，
2 = 1
4
= 242 2 + 4 × 40(1 4 2
5
) > 0，可得 2 < ，
2
24 40 12
可得 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，可得 0 = 2，
1 4 1 4 1 4
2 2
(24 ) +4×40×(1 4 )
所以| | = √ 1 + 2 √ ( 1 + )22 4 2 21 2 = √ 1 + √ 2 2 = √ 1 +
(1 4 )
√ 2 2 (24 ) +4×40×(1 4 )
2 ，
|1 4 |
2
双曲线 的渐近线方程为 2 = 0，即渐近线的方程为 ± 2 = 0，
4
设 ( 3, 3)， ( 4, 4)，
= 3 6
联立直线 与双曲线 的渐近线方程，{ ，可得 = ，
+ 2 = 0 3 1+2
第 5 页，共 7 页
6
同理可得 4 = ， 1 2
6 6 24
可得 3 + 4 = + = 2， 1+2 1 2 1 4
+ 12
所以 的中点横坐标为 3 4 = 2 = 0， 2 1 4
所以线段 的中点 也是 的中点，
所以 ， 为线段 的两个三等分点，即| | = 3| |，
√ 2 2 2 2 (24 ) +4×36×(1 4 ) √ (24 ) +4×40×(1 4 )
所以√ 1 + 2 2 = 3√ 1 +
2 2 ，
|1 4 | |1 4 |
3
解得 = ± ，符合 > 0，
2
3
所以存在 = ± ，使得 、 是线段 的两个三等分点．
2
20.【答案】解：(1)可求出 是首项为2，公比为2的等比数列，通项公式为 = 2 ．
因为 + 中存在 = + ，即2 = 2 ，所以存在 = ，所以具有性质 ，

(2)因为 + < 对任意正整数 成立，所以 > ( + )

，


令 =
2 1 5 5
= 2 ( < 2, = 0)，易求 + < ，所以 ≥ ； 2 2 2
(3)从216、315、414、615这四个数中任选两个，共有以下6种情况：
216，315；216，414；216，615；315，414；315，615；414，615．
14
①对于216
4
，414 因为 1216 = 2 为正整数，可以认为{ }是等比数列中的项， = 2
1
，首项的最小值为1．
2
下面说明此数列具有性质 ：
216 = 17，414 = 229，任取 ， ∈ ， > ≥ 1，则 = 2 1 2 1 = + 1，
+ 1为正整数，因此此数列具有性质 ；
15
②对于315，615
6
.因为 1515 = 2 为正整数，认为是等比数列{ }中的项， = 3
15 2 1 ，
3
首项的最小值为315，下面说明此数列不具有性质 ：
315 = ，615 = ，若 30 151 16 = 1 16 = 3 2 不为等比数列{ }中的项，因此此数列不具有性质 ，
同理可得216，315；216，615；315，414；414，615每组所在等比数列{ }不具有“性质 ．
1 1
21.【答案】解：(1)因为 ( , 0)， ( , 0)，所以 = ( + , 0), = ( + , 0)，
2 2
由
3
=
1 3 1
可得 + = ( + )，解得 = 2，
5 2 5 2
√ 3 2 3
因为离心率为 ，则 2 = ，又
2 = 2 + 2，则 2 = 1，
2 4
第 6 页，共 7 页
2
所以椭圆 的方程为： + 2 = 1；
4
1
(2)由题可知：点 ( , 0)在椭圆内，直线 与椭圆必相交，
2
且直线 的斜率可以不存在，但不为0，
1
设直线 的方程为 = ，设点 ( , )， ( , )，
2 1 1 2 2
1
=
2 15
联立方程{ 2 ，消去 可得(
2 + 4) 2 = 0，

+ 2
4
= 1
4
则 = 2 + 15( 2 + 4) > 0，
15 15
由根与系数的关系可得： 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，则 1 2 = ( + )， +4 4( +4) 4 1 2
1 5 15 5
1 1 2 2 ( 2 2) 1 1 2 1 ( 1+ 2) 所以 = = 2 21 = 3 =
4 2 1
15 3 2 1+2 2 ( 1 +2) 2 1 2+ 2 ( 1+ )+ 2 2 4 2 2 2
5
(5 1+3 )= 4 2
5
3 = ，
(5 1+3
3
4 2
)
5 5
即 1 = 2，所以 = ； 3 3
15
(3)由(2)可知： 1 + 2 = 2 , = ， +4 1 2 4( 2+1)
1 1
所以| 1 2| = || | | || | 1 2| = √ ( 1 + )22 4 1 2 2 2
2 2
1 15 √ 4 +15 4√ 4 +15 4
= √ ( 22 ) + 2 = 2 = 2 = ， 2 +4 +4 +4 (4 +15)+1 √ 1 4 2+15+
√ 4 2+15
因为 2 ≥ 0，则√ 4 2 + 15 ≥ √ 15，
1
因为函数 ′( ) = + 在[√ 15,+∞)上单调递增，

1 1 16√ 15
故√ 4 2 + 15 + ≥ √ 15 + = ，
√ 2 √ 15 15 4 +15
4 √ 15
所以| 1 2| ≤ = ，当且仅当 = 0时，等号成立， 16√ 15 4
15
√ 15
因此，| 1 2|的最大值为 ． 4
第 7 页，共 7 页