上海市闵行区七宝中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷(PDF版,含答案)

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名称 上海市闵行区七宝中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷(PDF版,含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-01-09 15:28:50

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文档简介

上海市闵行区七宝中学 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设直线 = + 1与圆( 2)2 + 2 = 9相交于 、 两点,则| |的值可能是( )
A. 3.5 B. 5 C. 6.5 D. 7
2.在平面内, , 是两个定点, 是动点.若 = 1,则点 的轨迹为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线

3.设 、 分别是事件 、 的对立事件, ( ) > 0, ( ) > 0,则下列结论不正确的是( )

A. ( ) + ( ) = 1
B. 若 、 是互斥事件,则 ( ∩ ) = ( ) ( )

C. ( ∪ ) = 1
D. 若 、 是独立事件,则 ( ∩ ) = ( ) ( )
4.设 2 是等差数列{ }的前 项和,若( ) = 2对任意 ∈ , ≥ 1恒成立,则这样的等差数列有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题:本题共 12 小题,共 54 分。
5.抛物线 = 2的准线方程是______.
6.直线 1: = 3 + 1与直线 2: = 3的夹角的大小为______.
7.若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍,则该椭圆的离心率为______.
2 2
8.若双曲线 : = 1的焦距长为8,则该双曲线的渐近线方程为______.
9
9.四面体 中,在各棱中点的连线中任取1条,则该条直线与平面 相交的概率是______.
10.某大学共有教师1000人,其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1:4:3:2,现用分层抽样的方
法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本,讲师应抽取的人数为______.
11.在数列{ }中, 1 = 2, + = + ,若 +1 = 440,则正整数 = ______.

12.已知空间向量 , , 的模长分别为2,2,3,且两两夹角均为 ,点 为△ 的重心,则| | =
3
______.
13.已知数列{ }是首项为 1,公差为 的等差数列,其前 项和为 ,若直线 = 1 + 与圆( 2)
2 +
2
1
= 1的两个交点关于直线 + 2 = 0对称,则数列{ }的前100项和为______.

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14.费马定理是几何光学中的一条重要原理,在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如,点 为双
2 2
曲线( 1, 2为焦点)上一点,点 处的切线平分∠ 1 2.已知双曲线 : = 1, 为坐标原点, 是点4 2
√ 10
(3, )处的切线,过左焦点 1作 的垂线,垂足为 ,则| | = . 2
15.在平面直角坐标系 中,定义 ( , ) = | 1 2| + | 1 2|为 ( 1, 1), ( 2, 2)两点之间的“折线
1
距离”.已知点 (1,0),若动点 满足 ( , ) = ,则点 的轨迹所围成图形的面积为______.
2
16.如图,棱长为2的正方体 1 1 1 1中,点 在线段 1上运动,以下
四个命题:
①三棱锥 1的体积为定值;
② 1 ⊥ 1;
③若 ∈平面 ,则三棱锥 1 的外接球半径为√ 3;
④| 1 | + | |的最小值为√ 2 + √ 5.
其中真命题有______. (写出所有真命题的序号)
三、解答题:本题共 5 小题,共 76 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知定点 ( 1,1),圆 : 2 + 2 = 4.
(1)求圆心 到点 的距离;
(2)若以 ( 1,1)为圆心, 为半径的圆与圆 有两个不同公共点,求 的取值范围.
18.(本小题14分)
果切是一种新型水果售卖方式,商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后,包装组合销售,
在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下,果切更能满足消费者的即食需求.
(1)统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为:1,7,4,7,4,6,6,3,7,5,求这10个

数据的平均数 与方差 2;
(2)统计600名中国果切消费者的年龄,他们的年龄均在5岁到55岁之间,按照[5,15),[15,25),[25,35),
[35,45),[45,55]分组,得到如下频率分布直方图.
(ⅰ)估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数;
(ⅱ)估计这600名中国果切消费者年龄的中位数 (结果保留整数).
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19.(本小题14分)
2
已知双曲线 : 2 = 1与直线 : = 3相交于 、 两点, 为线段 的中点.
4
(1)当 = √ 5时,求双曲线 的左焦点到直线 的距离;
(2)若 与双曲线 的两条渐近线分别相交于 、 两点,问:是否存在实数 ,使得 、 是线段 的两个三
等分点?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
20.(本小题16分)
如果无穷数列{ }满足“对任意正整数 、 ( ≠ ),都存在正整数 ,使得 = ”,则称数列{ }具有
“性质 ”.
(1)若等比数列{ }的前 项和为 ,且 > 0, 3 = 14, 3 = 2 + 2 1.求证:数列{ }具有“性质 ”;

(2)在(1)的条件下,若 + < 对任意正整数 恒成立,求实数 的取值范围;

(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列{ }具有性质“ ”,且2
16、315、414、615四个数中恰有两个出现
在{ }中,试求出这两个数的所有可能情况,并求出相应数列首项的最小值,说明理由.
21.(本小题18分)
2 2 √ 3 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ,左、右顶点分别为 、 ,过点 ( , 0)的直线与椭圆 2 2
3
相交于不同的两点 、 (异于 、 ),且 = .
5
(1)求椭圆 的方程;
(2)若直线 、 的斜率分别为 1、 2,且 1 = 2,求 的值;
(3)设△ 和△ 的面积分别为 1、 2,求| 1 2|的最大值.
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】4 + 1 = 0

6.【答案】 3.
2
1
7.【答案】
3
√ 7
8.【答案】 = ±
3
3
9.【答案】
5
10.【答案】12
11.【答案】10
√ 33
12.【答案】
3
100
13.【答案】
101
14.【答案】2
1
15.【答案】
2
16.【答案】①②③
17.【答案】解:(1)因为圆 : 2 + 2 = 4,
所以圆心 (0,0),
又定点 ( 1,1),
所以| | = √ ( 1 0)2 + (1 0)2 = √ 2;
(2)以 ( 1,1)为圆心, 为半径的圆的方程为:( + 1)2 + ( 1)2 = 2,
因为与圆 有两个不同公共点,
所以|2 | < | | < 2 + ,
即|2 | < √ 2 < 2 + ,
√ 2 < 2 +
即{ ,
|2 | < √ 2
因为 > 0,所以√ 2 < 2 + ,恒成立,
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所以 √ 2 < 2 < √ 2,
即2 √ 2 < < 2 + √ 2,
所以 的取值范围是(2 √ 2, 2 + √ 2).
1+3+4×2+5+6×2+7×3
18.【答案】解:(1) = = 5,
10
2 2 2 2 2 2
2 (1 5) +(3 5) +2×(4 5) +(5 5) +2×(6 5) +3×(7 5) = = 3.6.
10
(2)(ⅰ)600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为:
(0.015 + 0.005) × 10 × 600 = 120.
(ⅱ)由0.020 × 10 = 0.2 < 0.5,(0.020 + 0.035) × 10 = 0.55 > 0.5,可得15 < < 25,
0.3
所以0.20 + ( 15) × 0.035 = 0.5,解得 = + 15 ≈ 24,
0.035
所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24.
19.【答案】解:(1) = √ 5时,直线 的方程为:√ 5 3 = 0,
2
由双曲线 : 2 = 1可得 = 2, = 1,所以 = √ 2 + 2 = √ 5,
4
所以左焦点 ( √ 5, 0),
| √ 5×√ 5 0 3| 4√ 6
所以 到直线 的距离 = = ;
3
√ 2 2 (√ 5) +( 1)
(2)设 ( 1, 1), ( 2, 2), ( 0, 0),
= 3
联立{ 2 ,整理可得:(1 4 2) 2 + 24 40 = 0,
2 = 1
4
= 242 2 + 4 × 40(1 4 2
5
) > 0,可得 2 < ,
2
24 40 12
可得 1 + 2 = 2, 1 2 = 2,可得 0 = 2,
1 4 1 4 1 4
2 2
(24 ) +4×40×(1 4 )
所以| | = √ 1 + 2 √ ( 1 + )22 4 2 21 2 = √ 1 + √ 2 2 = √ 1 +
(1 4 )
√ 2 2 (24 ) +4×40×(1 4 )
2 ,
|1 4 |
2
双曲线 的渐近线方程为 2 = 0,即渐近线的方程为 ± 2 = 0,
4
设 ( 3, 3), ( 4, 4),
= 3 6
联立直线 与双曲线 的渐近线方程,{ ,可得 = ,
+ 2 = 0 3 1+2
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6
同理可得 4 = , 1 2
6 6 24
可得 3 + 4 = + = 2, 1+2 1 2 1 4
+ 12
所以 的中点横坐标为 3 4 = 2 = 0, 2 1 4
所以线段 的中点 也是 的中点,
所以 , 为线段 的两个三等分点,即| | = 3| |,
√ 2 2 2 2 (24 ) +4×36×(1 4 ) √ (24 ) +4×40×(1 4 )
所以√ 1 + 2 2 = 3√ 1 +
2 2 ,
|1 4 | |1 4 |
3
解得 = ± ,符合 > 0,
2
3
所以存在 = ± ,使得 、 是线段 的两个三等分点.
2
20.【答案】解:(1)可求出 是首项为2,公比为2的等比数列,通项公式为 = 2 .
因为 + 中存在 = + ,即2 = 2 ,所以存在 = ,所以具有性质 ,

(2)因为 + < 对任意正整数 成立,所以 > ( + )




令 =
2 1 5 5
= 2 ( < 2, = 0),易求 + < ,所以 ≥ ; 2 2 2
(3)从216、315、414、615这四个数中任选两个,共有以下6种情况:
216,315;216,414;216,615;315,414;315,615;414,615.
14
①对于216
4
,414 因为 1216 = 2 为正整数,可以认为{ }是等比数列中的项, = 2
1
,首项的最小值为1.
2
下面说明此数列具有性质 :
216 = 17,414 = 229,任取 , ∈ , > ≥ 1,则 = 2 1 2 1 = + 1,
+ 1为正整数,因此此数列具有性质 ;
15
②对于315,615
6
.因为 1515 = 2 为正整数,认为是等比数列{ }中的项, = 3
15 2 1 ,
3
首项的最小值为315,下面说明此数列不具有性质 :
315 = ,615 = ,若 30 151 16 = 1 16 = 3 2 不为等比数列{ }中的项,因此此数列不具有性质 ,
同理可得216,315;216,615;315,414;414,615每组所在等比数列{ }不具有“性质 .
1 1
21.【答案】解:(1)因为 ( , 0), ( , 0),所以 = ( + , 0), = ( + , 0),
2 2

3
=
1 3 1
可得 + = ( + ),解得 = 2,
5 2 5 2
√ 3 2 3
因为离心率为 ,则 2 = ,又
2 = 2 + 2,则 2 = 1,
2 4
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2
所以椭圆 的方程为: + 2 = 1;
4
1
(2)由题可知:点 ( , 0)在椭圆内,直线 与椭圆必相交,
2
且直线 的斜率可以不存在,但不为0,
1
设直线 的方程为 = ,设点 ( , ), ( , ),
2 1 1 2 2
1
=
2 15
联立方程{ 2 ,消去 可得(
2 + 4) 2 = 0,

+ 2
4
= 1
4
则 = 2 + 15( 2 + 4) > 0,
15 15
由根与系数的关系可得: 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ,则 1 2 = ( + ), +4 4( +4) 4 1 2
1 5 15 5
1 1 2 2 ( 2 2) 1 1 2 1 ( 1+ 2) 所以 = = 2 21 = 3 =
4 2 1
15 3 2 1+2 2 ( 1 +2) 2 1 2+ 2 ( 1+ )+ 2 2 4 2 2 2
5
(5 1+3 )= 4 2
5
3 = ,
(5 1+3
3
4 2
)
5 5
即 1 = 2,所以 = ; 3 3
15
(3)由(2)可知: 1 + 2 = 2 , = , +4 1 2 4( 2+1)
1 1
所以| 1 2| = || | | || | 1 2| = √ ( 1 + )22 4 1 2 2 2
2 2
1 15 √ 4 +15 4√ 4 +15 4
= √ ( 22 ) + 2 = 2 = 2 = , 2 +4 +4 +4 (4 +15)+1 √ 1 4 2+15+
√ 4 2+15
因为 2 ≥ 0,则√ 4 2 + 15 ≥ √ 15,
1
因为函数 ′( ) = + 在[√ 15,+∞)上单调递增,

1 1 16√ 15
故√ 4 2 + 15 + ≥ √ 15 + = ,
√ 2 √ 15 15 4 +15
4 √ 15
所以| 1 2| ≤ = ,当且仅当 = 0时,等号成立, 16√ 15 4
15
√ 15
因此,| 1 2|的最大值为 . 4
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