江苏省徐州市多校联考2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省徐州市多校联考 2023-2024 学年高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 14° 16° 76° 16° =( )
1 √ 3 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.已知 = (1,2), = 5，若 ⊥ (2 )，则向量 与向量 的夹角为( )
3
A. B. C. D.
6 4 3 4
3.在△ 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，设向量 = ( + , )， = ( , ).若 // ，
则角 的大小为( )
2
A. B. C. D.
6 3 2 3
4.如图所示，在正方形ABCD中， 为AB的中点， 为CE的中点，则 A F =( )
3 1 1 3 1 3 1
A. A B + A D B. A B + A D C. A B + A D D. A B + A D
4 4 4 4 2 4 2

5.函数 ( ) = sin(2 + )在区间(0,2 )内的零点个数为( )
3
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1
6.已知cos( ) = ，则sin(2 + ) =( )
6 3 6
7 7 2 2
A. B. C. D.
9 9 3 3
1 2
7.在△ 中，若 = ，则△ 的形状为( )
1 2
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
8.如图，已知正方形 的边长为2，若动点 在以 为直径的半圆上(正方形 内
部，含边界)，则 的取值范围为( )
A. (0,4)
B. [0,4]
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C. (0,2)
D. [0,2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 已知 为点 ， ， 所在直线外一点，且 = + 0.4 ，则 = 0.6．
5
B. 已知非零向量 = (1,2), = (1,1)，且 与 + 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是( ,+∞)
3
C. 已知向量 = (2√ 3, 2)， = ( 1, √ 3)，则 在 上的投影向量的坐标为(√ 3, 3)
D. 若点 为△ 中线的交点，则 + + = 0
10.已知 = 2 ，则( )

A. , ∈ (0, )，使得 = 2
2
2 1
B. 若 = ，则sin( ) =
5 5
2 7
C. 若 = ，则cos(2 + 2 ) =
5 25
√ 2
D. 若 ， ∈ (0, )，则tan( )的最大值为
2 4
11.△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为△ 的面积，且 = 2， = 2√ 3 ，下列
选项正确的是( )

A. =
6
B. 若 = 2√ 3，则△ 只有一解
C. 若△ 为锐角三角形，则 取值范围是(2√ 3, 4)
D. 若 为 边上的中点，则 的最大值为2 + √ 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知sin( + ) = 2 ( )，则tan( ) = ______．
2 4
13.圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了
估算圣 索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高约为36 ，在它们之间的地面上
的点 ( , , 三点共线)处测得建筑物顶 、教堂顶 的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶 处测得教堂顶 的
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仰角为15°，则可估算圣 索菲亚教堂的高度 约为______．

14.△ 中，角 ， ， 对边分别为 ， ， ，点 是△ 所在平面内的动点，满足 = + ( +
| |

)( > 0).射线 与边 交于点 .若 + = ， = 2，则角 的值为______，△
| |
面积的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，在平行四边形 中，已知 = 3， = 2，∠ = 120°. (1)求 的模；
1 1
(2)若 = ， = ，求 的值．
3 2
16.(本小题15分)

已知向量 = (2 , √ 3(cos + sin ))， = (cos , sin cos )，且函数 ( ) = ．
2 2 2 2 2 2
2
(1)若 ∈ [0, ]，且 ( ) = ，求 的值；
2 3
1
(2)若将函数 ( )的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，再将所得图像向左平移 个单位，得
2 4
到 ( )的图像，求函数 ( )单调增区间．
17.(本小题15分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + √ 3 = √ 3 ．
(1)求 ；
2 +
(2)求 的最大值．

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18.(本小题17分)
在直角梯形 中，已知 // ， ⊥ ， = 1， = 2， = 3，动点 ， 分别在线段 和
上，线段 和 相交于点 ，且 = ， = (1 ) ， ∈ ．
(1)当 = 0时，求 的值；
2
(2)当 = 时，求 的值；
3
1
(3)求| + |的取值范围．
2
19.(本小题17分)
定义函数 ( ) = + 的“源向量”为 = ( , )，非零向量 = ( , )的“伴随函数”为
( ) = + ，其中 为坐标原点．
(1)若向量 = (1, √ 3)的“伴随函数”为 ( )，求 ( )在 ∈ [0, ]的值域；
(2)若函数 ( ) = √ 3sin( + )的“源向量”为 ，且以 为圆心、| |为半径的圆内切于正△ (顶点
2 2 2
恰好在 轴的正半轴上)，求证： + + 为定值；
(3)在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若函数 ( )的“源向量”为 = (0,1)，且已知 = 8, ( ) =
3
，求| + | 的取值范围．
5
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
3
13.【答案】54
4√ 3
14.【答案】
3 3
2
15.【答案】解：(1)根据题意可得 = ( + )2
2 2
= + + 2 = 9 + 4 + 2 × 3 × 2 × 120° = 7，
∴ 的模为√ 7；
1 1
(2) ∵ = ， = ，
3 2
∴ = ( + ) ( )
= (
1
+
1
) ( )
2 3
1 2 2
=
5

1

3 6 2
1 5 1 1
= × 9 × 3 × 2 × ( ) × 4
3 6 2 2
7
= ．
2

16.【答案】解：(1)因为 = (2 , √ 3(cos + sin ))， = (cos , sin cos )，且函数 ( ) = ，
2 2 2 2 2 2

所以 ( ) = 2 cos √ 3(cos2 sin2 ) = √ 3 = 2 ( )，
2 2 2 2 3
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2 1
因为 ( ) = 2 ( ) = ，所以sin( ) = ，
3 3 3 3

因为 ∈ [0, ]，所以 ∈ [ , ]，
2 3 3 6
2√ 2
所以cos( ) = √ 1 sin2( ) = ，
3 3 3
1 1 2√ 2 √ 3 1+2√ 6
所以 = sin[( ) + ] = sin( )cos + cos( )sin = × + × = ；
3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 6
1
(2)函数 ( )的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，得 = 2 (2 )，
2 3

再将所得图像向左平移 个单位，得 ( ) = 2 [2( + ) ] = 2 (2 + )；
4 4 3 6

令2 ≤ 2 + ≤ 2 + ， ∈ ，解得 ≤ ≤ + , ∈ ，
2 6 2 3 6

所以函数 ( )的单调增区间为[ , + ]， ∈ ．
3 6
17.【答案】解：(1)由 + √ 3 = √ 3 及正弦定理得， + √ 3 = √ 3 ，
因为 = sin( + ) = + ，
所以 + √ 3 = √ 3 + √ 3 ，
即 = √ 3 ，
因为 ≠ 0，所以 = √ 3 ，
所以 = √ 3，

又 ∈ (0, )，所以 = ．
3

(2)由正弦定理知， = = ，


2 + 2 + 2 +sin( + )3 2√ 3 √ 3 1所以 = = = (2 + + ) sin 3 2 2
3
2√ 3 5 √ 3 2√ 21 √ 3
= ( + ) = sin( + )，其中 = (| | < )，
3 2 2 3 5 2
2 + 2√ 21
所以当 + = 时， 的最大值为 ．
2 3

18.【答案】解：(1)在直角梯形 中，易得∠ = , = 2√ 2，
4
∵ = 0，∴ ⊥ ，
3√ 2
∴△ 为等腰直角三角形，∴ = ，
2
3
故 = = ；
4
(2) = + = + = + ( +

+ ) = + +
3
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2
= (1 ) + ，
3
2 5 2
当 = 时， = + ，
3 9 3
设 = ,
5 2
= ，则 = = + ，
9 3
= + = + = + ( + ) = + (1 ) ，
5
=
∵ ,
5
不共线，∴ {9 ,解得 = ，
2 1 6
= 1
3
5
即 = ；
6
1 2
(3) ∵ = + = + (1 ) = + , = + (1 ) ，
3 3
1∴ +
5 2
= (1 + ) + ( ) ，
2 2 6 3
|
1 5 2 5 2
+ |2 = (1 + )2 | |2 + ( )2 | |2 = 4(1 + )2 + 9( )2
2 2 6 3 2 6 3
5 41
= ( + 2)2 + ( 2 )2 = 5 2 6 + ，
2 4
由题意知， ∈ [0,1]，
3 3 3 41 13√ 5
∴当 = 时，| + |取到最小值√ 5 × ( )2 6 × + = ，
5 5 5 4 10
√ 41当 = 0时，| + |取到最大值 ，
2
1 13√ 5 √ 41
∴ | + |的取值范围是[ , ]．
2 10 2
19.【答案】(1)解：由题意可知，函数 ( )的“源向量”为 = (1,√ 3)，

∴伴随函数 ( ) = + √ 3 = 2 ( + )，
3
4
∵ ∈ [0, ]，∴ ≤ + ≤ ，
3 3 3
4
则当 + = 时， ( )
3 2
= 2，当 + = 时， ( ) = √ 3，
3 3
∴函数 ( )的值域为[ √ 3, 2]；
(2)证明：∵ ( ) = √ 3sin( + ) = √ 3 + √ 3
∴ ( )的源向量为 = (√ 3 , √ 3 )，
∵圆 内切于正△ ，∴ + + = 0 ，
又∵ | | = √ 3，∴ | | = | | = | | = 2√ 3
2 2 2
+ + = ( + )2 + ( + )2 + ( + )2
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2 2 2 2
= 3 + 2 ( + + ) + + + = 9 + 36 = 45；
(3)解：∵函数 ( )的“源向量”为 = (0,1)，∴ ( ) = ，
3
则 ( ) = = , = 8，
5
2 2
则| + | = √
6 3
+ + 2 = √ 2 + 2 + ，
5 5
又 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2
6 2 2 6 12 = 64，即 + + = 64 + ，
5 5 5
12 3 3 3∴ | + | = √ 64 + = 2√ 16 + ，
5 5 5 5
6 4
∵ 64 = 2 + 2 ≥ ，即 ≤ 80，当且仅当 = 时取等号，
5 5
又∵当顶点 无限接近顶点 时，边 无限接近0，即 无限接近0，
3 3
∴ 0 < ≤ 80，令 = √ 16 + ，则 = 2 16，
5 5
从而| + | = 2 ( 2 16) = 2 + 2 + 16，其中4 < ≤ 8，
∴ | + | = 2 + 2 + 16 ∈ [ 32,8),
即| + | 的取值范围[ 32,8)．
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