人教版九年级上学期数学第二十五章质量检测（高阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2024九上·西湖月考）从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024九上·武昌月考）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（ ）．
A． B． C． D．
4．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
5．（2015九上·新泰竞赛）准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是（ ）.
A． B． C． D．
6．（2024九上·顺德期中）如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·慈溪期中）下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等'
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
C．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品
D．经过任意三点一定可以画一个圆.
8．（2024九上·鄞州期中）笔简中有9支型号、颜色完全相同的铅管，将它们逐一标上1-9的号码，若从管简中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·淳安期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一事件结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是4
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀
10．（2024九上·嘉兴期末）如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形，若，，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
11．（2024九上·垫江县期中）将6名志愿者分到3个不同的社区，每个社区2名志愿者，则甲、乙两名志愿者分到同一个社区的概率为 ．
12．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为
13．（2017九上·邯郸期末）如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2024九上·重庆市期中）从，1，3，这4个数中任选两个数，分别记作，，那么点在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 ．
15．（2024九上·沙坪坝月考）从数，，1，2中任取一个数记为k，再从余下的3个数中，任取一个数记为b，则一次函数不经过第一象限的概率是．
三、解答题（共75分）
16．（2024九上·甘州月考）如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率；
（2）求出点（x，y）落在函数y＝ 图象上的概率．
17．（2024九上·南山期中） 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测. 请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；(解答时可用A表示1件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品)
（2）在这4件产品中加入若干件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出大约加入多少件合格品
18．（2024九上·龙岗期中）化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 ；
（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
19．（2024九上·杭州期中）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容，某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图.
某校学生睡眠时间各类别人数情况统计图
学生类别 学生平均每天睡眠时间x（单位：小时）
A 7≤x<7.5
B 7.5≤x<8
C 8≤x<8.5
D 8.5≤x<9
E x≥9
（1）扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为 .
（2）请补全条形统计图.
（3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生，从这4人中随机抽取2人进行电话问访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率.
20．（2024九上·衡阳期中）（1）已知关于x的一元二次方程，若，是原方程的两根，且，求的值．
（2）从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，求关于x的方程有实数根的概率．
21．（2024九上·九江期中）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是_____；
（2）体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
22．（2020九上·东莞期末）某校要求九年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解九年级学生参加球类活动的整体情况，现以九年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：
九年级2班参加球类活动人数统计表
项目 篮球 足球 乒乓球 排球 羽毛球
人数 a 6 4 8 6
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）该校九年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人；
（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有2位男同学（A，B）和2位女同学（C，D），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
23．（2023九上·温州期末）某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录．
特级柑橘的售价(元/千克) 14 15 16 17 18
特级柑橘的日销售量(千克) 1000 850 900 850 800
（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为 千克；
（2）按此市场调节的规律来看，若特级柑橘的售价定为16.5元每千克，估计日销售量，并说明理由．
（3）考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘只售完好的柑橘，且售价保持不变，求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】概率公式
2．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理；几何概率
【解析】【解答】解：如图所示：
设小正方形的边长为x，
∵a＝2，b＝3，
∴AB＝2+3＝5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2
∴（2+x）2+（x+3）2＝52
∴x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去）
∴
∴，阴影面积
∴针尖落在阴影域内的概率＝
故答案为：C．
【分析】设小正方形的边长为x，再利用勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，即（2+x）2+（x+3）2＝52，求出x的值，再分别求出BC和AC的长，最后利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
4．【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】设分成的四张纸片中，1和2为一张；3和4为一张；如图：
那么共有12种情况，正好能拼成的占4种，概率是 .
答案为：A．
【分析】把4张扑克符号化，即1、2拼为一张，3、4 拼为一张，任意抽取两张，有12种机会均等的情况，正好一张的有4种情况，代入概率公式，可得概率为.
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
7．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故本选项不符合题意，A错误；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故本选项不符合题意，B错误；
C、100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本选项符合题意，C正确；
D、只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，如果三点在同一条直线上，则无法画出一个圆，是随机事件，故本选项不符合题意，D错误．
故答案为：C．
【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，利用必然事件的定义可判断A选项；随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，利用必然事件的定义可判断A选项；100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，利用必然事件的定义可判断A选项；只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，如果三点在同一条直线上，则无法画出一个圆，利用必然事件的定义可判断A选项；
8．【答案】C
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
9．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故A选项不符合题意，A错误；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意，B错误．
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故C选项符合题意，C正确；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故D选项不符合题意，D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率.利用概率计算公式可得：从中任取一球是黄球的概率为，据此可判断A选项；利用概率计算公式可得：从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，据此可判断B选项；利用概率计算公式可得：向上的面点数是4的概率为，据此可判断C选项；利用概率计算公式可得：小明随机出的是“剪刀“的概率为，据此可判断D选项；
10．【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意4个小三角形都是全等的直角三角形，AF=4，BF=3，
∴AB=5，EF=1.
∴正方形ABCD的面积是25，正方形EFGH的面积是1，
故弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为.
故答案为：D.
【分析】根据题意，4个全等的直角三角形面积相等，据此可求出正方形ABCD和正方形EFGH的面积，再求概率即可.
11．【答案】
【知识点】概率公式
12．【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
当a=0时，x=1，是分式方程的根，且是正整数解；
当a=-3时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
当a=1时，x=2，不是分式方程的根，是增根；
当a=5时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
∴ 使关于x的分式方程有正整数解的概率为： .
故答案为： .
【分析】先将a作为字母系数解分式方程，再分别求出a=-3、0、1、5的时候方程的根，并找出使分式方程有正整数解的情况数，从而根据概率公式即可算出答案.
13．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】由题意，中间正方形中直角三角形的面积为
，
∴阴影部分的面积为1-
，
∴点P落在图中阴影部分的概率是
．
【分析】由图知，AB与CD 相交于O，O为CD中点，也为正方形边长MF的中点，OF：BE=1：2，可以计算出直角三角形的面积为
，套概率公式可算出阴影概率.
14．【答案】
【知识点】概率公式；点的坐标与象限的关系
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象、性质与系数的关系
16．【答案】（1）（2）
【知识点】用列表法或树状图法求概率
17．【答案】（1）（1）画出树状图.
由树状图可知，共有12种等可能的情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
由此可得P(抽到的都是合格品)==.
（2）设加入x件合格品，
∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
根据题意得=0.95，解得x=16.
经检验，x=16是原分式方程的根.
答：大约加入16件合格品.
【知识点】分式方程的实际应用；频数与频率；概率公式
【解析】【分析】本题考查概率的求法，用频率估计概率.
（1）先利用树状图表示出所有可能出现的情况，找出抽到的都是合格品的情况，再利用古典型概率的计算公式进行计算可求出答案；
（2）设加入x件合格品，根据频率估计出抽到合格品的概率为：抽到合格品的概率等于0.95，再利用概率公式列出关于x的方程：=0.95，解方程可求出x的值，再进行检验，进而可求出答案.
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】用列表法或树状图法求概率
19．【答案】（1）
（2）D类的人数为5 (人)，
补全条形统计图，如图，
（3）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种.
∴.
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解析】 (人)；
故答案为：
【分析】(1)根据B类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数； 用360度乘以C类的人数占比即可求出C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数；
(2)根据(1)所求，求出D类的人数即可补全统计图；
(3)先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
20．【答案】（1），（2）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；用列表法或树状图法求概率
21．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果数为2，
体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案为：；
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）先画出树状图，由树状图的信息可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果有2种，然后由概率公式求解即可．
（1）解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果数为2，
体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
22．【答案】（1）16；20
（2）16；20；90
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选出一男一女组成混合双打组合的结果数为8，
所以恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率＝ ＝ ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为6÷15%＝40（人），
所以a＝40×40%＝16，
b%＝ ×100%＝20%，则b＝20；（2）600×15%＝90，
所以估计该年级参加足球活动的人数约90人；
故答案为16；20；90；
【分析】（1）用参加足球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算参加篮球的人数和参加排球人数的百分比得到a、b的值；
（2）用600乘以样本中参加足球人数的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出选出一男一女组成混合双打组合的结果数，然后根据概率公式计算．
23．【答案】（1）9000
（2）解：设特级柑橘的售价为 元 / 千克，日销售量是 千克，
由表格可知， 是 的一次函数，设 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
，
当 时， ，
特级柑橘的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克；
（3）解：∵12天内售完这批特级柑橘，
，
解得 ，
设该公司每日销售该特级柑橘的利润为 元，
根据题意得： ，
， ，
当 时， 取最大值，最大值为 元 ，
答：该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润是6750元
【知识点】一次函数的实际应用；利用频率估计概率；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由图可知，完好的柑橘的总重量为 （千克），
故答案为：9000；
【分析】（1）由统计图可得柑橘损坏率在0.1左右波动，并且波动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，进而根据柑橘损坏率可得答案；
（2）由待定系数法得到日销售量y与销售单价x的函数关系式，再令单价为16.5即可求得答案；
（3）由12天内售完这批特级柑橘，可得特级柑橘的售价x≤19，设该公司每日销售该特级柑橘的利润为W元，根据每天的销售数量乘以当天每千克柑橘的利润=总利润建立出函数关系式，进而根据二次函数性质即可求出答案．
1 / 1人教版九年级上学期数学第二十五章质量检测（高阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2024九上·西湖月考）从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
2．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
3．（2024九上·武昌月考）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理；几何概率
【解析】【解答】解：如图所示：
设小正方形的边长为x，
∵a＝2，b＝3，
∴AB＝2+3＝5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2
∴（2+x）2+（x+3）2＝52
∴x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去）
∴
∴，阴影面积
∴针尖落在阴影域内的概率＝
故答案为：C．
【分析】设小正方形的边长为x，再利用勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，即（2+x）2+（x+3）2＝52，求出x的值，再分别求出BC和AC的长，最后利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
4．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
5．（2015九上·新泰竞赛）准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】设分成的四张纸片中，1和2为一张；3和4为一张；如图：
那么共有12种情况，正好能拼成的占4种，概率是 .
答案为：A．
【分析】把4张扑克符号化，即1、2拼为一张，3、4 拼为一张，任意抽取两张，有12种机会均等的情况，正好一张的有4种情况，代入概率公式，可得概率为.
6．（2024九上·顺德期中）如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
7．（2024九上·慈溪期中）下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等'
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
C．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品
D．经过任意三点一定可以画一个圆.
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故本选项不符合题意，A错误；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故本选项不符合题意，B错误；
C、100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本选项符合题意，C正确；
D、只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，如果三点在同一条直线上，则无法画出一个圆，是随机事件，故本选项不符合题意，D错误．
故答案为：C．
【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，利用必然事件的定义可判断A选项；随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，利用必然事件的定义可判断A选项；100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，利用必然事件的定义可判断A选项；只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，如果三点在同一条直线上，则无法画出一个圆，利用必然事件的定义可判断A选项；
8．（2024九上·鄞州期中）笔简中有9支型号、颜色完全相同的铅管，将它们逐一标上1-9的号码，若从管简中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
9．（2024九上·淳安期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一事件结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是4
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故A选项不符合题意，A错误；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意，B错误．
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故C选项符合题意，C正确；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故D选项不符合题意，D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率.利用概率计算公式可得：从中任取一球是黄球的概率为，据此可判断A选项；利用概率计算公式可得：从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，据此可判断B选项；利用概率计算公式可得：向上的面点数是4的概率为，据此可判断C选项；利用概率计算公式可得：小明随机出的是“剪刀“的概率为，据此可判断D选项；
10．（2024九上·嘉兴期末）如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形，若，，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意4个小三角形都是全等的直角三角形，AF=4，BF=3，
∴AB=5，EF=1.
∴正方形ABCD的面积是25，正方形EFGH的面积是1，
故弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为.
故答案为：D.
【分析】根据题意，4个全等的直角三角形面积相等，据此可求出正方形ABCD和正方形EFGH的面积，再求概率即可.
二、填空题（每题3分）
11．（2024九上·垫江县期中）将6名志愿者分到3个不同的社区，每个社区2名志愿者，则甲、乙两名志愿者分到同一个社区的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
12．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为
【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
当a=0时，x=1，是分式方程的根，且是正整数解；
当a=-3时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
当a=1时，x=2，不是分式方程的根，是增根；
当a=5时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
∴ 使关于x的分式方程有正整数解的概率为： .
故答案为： .
【分析】先将a作为字母系数解分式方程，再分别求出a=-3、0、1、5的时候方程的根，并找出使分式方程有正整数解的情况数，从而根据概率公式即可算出答案.
13．（2017九上·邯郸期末）如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】由题意，中间正方形中直角三角形的面积为
，
∴阴影部分的面积为1-
，
∴点P落在图中阴影部分的概率是
．
【分析】由图知，AB与CD 相交于O，O为CD中点，也为正方形边长MF的中点，OF：BE=1：2，可以计算出直角三角形的面积为
，套概率公式可算出阴影概率.
14．（2024九上·重庆市期中）从，1，3，这4个数中任选两个数，分别记作，，那么点在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式；点的坐标与象限的关系
15．（2024九上·沙坪坝月考）从数，，1，2中任取一个数记为k，再从余下的3个数中，任取一个数记为b，则一次函数不经过第一象限的概率是．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象、性质与系数的关系
三、解答题（共75分）
16．（2024九上·甘州月考）如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率；
（2）求出点（x，y）落在函数y＝ 图象上的概率．
【答案】（1）（2）
【知识点】用列表法或树状图法求概率
17．（2024九上·南山期中） 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测. 请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；(解答时可用A表示1件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品)
（2）在这4件产品中加入若干件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出大约加入多少件合格品
【答案】（1）（1）画出树状图.
由树状图可知，共有12种等可能的情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
由此可得P(抽到的都是合格品)==.
（2）设加入x件合格品，
∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
根据题意得=0.95，解得x=16.
经检验，x=16是原分式方程的根.
答：大约加入16件合格品.
【知识点】分式方程的实际应用；频数与频率；概率公式
【解析】【分析】本题考查概率的求法，用频率估计概率.
（1）先利用树状图表示出所有可能出现的情况，找出抽到的都是合格品的情况，再利用古典型概率的计算公式进行计算可求出答案；
（2）设加入x件合格品，根据频率估计出抽到合格品的概率为：抽到合格品的概率等于0.95，再利用概率公式列出关于x的方程：=0.95，解方程可求出x的值，再进行检验，进而可求出答案.
18．（2024九上·龙岗期中）化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 ；
（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
【答案】（1）
（2）
【知识点】用列表法或树状图法求概率
19．（2024九上·杭州期中）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容，某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图.
某校学生睡眠时间各类别人数情况统计图
学生类别 学生平均每天睡眠时间x（单位：小时）
A 7≤x<7.5
B 7.5≤x<8
C 8≤x<8.5
D 8.5≤x<9
E x≥9
（1）扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为 .
（2）请补全条形统计图.
（3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生，从这4人中随机抽取2人进行电话问访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率.
【答案】（1）
（2）D类的人数为5 (人)，
补全条形统计图，如图，
（3）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种.
∴.
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解析】 (人)；
故答案为：
【分析】(1)根据B类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数； 用360度乘以C类的人数占比即可求出C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数；
(2)根据(1)所求，求出D类的人数即可补全统计图；
(3)先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
20．（2024九上·衡阳期中）（1）已知关于x的一元二次方程，若，是原方程的两根，且，求的值．
（2）从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，求关于x的方程有实数根的概率．
【答案】（1），（2）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；用列表法或树状图法求概率
21．（2024九上·九江期中）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是_____；
（2）体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果数为2，
体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案为：；
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）先画出树状图，由树状图的信息可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果有2种，然后由概率公式求解即可．
（1）解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果数为2，
体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
22．（2020九上·东莞期末）某校要求九年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解九年级学生参加球类活动的整体情况，现以九年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：
九年级2班参加球类活动人数统计表
项目 篮球 足球 乒乓球 排球 羽毛球
人数 a 6 4 8 6
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）该校九年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人；
（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有2位男同学（A，B）和2位女同学（C，D），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
【答案】（1）16；20
（2）16；20；90
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选出一男一女组成混合双打组合的结果数为8，
所以恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率＝ ＝ ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为6÷15%＝40（人），
所以a＝40×40%＝16，
b%＝ ×100%＝20%，则b＝20；（2）600×15%＝90，
所以估计该年级参加足球活动的人数约90人；
故答案为16；20；90；
【分析】（1）用参加足球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算参加篮球的人数和参加排球人数的百分比得到a、b的值；
（2）用600乘以样本中参加足球人数的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出选出一男一女组成混合双打组合的结果数，然后根据概率公式计算．
23．（2023九上·温州期末）某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录．
特级柑橘的售价(元/千克) 14 15 16 17 18
特级柑橘的日销售量(千克) 1000 850 900 850 800
（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为 千克；
（2）按此市场调节的规律来看，若特级柑橘的售价定为16.5元每千克，估计日销售量，并说明理由．
（3）考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘只售完好的柑橘，且售价保持不变，求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
【答案】（1）9000
（2）解：设特级柑橘的售价为 元 / 千克，日销售量是 千克，
由表格可知， 是 的一次函数，设 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
，
当 时， ，
特级柑橘的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克；
（3）解：∵12天内售完这批特级柑橘，
，
解得 ，
设该公司每日销售该特级柑橘的利润为 元，
根据题意得： ，
， ，
当 时， 取最大值，最大值为 元 ，
答：该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润是6750元
【知识点】一次函数的实际应用；利用频率估计概率；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由图可知，完好的柑橘的总重量为 （千克），
故答案为：9000；
【分析】（1）由统计图可得柑橘损坏率在0.1左右波动，并且波动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，进而根据柑橘损坏率可得答案；
（2）由待定系数法得到日销售量y与销售单价x的函数关系式，再令单价为16.5即可求得答案；
（3）由12天内售完这批特级柑橘，可得特级柑橘的售价x≤19，设该公司每日销售该特级柑橘的利润为W元，根据每天的销售数量乘以当天每千克柑橘的利润=总利润建立出函数关系式，进而根据二次函数性质即可求出答案．
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