山东省德州市优高联盟九校2024-2025学年高三上学期1月联考试题 数学（PDF版，含答案）

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德州市优高联盟九校联考数学试题
考试时间：120 分钟； 2025 年 1 月
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题（每小题 5 分，共 8 个小题，总分 40 分）
1．已知集合 A {x∣2 x 2 3},B x∣x 2k 1,k N* ，则 A B （ ）
A． 1,3,5 B． 3,5 C． 3,5,7 D． 5,7,9
2．“数列 an 为等差数列” 是 “ a3 a9 2a6 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知函数 f x sinx与 g x cosx的图象分别向右平移 个单位长度和 个单位长度后，所得图象
重合，则（ ）
π
A． 2kπ k Z B． 2kπ π k Z
2 2
C． 2kπ
π
k π Z D． 2kπ k Z
2 2
4．某科学兴趣小组的同学认为生物都由蛋白质构成，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某
病毒的成活率与温度的关系，病毒数量 y(个 )与温度 x ℃ 的部分数据如下表，由表中数据算得经验回
归方程 y b x a 中的b 1，预测当温度为 22℃时，病毒数量为（ ）
温度 x /℃ 4 8 10 18
病毒数量 y /个 30 22 18 14
A．10 B．9 C．8 D．7
5．如图所示，点 F 是抛物线 y2 4x的焦点，点 A,B 2分别在抛物线 y2 4x及圆 x 1 y2 16的实线
部分上运动，且 总是平行于 x轴，则 FAB的周长的取值范围是（ ）
A. 8,10 B． 5,8
C． 10,12 D． 8,10
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6．2025年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共 7天．某单位安排 7位员工值班，每人值班 1
天，每天安排 1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不
同的安排方案共有（ ）
A．1440种 B．1360种
C．1128种 D．1282种
7．已知点 A 2,0 ,B 0, 2 ，点 P在圆C : (x 2)2 y2 2上运动， PAB的最大值为 ，最小值为 ，
则sin sin （ ）
A 3 B 5 C 6 D 7． ． ． ．
2 2 2 2
x2 y28．设双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的左 右焦点分别为 F1,F2，左 右顶点为 A1, A2 ，已知 P为双曲线a b
π
一条渐近线上一点，若 F1PF2 3 A1PA2 ，则双曲线C的离心率 e （ ）2
A． 13 B．2 3 C． 11 D． 10
二、多选题（每小题 6 分，共 3 个小题，总分 18 分）
9．已知复数 z满足 z2 z 1 0，则下列结论正确的是（ ）
A． z 1 B． z2 z
C． z2 z 0 D． z3 1
10．有 6个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一
次取出的球的数字是偶数”，事件 B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的
数字之和是偶数”，则（ ）
A．A与 B为互斥事件 B． B与C相互独立
C． P(A B)
3 2
D． P(C | B)
5 5
x
11．已知定义在 , 0 0, 上的函数 f x 满足 f xy f 2 f y ，且当 x 1时， f x 0，
y
则下列结论正确的是（ ）
f x 1A． 是偶函数 B． f x f 0
x
C． f a f b 2 f ab D． f x 在 , 0 上单调递增
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第 II 卷（非选择题）
三、填空题（每小题 5 分，共 3 个小题，总分 15 分）
12 2．某流水线上生产的一批零件，其规格指标 X可以看作一个随机变量，且 X ~ N 98, ，对于 X 100
的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为 0.05，现从这批零件中随机抽取 500个，用 Y表示这 500
个零件的规格指标 X位于区间 96,100 的个数，则随机变量 Y的方差是 .
6
13 ． x
2 x 2 的展开式中含 x的项的系数为 .
x2 x
14．如图，曲线C : (x2 y2 )3 32x2 y2是四叶玫瑰花瓣曲线，若点 (x, y)
是曲线C上一点，则 x2 y2 的最大值为 ，玫瑰花瓣及其边
界内包含整点（横 纵坐标均为整数）的个数为 .
四、解答题（共 5 个大题，总分 77 分）
15．（13分）

在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m 2sinA, 3sinA 3cosA ，
n cosA,cosA sinA ， f A m n A π , 2π， . 6 3
(1) 求函数 f A 的最大值；
(2) 若 f A 0， a 3， sinB sinC 6 ，求△ABC的面积.
2
16．（15分）
统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为 2020年— 2024年我
国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中 2020年— 2024年对应的代码依次为1—5 .
年份代码 x 1 2 3 4 5
市场规模 y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36
5
y 5.16， v 1.68， vi yi 45.10，其中 vi xi
i 1
参考公式：对于一组数据 v1, y1 、 v2 , y2 、……、 vn , yn ，其经验回归直线 y bv a的斜率和截距的
n
vi yi nvy
最小二乘估计公式分别为b i 1n ， a 1.83 .2
v2i nv
i 1
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(1) 由上表数据可知，若用函数模型 y b x a拟合 y与 x的关系，请估计 2028年我国在线直播生活购
物用户的规模（结果精确到 0.01）；
(2) 已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率 P，现从我国在线直播购物用户
中随机抽取5人，记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为 X ，若P X 5 P X 4 ，求 X 的
数学期望和方差.
17．（15分）
x2 y2 5
已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左、右顶点分别为 A1, A2 ，其离心率 e ，过点 B(2,0)的直a b 3
l C P,Q A , A l | PQ | 4 5线 与椭圆 交于 两点（异于 1 2 ），当直线 的斜率不存在时， .
3
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 若直线 A1P与 A2Q交于点S，试问：点S是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不
是，请说明理由.
18．（17分）
x 1
已知函数 f x alnx .
x 1
(1) 当 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
(2) g x a x2 1 lnx (x 1)2若 a 0 有 3个零点x1， x2， x3，其中 x1 x2 x3 .
求实数 a的取值范围.
19．（17分）
*
已知项数为m m N ,m 2 a a a a的数列 an 为递增数列，且满足 a *n N ，若b 1 2 m nn ，m 1
b N*且 n ，则称 bn 为 an 的“伴随数列”.
(1) 数列 4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由;
(2) 若 bn 为 an 的“伴随数列”，证明：b1 b2 bm；
(3) 已知数列 an 存在“伴随数列” bn ，且a1 1,am 2025，求m的最大值.
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德州市优高联盟九校联考数学试题
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C B D C D A AC BD ABD
8
2 2 b
．【解】因双曲线 : 2 2 = 1 > 0, > 0 的渐近线为 y x，焦点 F1( c,0),F2 (c,0) ， a
P b由双曲线的对称性不妨设 x0 , x

0 (x0 0)，
a
F π因为 1PF2 ，所以PF1 PF2，所以 k2 PF
k
1 PF
1
2 ，
b x b x 2 2
所以 a 0 a 0 b 1，所以
2
2 x0 c
2 x2 c0 , 2 x
2
0 c
2 ,x0 a ，
x0 c x0 c a a
所以 PA F F 3 A PA
π π
2 1 2，又 1 2 ，所以 PA A ，2 1 2 3
PA2 b
所以 tan
π
3
A A 2a 3 ，所以. b 2 3a，两边平方得b
2 12a2，
1 2
所以 c2
c
a2 12a2 ，所以 c2 13a2，所以 13，a
所以双曲线C的离心率 e 13 . 故选：A.
11．ABD 【解】令 y 1, f x f x 2 f 1 , f 1 0，再令 x 1，得 f y 1 f 2 f y （1），
y
即 f y 1 f 1 0，所以 f x f 0，故 B正确；
y x
令 x 1，得 f y f 1 2f y ，
y
1
由（1）得 f y f 2f y , f y f y ，故 A正确；
y
令 a xy,b
y y
, y2 ab, y ab , f xy f
x
2 f y 2 f y ，
x
即 f a f b 2 f ab ，故 C不正确；


x f x1 f x2 f x1 f
1
2 f
x1
x x
0
设 x1 x2 0，则 1 1 则由B,C的分析及题意可得 2 2 ，
x2
即 f x1 f x2 , f x 在 0, + ∞ 上单调递减，又 f x 是偶函数，
答案第 1页，共 5页
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∴ 在 ,0 上单调递增，故 D正确，
12． 45 13．120 14． 8 17
x2 214【解】由基本不等式 (x2 y2)3 32x2 y2 32 ( y )2 8(x2 y2)2 ，解得 x2 y2 8，
2
当且仅当 x2 y2时取等号，所以 x2 y2 的最大值为 8；
在圆 x2 y2 8及其内部的整点横向最上面一排有 ( 2, 2), ( 1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2)，共 5排；
纵向每一列也有 5个点，有 5列，共 25个，验证知只有坐标轴上除原点外的 8个点不在花瓣内，所以
共有 17个. 故答案为：8；17
15．【解】（1） f (A) m n 2sin Acos A ( 3 sin A 3 cos A)(cos A sin A)
sin 2A 3(cos2A sin2A) sin 2A 3 cos 2A 2sin 2A
π
............3
3
A π因为 ,
2π 2A π 2π , 5π ，所以 ，.............4 6 3 3 3 3
2A π 2π π所以当 ，即 A 时，................5 f A 3有最大值
3 3 6 2 3
；...........6
2
（2）因为 f A 0，所以 2sin π 2A 0 ，所以 2A
π
kπ,k Z，
3 3
π 2π π
因为 A , ，所以 A ，.............8 6 3 3
b c a 3
2 b
由正弦定理 sinB sinC sin A 3 ，所以sin B ， sinC
c
，
2 2
2
sin B sinC 6 b c 6又因为 ，所以 ，得b c 6 ，..............10
2 2 2 2
由余弦定理有：a2 b2 c2 2bccos A，即3 (b c) 2 3bc，所以bc 1，..............12
1 1 3 3
所以 S△ABC bc sinA 1 ．..................132 2 2 4
16．【解】（1）设 v x，则 y bv a，..........1
5 5
因为 y 5.16，........2 v 1.68，.............3 v2i xi 15 ...........4
i 1 i 1
5
vi yi 5v y
b i 1 45.10 5 1.68 5.16所以， 5 1.98，......................62
v2 5v 15 5 1.68
2
i
i 1
所以， y与 x的拟合函数关系式为 y 1.98 x 1.83
当 x 9时， y 1.98 3 1.83 7.77，
则估计2028年我国在线直播生活购物用户的规模为7.77亿人....................7
答案第 2页，共 5页
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（2）由题意知 X B 5,P ，..................8
所以，P X 4 C45P4 1 P 5P4 1 P ，...............9
P X 5 C5P 55 ，.............10
由P X 5 P X 4 4 5，可得5P 1 P P ，...............11
因为0 P 1，解得P
5
，...................13
6
E X 5 5 25 D X 5 5 1 5 25所以， ，..........14 ..............156 6 6 6 36
17．解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为 c，
c 5

a 3 a 3
4 20
由题意得： 2 2 1 b 2a 9b ...................3
a2 b2 c2 c 5


x2 y2
所以椭圆C的方程为： 1 ......................4
9 4
(2)设直线 l的方程为 x my 2， P x1, y1 ，Q x2 , y2
x my 2

联立 x2 y2 4m2 9 y2 16my 20 0 ...................6
1 9 4
y y 16m 1 2

4m2y , y 9由 1 2是上方程的两根可知： 20 ....................7 y1 y 2

4m2 9
4my1 y2 5 y1 y2 ......................8
y
直线 A1P
1
的方程为： y x 3 x 3 ...................91
y y2直线 A2Q的方程为： x 3 x2 3
..................10
得： x2 3 y1 x 3 x1 3 y2 x 3
5y2 y1 x 3 2my1 y2 5y2 y1 ...............12
把4my1 y2 5 y1 y2 代入得：
5y2 y1 x 3
5 y 5 1 y
9
2 5y2 y

1 5y y 2 2 2 2 1 ................14
9 9
即 x ，故点S恒在定直线 x 上．...................15
2 2
答案第 3页，共 5页
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x 1 2
18．（1）当时 a 1， f x lnx ， f x 1 2 x 1 2 2 ，.............3x 1 x (x 1) x(x 1)
则 f x 0在 0, 恒成立，所以 f x 在 0, 单调递增，
故 f x 的单调递增区间为 0, ，无单调递减区间.........................4
（2） g x a x 2 1 lnx (x x 1 1)2 x 2 1 a lnx x 2 1 f x ，..............5
x 1
g 1 0， f 1 0，则 f x 除 1外还有两个零点...........................6
ax2 2a 2
f x a 2 x a 2 2 ，..........................7x (x 1) x(x 1)
令h x ax2 2a 2 x a( x 0)，.............8
当 a 0时，h x 0在 0, 恒成立，则 f x 0，所以 f x 在 0, 单调递减，不满足，舍去；......9
当 a 0时，要是 f x 除 1外还有两个零点，则 f x 不单调，
1
所以 h x 存在两个零点，所以Δ (2a 2)2 4a2 0，解得0 a ，.............11
2
当0 a
1
时，设 h x 2的两个零点为m,n(m n)，则m n 2 0，mn 1，
2 a
所以 0 m 1 n ...................12
当 x 0,m 时， h x 0， f x 0，则 f x 单调递增；
当 x m,n 时， h x 0， f x 0，则 f x 单调递减；
当 x n, 时， h x 0， f x 0，则 f x 单调递增；..................13
又 f 1 0，所以 f m 0， f n 0，
1 1
1 a
f e a 1 e 1 2e
a 1
而 1 1 0 ，且

a ，.....................14
1
e 1
e a e a 1
1
1 a 1
f e 1 2 ea 1 1 1 0，且 ea 1，.....................15
ea 1 ea 1
1 1
所以存在 x a1 e ,m ， x3 n, ea ，使得 f x1 f x3 0，

即 g x a x2 1 lnx (x 1)2 a 0 有 3个零点x x 1 x1， 2 ， 3 .............................16
1
综上，实数 a的取值范围为 0, .....................17
2
答案第 4页，共 5页
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4 10 16 19 4 4 10 16 19 1019 ．【解】（1）因为b1 15， b

2 13 ......14 1 4 1
4 10 16 19 16 4 10 16 19 19
b 11 b 3 ， 4 10，......... 24 1 4 1
所以数列 4,10,16,19存在“伴随数列”，且其“伴随数列”为15,13,11,10 ...........3
（2）因为数列 an 存在“伴随数列” bn ，所以 an 1 an 0 1 n m 1 ，..............4
且bn ,b
*
n 1 N
a1 a1 ··· am an a1 a1 ··· am a∴bn b n 1
an 1 an *
n 1 N ，...............6m 1 m 1 m 1
∴bn bn 1 0，即bn bn 1，∴b1 b2 bm ．...........7
（3）①因为a1 1,am 2025，其中m≥ 2
当m 2时， a1 1,a2 2025，.........8
1 2025b 1 1 20252025 b 2025有 1 ， 2 1均为正整数...............92 1 2 1
即当m 2时，数列1, 2025存在“伴随数列”： 2025,1
因此m的最小值为 2 ...............10
②一方面，由（2）知， an 1 an m 1 bn bn 1 m 1,
于是 am 1 am am 1 am 1 am 2 a 2 a1 m 1 m 1 m 1 m 1 2
m 1 2所以 2024 m 45 m N * ....................13
另一方面，由数列 an 存在“伴随数列 bn ，知
a1 a1 ··· am a1 a1 ab b 1 ··· am am am a1 2024 N*1 m ..........15m 1 m 1 m 1 m 1
所以m 1是 2024的正约数，而 2024 2 2 2 11 23，
若m 1的最大值为 44 ,即 m= 45，取 an 44n 43 n 1, 2, , 44 ， a45 2025，........16
此时 an 中的每一项除以 44都余 1，
a a ··· a a1 a2 ··· a故 45 a n *1 2 45 an是 44的正整数倍即bn N ，44
故m的最大值为 45 ..............................17
答案第 5页，共 5页
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