【提升版】北师大版数学八年级上册7.1为什么要证明 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（平行公理及推论++++++++++ ）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．过一点有一条直线平行于已知直线
C．和已知直线垂直的直线有且只有一条
D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、应为两点之间线段最短，故本选项错误；
B、应为过直线外一点有且只有一条一条直线平行于已知直线，故本选项错误；
C、应为在同一平面内，和已知直线垂直的直线有且只有一条，故本选项错误；
D、在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线正确，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据线段的性质，平行公理垂线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直
B．有且只有一条直线垂直于已知直线
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和平行，垂直是相交的一种情况，故A错误；
B、一条直线的垂线有无数条，故B错误；
C、根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故C正确；
D、点到直线的距离指的是线段的长度，而非垂线段，故D错误．
故选C．
【分析】同一平面内，两条直线可能相交或者平行，一条直线的垂线有很多条，根据平行公理的推论，两条直线都与第三条直线平行则这两条直线平行，点到直线的距离指的是线段的长度．
3．下列说法：
①若a与c相交，则a与b相交；
②若a∥b，b∥c，那么a∥c；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
其中错误的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①若a与c相交，则a与b不一定相交；故错误；
②若a∥b，b∥c，那么a∥c；故正确；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；故错误；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、两种；故错误．
故选A．
【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答．
4．（2024八下·咸丰期中）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
【答案】C
【知识点】勾股数；归纳与类比
阅卷人 二、填空题
得分
5．（华师大版数学七年级上册第五章第二节5.2.1平行线同步练习）若AB∥CD，AB∥EF，则
【答案】CD∥EF
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：根据平行线的传递性，得CD∥EF．
故答案为CD∥EF．
【分析】根据平行线的传递性即可解答．
6．已知直线a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是
【答案】平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：若直线直线a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是平行，
故答案为：平行．
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．
7．证明命题“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的角”按题意画出图形，请结合图形，写出“已知”和“求证”。
已知：如图， 是 的外角．
求证： ，
【答案】∠ABD；△ABC；∠ABD>∠A；∠ABD>∠C
【知识点】三角形的外角性质；证明过程
【解析】【解答】解： 已知：如图，∠ABD是△ABC的外角．
求证：∠ABD>∠A ， ∠ABD>∠C .
故答案为： ∠ABD，△ABC ， ∠ABD>∠A ， ∠ABD>∠C .
【分析】证明的解题步骤
1）按题意画出图形；
2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
3）在“证明”中写出推理过程.
8．结合图形，写出两个能判定直线a∥b的已知和求证．
已知： 或 ．
求证： ．
【答案】；(答案不唯一)；
【知识点】平行线的判定；证明过程
【解析】【解答】解：
已知∠1＝∠3或∠4＝∠5或∠2+∠4＝180°，
求证：a∥b。
故答案为： ∠4＝∠5（或∠2+∠4＝180°），
【分析】内错角相等（或同位角相等，或同旁内角互补）两直线平行.
阅卷人 三、解答题
得分
9．如图，直线a，点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
【答案】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：
如图，∵b∥a，c∥a，
∴c∥b．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】根据平行公理及推论进行解答．
10．（2024七下·龙岗期中）如图所示，．
（1）利用尺规作图：过点E作，使，交直线CD于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）试说明：．
【答案】（1）解：如下图所示，即为所求．
（2）证明：∵，∴．∵，∴．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】(1)根据平行的性质，过点E作一个与A相等的同位角即可.
(2)由两组平行线，根据平行线的性质证明角度相等.
11．已知：如图，PA⊥AB于点A，PB交AB于点B，∠P=50°．
求证：∠α=40°．
【答案】证明： ∵PA⊥AB于点A，
∴ ∠ PAB=90 °．
∴∠P+∠ABP=90 °．
∵ ∠P=50°，
∴50°+∠ABP=90 °．解得∠ABP=40°.
∴∠α=∠PBA=40°.
【知识点】三角形内角和定理；证明过程
【解析】【分析】先利用垂直的意义，得出∠ PAB=90 °．再利用直角三角形的两个锐角互余，结合∠P，求出∠ABP，最后根据对顶角相等求得∠α=40°．
12．（2023八上·浦北期中）拓广探索：证明：等边对等角，请根据题意画出图形，然后用数学语言叙述命题，并写出证明过程．
【答案】解：已知：△ABC中，AB＝AC，
求证：∠B＝∠C．
证明：如图，过A作AD⊥BC，垂足为点D，
∵AB＝AC，AD＝AD，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠B＝∠C．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；证明过程
【解析】【分析】本题考查命题的证明.先将命题翻译成数学语言：已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C．证明过程中先作图，再作辅助线：过A作AD⊥BC，垂足为点D，所以 AB＝AC，AD＝AD， 据此可推断Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），进而证明结论.
13．已知：如图，∠ACG是△ABC的一个外角，∠ABC，∠ACG的平分线交于点E，AB，EC的延长线交于点D，BE与AC交于点F.
（1）求证：∠AFE=∠A+∠D+∠E.
（2）若∠D=30°，∠A=30°，∠AFE=75°，求∠E的度数.
【答案】（1）证明：如图：
∵∠AFE是△FCE的外角，
∴∠AFE=∠FCE+∠E.
∵∠FCE是△ACD的外角，
∴∠FCE=∠A+∠D，
∴∠AFE=∠A+∠D+∠E.
（2）解：∵∠AFE=∠A+∠D+∠E， ∠D=30°，∠A=30°，∠AFE=75°，
∴∠E=∠AFE－∠A－∠D=15°.
【知识点】三角形的外角性质；证明过程
【解析】【分析】（1）利用外角的性质得∠AFE=∠FCE+∠E和∠FCE=∠A+∠D，代入即可得到结论；
（2）根据（1）的结论，代入数据，即可得到答案.
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册7.1为什么要证明 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（平行公理及推论++++++++++ ）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．过一点有一条直线平行于已知直线
C．和已知直线垂直的直线有且只有一条
D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
2．下列说法中正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直
B．有且只有一条直线垂直于已知直线
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
3．下列说法：
①若a与c相交，则a与b相交；
②若a∥b，b∥c，那么a∥c；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
其中错误的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．（2024八下·咸丰期中）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
阅卷人 二、填空题
得分
5．（华师大版数学七年级上册第五章第二节5.2.1平行线同步练习）若AB∥CD，AB∥EF，则
6．已知直线a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是
7．证明命题“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的角”按题意画出图形，请结合图形，写出“已知”和“求证”。
已知：如图， 是 的外角．
求证： ，
8．结合图形，写出两个能判定直线a∥b的已知和求证．
已知： 或 ．
求证： ．
阅卷人 三、解答题
得分
9．如图，直线a，点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
10．（2024七下·龙岗期中）如图所示，．
（1）利用尺规作图：过点E作，使，交直线CD于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）试说明：．
11．已知：如图，PA⊥AB于点A，PB交AB于点B，∠P=50°．
求证：∠α=40°．
12．（2023八上·浦北期中）拓广探索：证明：等边对等角，请根据题意画出图形，然后用数学语言叙述命题，并写出证明过程．
13．已知：如图，∠ACG是△ABC的一个外角，∠ABC，∠ACG的平分线交于点E，AB，EC的延长线交于点D，BE与AC交于点F.
（1）求证：∠AFE=∠A+∠D+∠E.
（2）若∠D=30°，∠A=30°，∠AFE=75°，求∠E的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、应为两点之间线段最短，故本选项错误；
B、应为过直线外一点有且只有一条一条直线平行于已知直线，故本选项错误；
C、应为在同一平面内，和已知直线垂直的直线有且只有一条，故本选项错误；
D、在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线正确，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据线段的性质，平行公理垂线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
2．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和平行，垂直是相交的一种情况，故A错误；
B、一条直线的垂线有无数条，故B错误；
C、根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故C正确；
D、点到直线的距离指的是线段的长度，而非垂线段，故D错误．
故选C．
【分析】同一平面内，两条直线可能相交或者平行，一条直线的垂线有很多条，根据平行公理的推论，两条直线都与第三条直线平行则这两条直线平行，点到直线的距离指的是线段的长度．
3．【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①若a与c相交，则a与b不一定相交；故错误；
②若a∥b，b∥c，那么a∥c；故正确；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；故错误；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、两种；故错误．
故选A．
【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答．
4．【答案】C
【知识点】勾股数；归纳与类比
5．【答案】CD∥EF
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：根据平行线的传递性，得CD∥EF．
故答案为CD∥EF．
【分析】根据平行线的传递性即可解答．
6．【答案】平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：若直线直线a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是平行，
故答案为：平行．
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．
7．【答案】∠ABD；△ABC；∠ABD>∠A；∠ABD>∠C
【知识点】三角形的外角性质；证明过程
【解析】【解答】解： 已知：如图，∠ABD是△ABC的外角．
求证：∠ABD>∠A ， ∠ABD>∠C .
故答案为： ∠ABD，△ABC ， ∠ABD>∠A ， ∠ABD>∠C .
【分析】证明的解题步骤
1）按题意画出图形；
2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
3）在“证明”中写出推理过程.
8．【答案】；(答案不唯一)；
【知识点】平行线的判定；证明过程
【解析】【解答】解：
已知∠1＝∠3或∠4＝∠5或∠2+∠4＝180°，
求证：a∥b。
故答案为： ∠4＝∠5（或∠2+∠4＝180°），
【分析】内错角相等（或同位角相等，或同旁内角互补）两直线平行.
9．【答案】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：
如图，∵b∥a，c∥a，
∴c∥b．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】根据平行公理及推论进行解答．
10．【答案】（1）解：如下图所示，即为所求．
（2）证明：∵，∴．∵，∴．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】(1)根据平行的性质，过点E作一个与A相等的同位角即可.
(2)由两组平行线，根据平行线的性质证明角度相等.
11．【答案】证明： ∵PA⊥AB于点A，
∴ ∠ PAB=90 °．
∴∠P+∠ABP=90 °．
∵ ∠P=50°，
∴50°+∠ABP=90 °．解得∠ABP=40°.
∴∠α=∠PBA=40°.
【知识点】三角形内角和定理；证明过程
【解析】【分析】先利用垂直的意义，得出∠ PAB=90 °．再利用直角三角形的两个锐角互余，结合∠P，求出∠ABP，最后根据对顶角相等求得∠α=40°．
12．【答案】解：已知：△ABC中，AB＝AC，
求证：∠B＝∠C．
证明：如图，过A作AD⊥BC，垂足为点D，
∵AB＝AC，AD＝AD，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠B＝∠C．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；证明过程
【解析】【分析】本题考查命题的证明.先将命题翻译成数学语言：已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C．证明过程中先作图，再作辅助线：过A作AD⊥BC，垂足为点D，所以 AB＝AC，AD＝AD， 据此可推断Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），进而证明结论.
13．【答案】（1）证明：如图：
∵∠AFE是△FCE的外角，
∴∠AFE=∠FCE+∠E.
∵∠FCE是△ACD的外角，
∴∠FCE=∠A+∠D，
∴∠AFE=∠A+∠D+∠E.
（2）解：∵∠AFE=∠A+∠D+∠E， ∠D=30°，∠A=30°，∠AFE=75°，
∴∠E=∠AFE－∠A－∠D=15°.
【知识点】三角形的外角性质；证明过程
【解析】【分析】（1）利用外角的性质得∠AFE=∠FCE+∠E和∠FCE=∠A+∠D，代入即可得到结论；
（2）根据（1）的结论，代入数据，即可得到答案.
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