【培优版】北师大版数学八年级上册 7.1为什么要证明 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2021八上·顺德期末）下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023七上·黔江期中）将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是( )
A．36 B．74 C．90 D．92
3．（2023七下·灵山期末）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示123的有序数对是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022八上·唐县期末）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
5．（2022七上·黄石港期中）对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则（ ）
A．28144 B．28134 C．28133 D．28131
6．（2024九下·北碚月考）将1，2，3 … n这n个数据顺时针排成一圈，从1开始，顺时针方向采取保留一个划去一个的规则，直至只留下一个数，将这个数记为．当n取不同值时，可得到对应情况下的，并将所有形成一组新数据．下列说法中，正确的个数为（ ）
①无论n为多少，一定为奇数；
②；
③记的前n项和为，则；
④当n从1取到18时，将形成的新数据依次顺时针排成一圈，从开始，再进行同一种操作，最后留下来的数为3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题
得分
7．在同一平面内，直线AB与CD没有交点，那么AB与CD的位置关系是 ．
8．（2018七下·深圳期中）如图，已知 ， 80 ， 120 ，则 °.
9．（华师大版数学七年级上册第五章第二节5.2.1平行线同步练习）下列各种说法中错误的是 ．（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③两条直线没有交点，则这两条直线平行；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
10．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是
11．（2024七下·醴陵期末）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第6个图中共有点的个数是 ．
阅卷人 三、解答题
得分
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为D，E，F.猜想PD，PE，BF之间的数量关系，并证明你的猜想.
13．（2023八下·自贡期末）已知的两条直角边及斜边长分别为，斜边上的高是．
求证：．
14．（2022八上·泗县期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例：
特例：
特例：
特例： 填写一个符合上述运算特征的例子；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简： .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故答案为：A．
【分析】利用面积法只能勾股定理即可得解。
2．【答案】D
【知识点】探索图形规律；归纳与类比
3．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；竞赛类试题；归纳与类比
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；猜想与证明
5．【答案】A
【知识点】探索规律-计数类规律；探索规律-等式类规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：由题意得：
，，，，
，，
可得：1在千位上出现1000次，在百位上出现200次，在十位上出现210次，个位上出现202次，
2在千位上出现21次，在百位上出现200次，在十位上出现201次，个位上出现202次，
3在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次，
4在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次，
，
9在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次，
，
故选：A．
【分析】根据题意，写出这列数的前几项的值，从而发现数字的变化特点，找出数字之间的运算规律，利用规律，即可求得所求式子的值，得到答案．
6．【答案】D
【知识点】归纳与类比
【解析】【解答】解：当时，剩下，
当n=2时，剩下1，当n=3时，剩下3，
当n=4时，剩下1，当n=5时，剩下3，当n=6时，剩下5，当n=7时，剩下7，
当n=8时，剩下1，当n=9时，剩下3，当n=10时，剩下5，当n=11时，剩下7，当n=12时，剩下9，
归纳可得：第一圈划去的都是偶数，故划到最后剩下的一定是奇数，故①符合题意；
当时，第一圈把偶数都划去了，剩下8个数，再划一圈后剩下4个数，再划一圈剩下2个数，1和9，保留第1个划去第2个，故最后剩下1，
∴，故②符合题意；
由题目定义的方法可得：
，
∴，故③符合题意；
当n从1取到18时，a18=5，将形成的新数据依次顺时针排成一圈，如图：
从开始，再进行同一种操作，最后留下来的数是，而，故④符合题意；
故答案为：D
【分析】先分别求解当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当n=10时，剩下5，当n=11时，剩下7，当n=12时，剩下9，... 再进一步推理探究并对每个选项进行判断即可．
7．【答案】平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵在同一平面内，直线AB与CD没有交点，
∴AB与CD的位置关系是平行．
故答案为：平行．
【分析】根据同一平面内直线的位置关系得出即可．
8．【答案】20
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE
∴∠EDC+∠DCE=180°
∵∠CDE=120°
∴∠DCF=180°-120°=60°
∵AB∥ED，DE∥CF
∴AB∥CF
∴∠ABC=∠BCF=80°
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-60°=20°
故答案为：20
【分析】过点C作CF∥DE，根据平行线的性质，求出∠DCF的度数，再根据平行线的传递性，可证得AB∥CF，就可求出∠BCF的度数，然后根据∠BCD=∠BCF-∠DCF，就可解决问题。
9．【答案】①②③
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故该项错误；
②在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线段，原说法错误，故该项错误；
③没有说明在同一平面内，故本项错误；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，说法正确，故本项正确；
故答案为：①②③．
【分析】根据平行线的定义，结合各项进行判断即可．
10．【答案】③⑤
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误；
③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确；
④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确；
⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，故本小题错误．
综上所述，正确的有③⑤．
故答案为③⑤．
【分析】利用同位角的性质、垂线的性质、垂直的定义，两直线的位置关系以及平行公理的推论等知识分别判断后即可确定正确的答案．
11．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；归纳与类比
12．【答案】证明：BF=PD+PE.理由如下：
连结AP，如图：
∵
∴
∵AB=AC，
∴
∴BF=PD+PE.
【知识点】三角形的面积；证明过程
【解析】【分析】连接AP，可得把面积分别表示出来，再根据AB=AC，即可得到结论.
13．【答案】证明：如下图，
∵的两条直角边及斜边长分别为，斜边上的高是，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
即．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；证明过程
【解析】【分析】本题考查直角三角形的勾股定理和面积计算方法的证明，巧用面积的计算方法是关键。
14．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：等式左边右边，
故猜想成立
（4）
【知识点】二次根式的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）解：特例
特例
特例
用含的式子表示为：，
故答案为：；
（4）解：
.
故答案为：.
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
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阅卷人 一、选择题
得分
1．（2021八上·顺德期末）下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故答案为：A．
【分析】利用面积法只能勾股定理即可得解。
2．（2023七上·黔江期中）将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是( )
A．36 B．74 C．90 D．92
【答案】D
【知识点】探索图形规律；归纳与类比
3．（2023七下·灵山期末）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示123的有序数对是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；竞赛类试题；归纳与类比
4．（2022八上·唐县期末）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；猜想与证明
5．（2022七上·黄石港期中）对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则（ ）
A．28144 B．28134 C．28133 D．28131
【答案】A
【知识点】探索规律-计数类规律；探索规律-等式类规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：由题意得：
，，，，
，，
可得：1在千位上出现1000次，在百位上出现200次，在十位上出现210次，个位上出现202次，
2在千位上出现21次，在百位上出现200次，在十位上出现201次，个位上出现202次，
3在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次，
4在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次，
，
9在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次，
，
故选：A．
【分析】根据题意，写出这列数的前几项的值，从而发现数字的变化特点，找出数字之间的运算规律，利用规律，即可求得所求式子的值，得到答案．
6．（2024九下·北碚月考）将1，2，3 … n这n个数据顺时针排成一圈，从1开始，顺时针方向采取保留一个划去一个的规则，直至只留下一个数，将这个数记为．当n取不同值时，可得到对应情况下的，并将所有形成一组新数据．下列说法中，正确的个数为（ ）
①无论n为多少，一定为奇数；
②；
③记的前n项和为，则；
④当n从1取到18时，将形成的新数据依次顺时针排成一圈，从开始，再进行同一种操作，最后留下来的数为3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】归纳与类比
【解析】【解答】解：当时，剩下，
当n=2时，剩下1，当n=3时，剩下3，
当n=4时，剩下1，当n=5时，剩下3，当n=6时，剩下5，当n=7时，剩下7，
当n=8时，剩下1，当n=9时，剩下3，当n=10时，剩下5，当n=11时，剩下7，当n=12时，剩下9，
归纳可得：第一圈划去的都是偶数，故划到最后剩下的一定是奇数，故①符合题意；
当时，第一圈把偶数都划去了，剩下8个数，再划一圈后剩下4个数，再划一圈剩下2个数，1和9，保留第1个划去第2个，故最后剩下1，
∴，故②符合题意；
由题目定义的方法可得：
，
∴，故③符合题意；
当n从1取到18时，a18=5，将形成的新数据依次顺时针排成一圈，如图：
从开始，再进行同一种操作，最后留下来的数是，而，故④符合题意；
故答案为：D
【分析】先分别求解当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当n=10时，剩下5，当n=11时，剩下7，当n=12时，剩下9，... 再进一步推理探究并对每个选项进行判断即可．
阅卷人 二、填空题
得分
7．在同一平面内，直线AB与CD没有交点，那么AB与CD的位置关系是 ．
【答案】平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵在同一平面内，直线AB与CD没有交点，
∴AB与CD的位置关系是平行．
故答案为：平行．
【分析】根据同一平面内直线的位置关系得出即可．
8．（2018七下·深圳期中）如图，已知 ， 80 ， 120 ，则 °.
【答案】20
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE
∴∠EDC+∠DCE=180°
∵∠CDE=120°
∴∠DCF=180°-120°=60°
∵AB∥ED，DE∥CF
∴AB∥CF
∴∠ABC=∠BCF=80°
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-60°=20°
故答案为：20
【分析】过点C作CF∥DE，根据平行线的性质，求出∠DCF的度数，再根据平行线的传递性，可证得AB∥CF，就可求出∠BCF的度数，然后根据∠BCD=∠BCF-∠DCF，就可解决问题。
9．（华师大版数学七年级上册第五章第二节5.2.1平行线同步练习）下列各种说法中错误的是 ．（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③两条直线没有交点，则这两条直线平行；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
【答案】①②③
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故该项错误；
②在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线段，原说法错误，故该项错误；
③没有说明在同一平面内，故本项错误；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，说法正确，故本项正确；
故答案为：①②③．
【分析】根据平行线的定义，结合各项进行判断即可．
10．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是
【答案】③⑤
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误；
③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确；
④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确；
⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，故本小题错误．
综上所述，正确的有③⑤．
故答案为③⑤．
【分析】利用同位角的性质、垂线的性质、垂直的定义，两直线的位置关系以及平行公理的推论等知识分别判断后即可确定正确的答案．
11．（2024七下·醴陵期末）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第6个图中共有点的个数是 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；归纳与类比
阅卷人 三、解答题
得分
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为D，E，F.猜想PD，PE，BF之间的数量关系，并证明你的猜想.
【答案】证明：BF=PD+PE.理由如下：
连结AP，如图：
∵
∴
∵AB=AC，
∴
∴BF=PD+PE.
【知识点】三角形的面积；证明过程
【解析】【分析】连接AP，可得把面积分别表示出来，再根据AB=AC，即可得到结论.
13．（2023八下·自贡期末）已知的两条直角边及斜边长分别为，斜边上的高是．
求证：．
【答案】证明：如下图，
∵的两条直角边及斜边长分别为，斜边上的高是，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
即．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；证明过程
【解析】【分析】本题考查直角三角形的勾股定理和面积计算方法的证明，巧用面积的计算方法是关键。
14．（2022八上·泗县期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例：
特例：
特例：
特例： 填写一个符合上述运算特征的例子；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简： .
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：等式左边右边，
故猜想成立
（4）
【知识点】二次根式的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）解：特例
特例
特例
用含的式子表示为：，
故答案为：；
（4）解：
.
故答案为：.
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
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