【培优版】北师大版数学八年级上册7.2定义与命题 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2019七下·博白期末）在下列命题中，为真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是锐角 B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补 D．邻补角是互补的
2．（2024八上·瑞安期中）要判定命题“若∠A60°，∠B为锐角，则∠A+∠B＜90°”是假命题，下列∠B的度数能作为反例的是（ ）
A．100° B．45° C．20° D．15°
3．已知下列句子：
①延长线段AB到点C，使BC=AB；
②同角或等角的余角相等；
③连结点A，B；
④相等的角是对顶角；
⑤作一条直线与已知直线平行.
其中是命题的个数是( ).
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
5．（2023八上·榆林期末）对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024七下·潮安期末）下列语句：①的相反数是；②两直线平行，内错角互补；③垂线段最短；④若，则，其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024七下·湖北期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④两直线平行，同位角相等．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2024八上·义乌月考）关于命题：若，则．下列说法正确的是（ ）
A．它是真命题 B．它是假命题，反例
C．它是假命题，反例 D．它是假命题，反例
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024七下·石家庄期末）命题“若中的，则是直角三角形”是 .（填“真命题”或“假命题”）
10．（2020七下·朝阳期末）可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝ ．
11．（2023七上·蒙城期中）下列说法：①的绝对值是；②若两数互为相反数，则它们的商是；③如果两数的和与乘积都是正数，那么这两个数都是正数；④如果多项式的值为，则单项式的值为4，其中正确的为 ．（填序号）
12．（2023七下·乌鲁木齐期末）用一组m，n的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是 ， ．
阅卷人 三、解答题
得分
13．（新人教版数学七年级下册 第五章相交线与平行线5.3.2命题、定理、证明同步练习）已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
14．（2023八上·兴县期中）阅读与思考
提出命题 如果一个角的两边与另一角的两边互相垂直，那么这两个角相等
⑴判断真假 这个命题是 ▲ 命题（填“真”或“假”）
⑵求证过程 ①若是真命题，请证明； ②若是假命题，请举出一个反例 （要求画出相应的图形，并用文字语言或符号语言叙述所举的反例）
⑶结论应用 若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的2倍少，则这两个角的度数分别为 ▲ （直接写出结果）
15．（2021七下·昌平期末）（概念学习）定义：对于一个三位的自然数 ，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数 为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且 ， ，2为整数；
643不是“好数”，因为 ， 的商不是整数．
（1）（初步探究）
自然数312，675，981，802是“好数”的为 ；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
（3）（深入思考）
求同时满足下列条件的“好数”：
①百位数字比十位数字大5；
②百位数字与十位数字之和等于个位数字．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两个锐角的和可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角，故A不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故C不符合题意；
D，邻补角的两个角是补角，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据两个锐角的和不一定是锐角，可对A作出判断；利用相等的角不一定是对顶角，可对B作出判断；同旁内角互补的前提条件是两直线平行，可对C作出判断；根据邻补角一定是互补的角，可对D作出判断。
2．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假；角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：证明命题“若∠A=60°，∠B为锐角，则∠A+∠B<90°是假命题，
∠B的度数能作为反例的是45°，
故答案选：B.
【分析】举例要满足条件，而不满足结论，从而可得答案.
3．【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：① 延长线段AB到点C，使BC=AB；没有条件和结论， 不是命题，故不符合题意；
② 同角或等角的余角相等； 条件：两个角是同角或等角的余角；结论：这两个角相等.故是命题，符合题意；
③连接点A，B；没有条件和结论， 不是命题，故不符合题意；
④ 相等的角是对顶角； 条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.故是命题，符合题意；
⑤ 作一条直线与已知直线平行；没有条件和结论， 不是命题，故不符合题意；
共有2个命题.
故答案为：A
【分析】数学中的命题一般由条件和结论两部分组成，据此判断每个句子，能写出条件和结论的是命题，写不出条件和结论的不是命题.
4．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有一个顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错误；
B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误；
C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似，所以C选项错误；
D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，所以D选项正确．
故选D．
【分析】根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断；利用矩形和正方形不相似可对C进行判断．
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵若a＞b，a2＞b2的反例，
∴要满足a，b是负数，且|a|＜|b|，
∴当a=-1，b=-2时，此时a2＜b2.
故答案为：D
【分析】利用已知若a＞b，a2＞b2的反例，因此要满足a，b是负数，且|a|＜|b|，观察各选项中的a，b的值，可得答案.
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；真命题与假命题；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：①的相反数是，是真命题；
②两直线平行，内错角相等，是假命题；
③垂线段最短，是真命题；
④若，则，是真命题；
故答案为：C
【分析】根据相反数的定义即可判断①，根据平行线的性质即可判断②，根据垂线段即可判断③，根据算术平方根结合题意即可判断④，进而根据真假命题的定义即可求解.
7．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】对于①，正确应为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，当点在直线上时，两线重合，故①错误，不符合题意；
对于②， 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确，符合题意；
对于③，正确应为，在同一平面内， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可以正方体的棱作反例，故③错误，不符合题意；
对于④， 两直线平行，同位角相等，故③正确，符合题意；
综上，正确应为②④；
故选：C.
【分析】根据基本严格定义对命题逐一判断即可.
8．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：若，当时，则；
当时，则；
当时，
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的性质判断即可.
9．【答案】真命题
【知识点】三角形内角和定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，
则，
∴△ABC是直角三角形，
所以命题正确，是真命题.
故答案为：真命题；
【分析】利用三角形的内角和定理求出最大的角，再判断三角形的形状即可。
10．【答案】14（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝14，
故答案为：14（答案不唯一）．
【分析】m的取值满足是2的倍数但不是4的倍数，据此解答即可．
11．【答案】③
【知识点】多项式的概念；有理数的乘法法则；真命题与假命题；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：①∵-1的绝对值是1，∴①不正确；
②∵0的相反数是0，∴它们的商不是-1，∴②不正确；
③∵如果两数的和与乘积都是正数，那么这两个数都是正数，∴③正确；
④∵，∴，∴，∴④不正确；
综上，正确的结论是③，
故答案为：③.
【分析】利用绝对值的性质、有理数的加法和乘法及多项式的计算方法分析求解即可.
12．【答案】3（答案不唯一）；-3（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若m=3，n=-3，则，
但m≠n，
∴命题"如果，那么"是假命题。
故答案为： 3（答案不唯一） ； -3（答案不唯一） .
【分析】根据反例的要求：举反例m=3，n=-3即可求解.
13．【答案】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，
当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B=∠E，
∴AB∥DE．
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题
【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定分析得出即可．
14．【答案】解：⑴假
⑵反例：如图，和的两边互相垂直，符合条件，由图可知，但，不符合结论.
⑶，或，
【知识点】角的运算；真命题与假命题
【解析】【解答】（3）设一个角的度数为x，则另一个角的度数是2x-30，
根据题意可得：x=2x-30或x+2x-30=180，
解得x=30°或70°，
当x=30°时，另一个角是2x-30=30°；
当x=70°时，另一个角是2x-30=110°；
综上，这两个角分别是，或，.
【分析】（1）利用真假命题的定义分析求解即可；
（2）根据题意作出图象，再利用四边形的内角和求解即可；
（3）分类讨论，再分别利用角的运算求解即可.
15．【答案】（1）312，981
（2）假；真
（3）解：设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.
由题意可得：x+x+5=y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x=1或2，
当x=1时，好数为617，
当x=2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
【知识点】定义新运算；真命题与假命题
【解析】【解答】解：【初步探究】（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1=4，4÷2=2，2为整数；
675不是“好数”，因为6+7=13，13÷5的商不是整数；
981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8=17，17÷1=17，17为整数；
802不是“好数”，因为十位数字是0；
所以“好数”为312，981，
故答案为：312，981；（2）①因为801不是“好数”，所以个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，②各数位上的数字都相同的一个三位自然数，一定满足各数位上的数字不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数2. 所以各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【分析】（1）由好数的定义可求解；
（2）由好数的定义可判断；
（3）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.由题意列出方程，可求解。
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册7.2定义与命题 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2019七下·博白期末）在下列命题中，为真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是锐角 B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补 D．邻补角是互补的
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两个锐角的和可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角，故A不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故C不符合题意；
D，邻补角的两个角是补角，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据两个锐角的和不一定是锐角，可对A作出判断；利用相等的角不一定是对顶角，可对B作出判断；同旁内角互补的前提条件是两直线平行，可对C作出判断；根据邻补角一定是互补的角，可对D作出判断。
2．（2024八上·瑞安期中）要判定命题“若∠A60°，∠B为锐角，则∠A+∠B＜90°”是假命题，下列∠B的度数能作为反例的是（ ）
A．100° B．45° C．20° D．15°
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假；角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：证明命题“若∠A=60°，∠B为锐角，则∠A+∠B<90°是假命题，
∠B的度数能作为反例的是45°，
故答案选：B.
【分析】举例要满足条件，而不满足结论，从而可得答案.
3．已知下列句子：
①延长线段AB到点C，使BC=AB；
②同角或等角的余角相等；
③连结点A，B；
④相等的角是对顶角；
⑤作一条直线与已知直线平行.
其中是命题的个数是( ).
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：① 延长线段AB到点C，使BC=AB；没有条件和结论， 不是命题，故不符合题意；
② 同角或等角的余角相等； 条件：两个角是同角或等角的余角；结论：这两个角相等.故是命题，符合题意；
③连接点A，B；没有条件和结论， 不是命题，故不符合题意；
④ 相等的角是对顶角； 条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.故是命题，符合题意；
⑤ 作一条直线与已知直线平行；没有条件和结论， 不是命题，故不符合题意；
共有2个命题.
故答案为：A
【分析】数学中的命题一般由条件和结论两部分组成，据此判断每个句子，能写出条件和结论的是命题，写不出条件和结论的不是命题.
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有一个顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错误；
B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误；
C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似，所以C选项错误；
D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，所以D选项正确．
故选D．
【分析】根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断；利用矩形和正方形不相似可对C进行判断．
5．（2023八上·榆林期末）对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵若a＞b，a2＞b2的反例，
∴要满足a，b是负数，且|a|＜|b|，
∴当a=-1，b=-2时，此时a2＜b2.
故答案为：D
【分析】利用已知若a＞b，a2＞b2的反例，因此要满足a，b是负数，且|a|＜|b|，观察各选项中的a，b的值，可得答案.
6．（2024七下·潮安期末）下列语句：①的相反数是；②两直线平行，内错角互补；③垂线段最短；④若，则，其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；真命题与假命题；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：①的相反数是，是真命题；
②两直线平行，内错角相等，是假命题；
③垂线段最短，是真命题；
④若，则，是真命题；
故答案为：C
【分析】根据相反数的定义即可判断①，根据平行线的性质即可判断②，根据垂线段即可判断③，根据算术平方根结合题意即可判断④，进而根据真假命题的定义即可求解.
7．（2024七下·湖北期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④两直线平行，同位角相等．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】对于①，正确应为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，当点在直线上时，两线重合，故①错误，不符合题意；
对于②， 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确，符合题意；
对于③，正确应为，在同一平面内， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可以正方体的棱作反例，故③错误，不符合题意；
对于④， 两直线平行，同位角相等，故③正确，符合题意；
综上，正确应为②④；
故选：C.
【分析】根据基本严格定义对命题逐一判断即可.
8．（2024八上·义乌月考）关于命题：若，则．下列说法正确的是（ ）
A．它是真命题 B．它是假命题，反例
C．它是假命题，反例 D．它是假命题，反例
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：若，当时，则；
当时，则；
当时，
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的性质判断即可.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024七下·石家庄期末）命题“若中的，则是直角三角形”是 .（填“真命题”或“假命题”）
【答案】真命题
【知识点】三角形内角和定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，
则，
∴△ABC是直角三角形，
所以命题正确，是真命题.
故答案为：真命题；
【分析】利用三角形的内角和定理求出最大的角，再判断三角形的形状即可。
10．（2020七下·朝阳期末）可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝ ．
【答案】14（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝14，
故答案为：14（答案不唯一）．
【分析】m的取值满足是2的倍数但不是4的倍数，据此解答即可．
11．（2023七上·蒙城期中）下列说法：①的绝对值是；②若两数互为相反数，则它们的商是；③如果两数的和与乘积都是正数，那么这两个数都是正数；④如果多项式的值为，则单项式的值为4，其中正确的为 ．（填序号）
【答案】③
【知识点】多项式的概念；有理数的乘法法则；真命题与假命题；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：①∵-1的绝对值是1，∴①不正确；
②∵0的相反数是0，∴它们的商不是-1，∴②不正确；
③∵如果两数的和与乘积都是正数，那么这两个数都是正数，∴③正确；
④∵，∴，∴，∴④不正确；
综上，正确的结论是③，
故答案为：③.
【分析】利用绝对值的性质、有理数的加法和乘法及多项式的计算方法分析求解即可.
12．（2023七下·乌鲁木齐期末）用一组m，n的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是 ， ．
【答案】3（答案不唯一）；-3（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若m=3，n=-3，则，
但m≠n，
∴命题"如果，那么"是假命题。
故答案为： 3（答案不唯一） ； -3（答案不唯一） .
【分析】根据反例的要求：举反例m=3，n=-3即可求解.
阅卷人 三、解答题
得分
13．（新人教版数学七年级下册 第五章相交线与平行线5.3.2命题、定理、证明同步练习）已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
【答案】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，
当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B=∠E，
∴AB∥DE．
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题
【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定分析得出即可．
14．（2023八上·兴县期中）阅读与思考
提出命题 如果一个角的两边与另一角的两边互相垂直，那么这两个角相等
⑴判断真假 这个命题是 ▲ 命题（填“真”或“假”）
⑵求证过程 ①若是真命题，请证明； ②若是假命题，请举出一个反例 （要求画出相应的图形，并用文字语言或符号语言叙述所举的反例）
⑶结论应用 若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的2倍少，则这两个角的度数分别为 ▲ （直接写出结果）
【答案】解：⑴假
⑵反例：如图，和的两边互相垂直，符合条件，由图可知，但，不符合结论.
⑶，或，
【知识点】角的运算；真命题与假命题
【解析】【解答】（3）设一个角的度数为x，则另一个角的度数是2x-30，
根据题意可得：x=2x-30或x+2x-30=180，
解得x=30°或70°，
当x=30°时，另一个角是2x-30=30°；
当x=70°时，另一个角是2x-30=110°；
综上，这两个角分别是，或，.
【分析】（1）利用真假命题的定义分析求解即可；
（2）根据题意作出图象，再利用四边形的内角和求解即可；
（3）分类讨论，再分别利用角的运算求解即可.
15．（2021七下·昌平期末）（概念学习）定义：对于一个三位的自然数 ，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数 为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且 ， ，2为整数；
643不是“好数”，因为 ， 的商不是整数．
（1）（初步探究）
自然数312，675，981，802是“好数”的为 ；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
（3）（深入思考）
求同时满足下列条件的“好数”：
①百位数字比十位数字大5；
②百位数字与十位数字之和等于个位数字．
【答案】（1）312，981
（2）假；真
（3）解：设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.
由题意可得：x+x+5=y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x=1或2，
当x=1时，好数为617，
当x=2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
【知识点】定义新运算；真命题与假命题
【解析】【解答】解：【初步探究】（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1=4，4÷2=2，2为整数；
675不是“好数”，因为6+7=13，13÷5的商不是整数；
981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8=17，17÷1=17，17为整数；
802不是“好数”，因为十位数字是0；
所以“好数”为312，981，
故答案为：312，981；（2）①因为801不是“好数”，所以个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，②各数位上的数字都相同的一个三位自然数，一定满足各数位上的数字不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数2. 所以各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【分析】（1）由好数的定义可求解；
（2）由好数的定义可判断；
（3）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.由题意列出方程，可求解。
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