单元提优测评卷(二)第二十七章 相似
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)
1如图,四边形ABCD的两条不等长对角线AC,BD相交于点O,且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD=1∶2,则(B)
A.甲、丙相似,乙、丁相似 B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似 D.甲、丙不相似,乙、丁不相似
2两个相似三角形的相似比是1∶4,那么它们的面积比是(C)
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶16 D.1∶
3如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,DE∥BC,若=,那么=(D)
A. B. C. D.
4一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30 cm,40 cm.现要做一个与其相似的三角形木架,如果以60 cm长的木条为其中一边,那么另两边中长度最大的一边最多可达到(C)
A.60 cm B.75 cm C.100 cm D.120 cm
5(2024·凉山州中考)如图,一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,则△A1B1C1的面积是(D)
A.90 cm2 B.135 cm2 C.150 cm2 D.375 cm2
6如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中能判断△ABC∽△AED的是(C)
①∠AED=∠B;②∠ADE=∠C;③=;④=.
A.①③ B.①④ C.①②③ D.①②③④
7如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半,已知BC=6,则EC的长为(B)
A.3 B.3 C.3 D.4
8(2024·山东中考)如图,点E为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为(B)
A. B.3 C. D.4
9(2023·烟台中考)如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为(A)
A.(31,34) B.(31,-34) C.(32,35) D.(32,0)
10(2023·巴中中考)如图,在Rt△ABC中,AB=6 cm,BC=8 cm,D,E分别为AC,BC中点,连接AE,BD相交于点F,点G在CD上,且DG∶GC=1∶2,则四边形DFEG的面积为(B)
A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2
二、填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
11如果=,那么= .
12(2023·临沂中考)如图,三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是 14 .
13(2023·宜宾模拟)将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起,边AD与BC相交于点E,则的值等于 .
14(2023·绥化中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C'的坐标为 (6-2a,-2b) .(结果用含a,b的式子表示)
15如图,小明用相似图形的知识测量旗杆高度,已知小明的眼睛B离地面1.5米,他将3米长的标杆CD竖直放置在身前3米处,即AC=3米,此时小明的眼睛B、标杆的顶端D、旗杆的顶端F在一条直线上,通过计算测得旗杆高度EF为15米,则旗杆和标杆之间的距离CE长 24 米.
16如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3.将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处,连接CE,则CE的长是 .
17如图,点A在反比例函数y=的图象上,经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D,过点A作AB⊥y轴于点B,=,连接BC,若△BCD的面积为1,则k的值为 -3 .
18如图,直线l1∥l2∥l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,
若∠ABC=90°,BD=4,且=,则m+n的最大值为 .
三、解答题(本题共3小题,共38分)
19(12分)如图在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,4),B(6,0).
(1)以原点O为位似中心,在点O的异侧画出△OAB的位似图形△OA1B1,使它与△OAB的相似比是1∶2;
(2)写出点A1,B1的坐标;
(3)若△OAB关于点O的位似图形△OA2B2中,点A的对应点A2的坐标为(-3,-6),则△OA2B2与△OAB的相似比为 .
解:(1)如图,△OA1B1即为所求作.
(2)A1(-1,-2),B1(-3,0).
(3)∵A(2,4),点A的对应点A2的坐标为(-3,-6),∴△OA2B2与△OAB的相似比为3∶2.
答案:3∶2
20(12分)(2023·南通期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥BD,交AB于点E.
(1)求证:△ADE∽△ABD;
解:(1)∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC,∵∠BDE=90°,
∴∠ADE+∠BDC=90°,∵∠CBD+∠BDC=90°,
∴∠CBD=∠ADE,
∴∠ADE=∠ABD,
∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABD;
(2)若AB=10,BE=3AE,求线段AD的长.
解: (2)∵AB=10,BE=3AE,
∴AE=,BE=,
由(1)得△ADE∽△ABD,
∴=,
∴AD2=AB·AE=10×=25,
∴AD=5(负值已舍去).
21(14分)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.
(1)求证:AE=EF+BE;
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,
∴∠DAF+∠ADF=90°=∠DAF+∠BAP,∴∠ADF=∠BAP,
在△ADF和△BAE中,
,
∴△ADF≌△BAE,∴AF=BE,∴AE=EF+AF=BE+EF;
(2)连接BF,若FE=EP,求证:=.
证明: (2)连接BF,如图,
∵FE=EP,BE⊥PF,∴BF=BP,
∵∠ADF=∠BAP,∠DFA=∠ABP,
∴△ADF∽△PAB,
∴=,∴=.单元提优测评卷(二)第二十七章 相似
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)
1如图,四边形ABCD的两条不等长对角线AC,BD相交于点O,且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD=1∶2,则( )
A.甲、丙相似,乙、丁相似 B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似 D.甲、丙不相似,乙、丁不相似
2两个相似三角形的相似比是1∶4,那么它们的面积比是( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶16 D.1∶
3如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,DE∥BC,若=,那么=( )
A. B. C. D.
4一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30 cm,40 cm.现要做一个与其相似的三角形木架,如果以60 cm长的木条为其中一边,那么另两边中长度最大的一边最多可达到( )
A.60 cm B.75 cm C.100 cm D.120 cm
5(2024·凉山州中考)如图,一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,则△A1B1C1的面积是( )
A.90 cm2 B.135 cm2 C.150 cm2 D.375 cm2
6如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中能判断△ABC∽△AED的是( )
①∠AED=∠B;②∠ADE=∠C;③=;④=.
A.①③ B.①④ C.①②③ D.①②③④
7如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半,已知BC=6,则EC的长为( )
A.3 B.3 C.3 D.4
8(2024·山东中考)如图,点E为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为( )
A. B.3 C. D.4
9(2023·烟台中考)如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为( )
A.(31,34) B.(31,-34) C.(32,35) D.(32,0)
10(2023·巴中中考)如图,在Rt△ABC中,AB=6 cm,BC=8 cm,D,E分别为AC,BC中点,连接AE,BD相交于点F,点G在CD上,且DG∶GC=1∶2,则四边形DFEG的面积为( )
A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2
二、填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
11如果=,那么= .
12(2023·临沂中考)如图,三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是 .
13(2023·宜宾模拟)将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起,边AD与BC相交于点E,则的值等于 .
14(2023·绥化中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C'的坐标为 .(结果用含a,b的式子表示)
15如图,小明用相似图形的知识测量旗杆高度,已知小明的眼睛B离地面1.5米,他将3米长的标杆CD竖直放置在身前3米处,即AC=3米,此时小明的眼睛B、标杆的顶端D、旗杆的顶端F在一条直线上,通过计算测得旗杆高度EF为15米,则旗杆和标杆之间的距离CE长 米.
16如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3.将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处,连接CE,则CE的长是 .
17如图,点A在反比例函数y=的图象上,经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D,过点A作AB⊥y轴于点B,=,连接BC,若△BCD的面积为1,则k的值为 .
18如图,直线l1∥l2∥l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,
若∠ABC=90°,BD=4,且=,则m+n的最大值为 .
三、解答题(本题共3小题,共38分)
19(12分)如图在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,4),B(6,0).
(1)以原点O为位似中心,在点O的异侧画出△OAB的位似图形△OA1B1,使它与△OAB的相似比是1∶2;
(2)写出点A1,B1的坐标;
(3)若△OAB关于点O的位似图形△OA2B2中,点A的对应点A2的坐标为(-3,-6),则△OA2B2与△OAB的相似比为 .
20(12分)(2023·南通期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥BD,交AB于点E.
(1)求证:△ADE∽△ABD;
(2)若AB=10,BE=3AE,求线段AD的长.
21(14分)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.
(1)求证:AE=EF+BE;
(2)连接BF,若FE=EP,求证:=.
