第二十八章 锐角三角函数(90分钟 100分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)
1在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则( )
A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B
2如图,河堤横断面的坡比BC∶AC是1∶,AC=6 m.则坡面AB的长度是( )
A.12 m B.6 m C.8 m D.4 m
3某停车场入口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置.已知AO=4米,若栏杆的旋转角∠AOD=31°,则栏杆端点A上升的垂直距离为( )
A.4sin 31°米 B.4cos 31°米
C.4tan 31°米 D.米
4若平行四边形相邻两边的长分别为10和15,它们的夹角为60°,则平行四边形的面积是( )
A.150 B.75 C.9 D.7
5如图,一艘船向东航行,上午8时到达O处,测得一灯塔A在船的北偏东60°方向,且与船相距30海里,上午11时到达B处,测得灯塔在船的正北方向.则这艘船航行的速度为( )
A.45海里/时 B.15海里/时 C.海里/时 D.5海里/时
6如图所示是潜望镜工作原理的平面示意图.一条平行光线l经镜面BC反射到EF后得到光线m,且l∥m.虚线所示为光线反射轨迹.若测得两条平行光线间的距离为,虚线长度为2,则虚线与m所夹钝角的度数为( )
A.110° B.120° C.135° D.150°
7(2024·深圳一模)榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图,在某燕尾榫中,榫槽的横截面ABCD是梯形,其中AD∥BC,AB=DC,燕尾角∠B=α,外口宽AD=a,榫槽深度是b,则它的里口宽BC为( )
A.+a B.+a C.btan α+a D.2btan α+a
8如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴正半轴上,点P(-a,a)(a>0),连接AP交y轴于点B.若AB∶BP=2∶1,则sin∠PAO的值是( )
A. B. C. D.
9(2023·扬州中考)在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是( )
A.1 B.2 C.6 D.8
10如图,相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°,测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30 m;乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50 m,测得山坡DF的坡比i=1∶1.25.若ND=DE,点C,B,E,F在同一水平线上,则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为(参考数据:≈1.41,≈1.73)( )
A.9.0 m B.12.8 m C.13.1 m D.22.7 m
二、填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
11已知在△ABC中,∠C=90°,BC=3,cos B=,那么AB的长是 .
12计算:sin245°+2cos230°= .
13如图,在正方形网格中,△ABC的顶点都在格点上,则cos ∠ABC的值为 .
14如图,某汽车车门的底边长为0.95 m,车门侧开后的最大角度为72°,若将一扇车门侧开,则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是 m.
15如图,某城市公园的雕塑是由3个直径为1 m的圆组成的,则雕塑的最高点到地面的距离为多少 m.
16(2023·黄冈中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为 米.(结果保留根号)
17在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC= .
18如图是某风车示意图,其相同的四个叶片均匀分布,水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻,太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB,此时各叶片影子在点M右侧成线段CD,测得MC=8.5米,CD=13米,垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3,则点O,M之间的距离等于 米.转动时,叶片外端离地面的最大高度等于 米.
三、解答题(本题共4小题,共38分)
19(8分)计算:
(1)2cos 30°-tan 60°+sin 45°cos 45°;
(2)tan245°-2cos 60°+(2-π)0-.
20(8分)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足为点E,设∠ADE=α,且cos α=,AB=9.求AD的长.
21(10分)(2023·凉山州中考)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C,E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A,D,B,F在同一直线上.点C,点E到AB的距离分别为CD,EF,且CD=EF=7 m,CE=895 m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1 m);
(2)若该隧道限速80千米/小时,判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速 并通过计算说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
22(12分)(2023·本溪中考)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600 m高的山峰,由山底A处先步行300 m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计).
(1)求登山缆车上升的高度DE;
(2)若步行速度为30 m/min,登山缆车的速度为60 m/min,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1 min).(参考数据:sin 53°≈0.80,
cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)第二十八章 锐角三角函数(90分钟 100分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)
1在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则(B)
A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B
2如图,河堤横断面的坡比BC∶AC是1∶,AC=6 m.则坡面AB的长度是(D)
A.12 m B.6 m C.8 m D.4 m
3某停车场入口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置.已知AO=4米,若栏杆的旋转角∠AOD=31°,则栏杆端点A上升的垂直距离为(A)
A.4sin 31°米 B.4cos 31°米
C.4tan 31°米 D.米
4若平行四边形相邻两边的长分别为10和15,它们的夹角为60°,则平行四边形的面积是(B)
A.150 B.75 C.9 D.7
5如图,一艘船向东航行,上午8时到达O处,测得一灯塔A在船的北偏东60°方向,且与船相距30海里,上午11时到达B处,测得灯塔在船的正北方向.则这艘船航行的速度为(B)
A.45海里/时 B.15海里/时 C.海里/时 D.5海里/时
6如图所示是潜望镜工作原理的平面示意图.一条平行光线l经镜面BC反射到EF后得到光线m,且l∥m.虚线所示为光线反射轨迹.若测得两条平行光线间的距离为,虚线长度为2,则虚线与m所夹钝角的度数为(B)
A.110° B.120° C.135° D.150°
7(2024·深圳一模)榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图,在某燕尾榫中,榫槽的横截面ABCD是梯形,其中AD∥BC,AB=DC,燕尾角∠B=α,外口宽AD=a,榫槽深度是b,则它的里口宽BC为(B)
A.+a B.+a C.btan α+a D.2btan α+a
8如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴正半轴上,点P(-a,a)(a>0),连接AP交y轴于点B.若AB∶BP=2∶1,则sin∠PAO的值是(D)
A. B. C. D.
9(2023·扬州中考)在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是(C)
A.1 B.2 C.6 D.8
10如图,相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°,测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30 m;乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50 m,测得山坡DF的坡比i=1∶1.25.若ND=DE,点C,B,E,F在同一水平线上,则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为(参考数据:≈1.41,≈1.73)(C)
A.9.0 m B.12.8 m C.13.1 m D.22.7 m
二、填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
11已知在△ABC中,∠C=90°,BC=3,cos B=,那么AB的长是 9 .
12计算:sin245°+2cos230°= 2 .
13如图,在正方形网格中,△ABC的顶点都在格点上,则cos ∠ABC的值为 .
14如图,某汽车车门的底边长为0.95 m,车门侧开后的最大角度为72°,若将一扇车门侧开,则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是 0.95sin 72° m.
15如图,某城市公园的雕塑是由3个直径为1 m的圆组成的,则雕塑的最高点到地面的距离为多少 m.
16(2023·黄冈中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为 (30-5) 米.(结果保留根号)
17在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC= 3+3或3-3 .
18如图是某风车示意图,其相同的四个叶片均匀分布,水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻,太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB,此时各叶片影子在点M右侧成线段CD,测得MC=8.5米,CD=13米,垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3,则点O,M之间的距离等于 10 米.转动时,叶片外端离地面的最大高度等于 (10+) 米.
三、解答题(本题共4小题,共38分)
19(8分)计算:
(1)2cos 30°-tan 60°+sin 45°cos 45°;
解:(1)原式=2×-+×
=-+
=;
(2)tan245°-2cos 60°+(2-π)0-.
解: (2)原式=12-2×+1-2=-1.
20(8分)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足为点E,设∠ADE=α,且cos α=,AB=9.求AD的长.
解:∵四边形ABCD是矩形,AB=9,
∴CD=AB=9,∠ADE+∠CDE=90°,
∵DE⊥AC,
∴∠ECD+∠CDE=90°,
∴∠ECD=∠ADE=α,
在Rt△DEC中,cos∠ECD=cos α==,即=,
∴CE=,
根据勾股定理得:DE==,
在Rt△AED中,cos α==,即=,
∴AD=12.
21(10分)(2023·凉山州中考)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C,E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A,D,B,F在同一直线上.点C,点E到AB的距离分别为CD,EF,且CD=EF=7 m,CE=895 m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1 m);
(2)若该隧道限速80千米/小时,判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速 并通过计算说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
解:(1)根据题意知,四边形CDFE是矩形,∠CAD=30°,∠EBF=45°,
∴DF=CE=895 m,
在Rt△EBF中,BF===7(m),
∴DB=DF-BF=895-7=888(m),
在Rt△ACD中,AD===7≈11.9(m),∴AB=AD+BD≈11.9+888≈900(m),
∴A,B两点之间的距离约为900 m;
(2)∵900÷45=20(m/s),∴小型汽车每小时行驶20×3 600=72 000(m),
∵72 000 m=72 km,72<80,
∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速.
22(12分)(2023·本溪中考)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600 m高的山峰,由山底A处先步行300 m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计).
(1)求登山缆车上升的高度DE;
(2)若步行速度为30 m/min,登山缆车的速度为60 m/min,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1 min).(参考数据:sin 53°≈0.80,
cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
解:(1)如图,过点B作BM⊥AF于点M,由题意可知,∠A=30°,∠DBE=53°,
DF=600 m,AB=300 m,
在Rt△ABM中,∠A=30°,AB=300 m,
∴BM=AB=150 m=EF,
∴DE=DF-EF=600-150=450(m),
答:登山缆车上升的高度DE为450 m;
(2)在Rt△BDE中,∠DBE=53°,DE=450 m,
∴BD=≈=562.5(m),
∴需要的时间t=t步行+t缆车≈+≈19.4(min),
答:从山底A处到达山顶D处大约需要19.4 min.
