第二十六章 反比例函数(90分钟 100分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)
1下列函数中是反比例函数的是( )
A.y= B.y= C.y=-7x2 D.y=
2已知反比例函数y=的图象如图所示,则实数m的取值范围是( )
A.m<1 B.m<0 C.m>1 D.m>0
3若函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=ax+b和y=-在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
4(2023·通辽中考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2) 在反比例函数y=-的图象上,且x1<0A.y1+y2<0 B.y1+y2>0 C.y1-y2<0 D.y1-y2>0
5若双曲线y=在第二、四象限,那么关于x的方程x2-2x+m=0的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.条件不足,无法判断
6在平面直角坐标系xOy中,A为双曲线y=-上一点,点B的坐标为(4,0).若△AOB的面积为6,则点A的坐标为( )
A. B. C.(-2,3)或(2,-3) D.(-3,2)或(3,-2)
7如图所示,琪琪同学根据学习函数的经验,自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y=的函数图象.根据这个函数图象,下列说法正确的是( )
A.图象与x轴有交点 B.当x>0时,y>0
C.图象与y轴的交点是(0,-2) D.y随x的增大而减小
8已知:如图,直线y1=kx+1与双曲线y2=在第一象限交于点P(1,t),与x轴,y轴分别交于A,B两点,则下列结论错误的是( )
A.t=2 B.△AOB是等腰直角三角形
C.k=1 D.当x>1时,y2>y1
9如图,点P(-2a,a)是反比例函数y=与☉O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则该反比例函数的解析式为( )
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
10如图,正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=和y=的图象上.若BD∥y轴,点D的横坐标为3,则k1+k2=( )
A.36 B.18 C.12 D.9
二、填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
11如图所示,反比例函数的解析式为y=,其上的点M在第三象限,
则a= .
12已知圆柱的侧面积是10π cm2,若圆柱底面半径为r cm,高为h cm,则h与r的函数解析式是 .
13若点A(a,b)在反比例函数y=的图象上,则代数式ab-1的值为 .
14(2023·扬州中考)某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数,且当V=3 m3时,p=8 000 Pa.当气球内的气体压强大于40 000 Pa时,气球将爆炸,为确保气球不爆炸,气球的体积应不小于 m3.
15如图,正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象交于A(1,m),B两点,当k1x≤时,x的取值范围是 .
16如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y=的图象上,顶点A在反比例函数y=的图象上,顶点D在x轴的负半轴上.若平行四边形OBAD的面积是5,则k的值是 .
17已知,函数y1=|x|与函数y2=的部分图象如图所示,有以下结论:①当x<0时,y1,y2都随x的增大而增大;②当x<-1时,y1>y2;③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2.则所有正确结论的序号是 .
18(2023·枣庄中考)如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上有P1,P2,P3,…,P2 024等点,它们的横坐标依次为1,2,3,…,2 024,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,…,S2 023,则S1+S2+S3+…+S2 023
= .
三、解答题(本题共3小题,共38分)
19(12分)(2023·乐山中考)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(m,4),与x轴交于点B,与y轴交于点C(0,3).
(1)求m的值和一次函数的解析式;
(2)已知P为反比例函数y=图象上的一点,S△OBP=2S△OAC,求点P的坐标.
20(12分)(2023·郴州中考)在实验课上,小明做了一个试验.如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的y1关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象;
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测y1与x之间的函数关系,并求y1关于x的函数解析式;
②求y2关于x的函数解析式;
③当0(3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
21(14分)(2023·宜宾中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上.
(1)分别求反比例函数的解析式和直线AB所对应的一次函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小 若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.第二十六章 反比例函数(90分钟 100分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)
1下列函数中是反比例函数的是(B)
A.y= B.y= C.y=-7x2 D.y=
2已知反比例函数y=的图象如图所示,则实数m的取值范围是(A)
A.m<1 B.m<0 C.m>1 D.m>0
3若函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=ax+b和y=-在同一平面直角坐标系中的图象大致是(D)
4(2023·通辽中考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2) 在反比例函数y=-的图象上,且x1<0A.y1+y2<0 B.y1+y2>0 C.y1-y2<0 D.y1-y2>0
5若双曲线y=在第二、四象限,那么关于x的方程x2-2x+m=0的根的情况为(B)
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.条件不足,无法判断
6在平面直角坐标系xOy中,A为双曲线y=-上一点,点B的坐标为(4,0).若△AOB的面积为6,则点A的坐标为(C)
A. B. C.(-2,3)或(2,-3) D.(-3,2)或(3,-2)
7如图所示,琪琪同学根据学习函数的经验,自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y=的函数图象.根据这个函数图象,下列说法正确的是(C)
A.图象与x轴有交点 B.当x>0时,y>0
C.图象与y轴的交点是(0,-2) D.y随x的增大而减小
8已知:如图,直线y1=kx+1与双曲线y2=在第一象限交于点P(1,t),与x轴,y轴分别交于A,B两点,则下列结论错误的是(D)
A.t=2 B.△AOB是等腰直角三角形
C.k=1 D.当x>1时,y2>y1
9如图,点P(-2a,a)是反比例函数y=与☉O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则该反比例函数的解析式为(D)
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
10如图,正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=和y=的图象上.若BD∥y轴,点D的横坐标为3,则k1+k2=(B)
A.36 B.18 C.12 D.9
二、填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
11如图所示,反比例函数的解析式为y=,其上的点M在第三象限,
则a= -1 .
12已知圆柱的侧面积是10π cm2,若圆柱底面半径为r cm,高为h cm,则h与r的函数解析式是 h=(r>0) .
13若点A(a,b)在反比例函数y=的图象上,则代数式ab-1的值为 2 .
14(2023·扬州中考)某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数,且当V=3 m3时,p=8 000 Pa.当气球内的气体压强大于40 000 Pa时,气球将爆炸,为确保气球不爆炸,气球的体积应不小于 0.6 m3.
15如图,正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象交于A(1,m),B两点,当k1x≤时,x的取值范围是 -1≤x<0或x≥1 .
16如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y=的图象上,顶点A在反比例函数y=的图象上,顶点D在x轴的负半轴上.若平行四边形OBAD的面积是5,则k的值是 -2 .
17已知,函数y1=|x|与函数y2=的部分图象如图所示,有以下结论:①当x<0时,y1,y2都随x的增大而增大;②当x<-1时,y1>y2;③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2.则所有正确结论的序号是 ②③ .
18(2023·枣庄中考)如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上有P1,P2,P3,…,P2 024等点,它们的横坐标依次为1,2,3,…,2 024,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,…,S2 023,则S1+S2+S3+…+S2 023
= .
三、解答题(本题共3小题,共38分)
19(12分)(2023·乐山中考)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(m,4),与x轴交于点B,与y轴交于点C(0,3).
(1)求m的值和一次函数的解析式;
解:(1)∵点A(m,4)在反比例函数 y= 的图象上,∴4=,∴m=1,∴A(1,4),
又∵点A(1,4),C(0,3)都在一次函数y=kx+b的图象上,∴,解得,
∴一次函数的解析式为y=x+3;
(2)已知P为反比例函数y=图象上的一点,S△OBP=2S△OAC,求点P的坐标.
解: (2)对于一次函数y=x+3,当y=0时,x=-3,∴OB=3,
∵C(0,3),∴OC=3,
过点A作 AH⊥y 轴于点H,在反比例函数y=图象上取一点P,过点P作 PD⊥x 轴于点D,
∵S△OBP=2S△OAC,
∴OB·PD=2×OC·AH,即×3×PD=2××3×1,解得PD=2,
∴点P的纵坐标为2或-2,
将y=2或-2代入 y= 得x=2或-2,
∴点P(2,2)或(-2,-2).
20(12分)(2023·郴州中考)在实验课上,小明做了一个试验.如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的y1关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象;
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测y1与x之间的函数关系,并求y1关于x的函数解析式;
②求y2关于x的函数解析式;
③当0(3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
解:(1)作出y2关于x的函数图象如下:
(2)①观察图象可知,y1是x的反比例函数,设y1=,把(30,10)代入得10=,∴k=300,
∴y1关于x的函数解析式是y1=;
②由题表可知,y1=y2+5,∴y2+5=,∴y2=-5;
③观察图象可得,当0答案:减小 减小 下
(3)∵y2=-5,19≤y2≤45,∴19≤-5≤45,∴24≤≤50,∴6≤x≤12.5.
21(14分)(2023·宜宾中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上.
(1)分别求反比例函数的解析式和直线AB所对应的一次函数的解析式;
解:(1)过A作AT⊥x轴于点T,过B作BK⊥x轴于点K,如图:
∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=CB,∠ACB=90°,
∴∠ACT=90°-∠BCK=∠CBK,
∵∠ATC=90°=∠CKB,∴△ATC≌△CKB(AAS),∴AT=CK,CT=BK,
∵C(3,0),B(6,m),∴AT=CK=6-3=3,CT=BK=m,∴OT=3-m,∴A(3-m,3),
∵点A(3-m,3),B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上,
∴k=3(3-m)=6m,∴m=1,k=6,∴反比例函数的解析式为y=,A(2,3),B(6,1),
设直线AB所对应的一次函数的解析式为y=k'x+b,把点A(2,3),B(6,1)代入得:,
解得,∴直线AB所对应的一次函数的解析式为y=-x+4;
(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小 若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
解: (2)在x轴上存在一点P,使△ABP周长的值最小,理由如下:
作A(2,3)关于x轴的对称点A'(2,-3),连接A'B交x轴于点P,如图:
∵A(2,3),B(6,1),
∴AB==2,
∴当AP+BP最小时,△ABP周长的值最小,
∵A,A'关于x轴对称,∴AP=A'P,
∴当A',P,B共线时,AP+BP的值最小,△ABP周长的值也最小,
∵A'(2,-3),B(6,1),
∴A'B==4,
∴△ABP周长的最小值为4+2.
