第二十八章 锐角三角函数
1(2024·天津中考)cos 45°-1的值等于( )
A.0 B.1 C.-1 D.-1
2(2024·云南中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( )
A. B. C. D.
3(2024·陕西中考)如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为( )
A.3 B.3 C.3 D.6
4(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距( )
A.米 B.米
C.x·sin α米 D.x·cos α米
5如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是( )
A.α=30° B.α=60°
C.30°<α<45° D.45°<α<60°
6(2023·乐山中考)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”,如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25,小正方形面积为1,则sin θ=( )
A. B. C.4 D.
7(2024·荆州中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是( )
A. B. C. D.3
8(2023·内江中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
9在△ABC中,+=0,则△ABC的形状是 .
10(2024·雅安中考)如图,把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E处,BE与AD交于点F,若AB=6,BC=8,则cos∠ABF的值是 .
11如图,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B',使点B'落在射线AC上,则cos∠B'CB的值为 .
12(2024·绥化中考)定义一种运算:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值为 .
13(2023·广西中考)如图,焊接一个钢架,包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱,则共需钢材约 m(结果取整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
14(2023·通辽中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向,距离灯塔
100 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数) (参考数据:sin 72°
≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08,sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
15(2024·甘肃中考)习近平总书记于2023年指出,中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图,已知一风电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6 m,点C与点E相距182 m(点C,H,E在同一条直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin 53°≈,
cos 53°≈,tan 53°≈)
16(2023·怀化中考)为弘扬革命传统精神,清明期间,某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼,想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离),于是师生组成综合实践小组进行测量.他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°,在B点处测得碑顶D的仰角为60°,已知AB=35 m,测角仪的高度是1.5 m(A,B,C在同一直线上),根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD.(≈1.732,结果保留一位小数)
17(2023·泸州中考)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).
18(2023·绍兴中考)图1是某款篮球架,图2是其示意图,立柱OA垂直地面OB,支架CD与OA交于点A,支架CG⊥CD交OA于点G,支架DE平行地面OB,篮筐EF与支架DE在同一直线上,OA=2.5米,AD=0.8米,∠AGC=32°.
(1)求∠GAC的度数;
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网,如果他站在凳子上,最高可以把篮网挂到离地面3米处,那么他能挂上篮网吗 请通过计算说明理由.(参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)
19(2024·湖南中考)某数学研究性学习小组在老师的指导下,利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活 动 过 程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑,其底座的底面为矩形ABCD,其示意图如下:
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E,使得点C,B,E在同一条直线上; ②过点E作GH⊥CE,并沿EH方向前进到点F,用皮尺测得EF的长为4米; ③在点F处用测角仪测得∠CFG=60.3°,∠BFG=45°, ∠AFG=21.8°; ④用计算器计算得:sin 60.3°≈0.87,cos 60.3°≈0.50,tan 60.3° ≈1.75,sin 21.8°≈0.37,cos 21.8°≈0.93,tan 21.8°≈0.40.
请根据表格中提供的信息,解决下列问题(结果保留整数):
(1)求线段CE和BC的长度;
(2)求底座的底面ABCD的面积.第二十八章 锐角三角函数
1(2024·天津中考)cos 45°-1的值等于(A)
A.0 B.1 C.-1 D.-1
2(2024·云南中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为(B)
A. B. C. D.
3(2024·陕西中考)如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为(D)
A.3 B.3 C.3 D.6
4(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距(B)
A.米 B.米
C.x·sin α米 D.x·cos α米
5如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是(C)
A.α=30° B.α=60°
C.30°<α<45° D.45°<α<60°
6(2023·乐山中考)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”,如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25,小正方形面积为1,则sin θ=(A)
A. B. C.4 D.
7(2024·荆州中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是(C)
A. B. C. D.3
8(2023·内江中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
9在△ABC中,+=0,则△ABC的形状是 等边三角形 .
10(2024·雅安中考)如图,把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E处,BE与AD交于点F,若AB=6,BC=8,则cos∠ABF的值是 .
11如图,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B',使点B'落在射线AC上,则cos∠B'CB的值为 .
12(2024·绥化中考)定义一种运算:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值为 .
13(2023·广西中考)如图,焊接一个钢架,包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱,则共需钢材约 21 m(结果取整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
14(2023·通辽中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向,距离灯塔
100 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数) (参考数据:sin 72°
≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08,sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
解:如图:
由题意得:PC⊥AB,EF∥AB,
∴∠A=∠EPA=72°,∠B=∠BPF=40°,
在Rt△APC中,AP=100 n mile,
∴PC=AP·sin 72°≈100×0.95=95(n mile),
在Rt△BCP中,BP=≈≈148(n mile),
∴B处距离灯塔P约有148 n mile.
15(2024·甘肃中考)习近平总书记于2023年指出,中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图,已知一风电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6 m,点C与点E相距182 m(点C,H,E在同一条直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin 53°≈,
cos 53°≈,tan 53°≈)
解:连接DF交AH于点G,
由题意得:CD=EF=GH=1.6 m,DF=CE=182 m,DF⊥AH,设DG=x m,
∴FG=DF-DG=(182-x)m,
在Rt△ADG中,∠ADG=45°,
∴AG=DG·tan 45°=x m,
在Rt△AFG中,∠AFG=53°,
∴AG=FG·tan 53°≈(182-x)m,
∴x=(182-x),解得x=104,
∴AG=104 m,
∴AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m),
∴风电塔筒AH的高度约为105.6 m.
16(2023·怀化中考)为弘扬革命传统精神,清明期间,某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼,想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离),于是师生组成综合实践小组进行测量.他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°,在B点处测得碑顶D的仰角为60°,已知AB=35 m,测角仪的高度是1.5 m(A,B,C在同一直线上),根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD.(≈1.732,结果保留一位小数)
解:由题意得:AM=BN=CE=1.5 m,
AB=MN=35 m,∠DEM=90°,
∠DNE=60°,∠DME=30°,
∵∠DNE是△DMN的外角,
∴∠MDN=∠DNE-∠DMN=30°,
∴∠DMN=∠MDN=30°,
∴DN=MN=35 m,
在Rt△DNE中,DE=DN·sin 60°
=35×=(m),
∴CD=DE+CE=+1.5≈+1.5≈31.8(m).
答:烈士纪念碑的通高CD约为31.8 m.
17(2023·泸州中考)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).
解:过点B作BF⊥AD于点F,
在Rt△ABF中,∵i=2∶,
∴可设BF=2k,AF=k,
∵AB=20m,
∵BF2+AF2=AB2,
∴(2k)2+(k)2=(20)2,
解得k=20(负值已舍),
∴BF=2k=40 m,
延长BC,DE交于点H,
∵BC是水平线,DE是铅垂线,
∴DH⊥CH,△CDH和△CEH都是直角三角形,
∵AD,BC都是水平线,BF⊥AD,DH⊥BC,
∴四边形BFDH是矩形,
∴DH=BF=40 m,
在Rt△CDH中,∵tan ∠DCH=,
∴CH===(m),
在Rt△CEH中,∵tan ∠ECH=,
∴EH=CH·tan ∠ECH
=·tan 37°≈×=10(m),
∴DE=DH-EH=(40-10)m.
答:古树DE的高度为(40-10)m.
18(2023·绍兴中考)图1是某款篮球架,图2是其示意图,立柱OA垂直地面OB,支架CD与OA交于点A,支架CG⊥CD交OA于点G,支架DE平行地面OB,篮筐EF与支架DE在同一直线上,OA=2.5米,AD=0.8米,∠AGC=32°.
(1)求∠GAC的度数;
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网,如果他站在凳子上,最高可以把篮网挂到离地面3米处,那么他能挂上篮网吗 请通过计算说明理由.(参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)
解:(1)∵CG⊥CD,∴∠ACG=90°,
∵∠AGC=32°,
∴∠GAC=90°-∠AGC=90°-32°=58°,
∴∠GAC的度数为58°;
(2)该运动员能挂上篮网,
理由如下:延长OA,ED交于点M,
∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,
∵DE∥OB,∴∠DMA=∠AOB=90°,
∵∠GAC=58°,
∴∠DAM=∠GAC=58°,
∴∠ADM=90°-∠DAM=32°,
在Rt△ADM中,AD=0.8米,
∴AM=AD·sin 32°≈0.8×0.53=0.424(米),
∴OM=OA+AM=2.5+0.424=2.924(米),
∵2.924米<3米,
∴该运动员能挂上篮网.
19(2024·湖南中考)某数学研究性学习小组在老师的指导下,利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活 动 过 程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑,其底座的底面为矩形ABCD,其示意图如下:
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E,使得点C,B,E在同一条直线上; ②过点E作GH⊥CE,并沿EH方向前进到点F,用皮尺测得EF的长为4米; ③在点F处用测角仪测得∠CFG=60.3°,∠BFG=45°, ∠AFG=21.8°; ④用计算器计算得:sin 60.3°≈0.87,cos 60.3°≈0.50,tan 60.3° ≈1.75,sin 21.8°≈0.37,cos 21.8°≈0.93,tan 21.8°≈0.40.
请根据表格中提供的信息,解决下列问题(结果保留整数):
(1)求线段CE和BC的长度;
(2)求底座的底面ABCD的面积.
解: (1)∵GH⊥CE,EF的长为4米,∠CFG=60.3°,∴tan∠CFE=tan 60.3°=≈1.75,∴CE=7米.
∵∠BFG=45°,∴BE=EF=4米,
∴CB=CE-BE=3米.
(2)过点A作AM⊥GH于点M,如图所示:
∵∠AFG=21.8°,
∴tan∠AFG=tan 21.8°=≈0.4.
∵AM=BE=4米,
∴MF=10米,
∴AB=ME=MF-EF=10-4=6(米),
∴底座的底面ABCD的面积为3×6=18(平方米).
