第二十七章 相似
1(2023·临夏州中考)若=,则ab=( )
A.6 B. C.1 D.
2已知图中有两组三角形,其边长和角的度数已在图上标注,对于各组中的两个三角形而言,下列说法正确的是( )
A.都相似 B.都不相似
C.只有①相似 D.只有②相似
3(2024·湖南中考)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是( )
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.=
4(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为( )
A. B.7 C. D.8
5(2024·陕西中考)如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为( )
A.2 B.3 C. D.
6(2023·南充中考)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为( )
A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
7(2023·上海二模)如图,已知正方形DEFG的顶点D,E在△ABC的边BC上,顶点G,F分别在边AB,AC上,如果BC=8,△ABC的面积是32,那么这个正方形的边长是( )
A.4 B.8 C. D.
8(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是( )
A. B. C. D.
9(2024·湖州中考)如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,=.若DE=2,则BC的长是 .
10(2024·吉林中考)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点,连接EF.若∠FEO=45°,则的值为 .
11如图,A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,点B,D在y轴正半轴上,△ABD是△COD关于点D的位似图形,且△ABD与△COD的相似比是1∶3,△ABD的面积为1,则该反比例函数的解析式为 .
12(2023·达州中考)如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 cm.(结果保留根号)
13如图所示,一条河流的两岸互相平行,沿南岸有一排大树,每隔4米一棵,沿北岸有一排电线杆,每两根电线杆之间的距离为80米,一同学站在距南岸9米的点P处,正好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住,那么这条河流的宽度是 米.
14如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
15(2023·上海中考)如图,在梯形ABCD中AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求证:DE=AF;
(2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE.
16[教材再开发·P41T2拓展]如图1,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸岸边每隔5 m有一棵树,小奥站在离南岸20 m的点M处看北岸,在两棵树之间的空隙中,恰好看见一条船的船头和船尾(假设船头、船尾和小奥的眼睛位于同一水平平面内),根据题意画出的示意图如图2所示,若已知船长CD=18.5 m,该船行驶在河的中心,且船与河岸平行,请你求出河的宽度.
17(2024·陕西中考)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.
18(2023·苏州中考)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,AC=,BC=2,点F在AB上,连接CF并延长,交☉O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足为E.
(1)求证:△DBE∽△ABC;
(2)若AF=2,求ED的长.第二十七章 相似
1(2023·临夏州中考)若=,则ab=(A)
A.6 B. C.1 D.
2已知图中有两组三角形,其边长和角的度数已在图上标注,对于各组中的两个三角形而言,下列说法正确的是(A)
A.都相似 B.都不相似
C.只有①相似 D.只有②相似
3(2024·湖南中考)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是(D)
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.=
4(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为(C)
A. B.7 C. D.8
5(2024·陕西中考)如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为(B)
A.2 B.3 C. D.
6(2023·南充中考)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为(B)
A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
7(2023·上海二模)如图,已知正方形DEFG的顶点D,E在△ABC的边BC上,顶点G,F分别在边AB,AC上,如果BC=8,△ABC的面积是32,那么这个正方形的边长是(A)
A.4 B.8 C. D.
8(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是(C)
A. B. C. D.
9(2024·湖州中考)如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,=.若DE=2,则BC的长是 6 .
10(2024·吉林中考)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点,连接EF.若∠FEO=45°,则的值为 .
11如图,A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,点B,D在y轴正半轴上,△ABD是△COD关于点D的位似图形,且△ABD与△COD的相似比是1∶3,△ABD的面积为1,则该反比例函数的解析式为 y= .
12(2023·达州中考)如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 (80-160) cm.(结果保留根号)
13如图所示,一条河流的两岸互相平行,沿南岸有一排大树,每隔4米一棵,沿北岸有一排电线杆,每两根电线杆之间的距离为80米,一同学站在距南岸9米的点P处,正好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住,那么这条河流的宽度是 36 米.
14如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
解:(1)当CD2=AC·BD时,△ACP∽△PDB.
理由:∵△PCD是等边三角形,
∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=60°,∠ACP=∠BDP=120°.
由CD2=AC·BD,得=,
即=,
又∵∠ACP=∠PDB=120°,
∴△ACP∽△PDB;
(2)∵△ACP∽△PDB,
∴∠APC=∠PBD,
∴∠APC+∠DPB=∠PBD+∠DPB=∠PDC=60°,
∵△PCD是等边三角形,∴∠CPD=60°,
∴∠APC+∠CPD+∠DPB=120°,
即∠APB=120°.
15(2023·上海中考)如图,在梯形ABCD中AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求证:DE=AF;
(2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE.
证明:(1)∵AD∥BC,
∴∠ACF=∠DAC,
∵∠FAC=∠ADE,AC=AD,
∴△ACF≌△DAE(ASA),
∴AF=DE;
(2)∵△ACF≌△DAE,
∴∠AFC=∠DEA,
∴∠AFB=∠DEC,
∵∠ABC=∠CDE,
∴△ABF∽△CDE,
∴=,∴AF·DE=BF·CE,
∵AF=DE,∴AF2=BF·CE.
16[教材再开发·P41T2拓展]如图1,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸岸边每隔5 m有一棵树,小奥站在离南岸20 m的点M处看北岸,在两棵树之间的空隙中,恰好看见一条船的船头和船尾(假设船头、船尾和小奥的眼睛位于同一水平平面内),根据题意画出的示意图如图2所示,若已知船长CD=18.5 m,该船行驶在河的中心,且船与河岸平行,请你求出河的宽度.
解:过点M作MF⊥AB,并延长MF交CD于点E,
由题意得:AB=5 m,MF=20 m,ME⊥CD,
∵AB∥CD,
∴∠MAB=∠C,∠MBA=∠D,
∴△MAB∽△MCD,
∴=,
∴=,
∴EF=54 m,
∴河的宽度为2EF=108 m.
答:河的宽度为108 m.
17(2024·陕西中考)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.
解:∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF,
∵∠AOD=∠EFG=90°,
∴△AOD∽△EFG,
∴=,即=,∴AO=15米,
同理得△BOC∽△AOD,
∴=,即=,∴BO=12米,
∴AB=AO-BO=15-12=3(米).
答:旗杆的高AB是3米.
18(2023·苏州中考)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,AC=,BC=2,点F在AB上,连接CF并延长,交☉O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足为E.
(1)求证:△DBE∽△ABC;
(2)若AF=2,求ED的长.
解:(1)∵AB为直径,∴∠ACB=90°,
∵BE⊥CD,∴∠BED=90°,
∵所对的圆周角为∠BDE和∠BAC,
∴∠BDE=∠BAC,∴△DBE∽△ABC;
(2)如图,过点C作CG⊥AB,垂足为G,
∵∠ACB=90°,AC=,BC=2,
∴AB==5,
∵CG⊥AB,
∴AG=ACcosA=×=1,
∵AF=2,∴FG=AG=1,
∴AC=FC,
∴∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF,
∴BD=BF=AB-AF=5-2=3,
∵△DBE∽△ABC,
∴=,∴=,
∴ED=.
