【提升版】北师大版数学八年级上册7.3平行的判定 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定能与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，
故C错误；
故选C．
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．
2．（华师大版数学七年级上册第五章第二节5.2.2平行线的判定同步练习）如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD
C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理即可直接判断．
3．（2024八上·紫金期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，据此能判断直线a∥b；
B.由∠2＝∠3，能判断直线a∥b；
C.由∠4＝∠5，不能判断直线a∥b；
D.由∠4＝∠6，能判断直线a∥b.
故答案为：C.
【分析】先根据图形分析两角的位置关系，再根据平行线的判定方法判断.
4．（2022八上·阳江期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①符合题意；
而和不一定相等，故②不符合题意；
在和中，
，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，故④符合题意；
∵，
∴，故⑤不符合题意，
符合题意结论为：①③④，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中线可得BD=CD，利用等底同高可得和面积相等，即可判断①②；根据SAS证明，可得，CE=BF，可证，即可判断③④⑤.
5．（2022八上·丰顺月考）如图，在中，，，，则射线 与 （ ）
A．平行 B．延长后相交
C．反向延长后相交 D．可能平行也可能相交
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出，再结合，，可得，即可得到。
6．（华师大版数学七年级上册第五章第二节5.2.2平行线的判定同步练习）如图，已知：∠1=∠2，那么下列结论正确的是（ ）
A．∠C=∠D B．AD∥BC C．AB∥CD D．∠3=∠4
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
故选C．
【分析】∠1和∠2是直线AB、CD被直线DB所截的内错角，若∠1=∠2，则AB∥CD．
7．（2018八上·深圳期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠A B．∠l=∠2
C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠3与∠A是四条线构成的角，不符合平行线的判定中的三线八角，故A不符合题意；
B、∠l与∠2是直线AB，CD被直线BC所截得内错角，根据平行线的判断方法，内错角相等二直线平行，从而得出AB∥CD，故B符合题意；
C、∠D与∠DCE是直线BD，AC被直线CD所截得内错角，根据平行线的判断方法，内错角相等二直线平行，从而得出BD∥AC，故C不符合题意；
D、∠D与∠ACD是直线BD，AC被直线CD所截得同旁内角，根据平行线的判断方法，同旁内角互补二直线平行，从而得出BD∥AC，故D不符合题意；
故应选：B 。
【分析】根据平行线的判断方法，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，那么被截的两条直线平行，一一判断即可。
8．（2016八上·连州期末）下列条件中能得到平行线的是（ ）
①邻补角的角平分线；
②平行线内错角的角平分线；
③平行线同旁内角的角平分线．
A．①② B．②③ C．② D．③
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①邻补角的角平分线互相垂直，故①不符合题意；
②因为平行线的内错角相等，故其角平分线平行，故②符合题意
③平行线同旁内角的角平分线互相垂直，故③不符合题意．
故答案为：C．
【分析】判定两直线平行，需要判定同位角，内错角相等：同旁内角互补，所以可得只有②符合要求。
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·信宜期末）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使．
【答案】答案不唯一
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2为AB与CD的内错角，
∴当∠1=∠2时，AB∥CD，
故答案为：∠1=∠2（答案不唯一）.
【分析】利用平行线的判定定理添加条件即可.
10．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为3：2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是 ，这是因为 ．
【答案】平行；同旁内角互补
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵一组同旁内角的度数比为3：2，差为36°
∴设较小的角为：x，则较大的为x+36°
∴（x+36°）：x=3：2
∴x=72°，x+36°=108°
∵72°+108°=180°即同旁内角互补．
∴这两条直线的位置关系是平行
∴答案为：平行，同旁内角互补．
【分析】根据同旁内角互补及已知可求得两角的度数，从而根据同旁内角互补两直线平行判定两直线的关系．
11．如图，要使AD∥BC，需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况）
【答案】∠1=∠4
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：可以添加条件∠1=∠4，根据内错角相等，两直线平行可得到AD∥BC．
故答案为：∠1=∠4．
【分析】根据平行线的判定，可以添加这两条直线被第三条直线所截时的内错角相等，故此题可以添加条件∠1=∠4．
12．如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°，则当∠2= 度时，a∥b．
【答案】50
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠2=50°时，a∥b；理由如下：
如图所示：
∵∠1=40°，
∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°，
当∠2=50°时，∠2=∠3，
∴a∥b；
故答案为：50．
【分析】由直角三角板的性质可知∠3=180°﹣∠1﹣90°=50°，当∠2=50°时，∠2=∠3，得出a∥b即可．
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2021八上·澄海期末）如图，已知：，，．求证：．
【答案】证明： ，
即
，，
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】先利用“HL”证明可得，再利用平行线的判定方法可得AB//DE。
14．（2024八上·深圳期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∵
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定，同位角相等，即可得到两直线平行；
(2)依据平行线的性质，可得出∠CED=∠GHD，可知EC//GF， 又因为问题1已证AB//CD，即可得出∠FED =∠D=30°，∠CED =∠EHFD=80°；进而可求∠AEM =∠CEF=110°.
15．（2023八上·龙岗期末）nbsp；. 如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD于C，EF⊥BD于F，CD＝BF．
求证：AB∥DE．
【答案】证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴△ABC和△EDF为直角三角形，
∵CD＝BF，
∴CF+BF＝CF+CD，即BC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥DE．
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】现根据题干条件证明Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），得出∠B＝∠D，从而得出AB∥DE.
16．（2022八上·电白期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接DE并延长至点F，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，连接平分平分，求的度数．
【答案】（1）证明：∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CFE，可得∠A=∠ECF，根据平行线的判定即证；
（2）由（1）知∠A=∠ECF，由角平分线的定义可得，利用等量代换即可求解.
17．（2021八上·花都期末）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）解：如图，
∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF）=60°-α；
（3）解：①30
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
【知识点】角的运算；平行线的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）由CE平分∠ACD，得出∠BAC=∠ACE，即可得出结论；
（2）先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得出AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，得出BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），代入求解即可；
（3）①根据角之间的转化得出∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；②过C作CN⊥BF于N，得出∠NCQ=∠AFB=30°，从而得出QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得出QB=QF+2QN，从而得出结论。
18．（2021八上·宝安期末）如图，已知：AD是∠BAC的平分线，AB＝BD，过点B作BE⊥AC，与AD交于点F．
（1）求证：AC∥BD；
（2）若AE＝2，AB＝3，BF＝，求△ABF中AB边上的高．
【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BDA，
∴AC∥BD；
（2）解：作FG⊥AB于G，
在Rt△ABE中，AE＝2，AB＝3，
∴BE，
∴FE＝BE﹣BF，
∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AC，FG⊥AB，
∴FG＝FE，即△ABF中AB边上的高为．
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，由AB＝BD可得∠BDA＝∠BAD，从而得出∠CAD＝∠BDA，根据平行线的判定即证；
（2）作FG⊥AB于G， 利用勾股定理求出BE=，从而得出FE＝BE﹣BF=， 由角平分线的性质可得FG＝FE ，继而得解.
19．（2020八上·英德期末）如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
【答案】（1）解： ，
①﹣②，得
3∠α＝165°，
解得，∠α＝55°，
把∠α＝55°代入②，得
∠β＝125°，
即∠α和∠β的度数分别为55°，125°
（2）证明：由（1）知，∠α＝55°，∠β＝125°，
则∠α+∠β＝180°，
故AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠C＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
又∵∠α＝55°，
∴∠BAC＝145°，
∴∠C＝35°．
【知识点】解二元一次方程组；角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据方程组 ，可以得到∠α和∠β的度数；（2）根据（1）∠α和∠β的度数，可以得到AB∥EF，再根据CD∥EF，即可得到AB∥CD；（3）根据AB∥CD，可得∠BAC+∠C=180°，再根据AC⊥AE和∠α的度数可以得到∠BAC的度数，从而可以得到∠C的度数．
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册7.3平行的判定 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定能与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行
2．（华师大版数学七年级上册第五章第二节5.2.2平行线的判定同步练习）如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD
C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE
3．（2024八上·紫金期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八上·阳江期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
5．（2022八上·丰顺月考）如图，在中，，，，则射线 与 （ ）
A．平行 B．延长后相交
C．反向延长后相交 D．可能平行也可能相交
6．（华师大版数学七年级上册第五章第二节5.2.2平行线的判定同步练习）如图，已知：∠1=∠2，那么下列结论正确的是（ ）
A．∠C=∠D B．AD∥BC C．AB∥CD D．∠3=∠4
7．（2018八上·深圳期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠A B．∠l=∠2
C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
8．（2016八上·连州期末）下列条件中能得到平行线的是（ ）
①邻补角的角平分线；
②平行线内错角的角平分线；
③平行线同旁内角的角平分线．
A．①② B．②③ C．② D．③
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·信宜期末）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使．
10．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为3：2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是 ，这是因为 ．
11．如图，要使AD∥BC，需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况）
12．如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°，则当∠2= 度时，a∥b．
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2021八上·澄海期末）如图，已知：，，．求证：．
14．（2024八上·深圳期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
15．（2023八上·龙岗期末）nbsp；. 如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD于C，EF⊥BD于F，CD＝BF．
求证：AB∥DE．
16．（2022八上·电白期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接DE并延长至点F，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，连接平分平分，求的度数．
17．（2021八上·花都期末）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
18．（2021八上·宝安期末）如图，已知：AD是∠BAC的平分线，AB＝BD，过点B作BE⊥AC，与AD交于点F．
（1）求证：AC∥BD；
（2）若AE＝2，AB＝3，BF＝，求△ABF中AB边上的高．
19．（2020八上·英德期末）如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，
故C错误；
故选C．
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理即可直接判断．
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，据此能判断直线a∥b；
B.由∠2＝∠3，能判断直线a∥b；
C.由∠4＝∠5，不能判断直线a∥b；
D.由∠4＝∠6，能判断直线a∥b.
故答案为：C.
【分析】先根据图形分析两角的位置关系，再根据平行线的判定方法判断.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①符合题意；
而和不一定相等，故②不符合题意；
在和中，
，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，故④符合题意；
∵，
∴，故⑤不符合题意，
符合题意结论为：①③④，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中线可得BD=CD，利用等底同高可得和面积相等，即可判断①②；根据SAS证明，可得，CE=BF，可证，即可判断③④⑤.
5．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出，再结合，，可得，即可得到。
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
故选C．
【分析】∠1和∠2是直线AB、CD被直线DB所截的内错角，若∠1=∠2，则AB∥CD．
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠3与∠A是四条线构成的角，不符合平行线的判定中的三线八角，故A不符合题意；
B、∠l与∠2是直线AB，CD被直线BC所截得内错角，根据平行线的判断方法，内错角相等二直线平行，从而得出AB∥CD，故B符合题意；
C、∠D与∠DCE是直线BD，AC被直线CD所截得内错角，根据平行线的判断方法，内错角相等二直线平行，从而得出BD∥AC，故C不符合题意；
D、∠D与∠ACD是直线BD，AC被直线CD所截得同旁内角，根据平行线的判断方法，同旁内角互补二直线平行，从而得出BD∥AC，故D不符合题意；
故应选：B 。
【分析】根据平行线的判断方法，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，那么被截的两条直线平行，一一判断即可。
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①邻补角的角平分线互相垂直，故①不符合题意；
②因为平行线的内错角相等，故其角平分线平行，故②符合题意
③平行线同旁内角的角平分线互相垂直，故③不符合题意．
故答案为：C．
【分析】判定两直线平行，需要判定同位角，内错角相等：同旁内角互补，所以可得只有②符合要求。
9．【答案】答案不唯一
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2为AB与CD的内错角，
∴当∠1=∠2时，AB∥CD，
故答案为：∠1=∠2（答案不唯一）.
【分析】利用平行线的判定定理添加条件即可.
10．【答案】平行；同旁内角互补
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵一组同旁内角的度数比为3：2，差为36°
∴设较小的角为：x，则较大的为x+36°
∴（x+36°）：x=3：2
∴x=72°，x+36°=108°
∵72°+108°=180°即同旁内角互补．
∴这两条直线的位置关系是平行
∴答案为：平行，同旁内角互补．
【分析】根据同旁内角互补及已知可求得两角的度数，从而根据同旁内角互补两直线平行判定两直线的关系．
11．【答案】∠1=∠4
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：可以添加条件∠1=∠4，根据内错角相等，两直线平行可得到AD∥BC．
故答案为：∠1=∠4．
【分析】根据平行线的判定，可以添加这两条直线被第三条直线所截时的内错角相等，故此题可以添加条件∠1=∠4．
12．【答案】50
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠2=50°时，a∥b；理由如下：
如图所示：
∵∠1=40°，
∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°，
当∠2=50°时，∠2=∠3，
∴a∥b；
故答案为：50．
【分析】由直角三角板的性质可知∠3=180°﹣∠1﹣90°=50°，当∠2=50°时，∠2=∠3，得出a∥b即可．
13．【答案】证明： ，
即
，，
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】先利用“HL”证明可得，再利用平行线的判定方法可得AB//DE。
14．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∵
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定，同位角相等，即可得到两直线平行；
(2)依据平行线的性质，可得出∠CED=∠GHD，可知EC//GF， 又因为问题1已证AB//CD，即可得出∠FED =∠D=30°，∠CED =∠EHFD=80°；进而可求∠AEM =∠CEF=110°.
15．【答案】证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴△ABC和△EDF为直角三角形，
∵CD＝BF，
∴CF+BF＝CF+CD，即BC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥DE．
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】现根据题干条件证明Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），得出∠B＝∠D，从而得出AB∥DE.
16．【答案】（1）证明：∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CFE，可得∠A=∠ECF，根据平行线的判定即证；
（2）由（1）知∠A=∠ECF，由角平分线的定义可得，利用等量代换即可求解.
17．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）解：如图，
∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF）=60°-α；
（3）解：①30
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
【知识点】角的运算；平行线的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）由CE平分∠ACD，得出∠BAC=∠ACE，即可得出结论；
（2）先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得出AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，得出BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），代入求解即可；
（3）①根据角之间的转化得出∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；②过C作CN⊥BF于N，得出∠NCQ=∠AFB=30°，从而得出QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得出QB=QF+2QN，从而得出结论。
18．【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BDA，
∴AC∥BD；
（2）解：作FG⊥AB于G，
在Rt△ABE中，AE＝2，AB＝3，
∴BE，
∴FE＝BE﹣BF，
∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AC，FG⊥AB，
∴FG＝FE，即△ABF中AB边上的高为．
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，由AB＝BD可得∠BDA＝∠BAD，从而得出∠CAD＝∠BDA，根据平行线的判定即证；
（2）作FG⊥AB于G， 利用勾股定理求出BE=，从而得出FE＝BE﹣BF=， 由角平分线的性质可得FG＝FE ，继而得解.
19．【答案】（1）解： ，
①﹣②，得
3∠α＝165°，
解得，∠α＝55°，
把∠α＝55°代入②，得
∠β＝125°，
即∠α和∠β的度数分别为55°，125°
（2）证明：由（1）知，∠α＝55°，∠β＝125°，
则∠α+∠β＝180°，
故AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠C＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
又∵∠α＝55°，
∴∠BAC＝145°，
∴∠C＝35°．
【知识点】解二元一次方程组；角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据方程组 ，可以得到∠α和∠β的度数；（2）根据（1）∠α和∠β的度数，可以得到AB∥EF，再根据CD∥EF，即可得到AB∥CD；（3）根据AB∥CD，可得∠BAC+∠C=180°，再根据AC⊥AE和∠α的度数可以得到∠BAC的度数，从而可以得到∠C的度数．
1 / 1
