【培优版】北师大版数学八年级上册7.3平行的判定 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．如图，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠4
C．∠1=∠3 D．∠B+∠BCD=180°
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、根据角∠1=∠2，可以的得到AD∥BC，但不能证得AB∥CD；
B、∠2=∠4，不能判定AB∥CD，选项错误；
C、∠1=∠3，不能判定AB∥CD，选项错误；
D、∠B+∠BCD=180°，根据同旁内角互补两直线平行，可以判定AB∥CD，选项正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
2．（2022八上·莲湖期末）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意；
B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意；
C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意；
D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断.
3．（2021八上·丹东期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①由于∠1和∠3是同位角，则①可判定；
②由于∠2和∠3是内错角，则②可判定；
③①由于∠1和∠4既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定；
④①由于∠2和∠5是同旁内角，则④可判定；
即①②④可判定．
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
4．（2017八上·滕州期末）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
【答案】C
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；
B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确；
C、测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误；
D、在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确．
故选：C．
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
5．（2020八上·即墨期末）如图，在△ABC 中，CE⊥AB 于 E，DF⊥AB 于 F，AC∥ED，CE 是∠ACB 的平分线， 则图中与∠FDB 相等的角（不包含∠FDB）的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴DF∥CE，
∴∠ECB=∠FDB，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠ACE=∠FDB，
∵AC∥DE，
∴∠ACE=∠DEC=∠FDB，
∵DF∥CE，
∴∠DEC=∠EDF=∠FDB，
即与∠FDB相等的角有∠ECB、∠ACE、∠CED、∠EDF，共4个，
故答案为：B.
【分析】根据直线平行的性质以及判定定理，判断得到等角的个数即可。
6．（2020八上·郑州开学考）在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，驶方向与原来相同，这两次弯的角度可能是（ ）
A．第一次左拐30°，第二次右拐30°
B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130°
D．第一次左拐50°，第二次左拐120°
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据题意分别作图，
由于A符合“同位角相等，两直线平行”的判断定理，其余不符合平行线的判定定理.
故答案为：A.
【分析】先按要求作图，然后根据平行线的性质定理逐项判断即可.
7．（2018八上·北京期中）已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A．CD∥ME B．OB∥AE C．∠ODC=∠AEM D．∠ACD=∠EAP
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△OCD和△AME中，
∴△OCD≌△AME（SSS），
∴∠DCO=∠EMA，∠O=∠OAE，∠ODC=∠AEM．
∴CD∥ME，OB∥AE．
故A、B、C都可得到．
∵△OCD≌△AME，
∴∠DCO=∠AME，则∠ACD=∠EAP不一定得出．
故选D．
【分析】证明△OCD≌△AME，根据平行线的判定定理即可得出结论．
8．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.3证明（1） 同步训练）如图，以下条件能判定EG∥HC的是（ ）
A．∠FEB=∠ECD B．∠AEG=∠DCH C．∠GEC=∠HCF D．∠HCF=∠AEG
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、如图，当∠FEB=∠ECD时，AB∥CD（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
B、如图，当∠AEG=∠DCH时，不能判定图中的哪两条直线平行，不符合题意；
C、如图，当∠GEC=∠HCF时，EG∥HC（内错角相等，两直线平行），符合题意；
D、如图，当∠HCF=∠AEG时，不能判定图中的哪两条直线平行，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】（1）当∠FEB=∠ECD时，根据同位角相等，两直线平行可判断AB∥CD；
（2）当∠AEG=∠DCH时，不符合三线八角的条件，所以不能判定图中的哪两条直线平行；
（3）当∠GEC=∠HCF时，根据内错角相等，两直线平行可判断EG∥HC
（4）当∠HCF=∠AEG时，不符合三线八角的条件，所以不能判定图中的哪两条直线平行
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024七下·南昌期中） 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中都与地面平行，，，当为 度时，与平行．
【答案】66
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
，
时，与平行，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据平行线的性质得到∠ACD的度数，再根据比值结合题意即可求出∠ACB的度数，进而即可求解。
10．（2023七下·杭州期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．
【答案】70°或110°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，
由折叠知，∠K=∠P=90°，∠ENM=90°，
∵PK∥MN，
∴∠K=∠Q=90°，
∴∠ENM=∠Q，
∴EN∥KH，
∵∠EFC=35°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=35°，
∴∠AEN=70°，
又∵EN∥KH，
∴∠AHQ=∠AEN=70°，
∵∠KHD=∠AHQ，
∴∠KHD=70°；
如图，当PK在AD下方时，延长HK、MN交于点T，
由折叠知∠HKP=90°，∠MNE=90°，
∵MN∥KP，
∴∠T=∠TKP=90°，
∴∠ENM=∠T=90°，
∴EN∥KH，
∵∠EFC=35°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=35°，
∴∠AEN=70°，
又∵EN∥HK，
∴∠AHK=∠AEN=70°，
∴∠KHD=180°-∠AHK=110°，
综上∠KHD的度数为70°或110°.
故答案为：70°或110°.
【分析】分两种情况讨论：①如图，当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，证明EN∥KH，则∠KHD=∠AEN；②如图，当PK在AD下方时，延长HK、MN交于点T，证明EN∥KH，则∠KHD=180°-∠AEN.
11．（2024八上·北京市期中）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是 ．
【答案】甲、乙
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；作图-平行线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，甲所用方法正确．
由作图可知，，
则．
如图，乙所用方法正确．
由作图可知，，是角平分线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
综上，所用方法正确的是甲、乙，
故答案为：甲、乙．
【分析】本题考查平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质．甲：根据题意可得
，根据同位角相等，两直线平行可得，据此可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可得，再根据，利用角的运算可得：，再根据同位角相等，两直线平行可得：，据此可判断乙所用方法正确．
12．将一块三角板 按如图方式放置， 使 两点分别落在直线 上， 给出四个条件： ①； ②；③ ； ④； ⑤． 能判断直线 的有 （填序号）
【答案】①④⑤
【知识点】常用角的度量单位及换算；平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°30'，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°30'=∠2，
∴m∥n，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CE∥m，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴EC∥n，
∴m∥n，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴m∥n，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题。
13．将一把三角尺ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图所示的方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上.给出5个条件；①∠1=25.5°；∠2=55°30'； ②∠2 = 2∠1； ③∠1 + ∠2 = 90°；④∠ACB=∠1+∠2；⑤∠ABC=∠2-∠1.其中能判定 m∥n的是 （填序号）.
【答案】①⑤
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=25.5°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC=55.5°=55°30'，
即∠2=∠1+∠ABC，
∴m∥n；①符合题意；
②∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
故当∠1=30°时，∠2=∠1+∠ABC，
此时m∥n；
当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能得出m∥n；②不符合题意；
③∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，③不符合题意；
④∵∠ABC=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，
∵∠ACB=∠1+∠2=60°，
当∠1=15°时，∠2=45°=∠1+∠ABC，
此时m∥n；
当∠1≠15°，∠2≠∠1+30°，不能得出m∥n；④不符合题意；
⑤∵∠ABC=∠2-∠1，
即∠2=∠1+∠ABC，
∴m∥n；⑤符合题意；
故答案为：①⑤.
【分析】根据内错角相等，两直线平行逐项分析即可求解.
阅卷人 三、解答题
得分
14．如图，C是线段AB上任意一点(点C与点A，B不重合)，分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD交于点M，BD与CE交于点N.求证：
（1）△ACE≌△DCB.
（2）MN∥AB.
【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE为等边三角形，∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，得∠ACE=∠DCB．∴△ACE≌△DCB（SAS）．
（2）证明：由（1），△ACE≌△DCB，得∠CAE=∠CDB．∵∠ACD=∠BCE=60°，点A，C，B在一条直线上，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°，∴∠ACD=∠DCE．
∴△ACM≌△DCN，∴CM=CN．而∠MCN=60°，∴△CMN为等边三角形，
∴∠CNM=60°，∴∠CNM=∠ECB，∴MN∥AB．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可以得出AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，就可以求出∠ACE=∠DCB=120°，由边角边就可以得出△ACE≌△DCB；
(2)根据全等三角形的性质得到AE=DB，∠EAC=∠BDC，推出△ACM≌△DCN(ASA)，由全等三角形的性质得到CM=CN证得△CMN为等边三角形，于是得到∠MNC=∠ECB=60°，根据平行线的判定即可得到结论.
15．（2024八上·湖南开学考）阅读下列文字，完成推理填空：
已知：如图，，，请说明：；
如图，延长交于点．
因为，
所以________（内错角相等，两直线平行）．
所以________（________________）．
因为，
所以________（________________）．
所以（________________）．
【答案】；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定；平行线的判定与性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图所示，
延长交于点．
因为，所以（内错角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
因为，所以（等量代换）．
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】延长交于点，如图所示，根据内错角相等，两直线平行得到，进而确定，再由内错角相等，两直线平行即可得到，.
16．（2024七下·温州期中） 如图，在三角形内部有一点F，点D，E分别是边上的点，，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，则，
，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
解得，
．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得，结合 ，再利用平行线的判定定理即可得到结论；
（2）设∠A=x°，表示出∠F，根据平行线的性质表示出∠CEF和∠BDF，从而可得∠DEF和∠EDF，最后利用三角形的内角和定理，即可得到x的值.
17．（2024七下·襄州月考）已知∶直线分别与直线，相交于点，，并且
（1）如图1，求证∶；
（2）如图 2，点在直线，之间，连接，，求证∶；
【答案】（1）证明：，．
，
；
（2）证明：如图，过点作，
又，
．
，．
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据已知及对顶角相等可得∠BGF+∠DHE=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行，得AB∥CD；
（2）过点M作MR∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥MR，根据二直线平行，内错角相等，可得∠GMR=∠AGM，∠HMR=∠CHM，最后根据角的构成及等量代换可得结论.
18．（2024七下·黄冈月考）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若，，求的度数.
【答案】（1）证明：如图1，∵，.
∴
∴；
（2）证明：如图2，过点M作，
又∵，∴.
∴，.
∴.
（3）解：如图3，令，，则，，
∵射线GH是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作，
则，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等、等量代换原则和同旁内角互补，两直线平行，直接求证即可；
（2）过点M作MR∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD∥MR，根据二直线平行，内错角相等，可得∠GMR=∠AGM，∠HMR=∠CHM，根据等量代换原则及角的构成即可直接求证；
（3）根据角平分线的性质，可用含α的代数式表示∠FGM；根据角的运算，即可用含α的代数式表示∠AGM；根据题意，将相应角的代入等式，即可求出∠FGN的度数；根据平行线的性质和等量代换原则，可得∠GHM和∠CHG的代数式；根据两直线平行，同旁内角互补，列等式，即可求出∠GHM的度数.
19．（2024八上·安乡县期末）已知和均为等边三角形，点在的边上，点在直线上．
（1）若点和点重合（如图①），求证：．
（2）若点在的延长线上（如图②），（1）中的结论还能成立吗？给出你的结论并证明．
【答案】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下，
如图所示，过点作交的延长线于点，
∴
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
同（1）可得，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的条件SAS，可证，可得∠EAC=∠B=60°，然后可得∠EAC=∠ACB，最后根据平行线的判定定理即可得出结论；
（2） 过点F作FG∥BC交AB的延长线于点G，可得△AGF是等边三角形，然后同（1）可得，可得∠EAF=∠G=60°，再根据平行线的判定定理即可得出结论.
20．
（1）问题情境：
如图1，已知 AB∥CD，∠APC=108°.求∠PAB+∠PCD的度数.
经过思考，小敏提出思路：如图2，过点 P 作PE∥AB，根据平行线的有关性质，可得∠PAB+∠PCD= °.
（2）问题迁移：
如图3，AD∥BC，点 P 在射线OM 上运动，∠ADP=α，∠BCP=β.
当点 P 在A，B两点之间运动时，∠CPD，α，β之间有何数量关系 请说明理由.
（3）当点 P 在A，B 两点外侧运动时（点 P 与点A，B，O不重合），请直接写出∠CPD，α，β之间的数量关系.
（4）问题拓展：
如图4， -An是一条折线段.
依据此图信息，把你所发现的结论用数学式子表达出来：
【答案】（1）252
（2）解：∠CPD=α+β.理由如下：
过点P作PE∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠PDA+∠PCB，
∵ ∠ADP=α，∠BCP=β，
∴∠CPD=α+β.
（3）解：当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β.
当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α.
（4）+∠Bn-1
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB+∠PAE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∴∠PAB+∠PAE+∠PCD+∠CPE=360°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°.
故答案为：252.
（3）当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β.理由如下：
过点P作PE∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
而∠DPE=∠CPE+∠CPD=∠BCP+∠CPD=∠PDA，∠ADP=α，∠BCP=β，
∴α=β+∠CPD，
即∠CPD=α-β.当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α，理由如下：
过点P作PE∥AD，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
∵∠PCB=∠CPE=∠DPE+∠CPD=∠PDA+∠CPD，
∵ ∠ADP=α，∠BCP=β，
∴β=α+∠CPD，即∠CPD=β-α.
【分析】（1）过点P作PE∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
（2）∠CPD=α+β.理由如下：过点P作PE∥BC，由平行线的传递性可得AD∥BC∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
（3）①当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β，过点P作PE∥BC，由平行线的传递性可得AD∥BC∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
②当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α，过点P作PE∥AD，同理可求解；
（4）结合(1)、（2）、（3）的结论可求解.
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册7.3平行的判定 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．如图，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠4
C．∠1=∠3 D．∠B+∠BCD=180°
2．（2022八上·莲湖期末）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·丹东期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
4．（2017八上·滕州期末）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
5．（2020八上·即墨期末）如图，在△ABC 中，CE⊥AB 于 E，DF⊥AB 于 F，AC∥ED，CE 是∠ACB 的平分线， 则图中与∠FDB 相等的角（不包含∠FDB）的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2020八上·郑州开学考）在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，驶方向与原来相同，这两次弯的角度可能是（ ）
A．第一次左拐30°，第二次右拐30°
B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130°
D．第一次左拐50°，第二次左拐120°
7．（2018八上·北京期中）已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A．CD∥ME B．OB∥AE C．∠ODC=∠AEM D．∠ACD=∠EAP
8．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.3证明（1） 同步训练）如图，以下条件能判定EG∥HC的是（ ）
A．∠FEB=∠ECD B．∠AEG=∠DCH C．∠GEC=∠HCF D．∠HCF=∠AEG
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024七下·南昌期中） 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中都与地面平行，，，当为 度时，与平行．
10．（2023七下·杭州期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．
11．（2024八上·北京市期中）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是 ．
12．将一块三角板 按如图方式放置， 使 两点分别落在直线 上， 给出四个条件： ①； ②；③ ； ④； ⑤． 能判断直线 的有 （填序号）
13．将一把三角尺ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图所示的方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上.给出5个条件；①∠1=25.5°；∠2=55°30'； ②∠2 = 2∠1； ③∠1 + ∠2 = 90°；④∠ACB=∠1+∠2；⑤∠ABC=∠2-∠1.其中能判定 m∥n的是 （填序号）.
阅卷人 三、解答题
得分
14．如图，C是线段AB上任意一点(点C与点A，B不重合)，分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD交于点M，BD与CE交于点N.求证：
（1）△ACE≌△DCB.
（2）MN∥AB.
15．（2024八上·湖南开学考）阅读下列文字，完成推理填空：
已知：如图，，，请说明：；
如图，延长交于点．
因为，
所以________（内错角相等，两直线平行）．
所以________（________________）．
因为，
所以________（________________）．
所以（________________）．
16．（2024七下·温州期中） 如图，在三角形内部有一点F，点D，E分别是边上的点，，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若平分，，求的度数．
17．（2024七下·襄州月考）已知∶直线分别与直线，相交于点，，并且
（1）如图1，求证∶；
（2）如图 2，点在直线，之间，连接，，求证∶；
18．（2024七下·黄冈月考）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若，，求的度数.
19．（2024八上·安乡县期末）已知和均为等边三角形，点在的边上，点在直线上．
（1）若点和点重合（如图①），求证：．
（2）若点在的延长线上（如图②），（1）中的结论还能成立吗？给出你的结论并证明．
20．
（1）问题情境：
如图1，已知 AB∥CD，∠APC=108°.求∠PAB+∠PCD的度数.
经过思考，小敏提出思路：如图2，过点 P 作PE∥AB，根据平行线的有关性质，可得∠PAB+∠PCD= °.
（2）问题迁移：
如图3，AD∥BC，点 P 在射线OM 上运动，∠ADP=α，∠BCP=β.
当点 P 在A，B两点之间运动时，∠CPD，α，β之间有何数量关系 请说明理由.
（3）当点 P 在A，B 两点外侧运动时（点 P 与点A，B，O不重合），请直接写出∠CPD，α，β之间的数量关系.
（4）问题拓展：
如图4， -An是一条折线段.
依据此图信息，把你所发现的结论用数学式子表达出来：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、根据角∠1=∠2，可以的得到AD∥BC，但不能证得AB∥CD；
B、∠2=∠4，不能判定AB∥CD，选项错误；
C、∠1=∠3，不能判定AB∥CD，选项错误；
D、∠B+∠BCD=180°，根据同旁内角互补两直线平行，可以判定AB∥CD，选项正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意；
B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意；
C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意；
D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①由于∠1和∠3是同位角，则①可判定；
②由于∠2和∠3是内错角，则②可判定；
③①由于∠1和∠4既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定；
④①由于∠2和∠5是同旁内角，则④可判定；
即①②④可判定．
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；
B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确；
C、测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误；
D、在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确．
故选：C．
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴DF∥CE，
∴∠ECB=∠FDB，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠ACE=∠FDB，
∵AC∥DE，
∴∠ACE=∠DEC=∠FDB，
∵DF∥CE，
∴∠DEC=∠EDF=∠FDB，
即与∠FDB相等的角有∠ECB、∠ACE、∠CED、∠EDF，共4个，
故答案为：B.
【分析】根据直线平行的性质以及判定定理，判断得到等角的个数即可。
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据题意分别作图，
由于A符合“同位角相等，两直线平行”的判断定理，其余不符合平行线的判定定理.
故答案为：A.
【分析】先按要求作图，然后根据平行线的性质定理逐项判断即可.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△OCD和△AME中，
∴△OCD≌△AME（SSS），
∴∠DCO=∠EMA，∠O=∠OAE，∠ODC=∠AEM．
∴CD∥ME，OB∥AE．
故A、B、C都可得到．
∵△OCD≌△AME，
∴∠DCO=∠AME，则∠ACD=∠EAP不一定得出．
故选D．
【分析】证明△OCD≌△AME，根据平行线的判定定理即可得出结论．
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、如图，当∠FEB=∠ECD时，AB∥CD（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
B、如图，当∠AEG=∠DCH时，不能判定图中的哪两条直线平行，不符合题意；
C、如图，当∠GEC=∠HCF时，EG∥HC（内错角相等，两直线平行），符合题意；
D、如图，当∠HCF=∠AEG时，不能判定图中的哪两条直线平行，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】（1）当∠FEB=∠ECD时，根据同位角相等，两直线平行可判断AB∥CD；
（2）当∠AEG=∠DCH时，不符合三线八角的条件，所以不能判定图中的哪两条直线平行；
（3）当∠GEC=∠HCF时，根据内错角相等，两直线平行可判断EG∥HC
（4）当∠HCF=∠AEG时，不符合三线八角的条件，所以不能判定图中的哪两条直线平行
9．【答案】66
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
，
时，与平行，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据平行线的性质得到∠ACD的度数，再根据比值结合题意即可求出∠ACB的度数，进而即可求解。
10．【答案】70°或110°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，
由折叠知，∠K=∠P=90°，∠ENM=90°，
∵PK∥MN，
∴∠K=∠Q=90°，
∴∠ENM=∠Q，
∴EN∥KH，
∵∠EFC=35°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=35°，
∴∠AEN=70°，
又∵EN∥KH，
∴∠AHQ=∠AEN=70°，
∵∠KHD=∠AHQ，
∴∠KHD=70°；
如图，当PK在AD下方时，延长HK、MN交于点T，
由折叠知∠HKP=90°，∠MNE=90°，
∵MN∥KP，
∴∠T=∠TKP=90°，
∴∠ENM=∠T=90°，
∴EN∥KH，
∵∠EFC=35°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=35°，
∴∠AEN=70°，
又∵EN∥HK，
∴∠AHK=∠AEN=70°，
∴∠KHD=180°-∠AHK=110°，
综上∠KHD的度数为70°或110°.
故答案为：70°或110°.
【分析】分两种情况讨论：①如图，当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，证明EN∥KH，则∠KHD=∠AEN；②如图，当PK在AD下方时，延长HK、MN交于点T，证明EN∥KH，则∠KHD=180°-∠AEN.
11．【答案】甲、乙
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；作图-平行线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，甲所用方法正确．
由作图可知，，
则．
如图，乙所用方法正确．
由作图可知，，是角平分线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
综上，所用方法正确的是甲、乙，
故答案为：甲、乙．
【分析】本题考查平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质．甲：根据题意可得
，根据同位角相等，两直线平行可得，据此可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可得，再根据，利用角的运算可得：，再根据同位角相等，两直线平行可得：，据此可判断乙所用方法正确．
12．【答案】①④⑤
【知识点】常用角的度量单位及换算；平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°30'，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°30'=∠2，
∴m∥n，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CE∥m，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴EC∥n，
∴m∥n，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴m∥n，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题。
13．【答案】①⑤
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=25.5°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC=55.5°=55°30'，
即∠2=∠1+∠ABC，
∴m∥n；①符合题意；
②∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
故当∠1=30°时，∠2=∠1+∠ABC，
此时m∥n；
当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能得出m∥n；②不符合题意；
③∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，③不符合题意；
④∵∠ABC=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，
∵∠ACB=∠1+∠2=60°，
当∠1=15°时，∠2=45°=∠1+∠ABC，
此时m∥n；
当∠1≠15°，∠2≠∠1+30°，不能得出m∥n；④不符合题意；
⑤∵∠ABC=∠2-∠1，
即∠2=∠1+∠ABC，
∴m∥n；⑤符合题意；
故答案为：①⑤.
【分析】根据内错角相等，两直线平行逐项分析即可求解.
14．【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE为等边三角形，∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，得∠ACE=∠DCB．∴△ACE≌△DCB（SAS）．
（2）证明：由（1），△ACE≌△DCB，得∠CAE=∠CDB．∵∠ACD=∠BCE=60°，点A，C，B在一条直线上，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°，∴∠ACD=∠DCE．
∴△ACM≌△DCN，∴CM=CN．而∠MCN=60°，∴△CMN为等边三角形，
∴∠CNM=60°，∴∠CNM=∠ECB，∴MN∥AB．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可以得出AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，就可以求出∠ACE=∠DCB=120°，由边角边就可以得出△ACE≌△DCB；
(2)根据全等三角形的性质得到AE=DB，∠EAC=∠BDC，推出△ACM≌△DCN(ASA)，由全等三角形的性质得到CM=CN证得△CMN为等边三角形，于是得到∠MNC=∠ECB=60°，根据平行线的判定即可得到结论.
15．【答案】；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定；平行线的判定与性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图所示，
延长交于点．
因为，所以（内错角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
因为，所以（等量代换）．
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】延长交于点，如图所示，根据内错角相等，两直线平行得到，进而确定，再由内错角相等，两直线平行即可得到，.
16．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，则，
，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
解得，
．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得，结合 ，再利用平行线的判定定理即可得到结论；
（2）设∠A=x°，表示出∠F，根据平行线的性质表示出∠CEF和∠BDF，从而可得∠DEF和∠EDF，最后利用三角形的内角和定理，即可得到x的值.
17．【答案】（1）证明：，．
，
；
（2）证明：如图，过点作，
又，
．
，．
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据已知及对顶角相等可得∠BGF+∠DHE=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行，得AB∥CD；
（2）过点M作MR∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥MR，根据二直线平行，内错角相等，可得∠GMR=∠AGM，∠HMR=∠CHM，最后根据角的构成及等量代换可得结论.
18．【答案】（1）证明：如图1，∵，.
∴
∴；
（2）证明：如图2，过点M作，
又∵，∴.
∴，.
∴.
（3）解：如图3，令，，则，，
∵射线GH是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作，
则，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等、等量代换原则和同旁内角互补，两直线平行，直接求证即可；
（2）过点M作MR∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD∥MR，根据二直线平行，内错角相等，可得∠GMR=∠AGM，∠HMR=∠CHM，根据等量代换原则及角的构成即可直接求证；
（3）根据角平分线的性质，可用含α的代数式表示∠FGM；根据角的运算，即可用含α的代数式表示∠AGM；根据题意，将相应角的代入等式，即可求出∠FGN的度数；根据平行线的性质和等量代换原则，可得∠GHM和∠CHG的代数式；根据两直线平行，同旁内角互补，列等式，即可求出∠GHM的度数.
19．【答案】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下，
如图所示，过点作交的延长线于点，
∴
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
同（1）可得，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的条件SAS，可证，可得∠EAC=∠B=60°，然后可得∠EAC=∠ACB，最后根据平行线的判定定理即可得出结论；
（2） 过点F作FG∥BC交AB的延长线于点G，可得△AGF是等边三角形，然后同（1）可得，可得∠EAF=∠G=60°，再根据平行线的判定定理即可得出结论.
20．【答案】（1）252
（2）解：∠CPD=α+β.理由如下：
过点P作PE∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠PDA+∠PCB，
∵ ∠ADP=α，∠BCP=β，
∴∠CPD=α+β.
（3）解：当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β.
当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α.
（4）+∠Bn-1
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB+∠PAE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∴∠PAB+∠PAE+∠PCD+∠CPE=360°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°.
故答案为：252.
（3）当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β.理由如下：
过点P作PE∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
而∠DPE=∠CPE+∠CPD=∠BCP+∠CPD=∠PDA，∠ADP=α，∠BCP=β，
∴α=β+∠CPD，
即∠CPD=α-β.当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α，理由如下：
过点P作PE∥AD，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
∵∠PCB=∠CPE=∠DPE+∠CPD=∠PDA+∠CPD，
∵ ∠ADP=α，∠BCP=β，
∴β=α+∠CPD，即∠CPD=β-α.
【分析】（1）过点P作PE∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
（2）∠CPD=α+β.理由如下：过点P作PE∥BC，由平行线的传递性可得AD∥BC∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
（3）①当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β，过点P作PE∥BC，由平行线的传递性可得AD∥BC∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
②当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α，过点P作PE∥AD，同理可求解；
（4）结合(1)、（2）、（3）的结论可求解.
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