【提升版】北师大版数学八年级上册7.4平行的性质 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·广东期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
2．（2023八上·博罗月考）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
3．（2024八上·深圳期末）如下图，在中，，平分，交于点，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为∠BAC=90°，∠ACB =34°（已知），
所在△ABC中 ∠ABC = 180°-90°-34°=56°（三角形内角和定义），
又因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD=∠ABC=28°，
因为CD//AB，
所以∠D=∠ABD = 28°.
故答案为：B.
【分析】根据题目已知条，按三角形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质即可得到结论.
4．（2024八上·罗湖期末）如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行.若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：由题知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线的夹角，即∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵AB∥CD，直线a∥直线b，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6．
又∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，
∴∠4＝∠1＝45°．
故答案为：B．
【分析】先由入射光线与镜面的夹角等于反射光线的夹角，可得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，然后由AB∥CD，直线a∥直线b，可得出∠2＝∠3，∠5＝∠6，再结合∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，则可求出∠4的度数即可解答．
5．（2024八上·光明期末）如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1= 35°，
∴∠3 = 35°，
∵∠5 = 90°，
∴∠3+∠4= 90°，
∴∠2=∠4=90°-∠3=55°，
故答案为：A.
【分析】利用平角的定义及角的和差关系，先求出∠3，由对顶角可知∠2=∠4，再根据余角即可求解.
6．（2024八上·深圳期末）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，
若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知∠EBD=∠CBD=35°，
∴∠EBC=2∠CBD=70°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC=70°（两直线平行，内错角相等），
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质，可以得到∠EBC的度数为35°，再根据平行线的性质即可得到答案．
7．（2023八上·惠阳期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作交、于点、，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD
又∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
同理DF=CF，
又∵的周长为，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线及平分线进行角度推理得出等腰，后利用等腰进行等量代换将目标三角形周长转换为已知条件表达即可计算得出结果.
8．（2023八上·潮南期中）如图，直线AB//CD，直线AB，EG交于点F，直线CD，PM交于点N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，则下列结论正确的是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝120°
C．α+β﹣γ＝60° D．β+γ﹣α＝60°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·潮南月考）如图，在中，点在边上，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则的长为 ；
【答案】32
【知识点】平行线的性质
10．（2021八上·紫金期末）如图，，若，，，则∠AEC的度数为 ．
【答案】100°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：在△ACD中，∠1＝37°，∠DAC＝89°，
∴∠D＝180° ∠DAC ∠1＝54°，
∵AE∥CD，
∴∠BAE＝∠D＝54°，
∵∠DBC＋∠BAE＋∠AEB＝180°，∠DBC＝46°，
∴∠AEB＝180° 54° 46°＝80°，
∴∠AEC＝180° ∠AEB＝180° 80°＝100°，
故答案为：100°．
【分析】先求出∠AEB＝180° 54° 46°＝80°，再利用邻补角的性质可得∠AEC＝180° ∠AEB＝180° 80°＝100°。
11．（2024八上·深圳期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，求＝ ．
【答案】12
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG=∠CBG，∠ACF=∠FCB，
∴∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠ACF，
EB=EG，DF=DC，
∵FG=4，ED=8，
∴EB+DC=EG+DF
=ED+FG
= 12，
故答案为：12.
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBG和△DFC是等腰三角形，从而可得EB=EG，DF=DC，进而可得EB+DC=ED+FG，然后进行计算即可解答.
12．（2024八上·越秀月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有 （填写序号）．
【答案】①③④
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【分析】在中，和的平分线相交于点，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得，故②错误；由角平分线的定义及平行线的性质可推出，，可得，，从而得出EF=BE+CF，故①正确；过点作于，作于，连接，利用角平分线的性质可得，从而得出，故③④都正确.
13．（2022八上·越秀期中）如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为 ．
【答案】40°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，作．
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，，再求出∠ACB=50°，最后根据计算求解即可。
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·龙岗期末）问题情境：如图1，将含 角的三角板 和含角的三角板 叠放在一起，使直角顶点重合，点 D 落在直线 上，点 E 落在直线 上． 绕点 A 旋转， 边 与 、 分别相交与点 F、点N，边 与 相交于点 M．
（1）如图 2，当 时：
①求的度数．
②判断 与的数量关系，并说明理由．
（2）如图 3，当 平分 时：
①求的度数；
②判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）①；②
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
15．（2024八上·盐田期末）已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，求证．
【答案】（1）解：是等腰直角三角形，
，
，
∴
，
，
，
，
（2）证明：连接，如图：
与都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
在中，根据勾股定理得：，
，
．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行得到∠ACB=90°=∠CAD，再由∠E=∠ECA=∠DCA=∠D=45°得到AE=AC=AD.于是DE=2AC.
（2）由于这个结论满足直角三角形的三边关系，但三边不在同一个三角形中，所以构造包含这三边的等长线段的直角三角形问题就可以得到解决.连接BD后，很容易证得AE=BD，再证得∠EDB=90°，于是可以得到AD2+DB2=AB2，考虑到AB与AC的数量关系，结论就可以证明.
16．（2023八上·越秀月考）已知，是的角平分线，，，试求与的度数．
【答案】解：是的角平分线，，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义，可以得出∠BCD的度数，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得出∠EDC的度数，最后根据三角形内角和为180°可以计算出答案.
17．（2023八上·惠州开学考）如图，已知，，，求证：．
【答案】证明：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】由平行线的性质得到∠4＝∠BAF，∠3＝∠DAC，从而可得到∠1＝∠2，再根据等量加等量和相等得到∠BAF＝∠DAC，从而推出∠3＝∠4.
18．（2022八上·越秀期中）如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，，垂是为点F，交于点G．
（1）求证： 平分．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出∠CBF=60°，最后计算求解即可。
19．（2022八上·龙湖开学考）已知：直线，经过直线上的定点的直线交于点，点，为直线上的两点，且点在点右侧，点的左侧时，连接，，满足．
（1）如图，若，，直接写出的度数为： ．
（2）如图，射线为的角平分线，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）125°
（2）解：结论：．理由：，，．又射线为的角平分线，．，．．即．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1），，．，，．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠COP=∠BPO，∠BPN=∠PNM=∠MPN=50°，从而得出∠BPO=∠MPO+∠MPN+∠BPN=125°，即可得出∠COP=125°；
（2）根据平行线的性质得出∠EPB=∠POM，∠BPN=∠PNM，根据角平分线的定义得出∠EPQ=∠MPQ=∠MPE，从而得出∠MPN=∠NPB=∠MPB，利用∠NPQ=∠MPQ-∠MPN得出∠NPQ=∠POM，即可得出答案.
20．（2024八上·紫金期末）已知在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点.
（1）如图，连接，①若，求的度数；
②若平分，求的度数.
（2）若直线垂直于的一边，求的度数.
【答案】（1）解：①，，
.
平分，.
，.
②，，
，.
平分，平分，
，.
.
（2）解：①如图1，当时，.
由（1）得，.
如图2，当于点时，.
由（1）得，
.
③如图3，当时，.
由（1）得，，
.
综上所述，或或.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得∠ABC＝74°，由BM平分∠ABC可得∠ABE＝37°，由平行线的性质可得∠BEC＝∠ABE＝37°；
②先根据三角形的内角和定理和外角定理求出∠ABC和∠ACD的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBE和∠ECD的度数，再由三角形的外角定理即可求出∠BEC的度数.
（2）分三种情况：①当CE⊥BC时，由∠BEC＝90°-∠CBE即可求出∠BEC的度数；
②当CE⊥AB于点F时，由∠BEC＝∠BFC+∠FBE即可求出∠BEC的度数；③当CE⊥AC时，由∠BEC＝180°-∠CBE-∠ACB-∠ACE即可求出∠BEC的度数.
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册7.4平行的性质 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·广东期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·博罗月考）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·深圳期末）如下图，在中，，平分，交于点，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·罗湖期末）如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行.若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（2024八上·光明期末）如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·深圳期末）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，
若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
7．（2023八上·惠阳期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作交、于点、，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·潮南期中）如图，直线AB//CD，直线AB，EG交于点F，直线CD，PM交于点N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，则下列结论正确的是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝120°
C．α+β﹣γ＝60° D．β+γ﹣α＝60°
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·潮南月考）如图，在中，点在边上，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则的长为 ；
10．（2021八上·紫金期末）如图，，若，，，则∠AEC的度数为 ．
11．（2024八上·深圳期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，求＝ ．
12．（2024八上·越秀月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有 （填写序号）．
13．（2022八上·越秀期中）如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为 ．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·龙岗期末）问题情境：如图1，将含 角的三角板 和含角的三角板 叠放在一起，使直角顶点重合，点 D 落在直线 上，点 E 落在直线 上． 绕点 A 旋转， 边 与 、 分别相交与点 F、点N，边 与 相交于点 M．
（1）如图 2，当 时：
①求的度数．
②判断 与的数量关系，并说明理由．
（2）如图 3，当 平分 时：
①求的度数；
②判断 与 的位置关系，并说明理由．
15．（2024八上·盐田期末）已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，求证．
16．（2023八上·越秀月考）已知，是的角平分线，，，试求与的度数．
17．（2023八上·惠州开学考）如图，已知，，，求证：．
18．（2022八上·越秀期中）如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，，垂是为点F，交于点G．
（1）求证： 平分．
（2）若，，求的度数．
19．（2022八上·龙湖开学考）已知：直线，经过直线上的定点的直线交于点，点，为直线上的两点，且点在点右侧，点的左侧时，连接，，满足．
（1）如图，若，，直接写出的度数为： ．
（2）如图，射线为的角平分线，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
20．（2024八上·紫金期末）已知在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点.
（1）如图，连接，①若，求的度数；
②若平分，求的度数.
（2）若直线垂直于的一边，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为∠BAC=90°，∠ACB =34°（已知），
所在△ABC中 ∠ABC = 180°-90°-34°=56°（三角形内角和定义），
又因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD=∠ABC=28°，
因为CD//AB，
所以∠D=∠ABD = 28°.
故答案为：B.
【分析】根据题目已知条，按三角形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质即可得到结论.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：由题知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线的夹角，即∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵AB∥CD，直线a∥直线b，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6．
又∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，
∴∠4＝∠1＝45°．
故答案为：B．
【分析】先由入射光线与镜面的夹角等于反射光线的夹角，可得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，然后由AB∥CD，直线a∥直线b，可得出∠2＝∠3，∠5＝∠6，再结合∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，则可求出∠4的度数即可解答．
5．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1= 35°，
∴∠3 = 35°，
∵∠5 = 90°，
∴∠3+∠4= 90°，
∴∠2=∠4=90°-∠3=55°，
故答案为：A.
【分析】利用平角的定义及角的和差关系，先求出∠3，由对顶角可知∠2=∠4，再根据余角即可求解.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知∠EBD=∠CBD=35°，
∴∠EBC=2∠CBD=70°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC=70°（两直线平行，内错角相等），
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质，可以得到∠EBC的度数为35°，再根据平行线的性质即可得到答案．
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD
又∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
同理DF=CF，
又∵的周长为，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线及平分线进行角度推理得出等腰，后利用等腰进行等量代换将目标三角形周长转换为已知条件表达即可计算得出结果.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角
9．【答案】32
【知识点】平行线的性质
10．【答案】100°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：在△ACD中，∠1＝37°，∠DAC＝89°，
∴∠D＝180° ∠DAC ∠1＝54°，
∵AE∥CD，
∴∠BAE＝∠D＝54°，
∵∠DBC＋∠BAE＋∠AEB＝180°，∠DBC＝46°，
∴∠AEB＝180° 54° 46°＝80°，
∴∠AEC＝180° ∠AEB＝180° 80°＝100°，
故答案为：100°．
【分析】先求出∠AEB＝180° 54° 46°＝80°，再利用邻补角的性质可得∠AEC＝180° ∠AEB＝180° 80°＝100°。
11．【答案】12
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG=∠CBG，∠ACF=∠FCB，
∴∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠ACF，
EB=EG，DF=DC，
∵FG=4，ED=8，
∴EB+DC=EG+DF
=ED+FG
= 12，
故答案为：12.
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBG和△DFC是等腰三角形，从而可得EB=EG，DF=DC，进而可得EB+DC=ED+FG，然后进行计算即可解答.
12．【答案】①③④
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【分析】在中，和的平分线相交于点，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得，故②错误；由角平分线的定义及平行线的性质可推出，，可得，，从而得出EF=BE+CF，故①正确；过点作于，作于，连接，利用角平分线的性质可得，从而得出，故③④都正确.
13．【答案】40°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，作．
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，，再求出∠ACB=50°，最后根据计算求解即可。
14．【答案】（1）①；②
（2）①；②
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
15．【答案】（1）解：是等腰直角三角形，
，
，
∴
，
，
，
，
（2）证明：连接，如图：
与都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
在中，根据勾股定理得：，
，
．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行得到∠ACB=90°=∠CAD，再由∠E=∠ECA=∠DCA=∠D=45°得到AE=AC=AD.于是DE=2AC.
（2）由于这个结论满足直角三角形的三边关系，但三边不在同一个三角形中，所以构造包含这三边的等长线段的直角三角形问题就可以得到解决.连接BD后，很容易证得AE=BD，再证得∠EDB=90°，于是可以得到AD2+DB2=AB2，考虑到AB与AC的数量关系，结论就可以证明.
16．【答案】解：是的角平分线，，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义，可以得出∠BCD的度数，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得出∠EDC的度数，最后根据三角形内角和为180°可以计算出答案.
17．【答案】证明：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】由平行线的性质得到∠4＝∠BAF，∠3＝∠DAC，从而可得到∠1＝∠2，再根据等量加等量和相等得到∠BAF＝∠DAC，从而推出∠3＝∠4.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出∠CBF=60°，最后计算求解即可。
19．【答案】（1）125°
（2）解：结论：．理由：，，．又射线为的角平分线，．，．．即．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1），，．，，．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠COP=∠BPO，∠BPN=∠PNM=∠MPN=50°，从而得出∠BPO=∠MPO+∠MPN+∠BPN=125°，即可得出∠COP=125°；
（2）根据平行线的性质得出∠EPB=∠POM，∠BPN=∠PNM，根据角平分线的定义得出∠EPQ=∠MPQ=∠MPE，从而得出∠MPN=∠NPB=∠MPB，利用∠NPQ=∠MPQ-∠MPN得出∠NPQ=∠POM，即可得出答案.
20．【答案】（1）解：①，，
.
平分，.
，.
②，，
，.
平分，平分，
，.
.
（2）解：①如图1，当时，.
由（1）得，.
如图2，当于点时，.
由（1）得，
.
③如图3，当时，.
由（1）得，，
.
综上所述，或或.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得∠ABC＝74°，由BM平分∠ABC可得∠ABE＝37°，由平行线的性质可得∠BEC＝∠ABE＝37°；
②先根据三角形的内角和定理和外角定理求出∠ABC和∠ACD的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBE和∠ECD的度数，再由三角形的外角定理即可求出∠BEC的度数.
（2）分三种情况：①当CE⊥BC时，由∠BEC＝90°-∠CBE即可求出∠BEC的度数；
②当CE⊥AB于点F时，由∠BEC＝∠BFC+∠FBE即可求出∠BEC的度数；③当CE⊥AC时，由∠BEC＝180°-∠CBE-∠ACB-∠ACE即可求出∠BEC的度数.
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