【培优版】北师大版数学八年级上册 7.4平行的性质 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2022八上·锦江开学考）如图，，，平分，平分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
，
，
，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
∵
，，
．
故答案为：C．
【分析】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，根据平行公理的推论得，利用平行线的性质可得，，结合∠BED=110°， 可求出，由角平分线的定义可得，，从而求出，由平行线的性质得，，可得，即可求解．
2．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【分析】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
3．（2019八上·中山期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°+ ∠C；
②AE+BF＝EF；
③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB
＝180°﹣ （180°﹣∠C）
＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵EF∥AB，
∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴FO＝FB，
同理EO＝EA，
∴AE+BF＝EF，②符合题意；
当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，
∴E，F不是AC，BC的中点，③不符合题意；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OD＝OH，
∴S△CEF＝ ×CF×OD ×CE×OH＝ab，④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④．
4．（2021八上·宁波期中）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点D作 ，
如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
，
，
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥BC，DG⊥AB，由角平分线的性质可得DG=DH，证明△FDG≌△EDH，△BDG≌△BDH，得到GF=EH，BG=BH，进而推出BF=BE，证明△BDE≌△BDF，得到∠DFB=∠DEB，由平行线的性质可得∠DEB=140°，则∠DFB=140°；当点F位于点F′处时，DF=DF′，由等腰三角形的性质可得∠DF′B的度数.
5．（2024八上·益阳开学考）如图，将四边形纸片沿翻折得到三角形，恰好，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将纸片ABCD沿PR翻折得到△PC'R，
∴∠CRP＝∠C'RP，∠CPR＝∠C'PR，
∵C'P∥AB，C'R∥AD，∠B＝120°，∠D＝50°，
∴∠C'RC＝∠D＝50°，∠C'PC＝∠B＝120°，
∴∠CRP＝∠C'RP＝25°，∠CPR＝∠C'PR＝60°，
∴∠C＝180° ∠CRP ∠CPR＝95°，
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质得出∠CRP＝∠C'RP，∠CPR＝∠C'PR，再利用平行线的性质得出∠C'RC＝∠D＝50°，∠C'PC＝∠B＝120°，求出∠CRP＝∠C'RP＝25°，∠CPR＝∠C'PR＝60°，即可得出答案．
6．（2020八上·碑林期末）将一副三角板如图放置，使点 在 上， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BC∥DE，∠D=30°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=45°-30°=15°，
故选：B．
【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠ABC=45°，∠DBC=30°，据此可得∠ABD的度数．
7．（2024八上·江北期末）如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵
由折叠的性质得，
故答案为：C．
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形的内角和，平行线的性质．根据三角形的内角和定理可求出，由折叠的性质得到，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可求出，进而求出，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角，代入数据可求出答案．
8．（2024八上·靖边期末）如图，，的平分线与的平分线交于点 ，当时，的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过G作，如图所示：
则，
∴，，
∵，
∴，则，
∵的平分线与的平分线交于点 ，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴.
故答案为：C.
【分析】先过G作，可得，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到相关角的度数，进行计算求解即可.
阅卷人 二、填空题
得分
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N.若BM+CN=12，则线段MN的长为 .
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM= ME ，EN -CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN.
∵BM+CN =12，
∴MN =12.
故答案为：12.
【分析】先根据平行线的性质，得出∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，再根据∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，得出∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，最后根据ME=MB，NE=NC，求得MN的长即可.
10．（2024八上·岳阳开学考）如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= .
【答案】360°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，
∴ ∠BAC+∠ACE+∠CEF= ∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°，
故答案为：360°.
【分析】利用两条直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，再利用角的运算求解即可.
11．（2024八上·游仙开学考）如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长至．
，
．
∵，
∴，
，.
∵，
∴．
∵，
．
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线的性质与垂直的意义求得，再利用平行线的性质求得，根据两角之和求出的度数．
12．（2024八上·双流期末）如图，直线，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B，C，连接AB，BC．若，则 °．
【答案】74
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAC=∠1=32°，
又由作图知：AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=74°。
故答案为：74.
【分析】首先根据平行线的性质得出∠BAC=∠1=32°，然后根据等腰三角形的性质得出∠ABC=74°。
13．（2024八上·龙泉驿期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点，若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵ 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点
∴CH是∠ACB的角平分线
∴∠HCG=∠BCH=40°
∵
∴∠GHC=∠HCB=40°
在△HGC中，∠CGH=180°-∠GHC-∠HCG=180°-40°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据角平分线的作法可知CH是∠ACB的角平分线， 平行线的内错角相等可知∠GHC=∠HCB=40°，在△HGC中计算内角就可得出答案。
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·遂川期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．
（1）求的度数，若，请直接用含的式子表示；
（2）随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当时，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴
∵分别平分和，
∴
∴；
．
（2）解：不变．恒为，理由如下：
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵
又CE平分
在（1）中可知
故填：
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补的定理，可得的代数式，由图可知下面的等量关系式：，已知 CE、CF平分后两个角，根据角平分线定义，可得示的代数式；
（2）根据两直线平行内错角相等的定理，把和角等量平移到中，根据角平分线的定义，可得 ，只要两直线的平行关系存在， 的数量关系就存在；
（3）在前两问的基础上，根据平行关系、角平分线定义进行等量代换，可得所求角等于，而已在（1）中可求，故的度数就是55°。
15．（2021八上·安庆开学考）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+ ∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴ ，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵ ，
∴ ，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；
（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得出AB∥CD∥MR；
（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得出∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论。
16．（2021八上·清远期末）[探究]如图①所示，和的平分线交于点O，经过点O且平行于，分别与、交于点E、G．
（1）若，，则 ， ；
（2）若，求的度数．
（3） [拓展]如图②所示，和的平分线交于点O，经过点O且平行于，分别与、交于点E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】（1）30；125
（2）解：∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，
∴∠OFH=∠AFH，∠OHF=∠CHF．
∵∠AFH+∠CHF=100°，
∴∠OFH+∠OHF=（∠AFH+∠CHF）=×100°=50°．
∵EG∥FH，
∴∠EOF=∠OFH，∠GOH=∠OHF．
∴∠EOF+∠GOH=∠OFH+∠OHF=50°．
∵∠EOF+∠GOH+∠FOH=180°，
∴∠FOH=180°-（∠EOF+∠GOH ）=180°-50°=130°；
（3）90°-a
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠AFH=60°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH=30°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF=∠OFH=30°；
∵∠CHF=50°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO=25°，
∴△FOH中，∠FOH=180°-∠OFH-∠OHF=125°；
故答案为：30，125；
[拓展] ∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O．
∴∠OFH=∠AFH，∠OHI=∠CHO．
∵EG∥FH，
∴∠EOH=∠OHI，∠EOF=∠OFH．
∵∠FOH=∠EOH-∠EOF，
∴∠FOH=∠OHI-∠OFH=（∠CHI-∠AFH）=（180°-∠CHF-∠AFH）=90°-α．
【分析】（1）利用角平分线的定义、角的运算和平行线的性质求解即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠OFH=∠AFH，∠OHF=∠CHF，再求出∠OFH+∠OHF=（∠AFH+∠CHF）=×100°=50°，根据平行线的性质可得∠EOF=∠OFH，∠GOH=∠OHF，最后利用角的运算和等量代换可得∠FOH=180°-（∠EOF+∠GOH ）=180°-50°=130°。
（3）方法同（2），再利用角的运算、角平分线的定义及平行线的性质求解即可。
17．（2024八上·深圳期末）【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若，且，则称点与是线段的等垂对称点。
（1）【理解】如图2，在正方形网格中，点均在格点上，连接，则下列各组点是线段的等垂对称点的是 ；（填序号）
①点与点②点与点③点与点④点与点
（2）如图3，在四边形中，是边上一点，点与是线段的等垂对称点，
①求证：；
②若平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展】如图4，已知直线与坐标轴交于点，直线与坐标轴交于点，当点中恰有两点是线段的等垂对称点，且时，请直接写出线段的长。
【答案】（1）②③
（2）解：①证明：∵点与是线段的等垂对称点，
，且
∴在与中
.
②解：当平分时，，理由如下：
∵由（1）可知
.
平分
∵又由（1）可知
.
∴
（3）解：或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形全等的判定；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，观察可发现，点C和F是等垂对称点，点D和点E是等垂对称点；
故答案为：②③
（3）由直线y=x+4和直线y=x-2，可得A (0，4)，B(－4，0) ，C (0，－2)，D (2，0)，
∵点A、B、C、D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF//AB，
∴线段EF所在的直线l到直线AB与到直线CD的距离相等，
可设直线EF的表达式为l：y=x+k，与y轴交点G（0，k），
∴AG=GC.
则4－k=k-(-2），解得k=1，
∴直线l表达式：y=x+1，G（0，1）.
∴AG=GC=3.
①如图，若点A， C是线段EF的等垂对称点，分别过点A、C作AE、CF垂直于l，垂足为E、F.
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵AB//EF， AE⊥EF，
∴∠AEG=90°，∠AGE=∠OAB=45°，
∴△GAE是等腰直角三角形.
∵AG=3，
∴.
∵点A， C是线段EF的等垂对称点，
∴AE=CF，∠AEG=∠CFG=90°，
又∵AG=CG，
∴△AGE≌△CGF ( HL )，
∴.
∴.
②如图，若点A， D是线段EF的等垂对称点，分别过点A作AE⊥l于点E，DF⊥l于点F，交y轴于点P.
∴EF=EG-FG.
∵△GAE是等腰直角三角形，AG=3，
∴.
∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD=∠ODC=45°.
又∵PD⊥CD，CD//l，
∴△PCD是是等腰直角三角形，PD⊥l，
∴OP=OC=2，∠OPD=45°.
∴△PFG是是等腰直角三角形.
∵OG=1，OP=2，
∴PG=1
∴，
∴.
③如图，若点B， D是线段EF的等垂对称点，分别过点B、D作BE、DF垂直于l，垂足为E、F.
∴BE=DF，∠HEB=∠HFD=90°.
又∵∠BHE=∠DHF，
△HEB≌△HFD（AAS）.
∴EH=FH，BH=DH.
∵BD=OB+OD=6，
∴DH=3.
∵∠ODC=45°，FD⊥CD，
∴∠FDO=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形.
∴，
∴.
④ 如图，若点B， C是线段EF的等垂对称点，分别过点B、C作BE、CF垂直于l，垂足为E、F.
类似于情况②，同理可求得.
综上：EF的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等垂对称点的定义判断即可；
（2）①利用等垂对称点的定义可得AB=ED，∠BAE=∠DEA=90°，于是可得△ABE和△EDA全等，从而有∠DAE=∠AEB，结论得证；
②由AD//BC可得∠BCD+∠CDA=180°，又由△ABE和△EDA全等得到∠B=∠ADE，再结合DE平分∠CDA，结论可证.
（3）分情况讨论，分A和C，A和D，B和C，B和D分别是等垂对称点时构造全等三角形，计算EF的值.
18．（2024八上·河北期末）
（1）如图，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，图中有 个等腰三角形猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ；
（3）如图，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于图中有 个等腰三角形与，间的数量关系是 ．
【答案】（1）
（2）；
（3）；
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，理由如下：
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
和是等腰三角形；
；
故答案为：.
，
，
，
，，
，
，
，，
和的平分线交于点，
，，
，，
，
，
，，
，，，，是等腰三角形，共个；
；
故答案为：；.
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
和是等腰三角形，共个，
．
故答案为：；．
【分析】 （1）由等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，由平行线的性质得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，得∠AEF=∠AFE，得出AE=AF，由平行线的性质得到∠EOB=∠OBC， ∠FOC=∠OCB，由角平分线的定义得∠EBO=∠OBC， ∠FCO=∠OCB，得到 ∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，得到∠OBC=∠OCB，得出OE=BE，OF=CF，OB=OC，即可得出结论；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，由角平分线性质和平行线性质得 ∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（3）等腰三角形有△BEO和△CFO，由角平分线性质和平行线性质出 ∠EBO=∠EOB，∠FOC= ∠FCO，根据等角对等边推出BE=OE，CF=OF，即可得出EF与BE、CF之间的关系。
19．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC=25°．
（1）图1中∠1= ，图2中∠2= .
（2）观察∠1，∠2分别与∠ABC有怎样的数量关系，请你对此归纳出一个真命题．
【答案】（1）；
（2）解：∠1与∠ABC相等，∠2与∠ABC互补.
归纳：如果两个角的两边分别互相平行，那么这两个角相等或互补.
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）图1中，∵AB∥DE， ∠ABC=25° ，
∴∠DGC=∠ABC=25°，
∵BC∥EF，
∴∠1 =∠DGC=25°；
图2中，∵AB∥DE， ∠ABC=25°
∴∠BGE=∠ABC=25°，
∵BC∥EF，
∴∠2 +∠BGE=180°，
∴∠DEF =180°﹣25°=155°；
故答案为：25°，155°；
【分析】（1）图1中，根据平行线的性质，由AB∥DE和BC∥EF得∠1=∠DGC=∠ABC=25°；图2中，根据平行线的性质，由AB∥DE和BC∥EF得∠DEF +∠BGE=180°，进而得∠DEF =135°；
（2）由（1）易得∠1与∠ABC相等，∠2与∠ABC互补，这个结论可归纳为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
20．（2022八上·长兴开学考）在综合与实践课上，老师与同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动.
（1）如图(1)，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
（2）如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
（3）如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上.若，则与的数量关系是什么 用含的式子表示.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠EGF+∠EGD=180°，
∴2∠1+∠1+60°=180°，
解之：∠1=40°；
（2）解：∠AEF和∠FGC的数量关系为：∠AEF+∠FGC=90°.
过点F作FP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FP，
∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠PFG，
∵∠EFP+∠PFG=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°.
（3）
（3）解：α+β=300°或60°.
当点E在点G的右侧时，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠HGF，
∵∠FGH+∠HGF=60°，
∴∠AEG+∠CFG=60°即α+β=60°；
当点E在点G的左侧时，过点G作HG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠BEG=∠EGH，∠HGF+∠CFG=180°，
∵∠AEG+∠BEG=180°，
∴∠AEG+∠EGH+∠HGF+∠CFG=360°，
∴∠AEG+∠CFG=360°-60°=300°即α+β=300°；
∴α+β=300°或60°.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；邻补角
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等，可证得∠1=∠EGD；再利用平角的定义可求出∠1的度数.
（2）过点F作FP∥AB，利用平行线公理可证得AB∥CD∥FP，利用平行线的性质可推出∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠PFG，由此可得到∠AEF和∠FGC的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在点G的右侧时，过点G作GH∥AB，利用平行线公理可证得AB∥CD∥GH，利用平行线的性质可推出∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠HGF；再根据∠FGH+∠HGF=60°，可证得α和β的数量关系；当点E在点G的左侧时，过点G作HG∥AB，利用平行线公理可证得AB∥CD∥GH，利用平行线的性质可推出∠BEG=∠EGH，∠HGF+∠CFG=180°，利用邻补角的定义可知∠AEG+∠BEG=180°；据此可证得∠AEG+∠EGH+∠HGF+∠CFG=360°，即可得到α和β的数量关系；综上所述可得到α和β的数量关系.
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册 7.4平行的性质 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2022八上·锦江开学考）如图，，，平分，平分，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
3．（2019八上·中山期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°+ ∠C；
②AE+BF＝EF；
③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
4．（2021八上·宁波期中）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
5．（2024八上·益阳开学考）如图，将四边形纸片沿翻折得到三角形，恰好，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·碑林期末）将一副三角板如图放置，使点 在 上， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·江北期末）如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·靖边期末）如图，，的平分线与的平分线交于点 ，当时，的度数为 （ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N.若BM+CN=12，则线段MN的长为 .
10．（2024八上·岳阳开学考）如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= .
11．（2024八上·游仙开学考）如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为 ．
12．（2024八上·双流期末）如图，直线，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B，C，连接AB，BC．若，则 °．
13．（2024八上·龙泉驿期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点，若，则的度数是 ．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·遂川期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．
（1）求的度数，若，请直接用含的式子表示；
（2）随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当时，请直接写出的度数．
15．（2021八上·安庆开学考）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+ ∠FGN，求∠MHG的度数．
16．（2021八上·清远期末）[探究]如图①所示，和的平分线交于点O，经过点O且平行于，分别与、交于点E、G．
（1）若，，则 ， ；
（2）若，求的度数．
（3） [拓展]如图②所示，和的平分线交于点O，经过点O且平行于，分别与、交于点E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
17．（2024八上·深圳期末）【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若，且，则称点与是线段的等垂对称点。
（1）【理解】如图2，在正方形网格中，点均在格点上，连接，则下列各组点是线段的等垂对称点的是 ；（填序号）
①点与点②点与点③点与点④点与点
（2）如图3，在四边形中，是边上一点，点与是线段的等垂对称点，
①求证：；
②若平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展】如图4，已知直线与坐标轴交于点，直线与坐标轴交于点，当点中恰有两点是线段的等垂对称点，且时，请直接写出线段的长。
18．（2024八上·河北期末）
（1）如图，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，图中有 个等腰三角形猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ；
（3）如图，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于图中有 个等腰三角形与，间的数量关系是 ．
19．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC=25°．
（1）图1中∠1= ，图2中∠2= .
（2）观察∠1，∠2分别与∠ABC有怎样的数量关系，请你对此归纳出一个真命题．
20．（2022八上·长兴开学考）在综合与实践课上，老师与同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动.
（1）如图(1)，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
（2）如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
（3）如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上.若，则与的数量关系是什么 用含的式子表示.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
，
，
，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
∵
，，
．
故答案为：C．
【分析】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，根据平行公理的推论得，利用平行线的性质可得，，结合∠BED=110°， 可求出，由角平分线的定义可得，，从而求出，由平行线的性质得，，可得，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【分析】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB
＝180°﹣ （180°﹣∠C）
＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵EF∥AB，
∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴FO＝FB，
同理EO＝EA，
∴AE+BF＝EF，②符合题意；
当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，
∴E，F不是AC，BC的中点，③不符合题意；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OD＝OH，
∴S△CEF＝ ×CF×OD ×CE×OH＝ab，④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④．
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点D作 ，
如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
，
，
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥BC，DG⊥AB，由角平分线的性质可得DG=DH，证明△FDG≌△EDH，△BDG≌△BDH，得到GF=EH，BG=BH，进而推出BF=BE，证明△BDE≌△BDF，得到∠DFB=∠DEB，由平行线的性质可得∠DEB=140°，则∠DFB=140°；当点F位于点F′处时，DF=DF′，由等腰三角形的性质可得∠DF′B的度数.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将纸片ABCD沿PR翻折得到△PC'R，
∴∠CRP＝∠C'RP，∠CPR＝∠C'PR，
∵C'P∥AB，C'R∥AD，∠B＝120°，∠D＝50°，
∴∠C'RC＝∠D＝50°，∠C'PC＝∠B＝120°，
∴∠CRP＝∠C'RP＝25°，∠CPR＝∠C'PR＝60°，
∴∠C＝180° ∠CRP ∠CPR＝95°，
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质得出∠CRP＝∠C'RP，∠CPR＝∠C'PR，再利用平行线的性质得出∠C'RC＝∠D＝50°，∠C'PC＝∠B＝120°，求出∠CRP＝∠C'RP＝25°，∠CPR＝∠C'PR＝60°，即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BC∥DE，∠D=30°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=45°-30°=15°，
故选：B．
【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠ABC=45°，∠DBC=30°，据此可得∠ABD的度数．
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵
由折叠的性质得，
故答案为：C．
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形的内角和，平行线的性质．根据三角形的内角和定理可求出，由折叠的性质得到，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可求出，进而求出，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角，代入数据可求出答案．
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过G作，如图所示：
则，
∴，，
∵，
∴，则，
∵的平分线与的平分线交于点 ，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴.
故答案为：C.
【分析】先过G作，可得，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到相关角的度数，进行计算求解即可.
9．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM= ME ，EN -CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN.
∵BM+CN =12，
∴MN =12.
故答案为：12.
【分析】先根据平行线的性质，得出∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，再根据∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，得出∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，最后根据ME=MB，NE=NC，求得MN的长即可.
10．【答案】360°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，
∴ ∠BAC+∠ACE+∠CEF= ∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°，
故答案为：360°.
【分析】利用两条直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，再利用角的运算求解即可.
11．【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长至．
，
．
∵，
∴，
，.
∵，
∴．
∵，
．
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线的性质与垂直的意义求得，再利用平行线的性质求得，根据两角之和求出的度数．
12．【答案】74
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAC=∠1=32°，
又由作图知：AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=74°。
故答案为：74.
【分析】首先根据平行线的性质得出∠BAC=∠1=32°，然后根据等腰三角形的性质得出∠ABC=74°。
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵ 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点
∴CH是∠ACB的角平分线
∴∠HCG=∠BCH=40°
∵
∴∠GHC=∠HCB=40°
在△HGC中，∠CGH=180°-∠GHC-∠HCG=180°-40°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据角平分线的作法可知CH是∠ACB的角平分线， 平行线的内错角相等可知∠GHC=∠HCB=40°，在△HGC中计算内角就可得出答案。
14．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴
∵分别平分和，
∴
∴；
．
（2）解：不变．恒为，理由如下：
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵
又CE平分
在（1）中可知
故填：
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补的定理，可得的代数式，由图可知下面的等量关系式：，已知 CE、CF平分后两个角，根据角平分线定义，可得示的代数式；
（2）根据两直线平行内错角相等的定理，把和角等量平移到中，根据角平分线的定义，可得 ，只要两直线的平行关系存在， 的数量关系就存在；
（3）在前两问的基础上，根据平行关系、角平分线定义进行等量代换，可得所求角等于，而已在（1）中可求，故的度数就是55°。
15．【答案】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴ ，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵ ，
∴ ，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；
（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得出AB∥CD∥MR；
（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得出∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论。
16．【答案】（1）30；125
（2）解：∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，
∴∠OFH=∠AFH，∠OHF=∠CHF．
∵∠AFH+∠CHF=100°，
∴∠OFH+∠OHF=（∠AFH+∠CHF）=×100°=50°．
∵EG∥FH，
∴∠EOF=∠OFH，∠GOH=∠OHF．
∴∠EOF+∠GOH=∠OFH+∠OHF=50°．
∵∠EOF+∠GOH+∠FOH=180°，
∴∠FOH=180°-（∠EOF+∠GOH ）=180°-50°=130°；
（3）90°-a
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠AFH=60°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH=30°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF=∠OFH=30°；
∵∠CHF=50°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO=25°，
∴△FOH中，∠FOH=180°-∠OFH-∠OHF=125°；
故答案为：30，125；
[拓展] ∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O．
∴∠OFH=∠AFH，∠OHI=∠CHO．
∵EG∥FH，
∴∠EOH=∠OHI，∠EOF=∠OFH．
∵∠FOH=∠EOH-∠EOF，
∴∠FOH=∠OHI-∠OFH=（∠CHI-∠AFH）=（180°-∠CHF-∠AFH）=90°-α．
【分析】（1）利用角平分线的定义、角的运算和平行线的性质求解即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠OFH=∠AFH，∠OHF=∠CHF，再求出∠OFH+∠OHF=（∠AFH+∠CHF）=×100°=50°，根据平行线的性质可得∠EOF=∠OFH，∠GOH=∠OHF，最后利用角的运算和等量代换可得∠FOH=180°-（∠EOF+∠GOH ）=180°-50°=130°。
（3）方法同（2），再利用角的运算、角平分线的定义及平行线的性质求解即可。
17．【答案】（1）②③
（2）解：①证明：∵点与是线段的等垂对称点，
，且
∴在与中
.
②解：当平分时，，理由如下：
∵由（1）可知
.
平分
∵又由（1）可知
.
∴
（3）解：或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形全等的判定；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，观察可发现，点C和F是等垂对称点，点D和点E是等垂对称点；
故答案为：②③
（3）由直线y=x+4和直线y=x-2，可得A (0，4)，B(－4，0) ，C (0，－2)，D (2，0)，
∵点A、B、C、D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF//AB，
∴线段EF所在的直线l到直线AB与到直线CD的距离相等，
可设直线EF的表达式为l：y=x+k，与y轴交点G（0，k），
∴AG=GC.
则4－k=k-(-2），解得k=1，
∴直线l表达式：y=x+1，G（0，1）.
∴AG=GC=3.
①如图，若点A， C是线段EF的等垂对称点，分别过点A、C作AE、CF垂直于l，垂足为E、F.
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵AB//EF， AE⊥EF，
∴∠AEG=90°，∠AGE=∠OAB=45°，
∴△GAE是等腰直角三角形.
∵AG=3，
∴.
∵点A， C是线段EF的等垂对称点，
∴AE=CF，∠AEG=∠CFG=90°，
又∵AG=CG，
∴△AGE≌△CGF ( HL )，
∴.
∴.
②如图，若点A， D是线段EF的等垂对称点，分别过点A作AE⊥l于点E，DF⊥l于点F，交y轴于点P.
∴EF=EG-FG.
∵△GAE是等腰直角三角形，AG=3，
∴.
∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD=∠ODC=45°.
又∵PD⊥CD，CD//l，
∴△PCD是是等腰直角三角形，PD⊥l，
∴OP=OC=2，∠OPD=45°.
∴△PFG是是等腰直角三角形.
∵OG=1，OP=2，
∴PG=1
∴，
∴.
③如图，若点B， D是线段EF的等垂对称点，分别过点B、D作BE、DF垂直于l，垂足为E、F.
∴BE=DF，∠HEB=∠HFD=90°.
又∵∠BHE=∠DHF，
△HEB≌△HFD（AAS）.
∴EH=FH，BH=DH.
∵BD=OB+OD=6，
∴DH=3.
∵∠ODC=45°，FD⊥CD，
∴∠FDO=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形.
∴，
∴.
④ 如图，若点B， C是线段EF的等垂对称点，分别过点B、C作BE、CF垂直于l，垂足为E、F.
类似于情况②，同理可求得.
综上：EF的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等垂对称点的定义判断即可；
（2）①利用等垂对称点的定义可得AB=ED，∠BAE=∠DEA=90°，于是可得△ABE和△EDA全等，从而有∠DAE=∠AEB，结论得证；
②由AD//BC可得∠BCD+∠CDA=180°，又由△ABE和△EDA全等得到∠B=∠ADE，再结合DE平分∠CDA，结论可证.
（3）分情况讨论，分A和C，A和D，B和C，B和D分别是等垂对称点时构造全等三角形，计算EF的值.
18．【答案】（1）
（2）；
（3）；
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，理由如下：
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
和是等腰三角形；
；
故答案为：.
，
，
，
，，
，
，
，，
和的平分线交于点，
，，
，，
，
，
，，
，，，，是等腰三角形，共个；
；
故答案为：；.
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
和是等腰三角形，共个，
．
故答案为：；．
【分析】 （1）由等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，由平行线的性质得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，得∠AEF=∠AFE，得出AE=AF，由平行线的性质得到∠EOB=∠OBC， ∠FOC=∠OCB，由角平分线的定义得∠EBO=∠OBC， ∠FCO=∠OCB，得到 ∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，得到∠OBC=∠OCB，得出OE=BE，OF=CF，OB=OC，即可得出结论；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，由角平分线性质和平行线性质得 ∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（3）等腰三角形有△BEO和△CFO，由角平分线性质和平行线性质出 ∠EBO=∠EOB，∠FOC= ∠FCO，根据等角对等边推出BE=OE，CF=OF，即可得出EF与BE、CF之间的关系。
19．【答案】（1）；
（2）解：∠1与∠ABC相等，∠2与∠ABC互补.
归纳：如果两个角的两边分别互相平行，那么这两个角相等或互补.
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）图1中，∵AB∥DE， ∠ABC=25° ，
∴∠DGC=∠ABC=25°，
∵BC∥EF，
∴∠1 =∠DGC=25°；
图2中，∵AB∥DE， ∠ABC=25°
∴∠BGE=∠ABC=25°，
∵BC∥EF，
∴∠2 +∠BGE=180°，
∴∠DEF =180°﹣25°=155°；
故答案为：25°，155°；
【分析】（1）图1中，根据平行线的性质，由AB∥DE和BC∥EF得∠1=∠DGC=∠ABC=25°；图2中，根据平行线的性质，由AB∥DE和BC∥EF得∠DEF +∠BGE=180°，进而得∠DEF =135°；
（2）由（1）易得∠1与∠ABC相等，∠2与∠ABC互补，这个结论可归纳为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
20．【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠EGF+∠EGD=180°，
∴2∠1+∠1+60°=180°，
解之：∠1=40°；
（2）解：∠AEF和∠FGC的数量关系为：∠AEF+∠FGC=90°.
过点F作FP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FP，
∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠PFG，
∵∠EFP+∠PFG=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°.
（3）
（3）解：α+β=300°或60°.
当点E在点G的右侧时，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠HGF，
∵∠FGH+∠HGF=60°，
∴∠AEG+∠CFG=60°即α+β=60°；
当点E在点G的左侧时，过点G作HG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠BEG=∠EGH，∠HGF+∠CFG=180°，
∵∠AEG+∠BEG=180°，
∴∠AEG+∠EGH+∠HGF+∠CFG=360°，
∴∠AEG+∠CFG=360°-60°=300°即α+β=300°；
∴α+β=300°或60°.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；邻补角
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等，可证得∠1=∠EGD；再利用平角的定义可求出∠1的度数.
（2）过点F作FP∥AB，利用平行线公理可证得AB∥CD∥FP，利用平行线的性质可推出∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠PFG，由此可得到∠AEF和∠FGC的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在点G的右侧时，过点G作GH∥AB，利用平行线公理可证得AB∥CD∥GH，利用平行线的性质可推出∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠HGF；再根据∠FGH+∠HGF=60°，可证得α和β的数量关系；当点E在点G的左侧时，过点G作HG∥AB，利用平行线公理可证得AB∥CD∥GH，利用平行线的性质可推出∠BEG=∠EGH，∠HGF+∠CFG=180°，利用邻补角的定义可知∠AEG+∠BEG=180°；据此可证得∠AEG+∠EGH+∠HGF+∠CFG=360°，即可得到α和β的数量关系；综上所述可得到α和β的数量关系.
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