【基础版】北师大版数学八年级上册 第七章 平行线的证明 章节测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．在证明过程中，作为逻辑推理依据最全的是（ ）
A．基本事实、定理
B．定义、基本事实、定理
C．基本事实、定理、题设(已知条件)
D．定义、基本事实、定理、题设(已知条件)
2．（2024八上·杭州期中）对于下列两个命题：①三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等.②三角形一条边上的中点到另两边的距离相等.说法正确的（ ）
A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题
C．①②均为真命题 D．①②均为假命题
3．（2024八上·深圳期中）在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2024八上·湖北期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·景洪期中）如图，一副三角板按图放置，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．60° C．80° D．75°
6．（2024八上·天河期中）以下说法中，错误的是（ ）
①等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为或；
②三角形的一个外角，等于两个内角的和；③有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
④角平分线上的点到角两边的线段相等．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
7．（2024八上·雷州月考）已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（ ）
A．28° B．32° C．58° D．60°
8．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，分别是上的点，且，若，则（ ）°
A．66 B．92 C．96 D．98
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．（2024八上·福田期末）某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则 ．
10．（2023八上·鼓楼期中）如图，是的高，．若，则的度数是 ．
11．（2017八上·江门月考）如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A的余角是 ．
12．（2024八上·青原月考）将两张三角形纸片如图摆放，量得，则的度数是 ．
13．（2024八上·瑞安开学考）命题“如果，那么互为相反数”，这是一个 命题（填“真”或“假”）．
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2024八上·曾都期中）如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝ED．
15．（2024八上·长春开学考）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），
∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），
∴________（等量代换）．
16．（2023八上·岳麓月考）已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）请判断有何关系，并证明．
17．（2023八上·瑞安期中）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．
（1）求证：AE＝DF．
（2）若BC＝16，EF＝6，求BE的长．
18．如图，，求的度数.
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.
解：(已知)，
(等量代换)，
∴ ∥ .（ ）
（ ），
(已知)，
(等式的性质).
19．如图，已知.
（1）求证：.
（2）若，直接写出的度数.
20．（2023八上·江城期中）[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
（1）当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A．
（2）”快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A=40°时，∠CBD= 度；
②当∠A=x°时，∠CBD= 度(用含x的代数式表示)．
（3）[操作探究]
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】证明过程
【解析】【解答】解：在证明过程中，定义、基本事实、定理、题设（已知条件）都可以作为逻辑推理的依据.
故答案为：D.
【分析】 定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。
2．【答案】A
【知识点】真命题与假命题；三角形的中线
【解析】【解答】解： ①三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，是真命题；
②三角形一条边上的中点到另两边的距离相等，是假命题；
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线的定义判断即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=2∠C
∴∠A+∠B+∠C=5∠C=180°，即∠C=36°
∴∠A=∠B=72°
∴△ABC为锐角三角形
故答案为：A
【分析】根据题意结合三角形内角和定理求出三个内角，再根据三角形的形状进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴
故选：C．
【分析】
根据全等三角形的对应角相等解答；本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，
在Rt△BDC中，∠DBC＝45°，
∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝45°+30°＝75°，
故答案为：D．
【分析】利用三角形外角的性质可得∠1＝∠DBC+∠ACB＝45°+30°＝75°，从而得解.
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形的外角性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①若两腰长为4，
，边长的边不能是该等腰三角形的腰，只能是底边，
该等腰三角形的腰长为，底边长为，
该等腰三角形的周长为：，说法①错误，符合题意；
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，说法②错误，符合题意；
③有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法③错误，符合题意；
si角平分线上的点到角两边的距离相等，即垂线段相等，说法④错误，符合题意；
综上：错误的有①②③④，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系得这个等腰三角形的腰长只能是9，由此可得周长为，据此可判断①；根据三角形的外角性质可判断②；根据有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可判断③；根据角平分线上的性质可判断④．
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠3＝∠1＝28°，∠4＝∠3+∠A，∠A＝30°，
∴∠4＝28°+30°＝58°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠4＝58°．
故选：C．
【分析】先根据三角形的外角求出∠4，再利用两直线平行，同位角相等得到∠2解题．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵
∴
，
，
∴
∵
∴
∴
在中，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）及三角形的内角和、平角的定义即可解答.
9．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵与平行
∴
∵
∴
∵都与地面l平行
∴
∴
故答案为：．
【分析】这道题主要考查平行线的性质；通过两直线平行，内错角相等得出∠ACB = 72°，再算出∠ACD = 130°，又因 AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC = 50°.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高
【解析】【解答】∵是的高，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴
∵
∴．
故答案为：．
【分析】先得到，然后利用三角形的内角和求出的角度，再根据即可解题．
11．【答案】80°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°．故答案为：80°．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求∠A.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，在中，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和定理可得∠A=180°-（∠1+∠2），∠B=180°-（∠3+∠4），∠C=180°-∠A-∠B，从而整体代入计算可得答案.
13．【答案】真
【知识点】真命题与假命题；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的性质可知，这是一个真命题，
故答案为：真．
【分析】根据相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0，真假命题的定义进行求解.
14．【答案】解：∵AC∥BD
在与中
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】重点考查三角形全等的判定和性质；解题关键是通过平行线性质得到一组相等的角，再结合已知条件，利用 AAS 定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；在做此类几何证明题时，要善于从已知条件中挖掘角与边的关系，寻找证明三角形全等的条件，再利用全等三角形的性质得出结论．
15．【答案】解：（1）∵（已知），
∴，
∴（三角形外角的性质）
∴（等量代换）．
（2）∵，
∴（等式的性质），
∴（已知），
∴（等量代换）．
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CDB=90°，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，可得∠A=∠EBC-∠ACB，从而代入计算进即可．
16．【答案】（1）证明：∵
∴
即，
又∵，
∴．
（2），．
证明如下：由（1）知，
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）根据，利用角的运算可推出，再根据，利用全等三角形的判定定理可证明；
（2）根据（1）的结论：，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用角的运算可推出，据此可证明结论；
（1）证明：∵
∴
即，
又∵，
∴．
（2），．
证明如下：由（1）知，
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴．
17．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△DCF中，
∵∠A=∠D，AB=CD，∠B=∠C，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴AE=DF；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
又∵BE+CF=BE+EF+CE=BC+EF=16+6=22，
∴2BE=22，
∴BE=11.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠B=∠C，从而用ASA判断出△ABE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF；
（2）由全等三角形的对应边相等得BE=CF，进而根据线段的和差可得BE+CF=BE+EF+CE=BC+EF，从而代入可求出BE的长.
18．【答案】；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】解：(已知)，
(等量代换)，
∴∥.（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补），
(已知)，
(等式的性质).
【分析】根据等量代换原则，可得∠E=∠BAC；根据同位角相等，两直线平行可得∥，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，进而根据等式的性质，移项，可得∠ABD的度数.
19．【答案】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
（2）
解得.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；证明过程
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，可得AE∥CD；根据平行线的性质和等量代换原则，可得∠1=∠A；根据平行线的判定定理，可得AB∥CD；
（2）根据平行线的性质，可得∠C=∠3；根据等式性质，移项，可得∠CBD的度数；根据三角形内角和定理列一元一次方程，解得∠D的度数.
20．【答案】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN= 180°．
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN．
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=×120°= 60°．
∴∠CBD=∠A
（2）70；(90-)
（3）解：∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD．
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB．
∴∠APB= =2∠ADB．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）①根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-40° =，
∴∠CBD=∠ABN=×=；
②同理，当∠A=x°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-x° ，∠CBD=∠ABN=（180°-x° ）=-；
故答案为：70；(90-).
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ABN= 180°，可以得到∠ABN；根据角平分线的性质，可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN；根据等量代换原则，可得∠CBD=∠ABN=60°=∠A；
（2）根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠CBD= ；当∠A=x°时，∠CBD=-；
（3）根据角平分线的性质，可得∠PBN=2∠NBD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB；根据等量代换原则，即可得∠APB= =2∠ADB.
1 / 1【基础版】北师大版数学八年级上册 第七章 平行线的证明 章节测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．在证明过程中，作为逻辑推理依据最全的是（ ）
A．基本事实、定理
B．定义、基本事实、定理
C．基本事实、定理、题设(已知条件)
D．定义、基本事实、定理、题设(已知条件)
【答案】D
【知识点】证明过程
【解析】【解答】解：在证明过程中，定义、基本事实、定理、题设（已知条件）都可以作为逻辑推理的依据.
故答案为：D.
【分析】 定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。
2．（2024八上·杭州期中）对于下列两个命题：①三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等.②三角形一条边上的中点到另两边的距离相等.说法正确的（ ）
A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题
C．①②均为真命题 D．①②均为假命题
【答案】A
【知识点】真命题与假命题；三角形的中线
【解析】【解答】解： ①三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，是真命题；
②三角形一条边上的中点到另两边的距离相等，是假命题；
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线的定义判断即可.
3．（2024八上·深圳期中）在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=2∠C
∴∠A+∠B+∠C=5∠C=180°，即∠C=36°
∴∠A=∠B=72°
∴△ABC为锐角三角形
故答案为：A
【分析】根据题意结合三角形内角和定理求出三个内角，再根据三角形的形状进行判断即可求出答案.
4．（2024八上·湖北期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴
故选：C．
【分析】
根据全等三角形的对应角相等解答；本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．（2024八上·景洪期中）如图，一副三角板按图放置，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．60° C．80° D．75°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，
在Rt△BDC中，∠DBC＝45°，
∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝45°+30°＝75°，
故答案为：D．
【分析】利用三角形外角的性质可得∠1＝∠DBC+∠ACB＝45°+30°＝75°，从而得解.
6．（2024八上·天河期中）以下说法中，错误的是（ ）
①等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为或；
②三角形的一个外角，等于两个内角的和；③有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
④角平分线上的点到角两边的线段相等．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形的外角性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①若两腰长为4，
，边长的边不能是该等腰三角形的腰，只能是底边，
该等腰三角形的腰长为，底边长为，
该等腰三角形的周长为：，说法①错误，符合题意；
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，说法②错误，符合题意；
③有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法③错误，符合题意；
si角平分线上的点到角两边的距离相等，即垂线段相等，说法④错误，符合题意；
综上：错误的有①②③④，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系得这个等腰三角形的腰长只能是9，由此可得周长为，据此可判断①；根据三角形的外角性质可判断②；根据有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可判断③；根据角平分线上的性质可判断④．
7．（2024八上·雷州月考）已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（ ）
A．28° B．32° C．58° D．60°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠3＝∠1＝28°，∠4＝∠3+∠A，∠A＝30°，
∴∠4＝28°+30°＝58°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠4＝58°．
故选：C．
【分析】先根据三角形的外角求出∠4，再利用两直线平行，同位角相等得到∠2解题．
8．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，分别是上的点，且，若，则（ ）°
A．66 B．92 C．96 D．98
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵
∴
，
，
∴
∵
∴
∴
在中，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）及三角形的内角和、平角的定义即可解答.
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．（2024八上·福田期末）某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵与平行
∴
∵
∴
∵都与地面l平行
∴
∴
故答案为：．
【分析】这道题主要考查平行线的性质；通过两直线平行，内错角相等得出∠ACB = 72°，再算出∠ACD = 130°，又因 AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC = 50°.
10．（2023八上·鼓楼期中）如图，是的高，．若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高
【解析】【解答】∵是的高，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴
∵
∴．
故答案为：．
【分析】先得到，然后利用三角形的内角和求出的角度，再根据即可解题．
11．（2017八上·江门月考）如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A的余角是 ．
【答案】80°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°．故答案为：80°．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求∠A.
12．（2024八上·青原月考）将两张三角形纸片如图摆放，量得，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，在中，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和定理可得∠A=180°-（∠1+∠2），∠B=180°-（∠3+∠4），∠C=180°-∠A-∠B，从而整体代入计算可得答案.
13．（2024八上·瑞安开学考）命题“如果，那么互为相反数”，这是一个 命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【知识点】真命题与假命题；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的性质可知，这是一个真命题，
故答案为：真．
【分析】根据相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0，真假命题的定义进行求解.
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2024八上·曾都期中）如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝ED．
【答案】解：∵AC∥BD
在与中
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】重点考查三角形全等的判定和性质；解题关键是通过平行线性质得到一组相等的角，再结合已知条件，利用 AAS 定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；在做此类几何证明题时，要善于从已知条件中挖掘角与边的关系，寻找证明三角形全等的条件，再利用全等三角形的性质得出结论．
15．（2024八上·长春开学考）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），
∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），
∴________（等量代换）．
【答案】解：（1）∵（已知），
∴，
∴（三角形外角的性质）
∴（等量代换）．
（2）∵，
∴（等式的性质），
∴（已知），
∴（等量代换）．
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CDB=90°，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，可得∠A=∠EBC-∠ACB，从而代入计算进即可．
16．（2023八上·岳麓月考）已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）请判断有何关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵
∴
即，
又∵，
∴．
（2），．
证明如下：由（1）知，
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）根据，利用角的运算可推出，再根据，利用全等三角形的判定定理可证明；
（2）根据（1）的结论：，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用角的运算可推出，据此可证明结论；
（1）证明：∵
∴
即，
又∵，
∴．
（2），．
证明如下：由（1）知，
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴．
17．（2023八上·瑞安期中）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．
（1）求证：AE＝DF．
（2）若BC＝16，EF＝6，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△DCF中，
∵∠A=∠D，AB=CD，∠B=∠C，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴AE=DF；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
又∵BE+CF=BE+EF+CE=BC+EF=16+6=22，
∴2BE=22，
∴BE=11.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠B=∠C，从而用ASA判断出△ABE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF；
（2）由全等三角形的对应边相等得BE=CF，进而根据线段的和差可得BE+CF=BE+EF+CE=BC+EF，从而代入可求出BE的长.
18．如图，，求的度数.
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.
解：(已知)，
(等量代换)，
∴ ∥ .（ ）
（ ），
(已知)，
(等式的性质).
【答案】；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】解：(已知)，
(等量代换)，
∴∥.（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补），
(已知)，
(等式的性质).
【分析】根据等量代换原则，可得∠E=∠BAC；根据同位角相等，两直线平行可得∥，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，进而根据等式的性质，移项，可得∠ABD的度数.
19．如图，已知.
（1）求证：.
（2）若，直接写出的度数.
【答案】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
（2）
解得.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；证明过程
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，可得AE∥CD；根据平行线的性质和等量代换原则，可得∠1=∠A；根据平行线的判定定理，可得AB∥CD；
（2）根据平行线的性质，可得∠C=∠3；根据等式性质，移项，可得∠CBD的度数；根据三角形内角和定理列一元一次方程，解得∠D的度数.
20．（2023八上·江城期中）[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
（1）当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A．
（2）”快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A=40°时，∠CBD= 度；
②当∠A=x°时，∠CBD= 度(用含x的代数式表示)．
（3）[操作探究]
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN= 180°．
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN．
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=×120°= 60°．
∴∠CBD=∠A
（2）70；(90-)
（3）解：∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD．
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB．
∴∠APB= =2∠ADB．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）①根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-40° =，
∴∠CBD=∠ABN=×=；
②同理，当∠A=x°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-x° ，∠CBD=∠ABN=（180°-x° ）=-；
故答案为：70；(90-).
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ABN= 180°，可以得到∠ABN；根据角平分线的性质，可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN；根据等量代换原则，可得∠CBD=∠ABN=60°=∠A；
（2）根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠CBD= ；当∠A=x°时，∠CBD=-；
（3）根据角平分线的性质，可得∠PBN=2∠NBD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB；根据等量代换原则，即可得∠APB= =2∠ADB.
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