【提升版】北师大版数学八年级上册第七章平行线的证明 章节测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．有下列四种说法：
（1）两条直线的位置关系有相交和平行两种
（2）过一点能作一条直线与已知直线垂直
（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：（1）两条直线的位置关系有相交和平行两种，正确；
（2）在同一平面内，过一点能作一条直线与已知直线垂直，故错误；
（3）在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；
故选B．
【分析】根据平行公理和相交线、垂线的定义利用排除法求解．
2．（2024八上·东莞期中）如图，点A在点B的北偏东方向，点C在点B的北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；方位角
【解析】【解答】解：根据题意，得：，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】先利用平行线的性质求出∠ECB的度数，再利用角的运算求出∠ACB的度数即可.
3．（2019八上·准格尔旗期中）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2＝100°，则∠A的度数等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵∠1+∠2=100°，∴∠ADF+∠AEF=360°﹣100°=260°，∴∠ADE+∠AED=130°，∴∠A=180°﹣130°=50°．
故答案为：C．
【分析】根据翻折不变性和三角形的内角和定理及角平分线的性质解答．
4．（2021八上·宝安期末）如图，将一副三角板平放在一平面上（点D在上），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据直角三角板可得，再利用三角形外角的性质可得。
5．（2024八上·顺德期末）某城市几条道路的位置如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为．城市规划部门想修一条新道路，要求，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠BAF=42°，
∴∠DFE=∠BAF=42°，
∵∠C=∠E，
∴；
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠DFE=∠BAF=42°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解.
6．（2021八上·和平期末）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．垂直于同一条直线的两条直线平行
C．边长分别为7cm、24cm、25cm的三角形是直角三角形
D．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当一个角的度数为100°时，它的补角为80°，而100°大于80°，故该命题是假命题，不符合题意；
B、应该是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故该命题是假命题，不符合题意；
C、因为 ，则边长分别为7cm、24cm、25cm的三角形是直角三角形，故该命题是真命题，符合题意；
D、一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故该命题是假命题，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
7．（2023八上·惠州开学考）如图，直线，点在直线上，点、在直线上，且，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CB交直线a于点E，如图，
∵AB⊥BC，∠1＝32°，
∴∠ABC＝90°，
∴∠AEC＝90°-∠1＝58°，
∵a∥b，
∴∠ECF＝∠AEC＝58°，
∴∠BCD=180°-∠ECF=180°-58°=122°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC＝45°，
∴∠2＝180°-∠BCD-∠CBD＝180°-122°-45°=13°．
故答案为：A.
【分析】延长CB交直线a于点E，由题意可求得∠AEC＝58°，先由平行线的性质得∠ECF＝∠AEC＝58°，利用邻补角互补得出∠BCD=122°，再由角平分线的定义得∠CBD＝45°，最后利用三角形的内角和是180°，得出∠2＝180°-∠BCD-∠CBD=13°．
8．（2020八上·潮州期末）如图，在 中， ，将 沿直线 翻折，点 落在点 的位置，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，
由翻折得∠B=∠D，
∵∠3=∠2+∠D，∠1=∠B+∠3，
∴∠1=∠2+2∠B，
∵ ，
∴ = ，
故答案为：D.
【分析】由翻折得∠B=∠D，利用外角的性质得到∠3及∠1，再将∠B的度数代入计算，即可得到答案.
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．（2024八上·福田期末）如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点D作交于点F．
∵入射角等于反射角，
∴，
∴，
∵，
∴；，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查的是平行线的性质，属于跨学科的综合题；根据光的反射定律，过点D作DF⊥BO交OA于点F，这是解题的关键辅助线；因为入射角等于反射角，所以∠CDF=∠EDF，进而得出∠BDC=∠EDO；由于CD||OA，所以∠BDC=∠AOB=40°，且∠CDE+∠AED=180°，再根据三角形内角和为180°最终得∠AED为80°.
10．（2021八上·东莞期中）如图， 是 中 的平分线， 是 的外角的平分线，如果 ，则 ．
【答案】60°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABC=2∠ABP，∠ACM=2∠ACP，
又∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2×20°=40°，∠ACM=2×50°=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，求出∠A的度数即可。
11．（2023八上·越秀期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
【答案】或
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个等腰三角形时锐角三角形时，如图所示：
∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=40°，
∴∠A=90°-∠ABD=50°，
∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）=65°；
当这个等腰三角形时钝角三角形时，如图所示：
∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=40°，
∴∠DAB=90°-∠ABD=50°，
∵∠DAB=∠C+∠ABC，∠C=∠ABC，
∴∠C=∠ABC=∠DAB=25°，
综上该等腰三角形的底角为65°或25°.
故答案为：65°或25°.
【分析】此题需要分类讨论：①当这个等腰三角形时锐角三角形时，由直角三角形的量锐角互余可算出∠A=90°-∠ABD=50°，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的两底角相等可算出∠C的度数；②当这个等腰三角形时钝角三角形时，由直角三角形的量锐角互余可算出∠DAB=90°-∠ABD=50°，进而根据三角形的外角性质及等腰三角形的两底角相等可算出∠C的度数，综上可得答案.
12．（2023八上·肇庆月考）在如图的五角星中， °
【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
又，
.
故答案为：180．
【分析】利用三角形的外角的性质，得到，，再根据三角形内角和定理得，即可得解．
13．（北师大版数学八年级上册第七章《定义与命题》同步练习）命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 结论是
【答案】同位角相等；两直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，
所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．
故空中填：同位角相等；两直线平行．
【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答．
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2024八上·东莞期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC∶∠B∶∠C=4∶3∶2，求∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠BAC：∠B：∠C=4：3：2
∴∠BAC=80°，∠C=40°
∵AE平分∠BAC
∴
∵AD是BC边上的高线
∴∠ADC=90°
∵∠C=40°
∴∠CAD=50°
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理.根据∠BAC：∠B：∠C=4：3：2，利用三角形内角和定理可求出△ABC的三个内角的度数，再根据AE平分∠BAC，利用角平分线定义求出∠CAE的度数，利用三角形的高的定义可得∠ADC=90°，进而可求出∠CAD的度数，再利用角的运算可得∠DAE=∠CAD-∠CAE，代入数据可求出答案.
15．（2024八上·德庆期末）如图，是的外角，．
（1）请你用尺规作图的方法作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：．
理由如下：∵平分，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图按步骤做出的角平分线 即可，注意保留作图痕迹；
（2）根据角平分线的性质、等腰三角形的性质，得出，，再由三角形外角的性质即可得出，即可判断．
16．（2023八上·翁源月考）如图，在中，和的平分线相交于点．
（1）若，求的度数．
（2）当为多少度时，？
【答案】（1）解：平分，平分，
，
∠ABC+∠ACB＝130°，
，
，
（2）解：平分，平分，
，.
，
，
，
∠BPC=180°－（∠PBC＋∠PCB）
∠BPC＝3∠A
，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】 (1)、 利用角平分线的定义求出的度数， 再根据三角形内角和求出即可.
(2)、 利用角平分线的定义和三角形内角和的性质求出， 再根据三角形内角和求出即可.
17．（2023八上·新丰期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
（1） 操作判断
操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断和的大小关系是 ，直线， 的位置关系是 ．
（2）深入探究
操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，如图2，判断和是否相等，并说明理由．
（3） 结论应用
如图1，已知，，请直接写出的度数．
【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：
由（1）得：，，，
，
，
；
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）和的大小关系是 ：，
直线BC，AE的位置关系是：，
故答案为：，；
（3）∵，，
∴
∵，
∴
∴
【分析】（1）根据折叠的性质：对应角相等，即可求解；
（2）由垂直于同一直线的两条直线互相平行，得DF∥BC，进而根据二直线平行，内错角相等得∠CBD=∠FDB，从而由等量代换得到∠DBF=∠BDF，进而即可求解；
（3）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据折叠的性质求出∠ABD的度数，最后利用三角形外角的性质即可求解.
18．（2023八上·小榄期中）已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
【答案】（1）解：平分，
，
平分，
，
；
（2）解：作DF⊥AC于点F，DH⊥BC于点H，如图2，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由角平分线定义可求出∠DBC与∠DCB的度数，进而根据三角形的内角和定理可算出∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于点F，DH⊥BC于点H，由角平分线上的点到角两边的距离相等DH=DE=1，DF=DH=1，然后根据三角形的面积计算公式计算可得答案.
19．（2023八上·东莞期中） 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G.
（1）求证：BG平分∠ABE；
（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E，
∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴BA＝BE．
∵BG⊥AE，
∴BG平分∠ABE；
（2）解：∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∵∠DAB＝60°，
∴∠BAE＝30°．
∵BG⊥AE，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAE＝60°．
由（1）知：∠EBF＝∠ABF＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣∠BCG﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣60°＝20°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】 (1) 先根据平行线的性质得∠DAE＝∠E，再根据角平分线的定义得∠DAE＝∠BAE，进而得BA＝BE，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证.
（2）先根据角平分线的定义和 ∠DAB＝60°得∠BAE的度数，然后根据玉娇得∠ABF，最后根据三角形内角和定理进行求解.
20．（2023八上·大岭山期中）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”. 例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“3倍角三角形”. 反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如图①，已知，在射线上取一点，过点作交于点，判断是不是“3倍角三角形”，为什么？
（2）在（1）的条件下，以为端点画射线，交线段于点（点不与点、点重合），若是“3倍角三角形”，求的度数；
（3）如图②，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，若是“3倍角三角形”，求的度数.
【答案】（1）解：是.
理由：，
，
，
为“3倍角三角形”；
（2）解：，
∴当时，
是“3倍角三角形”，
，
当，即时，
是“3倍角三角形”，
，
综上，的度数为或；
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
是“3倍角三角形”，
或，
，
或.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据垂直的定义、三角形内角和和定理求∠ ABO的度数，根据"3倍角三角形”判断即可.
（2）根据"3倍角三角形"的概念解答即可.
（3）根据比较的性质得∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，最后根据"3倍角三角形”的定义求解即可.
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册第七章平行线的证明 章节测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．有下列四种说法：
（1）两条直线的位置关系有相交和平行两种
（2）过一点能作一条直线与已知直线垂直
（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024八上·东莞期中）如图，点A在点B的北偏东方向，点C在点B的北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019八上·准格尔旗期中）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2＝100°，则∠A的度数等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．（2021八上·宝安期末）如图，将一副三角板平放在一平面上（点D在上），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·顺德期末）某城市几条道路的位置如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为．城市规划部门想修一条新道路，要求，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·和平期末）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．垂直于同一条直线的两条直线平行
C．边长分别为7cm、24cm、25cm的三角形是直角三角形
D．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等
7．（2023八上·惠州开学考）如图，直线，点在直线上，点、在直线上，且，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020八上·潮州期末）如图，在 中， ，将 沿直线 翻折，点 落在点 的位置，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．（2024八上·福田期末）如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处，则的度数是 ．
10．（2021八上·东莞期中）如图， 是 中 的平分线， 是 的外角的平分线，如果 ，则 ．
11．（2023八上·越秀期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
12．（2023八上·肇庆月考）在如图的五角星中， °
13．（北师大版数学八年级上册第七章《定义与命题》同步练习）命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 结论是
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2024八上·东莞期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC∶∠B∶∠C=4∶3∶2，求∠DAE的度数．
15．（2024八上·德庆期末）如图，是的外角，．
（1）请你用尺规作图的方法作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
16．（2023八上·翁源月考）如图，在中，和的平分线相交于点．
（1）若，求的度数．
（2）当为多少度时，？
17．（2023八上·新丰期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
（1） 操作判断
操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断和的大小关系是 ，直线， 的位置关系是 ．
（2）深入探究
操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，如图2，判断和是否相等，并说明理由．
（3） 结论应用
如图1，已知，，请直接写出的度数．
18．（2023八上·小榄期中）已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
19．（2023八上·东莞期中） 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G.
（1）求证：BG平分∠ABE；
（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．
20．（2023八上·大岭山期中）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”. 例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“3倍角三角形”. 反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如图①，已知，在射线上取一点，过点作交于点，判断是不是“3倍角三角形”，为什么？
（2）在（1）的条件下，以为端点画射线，交线段于点（点不与点、点重合），若是“3倍角三角形”，求的度数；
（3）如图②，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，若是“3倍角三角形”，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：（1）两条直线的位置关系有相交和平行两种，正确；
（2）在同一平面内，过一点能作一条直线与已知直线垂直，故错误；
（3）在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；
故选B．
【分析】根据平行公理和相交线、垂线的定义利用排除法求解．
2．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；方位角
【解析】【解答】解：根据题意，得：，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】先利用平行线的性质求出∠ECB的度数，再利用角的运算求出∠ACB的度数即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵∠1+∠2=100°，∴∠ADF+∠AEF=360°﹣100°=260°，∴∠ADE+∠AED=130°，∴∠A=180°﹣130°=50°．
故答案为：C．
【分析】根据翻折不变性和三角形的内角和定理及角平分线的性质解答．
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据直角三角板可得，再利用三角形外角的性质可得。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠BAF=42°，
∴∠DFE=∠BAF=42°，
∵∠C=∠E，
∴；
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠DFE=∠BAF=42°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解.
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当一个角的度数为100°时，它的补角为80°，而100°大于80°，故该命题是假命题，不符合题意；
B、应该是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故该命题是假命题，不符合题意；
C、因为 ，则边长分别为7cm、24cm、25cm的三角形是直角三角形，故该命题是真命题，符合题意；
D、一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故该命题是假命题，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CB交直线a于点E，如图，
∵AB⊥BC，∠1＝32°，
∴∠ABC＝90°，
∴∠AEC＝90°-∠1＝58°，
∵a∥b，
∴∠ECF＝∠AEC＝58°，
∴∠BCD=180°-∠ECF=180°-58°=122°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC＝45°，
∴∠2＝180°-∠BCD-∠CBD＝180°-122°-45°=13°．
故答案为：A.
【分析】延长CB交直线a于点E，由题意可求得∠AEC＝58°，先由平行线的性质得∠ECF＝∠AEC＝58°，利用邻补角互补得出∠BCD=122°，再由角平分线的定义得∠CBD＝45°，最后利用三角形的内角和是180°，得出∠2＝180°-∠BCD-∠CBD=13°．
8．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，
由翻折得∠B=∠D，
∵∠3=∠2+∠D，∠1=∠B+∠3，
∴∠1=∠2+2∠B，
∵ ，
∴ = ，
故答案为：D.
【分析】由翻折得∠B=∠D，利用外角的性质得到∠3及∠1，再将∠B的度数代入计算，即可得到答案.
9．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点D作交于点F．
∵入射角等于反射角，
∴，
∴，
∵，
∴；，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查的是平行线的性质，属于跨学科的综合题；根据光的反射定律，过点D作DF⊥BO交OA于点F，这是解题的关键辅助线；因为入射角等于反射角，所以∠CDF=∠EDF，进而得出∠BDC=∠EDO；由于CD||OA，所以∠BDC=∠AOB=40°，且∠CDE+∠AED=180°，再根据三角形内角和为180°最终得∠AED为80°.
10．【答案】60°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABC=2∠ABP，∠ACM=2∠ACP，
又∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2×20°=40°，∠ACM=2×50°=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，求出∠A的度数即可。
11．【答案】或
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个等腰三角形时锐角三角形时，如图所示：
∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=40°，
∴∠A=90°-∠ABD=50°，
∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）=65°；
当这个等腰三角形时钝角三角形时，如图所示：
∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=40°，
∴∠DAB=90°-∠ABD=50°，
∵∠DAB=∠C+∠ABC，∠C=∠ABC，
∴∠C=∠ABC=∠DAB=25°，
综上该等腰三角形的底角为65°或25°.
故答案为：65°或25°.
【分析】此题需要分类讨论：①当这个等腰三角形时锐角三角形时，由直角三角形的量锐角互余可算出∠A=90°-∠ABD=50°，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的两底角相等可算出∠C的度数；②当这个等腰三角形时钝角三角形时，由直角三角形的量锐角互余可算出∠DAB=90°-∠ABD=50°，进而根据三角形的外角性质及等腰三角形的两底角相等可算出∠C的度数，综上可得答案.
12．【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
又，
.
故答案为：180．
【分析】利用三角形的外角的性质，得到，，再根据三角形内角和定理得，即可得解．
13．【答案】同位角相等；两直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，
所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．
故空中填：同位角相等；两直线平行．
【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答．
14．【答案】解：∵∠BAC：∠B：∠C=4：3：2
∴∠BAC=80°，∠C=40°
∵AE平分∠BAC
∴
∵AD是BC边上的高线
∴∠ADC=90°
∵∠C=40°
∴∠CAD=50°
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理.根据∠BAC：∠B：∠C=4：3：2，利用三角形内角和定理可求出△ABC的三个内角的度数，再根据AE平分∠BAC，利用角平分线定义求出∠CAE的度数，利用三角形的高的定义可得∠ADC=90°，进而可求出∠CAD的度数，再利用角的运算可得∠DAE=∠CAD-∠CAE，代入数据可求出答案.
15．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：．
理由如下：∵平分，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图按步骤做出的角平分线 即可，注意保留作图痕迹；
（2）根据角平分线的性质、等腰三角形的性质，得出，，再由三角形外角的性质即可得出，即可判断．
16．【答案】（1）解：平分，平分，
，
∠ABC+∠ACB＝130°，
，
，
（2）解：平分，平分，
，.
，
，
，
∠BPC=180°－（∠PBC＋∠PCB）
∠BPC＝3∠A
，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】 (1)、 利用角平分线的定义求出的度数， 再根据三角形内角和求出即可.
(2)、 利用角平分线的定义和三角形内角和的性质求出， 再根据三角形内角和求出即可.
17．【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：
由（1）得：，，，
，
，
；
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）和的大小关系是 ：，
直线BC，AE的位置关系是：，
故答案为：，；
（3）∵，，
∴
∵，
∴
∴
【分析】（1）根据折叠的性质：对应角相等，即可求解；
（2）由垂直于同一直线的两条直线互相平行，得DF∥BC，进而根据二直线平行，内错角相等得∠CBD=∠FDB，从而由等量代换得到∠DBF=∠BDF，进而即可求解；
（3）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据折叠的性质求出∠ABD的度数，最后利用三角形外角的性质即可求解.
18．【答案】（1）解：平分，
，
平分，
，
；
（2）解：作DF⊥AC于点F，DH⊥BC于点H，如图2，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由角平分线定义可求出∠DBC与∠DCB的度数，进而根据三角形的内角和定理可算出∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于点F，DH⊥BC于点H，由角平分线上的点到角两边的距离相等DH=DE=1，DF=DH=1，然后根据三角形的面积计算公式计算可得答案.
19．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E，
∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴BA＝BE．
∵BG⊥AE，
∴BG平分∠ABE；
（2）解：∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∵∠DAB＝60°，
∴∠BAE＝30°．
∵BG⊥AE，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAE＝60°．
由（1）知：∠EBF＝∠ABF＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣∠BCG﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣60°＝20°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】 (1) 先根据平行线的性质得∠DAE＝∠E，再根据角平分线的定义得∠DAE＝∠BAE，进而得BA＝BE，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证.
（2）先根据角平分线的定义和 ∠DAB＝60°得∠BAE的度数，然后根据玉娇得∠ABF，最后根据三角形内角和定理进行求解.
20．【答案】（1）解：是.
理由：，
，
，
为“3倍角三角形”；
（2）解：，
∴当时，
是“3倍角三角形”，
，
当，即时，
是“3倍角三角形”，
，
综上，的度数为或；
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
是“3倍角三角形”，
或，
，
或.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据垂直的定义、三角形内角和和定理求∠ ABO的度数，根据"3倍角三角形”判断即可.
（2）根据"3倍角三角形"的概念解答即可.
（3）根据比较的性质得∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，最后根据"3倍角三角形”的定义求解即可.
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