【培优版】北师大版数学八年级上册 第七章 平行线的证明 章节测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
2．（2023八上·东西湖月考）如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（ ）
A．∠1＋∠2＝90° B．2∠1＋∠2＝180°
C．∠1－∠2＝90° D．2∠2－∠1＝30°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，
则MP+PQ+QN最小，
由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，
∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，
∴∠OPM=∠QPN=∠1 30°，
∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°)
∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2，
∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA
∴∠OQP=∠3=30°+∠2，
在△MQP中，由内角和定理得∠1+∠OQP+∠QPM=180°，
即∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°，
化简得∠1 ∠2=90°.
故答案为：D.
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，由轴对称及对顶角相等可得∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°)，同理可得∠OQP=∠3=30°+∠2，在△MQP中，根据三角形的内角和定理可求得∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°，化简可得∠1 ∠2=90°.
3．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=∠ADB，③∠ADC+∠ABD = 90°， ④∠ADB= 45°-∠CDB，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠EAD+∠DAC= ∠ABC+∠ACB， 且 ∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，
∴ ∠DBC=∠ADB， 故②错误，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，故③正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ ∠DBC=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵90°-∠ABC=90°-∠ABD=∠DBC+∠BDC=∠ABD+∠BDC，
∴∠BDC=90°-2∠ABD，即 ∠ADB= 45°-∠CDB， 故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD=2∠BDC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形内角和定理可得∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，结合三角形外角的性质进行逐步推论即可判断.
4．（2021八上·诸暨月考）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接AG，GD，并延长GD，
∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC，
∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC）
=∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，
∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°.
故答案为：B.
【分析】连接AG，GD，并延长GD，根据三角形外角的性质推得∠GBD+∠GCD=30°，结合角平分线定义得出∠ABG+∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠A=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC），代入数值即可解答.
5．（2023八上·献县月考）小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵△DEF与△ABC是一幅直角三角尺
∴∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°
∵∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6
∴∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6
∵∠3=∠4，∠5=∠6
∴∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°
∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠3+∠6=30°+90°+90°=210°
故答案为：C
【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，由∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6，可得出∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6，由△DEF与△ABC是一幅直角三角尺可得出∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°，由对顶角相等可知∠3=∠4，∠5=∠6，所以∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°代入∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6即可得出答案.
6．（2023八上·芜湖开学考）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD，
在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC，
∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC，
∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO，
又∠AOD=∠BOC，
∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），
AP、CD的交点标为点E，
在△CPE中，
∠P=180°-∠PCO-∠CEP，
∵∠CEP=∠AOD+∠PAO，
∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，
∴∠P=（∠B+∠D）。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和定理分别得出∠B=180°-∠BCO-∠BOC，∠D=180°-∠DAO-∠AOD，再根据角平分线的定义和对顶角的性质得出∠B+∠D=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），然后在△CPE中，得出∠P=180°-∠PCO-∠CEP，再根据三角形外角的性质，得出∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，从而得出结论∠P=（∠B+∠D）。
7．（2024八上·镇海区期中）将一幅三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的内角的和得到，再根据角的和差解题即可．
8．（2023八上·栾城开学考）如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，
∴∠AEB=∠A+∠C=65°，
又∵∠B＝45°，
∴∠DFE=∠B+∠AEB=110°，
故选C.
【分析】根据三角形外角的性可得∠AEB=∠A+∠C=65°，然后根据∠DFE=∠B+∠AEB解题即可．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的应用；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过C作交延长线于H，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
即，
∴，
则，
∵，
∴，∴，
∵，∴，则，解得．
故答案为：4．
【分析】过C作，得到，，结合已知可得，则和，进而求得，有，即可证明，得到，利用三角形面积公式即可求得．
10．（2024八上·铜梁开学考）如图，已知，E是射线上一点（不包括端点B），沿翻折得到，，，则 ．
【答案】46°或90°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：解：过点F作IH∥CD，则IH∥CD∥AB，
如图，点F在AB，CD之间时，
∵∠B=66°，
由翻折性质可得：∠EFD=∠B=66°，
∵IH∥CD∥AB，
∴∠AEF=∠EFI，∠IFD=∠CDF，
∴∠EFD=∠AEF+∠CDF，
∵∠AEF=2∠CDF，
∴∠EFD=3∠CDF，
∴∠CDF=22°，
∵∠CDB+∠ABD=180°
∴∠BDF=∠FDE+∠BDE=180°-∠CDF-∠B=92°，
由折叠的性质得：
由折叠的性质得：；
如图，当点F在CD下方时，
∵∠B=66°，
由翻折性质可得：∠EFD=∠B=66°，∠BDE=∠FDE，
在△EFB中，∠AEF=∠B+∠EFB=132°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=48°，
由折叠的性质得：，
∴∠BDE=180°-∠B-∠BED=90°，
∴∠FDE=90°；
如图，当点F在AB上方时，设DF，AB交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠AGF=∠CDF，
∵∠AGF=∠AEF+∠F，
∴∠AEF＜∠AGF，
∴∠AEF＜∠CDF与∠AEF=2∠CDF矛盾，不符合题意；
综上，∠FDE的度数为46°或90°，
故答案为：46°或90°．
【分析】过点F作IH∥CD，则IH∥CD∥AB，当点F在AB，CD之间时，根据题意可得∠EFD=∠B=66°，根据两直线平行南昌相等得出∠AEF=∠EFI，∠IFD=∠CDF，结合题意可求出∠CDF=22°，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BDF=92°，即可求出∠FDE=46°，当点F在CD下方时，根据题意可得∠EFD=∠B=66°，∠BDE=∠FDE，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEF=∠B+∠EFB=132°，求出∠BEF=180°-∠AEF=48°，即可求出∠FED=24°，根据三角形内角和是180° 可求出∠BDE=180°-∠B-∠BED=90°，即∠FDE=90°，当点F在AB上方时，设DF，AB交于点G，根据两直线平行，同位角相等得出∠AGF=∠CDF，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AGF=∠AEF+∠F，即∠AEF＜∠AGF，根据∠AEF＜∠CDF与∠AEF=2∠CDF矛盾，该情况不符合题意.
11．（2024八上·寻乌期末）如图，在中，，，D为边BC延长线上一点，BF平分，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于的一边，则的度数为 ．
【答案】9°、51°、129°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：当时，如图所示
当于G时，如图所示
当时，如图所示
综上，的度数为9°或51°或129°
故答案为：9°、51°、129°
【分析】题中没有明确直线CE垂直于的哪一边，故需要分三种情况分别讨论，先勾画出三种情况的草图，逐一分析；根据已知角和角平分线定义及垂直带来的直角，把可求的角度在图上标示出来，易由余角定义、外角定理、三角形内角和定理计算出的度数。
12．（2023八上·武汉月考）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为 度.
【答案】32
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过C点作∠ACE=∠CBD，如图所示：
∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°，
∴∠ECD=∠BDC，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠CEB=64°，
∴∠BDC=∠CEB=32°．
故答案为：32．
【分析】过C点作∠ACE=∠CBD，利用角平分线的定义及等量代换可得∠BAC=∠CEB=64°，再求出∠BDC=∠CEB=32°即可．
13．（2023八上·浦北期中）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝ 度．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，
，，
，
同理可得，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线的性质和三角形外角的性质.已知平分，平分，根据角平分线的定义可得：，，再根据三角形外角的性质可得：，结合，可推出，同理可得，多写几个式子进一步找出规律即可求出，代入数据可求出答案．
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2024八上·温州期中）如图，在中，平分相交于点.
（1）求证：CE=CF.
（2）若AC=3，BC=4，求DF的长
【答案】（1）证明：∵AE平分∠CAB，即∠1=∠2，
∵∠ACB-90°，且CD⊥AB，
∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°
∴∠3=∠5.
∴∠3=∠4，
∴∠4=∠5
∴CE=CE(证明方法不唯一)
（2）解：作 EG⊥AB，
∵∠ACB=90°，即 EC⊥AC，
∵∠1=∠2，
∴EC=EG
∴Rt△ACE≌Rt△AGE，
∴AG=AC=3，
∵ AC=3，BC=4，
∴
∴BG=AB-AG=5-3=2.
由(1)得CF=CE，
设EC=EG=a，则EB=4-a，
即a2+22=(4-a)2，解得，
∴CF=，
【知识点】等式的基本性质；平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠1=∠2，再利用直角三角形中交的关系以及等式的传递性可知∠4=∠5，即可证明CE=CF；
（2）根据平行线的性质以及三角形的判定方法证明Rt△ACE≌Rt△AGE（HL），即AG=AC=3，再根据勾股定理求得BG的长度，设EC的长度为a，再次利用勾股定理即可求得a的长度，即CF的长度，根据三角形面积的计算方法可求得CD的长度，再用CD-CF即可.
15．（2022八上·余姚期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD．连接BE，可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
（1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程；
（2）【问题解决】
如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：
A．∠ACD＝∠BCD B．CE＝2CD C．∠BCD＝∠BCE D．CD＝CB
直接写出所有正确选项的序号是 ．
（3）【问题拓展】
如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE＝AC．
【答案】（1）解：如图①中，延长AD至点E，使ED＝AD．
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵AB＝5，
∴5-3＜AE＜5+3，
∴2＜2AD＜＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）B、C
（3）证明：如图③中，延长OE到J，使得EJ＝OE，连接DJ．
同法可证△BEO≌△DEJ，
∴∠BOE＝∠J，OB＝DJ，
∴OB∥DJ，
∴∠ODJ+∠BOD＝180°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠BOD+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝∠ODJ，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴OA＝DJ，
在△AOC和△JDO中，
，
∴△AOC≌△JDO（SAS），
∴AC＝OJ，
∴AC＝2OE．
【知识点】三角形三边关系；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）∵CD是△ACB的中线，
∴BD=AD，
当AC=BC时∠ACD=∠BCD，故A错误；
延长CD，使DF=CD，
∴CF=2CD，
同理可证△ADC≌△BDF，
∴AC=BF=AB，∠A=∠ABF，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵CB是△ACE的中线，
∴BE=BF=AB，
∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠CBF=∠ABC+∠ABF，
∴∠CBE=∠CBF，
在△CBE和△CBF中，
∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠BCD=∠BCE
∴CE=2CD，故B，C正确；
∴CD≠CB，故D错误；
故答案为：B，C
【分析】（1）延长AD至点E，使ED＝AD，利用SAS可证得△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可求出BE的长，利用三角形的三边关系定理，可求出AD的取值范围.
（2）利用三角形的中线的定义可证得BD=AD，若∠ACD=∠BCD，则必须满足AC=BC，可对A作出判断；延长CD，使DF=CD，可得到CF=2CD；同理可证△ADC≌△BDF，利用全等三角形的性质可证得AC=BF=AB，∠A=∠ABF，利用等边对等角可得到∠ACB=∠ABC，利用三角形中线的定义可得到BE=BF=AB，利用三角形的外角的性质去证明∠CBE=∠CBF，利用SAS证明△CBE≌△CBF，利用全等三角形的性质可得到CE=CF，∠BCD=∠BCE，可对C作出判断；同时可证得CE=2CD，CD≠CB，可对B，D作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
（3）延长OE到J，使得EJ＝OE，连接DJ，同理可证△BEO≌△DEJ，利用全等三角形的性质可证得∠BOE＝∠J，OB＝DJ，可推出OB∥DJ，利用平行线的性质可得到∠ODJ+∠BOD＝180°，再利用补角的性质可证得∠AOC＝∠ODJ，同时可证得OA=DJ；再利用SAS证明△AOC≌△JDO，利用全等三角形的性质可得到AC=OJ，由此可证得结论.
16．（2018八上·前郭期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
【答案】（1）解：如图，∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
（2）解：∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
（3）解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180×5+180=1080°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形外角定理得出∠1=∠2+∠D，∠2=∠B+∠E故∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，根据三角形的内角和得出∠1+∠A+∠C=180°，利用整体代入即可得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（2）根据三角形外角定理得出∠1=∠2+∠F，∠2=∠B+∠E，故∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，根据四边形的内角和得出∠1+∠A+∠C+∠D=360°，利用整体代入即可得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，从而得出答案。
17．在△ABC中，∠ACB=78°，∠A=32°，点D，E分别在AC，AB上.将△ADE沿直线DE折叠，得△A'DE.按以下要求对折叠后产生的夹角进行探究.
（1）如图①，当△A'DE在四边形BCDE的内部时，求∠1+∠2的和.
（2）如图②，当△A'DE覆盖∠C时，求∠1+∠2的和.
（3）如图③，当△ADE沿直线DE斜向上折叠时，求∠1，∠2，∠A的数量关系.
【答案】（1）解：连结AA'，如图.
由折叠的性质可知∠A=∠A'.
∵∠1是△AA'D的一个外角，
∴∠1=∠DAA'+∠DA'A.
∵∠2是△AA'E的一个外角，
∴∠2=∠EAA'+∠EA'A.
∴∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A=∠A+∠A'=2∠A=64°
（2）解：延长DC．交EA'于点G，
∵∠CGE是△A'DG的一个外角，
∴∠CGE=∠1+∠A'=∠1+∠A，
∵∠ACB是△CGH的一个外角，
∴∠ACB=∠2+∠CGE=∠2+∠1+∠A，
∴∠2+∠1=∠ACB-∠A．
∵∠ACB=78°，∠A=32°，
∴∠2+∠1=78°-32°=46°
（3）解：∠2-∠1=2∠A．理由如下：延长A'D，交AE于点G．
∵∠1=∠ADG，∠A=∠A'，
∴∠A'GE=∠A+∠1．
即∠2-∠1=2∠A
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）连结AA'，利用三角形外角的性质，得出∠1=∠DAA'+∠DA'A，∠2=∠EAA'+∠EA'A，相加后可得∠1+∠2=2∠A，代入∠A求出∠1+∠2的和.
（2）延长DC．交EA'于点G，利用三角形外角的性质，得出∠CGE=∠1+∠A和∠ACB=∠2+∠CGE，将∠CGE=∠1+∠A代入，得出∠2+∠1=∠ACB-∠A，代入已知角，求出∠1+∠2的和.
（3）延长A'D，交AE于点G，先利用对顶角的性质和折叠的性质，得出∠A'GE=∠A+∠1，再利用三角形外角的性质得出变形即可.
18．（2024八上·青原月考）如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）的度数；
（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．
【答案】解：（1）∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
∵∠PNB=∠P+∠PAB，∠PNB=∠B+∠PCB，∠PMD=∠P+∠PCD，∠PMD=∠D+∠DAP，
∴∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
（2）．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2） ∠P=，理由如下：
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵，
∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵，
∴∠P=
【分析】（1）根据角平分线可以得到∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP，然后根据等式性质得出得出2∠P=∠B+∠D，结合题目给出的已知条件即可求解；
（2） 利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠PCD-∠DAP=∠D-∠P，∠DAB-∠DCB=∠B-∠DB，结合题目中的已知条件得∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP），从而整体代入得出∠P和∠D、∠B之间存在的数量关系．
19．（2024八上·广州开学考）在中，，点D，E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设．
（1）若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则___________（用含∠α的代数式表示）；
（2）若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）当点P在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的之间的关系式．（不需要证明）
【答案】（1）
（2）解：结论：，证明如下：
如图，
∵，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴（四边形内角和定理），
∴；
故答案为：；
（3）解：如图（3），
∵，，
∵，
∴，
∴．
如图（4），
∵，，
∵，
∴，
∴．
综上所述，或．
【分析】（1）根据邻补角可得，，再根据四边形的内角和为（可以把四边形分成两个三角形），即可表示出和之间的关系；
（2）根据三角形外角的性质，，再结合对顶角相等即可得到结论；
（3）分图（3）和图（4）两种情况，分别利用三角形外角的性质及对顶角相等即可得到结论.
（1）解：∵，，
∴（可以把四边形分成两个三角形），
∴；
故答案为：．
（2）解：结论：，证明如下：
根据三角形外角的性质可知，
，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图（3），
由三角形外角的性质得：
，，
∵，
∴，
∴．
如图（4），
由三角形外角的性质得：
，，
∵，
∴，
∴．
综上所述，或．
20．（2024八上·涪城开学考）已知，点B为平面内一点，于B．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作的延长线于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，且平分，平分，若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵于，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过作，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∵平分，
∴，
又∵，平分，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
，
解得，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据二直线平行同位角相等得到，然后结合，根据直角三角形量锐角互余即可证明；
（2）过作，根据垂直定义、平行线的性质及同角的余角相等可证，然后根据平行于同一直线的两条直线互相平行得到，进而根据二直线平行，内错角相等得到，最后运用等量代换解答即可；
（3）设，则，根据角平分线的定义可得，，根据三角形内角和可得，可得的度数表达式，再根据二直线平行，同旁内角互补可得，代入即可算出的度数，进而完成解答．
（1）证明：∵，
∴，
∵于，
∴，
∴，
∴；
（2）过作，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设，则，
∵平分，
∴，
又∵，平分，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
，
解得，
∴，
∴．
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册 第七章 平行线的证明 章节测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
2．（2023八上·东西湖月考）如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（ ）
A．∠1＋∠2＝90° B．2∠1＋∠2＝180°
C．∠1－∠2＝90° D．2∠2－∠1＝30°
3．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=∠ADB，③∠ADC+∠ABD = 90°， ④∠ADB= 45°-∠CDB，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021八上·诸暨月考）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
5．（2023八上·献县月考）小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·芜湖开学考）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·镇海区期中）将一幅三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·栾城开学考）如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105°
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为 ．
10．（2024八上·铜梁开学考）如图，已知，E是射线上一点（不包括端点B），沿翻折得到，，，则 ．
11．（2024八上·寻乌期末）如图，在中，，，D为边BC延长线上一点，BF平分，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于的一边，则的度数为 ．
12．（2023八上·武汉月考）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为 度.
13．（2023八上·浦北期中）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝ 度．
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2024八上·温州期中）如图，在中，平分相交于点.
（1）求证：CE=CF.
（2）若AC=3，BC=4，求DF的长
15．（2022八上·余姚期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD．连接BE，可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
（1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程；
（2）【问题解决】
如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：
A．∠ACD＝∠BCD B．CE＝2CD C．∠BCD＝∠BCE D．CD＝CB
直接写出所有正确选项的序号是 ．
（3）【问题拓展】
如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE＝AC．
16．（2018八上·前郭期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
17．在△ABC中，∠ACB=78°，∠A=32°，点D，E分别在AC，AB上.将△ADE沿直线DE折叠，得△A'DE.按以下要求对折叠后产生的夹角进行探究.
（1）如图①，当△A'DE在四边形BCDE的内部时，求∠1+∠2的和.
（2）如图②，当△A'DE覆盖∠C时，求∠1+∠2的和.
（3）如图③，当△ADE沿直线DE斜向上折叠时，求∠1，∠2，∠A的数量关系.
18．（2024八上·青原月考）如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）的度数；
（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．
19．（2024八上·广州开学考）在中，，点D，E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设．
（1）若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则___________（用含∠α的代数式表示）；
（2）若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）当点P在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的之间的关系式．（不需要证明）
20．（2024八上·涪城开学考）已知，点B为平面内一点，于B．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作的延长线于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，且平分，平分，若，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，
则MP+PQ+QN最小，
由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，
∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，
∴∠OPM=∠QPN=∠1 30°，
∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°)
∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2，
∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA
∴∠OQP=∠3=30°+∠2，
在△MQP中，由内角和定理得∠1+∠OQP+∠QPM=180°，
即∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°，
化简得∠1 ∠2=90°.
故答案为：D.
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，由轴对称及对顶角相等可得∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°)，同理可得∠OQP=∠3=30°+∠2，在△MQP中，根据三角形的内角和定理可求得∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°，化简可得∠1 ∠2=90°.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠EAD+∠DAC= ∠ABC+∠ACB， 且 ∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，
∴ ∠DBC=∠ADB， 故②错误，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，故③正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ ∠DBC=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵90°-∠ABC=90°-∠ABD=∠DBC+∠BDC=∠ABD+∠BDC，
∴∠BDC=90°-2∠ABD，即 ∠ADB= 45°-∠CDB， 故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD=2∠BDC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形内角和定理可得∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，结合三角形外角的性质进行逐步推论即可判断.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接AG，GD，并延长GD，
∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC，
∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC）
=∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，
∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°.
故答案为：B.
【分析】连接AG，GD，并延长GD，根据三角形外角的性质推得∠GBD+∠GCD=30°，结合角平分线定义得出∠ABG+∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠A=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC），代入数值即可解答.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵△DEF与△ABC是一幅直角三角尺
∴∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°
∵∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6
∴∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6
∵∠3=∠4，∠5=∠6
∴∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°
∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠3+∠6=30°+90°+90°=210°
故答案为：C
【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，由∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6，可得出∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6，由△DEF与△ABC是一幅直角三角尺可得出∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°，由对顶角相等可知∠3=∠4，∠5=∠6，所以∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°代入∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD，
在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC，
∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC，
∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO，
又∠AOD=∠BOC，
∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），
AP、CD的交点标为点E，
在△CPE中，
∠P=180°-∠PCO-∠CEP，
∵∠CEP=∠AOD+∠PAO，
∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，
∴∠P=（∠B+∠D）。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和定理分别得出∠B=180°-∠BCO-∠BOC，∠D=180°-∠DAO-∠AOD，再根据角平分线的定义和对顶角的性质得出∠B+∠D=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），然后在△CPE中，得出∠P=180°-∠PCO-∠CEP，再根据三角形外角的性质，得出∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，从而得出结论∠P=（∠B+∠D）。
7．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的内角的和得到，再根据角的和差解题即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，
∴∠AEB=∠A+∠C=65°，
又∵∠B＝45°，
∴∠DFE=∠B+∠AEB=110°，
故选C.
【分析】根据三角形外角的性可得∠AEB=∠A+∠C=65°，然后根据∠DFE=∠B+∠AEB解题即可．
9．【答案】4
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的应用；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过C作交延长线于H，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
即，
∴，
则，
∵，
∴，∴，
∵，∴，则，解得．
故答案为：4．
【分析】过C作，得到，，结合已知可得，则和，进而求得，有，即可证明，得到，利用三角形面积公式即可求得．
10．【答案】46°或90°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：解：过点F作IH∥CD，则IH∥CD∥AB，
如图，点F在AB，CD之间时，
∵∠B=66°，
由翻折性质可得：∠EFD=∠B=66°，
∵IH∥CD∥AB，
∴∠AEF=∠EFI，∠IFD=∠CDF，
∴∠EFD=∠AEF+∠CDF，
∵∠AEF=2∠CDF，
∴∠EFD=3∠CDF，
∴∠CDF=22°，
∵∠CDB+∠ABD=180°
∴∠BDF=∠FDE+∠BDE=180°-∠CDF-∠B=92°，
由折叠的性质得：
由折叠的性质得：；
如图，当点F在CD下方时，
∵∠B=66°，
由翻折性质可得：∠EFD=∠B=66°，∠BDE=∠FDE，
在△EFB中，∠AEF=∠B+∠EFB=132°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=48°，
由折叠的性质得：，
∴∠BDE=180°-∠B-∠BED=90°，
∴∠FDE=90°；
如图，当点F在AB上方时，设DF，AB交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠AGF=∠CDF，
∵∠AGF=∠AEF+∠F，
∴∠AEF＜∠AGF，
∴∠AEF＜∠CDF与∠AEF=2∠CDF矛盾，不符合题意；
综上，∠FDE的度数为46°或90°，
故答案为：46°或90°．
【分析】过点F作IH∥CD，则IH∥CD∥AB，当点F在AB，CD之间时，根据题意可得∠EFD=∠B=66°，根据两直线平行南昌相等得出∠AEF=∠EFI，∠IFD=∠CDF，结合题意可求出∠CDF=22°，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BDF=92°，即可求出∠FDE=46°，当点F在CD下方时，根据题意可得∠EFD=∠B=66°，∠BDE=∠FDE，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEF=∠B+∠EFB=132°，求出∠BEF=180°-∠AEF=48°，即可求出∠FED=24°，根据三角形内角和是180° 可求出∠BDE=180°-∠B-∠BED=90°，即∠FDE=90°，当点F在AB上方时，设DF，AB交于点G，根据两直线平行，同位角相等得出∠AGF=∠CDF，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AGF=∠AEF+∠F，即∠AEF＜∠AGF，根据∠AEF＜∠CDF与∠AEF=2∠CDF矛盾，该情况不符合题意.
11．【答案】9°、51°、129°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：当时，如图所示
当于G时，如图所示
当时，如图所示
综上，的度数为9°或51°或129°
故答案为：9°、51°、129°
【分析】题中没有明确直线CE垂直于的哪一边，故需要分三种情况分别讨论，先勾画出三种情况的草图，逐一分析；根据已知角和角平分线定义及垂直带来的直角，把可求的角度在图上标示出来，易由余角定义、外角定理、三角形内角和定理计算出的度数。
12．【答案】32
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过C点作∠ACE=∠CBD，如图所示：
∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°，
∴∠ECD=∠BDC，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠CEB=64°，
∴∠BDC=∠CEB=32°．
故答案为：32．
【分析】过C点作∠ACE=∠CBD，利用角平分线的定义及等量代换可得∠BAC=∠CEB=64°，再求出∠BDC=∠CEB=32°即可．
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，
，，
，
同理可得，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线的性质和三角形外角的性质.已知平分，平分，根据角平分线的定义可得：，，再根据三角形外角的性质可得：，结合，可推出，同理可得，多写几个式子进一步找出规律即可求出，代入数据可求出答案．
14．【答案】（1）证明：∵AE平分∠CAB，即∠1=∠2，
∵∠ACB-90°，且CD⊥AB，
∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°
∴∠3=∠5.
∴∠3=∠4，
∴∠4=∠5
∴CE=CE(证明方法不唯一)
（2）解：作 EG⊥AB，
∵∠ACB=90°，即 EC⊥AC，
∵∠1=∠2，
∴EC=EG
∴Rt△ACE≌Rt△AGE，
∴AG=AC=3，
∵ AC=3，BC=4，
∴
∴BG=AB-AG=5-3=2.
由(1)得CF=CE，
设EC=EG=a，则EB=4-a，
即a2+22=(4-a)2，解得，
∴CF=，
【知识点】等式的基本性质；平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠1=∠2，再利用直角三角形中交的关系以及等式的传递性可知∠4=∠5，即可证明CE=CF；
（2）根据平行线的性质以及三角形的判定方法证明Rt△ACE≌Rt△AGE（HL），即AG=AC=3，再根据勾股定理求得BG的长度，设EC的长度为a，再次利用勾股定理即可求得a的长度，即CF的长度，根据三角形面积的计算方法可求得CD的长度，再用CD-CF即可.
15．【答案】（1）解：如图①中，延长AD至点E，使ED＝AD．
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵AB＝5，
∴5-3＜AE＜5+3，
∴2＜2AD＜＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）B、C
（3）证明：如图③中，延长OE到J，使得EJ＝OE，连接DJ．
同法可证△BEO≌△DEJ，
∴∠BOE＝∠J，OB＝DJ，
∴OB∥DJ，
∴∠ODJ+∠BOD＝180°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠BOD+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝∠ODJ，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴OA＝DJ，
在△AOC和△JDO中，
，
∴△AOC≌△JDO（SAS），
∴AC＝OJ，
∴AC＝2OE．
【知识点】三角形三边关系；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）∵CD是△ACB的中线，
∴BD=AD，
当AC=BC时∠ACD=∠BCD，故A错误；
延长CD，使DF=CD，
∴CF=2CD，
同理可证△ADC≌△BDF，
∴AC=BF=AB，∠A=∠ABF，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵CB是△ACE的中线，
∴BE=BF=AB，
∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠CBF=∠ABC+∠ABF，
∴∠CBE=∠CBF，
在△CBE和△CBF中，
∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠BCD=∠BCE
∴CE=2CD，故B，C正确；
∴CD≠CB，故D错误；
故答案为：B，C
【分析】（1）延长AD至点E，使ED＝AD，利用SAS可证得△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可求出BE的长，利用三角形的三边关系定理，可求出AD的取值范围.
（2）利用三角形的中线的定义可证得BD=AD，若∠ACD=∠BCD，则必须满足AC=BC，可对A作出判断；延长CD，使DF=CD，可得到CF=2CD；同理可证△ADC≌△BDF，利用全等三角形的性质可证得AC=BF=AB，∠A=∠ABF，利用等边对等角可得到∠ACB=∠ABC，利用三角形中线的定义可得到BE=BF=AB，利用三角形的外角的性质去证明∠CBE=∠CBF，利用SAS证明△CBE≌△CBF，利用全等三角形的性质可得到CE=CF，∠BCD=∠BCE，可对C作出判断；同时可证得CE=2CD，CD≠CB，可对B，D作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
（3）延长OE到J，使得EJ＝OE，连接DJ，同理可证△BEO≌△DEJ，利用全等三角形的性质可证得∠BOE＝∠J，OB＝DJ，可推出OB∥DJ，利用平行线的性质可得到∠ODJ+∠BOD＝180°，再利用补角的性质可证得∠AOC＝∠ODJ，同时可证得OA=DJ；再利用SAS证明△AOC≌△JDO，利用全等三角形的性质可得到AC=OJ，由此可证得结论.
16．【答案】（1）解：如图，∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
（2）解：∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
（3）解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180×5+180=1080°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形外角定理得出∠1=∠2+∠D，∠2=∠B+∠E故∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，根据三角形的内角和得出∠1+∠A+∠C=180°，利用整体代入即可得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（2）根据三角形外角定理得出∠1=∠2+∠F，∠2=∠B+∠E，故∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，根据四边形的内角和得出∠1+∠A+∠C+∠D=360°，利用整体代入即可得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，从而得出答案。
17．【答案】（1）解：连结AA'，如图.
由折叠的性质可知∠A=∠A'.
∵∠1是△AA'D的一个外角，
∴∠1=∠DAA'+∠DA'A.
∵∠2是△AA'E的一个外角，
∴∠2=∠EAA'+∠EA'A.
∴∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A=∠A+∠A'=2∠A=64°
（2）解：延长DC．交EA'于点G，
∵∠CGE是△A'DG的一个外角，
∴∠CGE=∠1+∠A'=∠1+∠A，
∵∠ACB是△CGH的一个外角，
∴∠ACB=∠2+∠CGE=∠2+∠1+∠A，
∴∠2+∠1=∠ACB-∠A．
∵∠ACB=78°，∠A=32°，
∴∠2+∠1=78°-32°=46°
（3）解：∠2-∠1=2∠A．理由如下：延长A'D，交AE于点G．
∵∠1=∠ADG，∠A=∠A'，
∴∠A'GE=∠A+∠1．
即∠2-∠1=2∠A
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）连结AA'，利用三角形外角的性质，得出∠1=∠DAA'+∠DA'A，∠2=∠EAA'+∠EA'A，相加后可得∠1+∠2=2∠A，代入∠A求出∠1+∠2的和.
（2）延长DC．交EA'于点G，利用三角形外角的性质，得出∠CGE=∠1+∠A和∠ACB=∠2+∠CGE，将∠CGE=∠1+∠A代入，得出∠2+∠1=∠ACB-∠A，代入已知角，求出∠1+∠2的和.
（3）延长A'D，交AE于点G，先利用对顶角的性质和折叠的性质，得出∠A'GE=∠A+∠1，再利用三角形外角的性质得出变形即可.
18．【答案】解：（1）∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
∵∠PNB=∠P+∠PAB，∠PNB=∠B+∠PCB，∠PMD=∠P+∠PCD，∠PMD=∠D+∠DAP，
∴∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
（2）．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2） ∠P=，理由如下：
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵，
∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵，
∴∠P=
【分析】（1）根据角平分线可以得到∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP，然后根据等式性质得出得出2∠P=∠B+∠D，结合题目给出的已知条件即可求解；
（2） 利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠PCD-∠DAP=∠D-∠P，∠DAB-∠DCB=∠B-∠DB，结合题目中的已知条件得∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP），从而整体代入得出∠P和∠D、∠B之间存在的数量关系．
19．【答案】（1）
（2）解：结论：，证明如下：
如图，
∵，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴（四边形内角和定理），
∴；
故答案为：；
（3）解：如图（3），
∵，，
∵，
∴，
∴．
如图（4），
∵，，
∵，
∴，
∴．
综上所述，或．
【分析】（1）根据邻补角可得，，再根据四边形的内角和为（可以把四边形分成两个三角形），即可表示出和之间的关系；
（2）根据三角形外角的性质，，再结合对顶角相等即可得到结论；
（3）分图（3）和图（4）两种情况，分别利用三角形外角的性质及对顶角相等即可得到结论.
（1）解：∵，，
∴（可以把四边形分成两个三角形），
∴；
故答案为：．
（2）解：结论：，证明如下：
根据三角形外角的性质可知，
，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图（3），
由三角形外角的性质得：
，，
∵，
∴，
∴．
如图（4），
由三角形外角的性质得：
，，
∵，
∴，
∴．
综上所述，或．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵于，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过作，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∵平分，
∴，
又∵，平分，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
，
解得，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据二直线平行同位角相等得到，然后结合，根据直角三角形量锐角互余即可证明；
（2）过作，根据垂直定义、平行线的性质及同角的余角相等可证，然后根据平行于同一直线的两条直线互相平行得到，进而根据二直线平行，内错角相等得到，最后运用等量代换解答即可；
（3）设，则，根据角平分线的定义可得，，根据三角形内角和可得，可得的度数表达式，再根据二直线平行，同旁内角互补可得，代入即可算出的度数，进而完成解答．
（1）证明：∵，
∴，
∵于，
∴，
∴，
∴；
（2）过作，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设，则，
∵平分，
∴，
又∵，平分，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
，
解得，
∴，
∴．
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