【培优版】北师大版数学九年级上册4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2019九上·天水期中）下列说法中正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】A、只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故选项错误；
B、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误；
C、因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故选项正确；
D、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
2．（2024九上·福田期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BA延长线一点，CE交AD于点F，下列各式中可能错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，∴，∴A不符合题意；
B、∵CD∥BE，∴，∵AB＝CD，∴，∴B不符合题意；
C、∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC，∴，∵AD＝BC，∴，∴C不符合题意；
D、∵CD∥BE，∴△CDF∽△EBC，∴，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质及相似三角形的判定方法和性质逐项分析判断即可.
3．（2024九上·浙江期中）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（ ）
A．只有方法1对 B．只有方法2对
C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：方法一∵AC∥BD，
∴∠ACP=∠PDB，∠CAP=∠PBD，
∴△ACP∽△BDP，
∴，方法正确；
方法二：连接BC，AD，则BC∥AD，
∴∠BCP=∠PDA，∠CBP=∠PAD，
∴△BCP∽△ADP，
∴，方法正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意得到三角形相似，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
4．（2024九上·杭州月考）在中，，点在边AC上，用尺规作图在AB上取一点，使与相似，则下列尺规作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图-垂线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
【解析】【解答】解：A：尺规作图可得∠ADE=90°=∠C，又因为∠A=∠A，则△ADE∽△ACB，不符合题意；
B：尺规作图可得∠ADE=∠B，又因为∠A=∠A，则△ADE∽△ABC，不符合题意；
C：尺规作图可得∠AED=90°=∠B，又因为∠A=∠A，则△ADE∽△ABC，不符合题意；
D：截取BE=BC，不能得到与相，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据尺规作图，然后根据相似三角形的判定定理逐一判断即可.
5．（2023九上·南京月考）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知EA=EO=EB，EO=GD=GA，且COE=B=90
同时∠GEO=∠GEA，∠CEO=∠CEB，即有∠OEA=2∠OEG，∠OEB=2∠OEC，
∵∠OEA+∠OEB=180°
∴∠OEC+∠OEG=90°，即∠GEC=90°
∵∠OGE+∠OEG=90°，∠OEG+∠OEC=90°
∴∠OEC=∠OGE
∴△OEG~△COE
∴
∴OE2=OG·OC(1)
设OE=a，则EA=EB=a，设AG=b，则OG=DG=b，OC=BC=2b，代入（1）式得a2=2b2，即a=b，于是AB=AD，故②错误；
∵△OCF~△ODG
∴，即，得OF=，
∵
∴GF||CE，故①正确；
CE=，DF=OF=，故，故③错误；
而OC=2b，OF=，故，故④正确；
综上所述，①④正确.
故答案为：C.
【分析】由折叠的性质知∠CEG=90°，设AE=a，AG=b，由△OEG~△COE得OE2=OG·OC得a=b，由△OCF~△ODG得OF=，即可得CE、DF的长，即可判断GF||CE和.
6．（2024九上·宁波期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线，交BC于点D．过点D作交AC于点E，点P在EC上，且∠EDP＝∠EDA，若EP＝1，PC＝4，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作交DE延长线于点N，DP延长线于点M，如下图：
∵
∴，
又∵
∴
又∵
∴为等腰三角形，
∴
∵平分，
∴
∴，即
设，则，
∵
∴，，
∴，，
∴，可得
解得，即，
由题意可得：，
由勾股定理可得，
由可得，解得，
即
故答案为：A
【分析】过点A作交DE延长线于点N，DP延长线于点M，可得为等腰三角形，，从而得到，由题意可得，再由可得，，可得，，即，设，，得到，解得，即，由勾股定理可得，再由可得，即可求解.
7．（2024九上·罗湖期中） 如图，菱形ABCD 的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交 BD， AD 于点G， F， 则FG的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB//CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠EDC＝90°，
在Rt△ADE中，∵AE＝AD＝，
∴DE＝AE＝，
在Rt△CDE中，CE＝，
∵BE//CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG＝×=，
∵AE//CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
∴，
∴EF＝×=，
∴FG＝EG EF＝-=．
故答案为：B．
【分析】先利用菱形的性质及角的运算求出∠ABD＝∠ABC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝AE＝，利用勾股定理求出CE的长，再证出△BEG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EG的长，再证出△AEF∽△DCF，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EF的长，最后利用线段的和差求出FG的长即可.
8．（2023九上·福田期中）如图，在Rt△ 中，∠ =90°， =6， =8，∠ ，∠ 的平分线相交于点 ，过点 作 // 交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；矩形的判定；正方形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长FE交AB于点P，作EN⊥BC于点N，作EM⊥AC于点M.
∵EF∥BC、∠ABC=90°，
∴FP⊥AB，
∵EN⊥BC，
∴四边形BPEN是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴EP=EM=EN，∠PAE=∠MAE，
∴四边形BPEN是正方形，
在△PAE和△MAE中，
∴△PAE≌△MAE(SAS)，
∴AP=AM.
同理△CNE≌△CME，
∴CN=CM，
∵BC=，
设BP=BN=m，则AP=AM=6-m、CN=CM=8-m，
∴6-m+8-m=10，
解得：m=2，
∴BP=PE=2，AP=4，
∵PF∥BC，
∴△APF∽△ABC，
∴，即，
解得：PF=，
则EF=PF=PE=.
故答案为：C.
【分析】延长FE交AB于点P，作EN⊥BC、作EM⊥AC，由EF∥BC可证四边形BPEN是矩形，由角平分线可得EP=EM=EN，∠PAE=∠MAE，从而知四边形BPEN是正方形，再证△PAE≌△MAE、△CNE≌△CME得AP=AM、CN=CM，由BC=8.可设BP=BN=x，则AP=AM=6-x、CN=CM=8-x，得x=2，即BP=PE=2、AP=4，再证△APF∽△ABC可得PF=，据此得出EF=PF-PE=.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九上·福田期中）如图，在中，点为边AB上一点，连接CD.点为CD中点，连接BE，若，则BE的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于点F，连接EF，
则∠BFC＝90°，
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴BC＝DC，BC＝2CF，
∴BF＝DF，BF＝，
∴，
∵点E为CD中点，点F为BD中点，
∴FE∥BC，
∴∠EFD＝∠CBD＝30°，
∴∠ADC＝∠EFB＝180° 30°＝150°，
∵∠ACD＝∠EBD，AC＝，
∴△ACD∽△EBF，
∴，
∴，
∴BE＝，
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于点F，连接EF，先证出△ACD∽△EBF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入可得，最后求出BE的长即可.
10．（2024九上·福田期中）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为 D，AE平分∠BAC，分别交 BD，BC于点 F，E．若 AB：BC＝3：4，则= .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，则AC＝＝5x，再证出△ABD∽△ACB，可得，将数据代入求出AD＝，再证出△ABE∽△ADF，可得，再将数据代入求出即可.
11．（2024九上·昌平期中）如图，在菱形中，点E在边上，与交于点F．若，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系可得CF=3，由直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
12．（2019九上·无锡月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似.
【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似.
故答案为： 4或9 .
【分析】此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案.
13．（2023九上·江北开学考）如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③；④中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
【答案】③
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①，时，，故①不符合题意；
②，时，，故②不符合题意；
③，时，不能推出，故③符合题意；
④，时，，故④不符合题意，
故答案为：③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ，
∴，
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
【知识点】解分式方程；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等证明即可求解；
（2）根据两角相等的两个三角形相似得到，再根据对应边成比例得到，代入数值计算即可.
（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ，
∴，
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
15．（2024九上·西湖期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
【答案】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CD=2
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例得到 解题．
16．（2024九上·上海市期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
【答案】(1)解：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴FC＝3FD＝6，
∴DC＝FC－FD＝4.
(2)证明：
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，
∴，
.∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∴，
∴EF·GB＝BF·GE.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，
(1)根据AD∥BC，利用相似三角形的判定理可证明△DEF∽△CBF，利用相似三角形的性质：对应边成比例可得：，代入数据进行可求出FC，利用线段的运算可求出DC的长，
(2)根据AD∥BC，利用相似三角形的判定理可证明△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，利用相似三角形的性质：对应边成比例由已知条件得出AE=DE，因此，通过变形可得出结论.
17．（2024九上·拱墅期中）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【答案】（1）证明：平分，
，
∵
∴
；
（2）解：由（1）可得
点为边的中点，，
，
∴
平分，
，
∴
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线可得，由可得，从而得到即可证明；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，根据平行线的判定得到证明，最后相似三角形的性质即可证明求解．
18．（2024九上·浙江期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝．在如图2的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点．”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“△AOE∽△EOM”；
小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”结合上述师生的交流：
（1）请你证明小聪发现的结论；
（2）请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”
【答案】（1）解：由吴老师与小聪的交流可知：
四边形 EFGH 是正方形，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠OAE＝∠OEM＝45°，
∵∠AOE＝∠EOM ，
∴△AOE∽△EOM．
（2）解：
由正方形EFGH得： ，
由正方形ABCD得： ，
由吴老师与小聪的交流可知： 是 AC 和 EG 的中点，
由（1）得： ，
， 即： ，
，
由中心对称性， 得： .
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到两角对应相等∠OAE＝∠OEM＝45°，即可得到三角形相似；
（2）根据勾股定理求出HE，EG，AC的长，然后根据，得到即可解题.
19．（2024九上·成都期中）（1）如图1，与都是等腰直角三角形，且，求证：．
（2）如图2，在中，，，，点是射线上一动点，连接绕点逆时针旋转，得到连接，：
①求证：；
②若，，求的长；
（3）如图3，菱形中，，点是线段上一动点，连接，以为边在直线的左侧作菱形，使得，线段交线段与点，若，求（用含有的式子表示）
【答案】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形，且，
∴，，，
∴，∠FAE-∠CAE=∠BAC-∠CAE，
∴，
∴；
（2）①证明：设与相交于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AE绕点E逆时针旋转120°得EF，
∴，，
同理可
得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
由①知，
∴E、G重合，
∴；
（3）∵菱形中，，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，，则，，然后根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”即可求解；
（2）①根据等腰直角三角形的性质可求，，，根据勾股定理可求出，进而求出，同理可求，，进而得出，，根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可证，根据相似三角形的性质即可求解；
②根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求得BE的值，结合①中，可得出E、G重合，然后根据勾股定理计算即可求解；
（3）根据菱形的性质可证得是等边三角形，，等，结合可求出，根据三角形内角和定理可得∠DAE=∠DEP，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的性质可得比例式求解．
20．（2024九上·双城开学考）已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若点为的中点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点为的中点，四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
结合（2）可得：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
过作于，过作于，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出，，根据SAS可证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据正方形的性质得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据正方形的性质可得，，，根据勾股定理求出，结合（2）可得：，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式可求出，，求得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质可得，，，，，过作于，过作于，根据角平分线的性质可得，即可求出，，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点为的中点，正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形，，
∴，，，
∴，
结合（2）可得：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
过作于，过作于，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2019九上·天水期中）下列说法中正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
2．（2024九上·福田期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BA延长线一点，CE交AD于点F，下列各式中可能错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·浙江期中）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（ ）
A．只有方法1对 B．只有方法2对
C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
4．（2024九上·杭州月考）在中，，点在边AC上，用尺规作图在AB上取一点，使与相似，则下列尺规作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·南京月考）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④
6．（2024九上·宁波期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线，交BC于点D．过点D作交AC于点E，点P在EC上，且∠EDP＝∠EDA，若EP＝1，PC＝4，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·罗湖期中） 如图，菱形ABCD 的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交 BD， AD 于点G， F， 则FG的长为( )
A． B． C． D．
8．（2023九上·福田期中）如图，在Rt△ 中，∠ =90°， =6， =8，∠ ，∠ 的平分线相交于点 ，过点 作 // 交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九上·福田期中）如图，在中，点为边AB上一点，连接CD.点为CD中点，连接BE，若，则BE的长为 .
10．（2024九上·福田期中）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为 D，AE平分∠BAC，分别交 BD，BC于点 F，E．若 AB：BC＝3：4，则= .
11．（2024九上·昌平期中）如图，在菱形中，点E在边上，与交于点F．若，，，则的值为 ．
12．（2019九上·无锡月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似.
13．（2023九上·江北开学考）如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③；④中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
15．（2024九上·西湖期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
16．（2024九上·上海市期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
17．（2024九上·拱墅期中）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
18．（2024九上·浙江期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝．在如图2的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点．”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“△AOE∽△EOM”；
小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”结合上述师生的交流：
（1）请你证明小聪发现的结论；
（2）请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”
19．（2024九上·成都期中）（1）如图1，与都是等腰直角三角形，且，求证：．
（2）如图2，在中，，，，点是射线上一动点，连接绕点逆时针旋转，得到连接，：
①求证：；
②若，，求的长；
（3）如图3，菱形中，，点是线段上一动点，连接，以为边在直线的左侧作菱形，使得，线段交线段与点，若，求（用含有的式子表示）
20．（2024九上·双城开学考）已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若点为的中点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】A、只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故选项错误；
B、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误；
C、因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故选项正确；
D、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，∴，∴A不符合题意；
B、∵CD∥BE，∴，∵AB＝CD，∴，∴B不符合题意；
C、∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC，∴，∵AD＝BC，∴，∴C不符合题意；
D、∵CD∥BE，∴△CDF∽△EBC，∴，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质及相似三角形的判定方法和性质逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：方法一∵AC∥BD，
∴∠ACP=∠PDB，∠CAP=∠PBD，
∴△ACP∽△BDP，
∴，方法正确；
方法二：连接BC，AD，则BC∥AD，
∴∠BCP=∠PDA，∠CBP=∠PAD，
∴△BCP∽△ADP，
∴，方法正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意得到三角形相似，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图-垂线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
【解析】【解答】解：A：尺规作图可得∠ADE=90°=∠C，又因为∠A=∠A，则△ADE∽△ACB，不符合题意；
B：尺规作图可得∠ADE=∠B，又因为∠A=∠A，则△ADE∽△ABC，不符合题意；
C：尺规作图可得∠AED=90°=∠B，又因为∠A=∠A，则△ADE∽△ABC，不符合题意；
D：截取BE=BC，不能得到与相，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据尺规作图，然后根据相似三角形的判定定理逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知EA=EO=EB，EO=GD=GA，且COE=B=90
同时∠GEO=∠GEA，∠CEO=∠CEB，即有∠OEA=2∠OEG，∠OEB=2∠OEC，
∵∠OEA+∠OEB=180°
∴∠OEC+∠OEG=90°，即∠GEC=90°
∵∠OGE+∠OEG=90°，∠OEG+∠OEC=90°
∴∠OEC=∠OGE
∴△OEG~△COE
∴
∴OE2=OG·OC(1)
设OE=a，则EA=EB=a，设AG=b，则OG=DG=b，OC=BC=2b，代入（1）式得a2=2b2，即a=b，于是AB=AD，故②错误；
∵△OCF~△ODG
∴，即，得OF=，
∵
∴GF||CE，故①正确；
CE=，DF=OF=，故，故③错误；
而OC=2b，OF=，故，故④正确；
综上所述，①④正确.
故答案为：C.
【分析】由折叠的性质知∠CEG=90°，设AE=a，AG=b，由△OEG~△COE得OE2=OG·OC得a=b，由△OCF~△ODG得OF=，即可得CE、DF的长，即可判断GF||CE和.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作交DE延长线于点N，DP延长线于点M，如下图：
∵
∴，
又∵
∴
又∵
∴为等腰三角形，
∴
∵平分，
∴
∴，即
设，则，
∵
∴，，
∴，，
∴，可得
解得，即，
由题意可得：，
由勾股定理可得，
由可得，解得，
即
故答案为：A
【分析】过点A作交DE延长线于点N，DP延长线于点M，可得为等腰三角形，，从而得到，由题意可得，再由可得，，可得，，即，设，，得到，解得，即，由勾股定理可得，再由可得，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB//CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠EDC＝90°，
在Rt△ADE中，∵AE＝AD＝，
∴DE＝AE＝，
在Rt△CDE中，CE＝，
∵BE//CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG＝×=，
∵AE//CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
∴，
∴EF＝×=，
∴FG＝EG EF＝-=．
故答案为：B．
【分析】先利用菱形的性质及角的运算求出∠ABD＝∠ABC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝AE＝，利用勾股定理求出CE的长，再证出△BEG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EG的长，再证出△AEF∽△DCF，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EF的长，最后利用线段的和差求出FG的长即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；矩形的判定；正方形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长FE交AB于点P，作EN⊥BC于点N，作EM⊥AC于点M.
∵EF∥BC、∠ABC=90°，
∴FP⊥AB，
∵EN⊥BC，
∴四边形BPEN是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴EP=EM=EN，∠PAE=∠MAE，
∴四边形BPEN是正方形，
在△PAE和△MAE中，
∴△PAE≌△MAE(SAS)，
∴AP=AM.
同理△CNE≌△CME，
∴CN=CM，
∵BC=，
设BP=BN=m，则AP=AM=6-m、CN=CM=8-m，
∴6-m+8-m=10，
解得：m=2，
∴BP=PE=2，AP=4，
∵PF∥BC，
∴△APF∽△ABC，
∴，即，
解得：PF=，
则EF=PF=PE=.
故答案为：C.
【分析】延长FE交AB于点P，作EN⊥BC、作EM⊥AC，由EF∥BC可证四边形BPEN是矩形，由角平分线可得EP=EM=EN，∠PAE=∠MAE，从而知四边形BPEN是正方形，再证△PAE≌△MAE、△CNE≌△CME得AP=AM、CN=CM，由BC=8.可设BP=BN=x，则AP=AM=6-x、CN=CM=8-x，得x=2，即BP=PE=2、AP=4，再证△APF∽△ABC可得PF=，据此得出EF=PF-PE=.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于点F，连接EF，
则∠BFC＝90°，
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴BC＝DC，BC＝2CF，
∴BF＝DF，BF＝，
∴，
∵点E为CD中点，点F为BD中点，
∴FE∥BC，
∴∠EFD＝∠CBD＝30°，
∴∠ADC＝∠EFB＝180° 30°＝150°，
∵∠ACD＝∠EBD，AC＝，
∴△ACD∽△EBF，
∴，
∴，
∴BE＝，
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于点F，连接EF，先证出△ACD∽△EBF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入可得，最后求出BE的长即可.
10．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，则AC＝＝5x，再证出△ABD∽△ACB，可得，将数据代入求出AD＝，再证出△ABE∽△ADF，可得，再将数据代入求出即可.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系可得CF=3，由直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
12．【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似.
故答案为： 4或9 .
【分析】此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案.
13．【答案】③
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①，时，，故①不符合题意；
②，时，，故②不符合题意；
③，时，不能推出，故③符合题意；
④，时，，故④不符合题意，
故答案为：③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
14．【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ，
∴，
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
【知识点】解分式方程；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等证明即可求解；
（2）根据两角相等的两个三角形相似得到，再根据对应边成比例得到，代入数值计算即可.
（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ，
∴，
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
15．【答案】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CD=2
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例得到 解题．
16．【答案】(1)解：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴FC＝3FD＝6，
∴DC＝FC－FD＝4.
(2)证明：
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，
∴，
.∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∴，
∴EF·GB＝BF·GE.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，
(1)根据AD∥BC，利用相似三角形的判定理可证明△DEF∽△CBF，利用相似三角形的性质：对应边成比例可得：，代入数据进行可求出FC，利用线段的运算可求出DC的长，
(2)根据AD∥BC，利用相似三角形的判定理可证明△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，利用相似三角形的性质：对应边成比例由已知条件得出AE=DE，因此，通过变形可得出结论.
17．【答案】（1）证明：平分，
，
∵
∴
；
（2）解：由（1）可得
点为边的中点，，
，
∴
平分，
，
∴
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线可得，由可得，从而得到即可证明；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，根据平行线的判定得到证明，最后相似三角形的性质即可证明求解．
18．【答案】（1）解：由吴老师与小聪的交流可知：
四边形 EFGH 是正方形，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠OAE＝∠OEM＝45°，
∵∠AOE＝∠EOM ，
∴△AOE∽△EOM．
（2）解：
由正方形EFGH得： ，
由正方形ABCD得： ，
由吴老师与小聪的交流可知： 是 AC 和 EG 的中点，
由（1）得： ，
， 即： ，
，
由中心对称性， 得： .
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到两角对应相等∠OAE＝∠OEM＝45°，即可得到三角形相似；
（2）根据勾股定理求出HE，EG，AC的长，然后根据，得到即可解题.
19．【答案】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形，且，
∴，，，
∴，∠FAE-∠CAE=∠BAC-∠CAE，
∴，
∴；
（2）①证明：设与相交于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AE绕点E逆时针旋转120°得EF，
∴，，
同理可
得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
由①知，
∴E、G重合，
∴；
（3）∵菱形中，，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，，则，，然后根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”即可求解；
（2）①根据等腰直角三角形的性质可求，，，根据勾股定理可求出，进而求出，同理可求，，进而得出，，根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可证，根据相似三角形的性质即可求解；
②根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求得BE的值，结合①中，可得出E、G重合，然后根据勾股定理计算即可求解；
（3）根据菱形的性质可证得是等边三角形，，等，结合可求出，根据三角形内角和定理可得∠DAE=∠DEP，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的性质可得比例式求解．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点为的中点，四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
结合（2）可得：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
过作于，过作于，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出，，根据SAS可证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据正方形的性质得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据正方形的性质可得，，，根据勾股定理求出，结合（2）可得：，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式可求出，，求得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质可得，，，，，过作于，过作于，根据角平分线的性质可得，即可求出，，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点为的中点，正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形，，
∴，，，
∴，
结合（2）可得：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
过作于，过作于，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
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