【精品解析】【培优版】北师大版数学八年级上册 7.5三角形内角和定理 同步练习

【培优版】北师大版数学八年级上册 7.5三角形内角和定理 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·拱墅期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC
上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F．以下四个结论正确的是（　　）
①BF＝CF； ②若BE⊥AC，则CF＝DF；
③连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE
④.若BE平分∠ABC，则FG=；
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴点G在BC的中垂线上，
∵
∴点A在BC的中垂线上，
∴AG垂直平分BC，
∴则①正确，
若BE⊥AC， 则
∵
∴
∴
又∵
∴则②正确，
如图，连接EF，
若BE⊥AC， 则
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴则③正确，
若BE平分∠ABC，
∴
∵
∴
∴点G为角平分线的交点，
∴点G到三边的距离为GF的长，
∵
∴
∴
∵
∴则④正确，
综上所述，正确的结论有：①②③④，
故答案为：D.
【分析】利用"SAS"证明得到进而得到即可得到则点G在BC的中垂线上，最后根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可判断②；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断③；根据角平分线的性质可得到点G为角平分线的交点，利用面积法即可判断④.
2．（2024八上·廊坊期中）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是的平分线，是的外角的平分线，
∴，
故①正确；
，的平分线交于点，
，，
又∵，
，
，
故②正确；
平分，
，
，，，
，
，
，
故③正确；
如图，
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，
故④正确；
综上正确的有：①②③④．
故答案为：D．
【分析】 先利用角平分线的定义可得，即可判定①；再利用角平分线的定义可得，结合三角形的内角和定理求出
，即可判定②；再根据角平分线的定义可得，并利用三角形外角的性质可判定③；根据三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；从而得解.
3．（2024八上·沅江开学考）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【分析】由全等三角形的判定证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
4．（2024八上·顺德期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，
∵∠EAC是△ABC的一个外角，
∴∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，
∴∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，
∵∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，①正确；
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，②正确；
∵CD平分∠ACF，
∴，
∵∠ACF是△ABC的一个外角，
∴∠BAC=∠ACF-∠ABC，
∵∠DCF是△DCB的一个外角，
∴，
∴∠BAC=2∠BDC，③正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ABC=2∠ABD，∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=2∠ABD，
∵∠ADC+∠ACD+∠DAC=180°，
∴2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，④正确；
∴以上结论，其中正确的是①②③④，；
故答案为：D.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，推得∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，根据同位角相等，两直线平行即可得出AD∥BC，判断①正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，根据角平分线的等于可得，推得，判断②正确，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BAC=∠ACF-∠ABC，，即∠BAC=2∠BDC，判断③正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠DCF，推得∠ACD=∠ADC，∠DAC=2∠ABD，根据三角形内角和是180°可得2∠ADC+2∠ABD=180°，即∠ADC+∠ABD=90°，判断④正确，即可得出答案.
5．（2024八上·越秀期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠得△PEF，连结AP，CP，过点P作PD⊥AC于点D，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分∠BAC，则∠PFC＝（　　）
A．100° B．90° C．80° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠BAC＝50°，AP平分∠BAC ，∴∠PAB=∠PAC=25°，
∵ 点D恰好是AC的中点，∴AD=CD，
∵PD⊥AC于点D ，∴∠ADP=∠CDP=90°，
∵AD=CD，∠ADP=∠CDP=90°，PD=PD，∴△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∠PCD=∠PAC=25°，
连接BP，AP=AP，AB=AC，∠PAB=∠PAC=25°，∴△ABP≌△ACP，BP=CP，
∴∠PBC=∠PCB=（180°-50°）÷2-25°=40°，
而将△BEF沿EF折叠得△PEF，∴BF=PF，∠PBC=∠BPF=40°，
∴ ∠PFC＝∠PBC+∠BPF=40°+40°=80°。
故答案为：C。
【分析】本题需要利用等腰三角形特点、角平分线特点、全等三角形特点、折叠特点，分别求出边的关系和角度的关系，最后利用三角形外角特点进行计算即可得出答案。
6．（2023八上·汉川月考）如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于边上的点G，
，
，
，故②正确；
如下图，过点G作于T，于J，于K，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上：正确的有4个；
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质得到，即可判断①；得到，，再根据，判断②；先证明，即可得到，然后证明，判断③；证明，即可得到，然后证明，再根据，判断④即可解题.
7．（2023八上·东西湖月考）如图，分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记，当最小时，则关于的数量关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP、PQ、QN，则MP+PQ+QN最小；
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，
∵点M与点M'关于OB对称，
∴∠OPM=∠OPM'，∠OPM'=∠QPN，
∴∠QPN=∠1-30°，
∵∠QPN=∠OQP+∠O=∠OQP+30°，∠3=∠O+∠2=∠2+30°，
∴∠NQN'=∠QPN+∠2=∠1-30°+∠2，
又∵∠N'QN=2∠3
∴∠1-30°+∠2=2（30°+∠2）
∴∠1-∠2=90°.
故答案为：C.
【分析】作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP、PQ、QN，则MP+PQ+QN最小；由三角形外角性质得∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，由轴对称性质及对顶角相等得∠QPN=∠1-30°，再由三角形外角性质可得∠QPN=∠OQP+∠O=∠OQP+30°，∠3=∠O+∠2=∠2+30°，由轴对称性质得∠N'QN=2∠3，据此得出等式，变形整理可得结论.
8．（2023八上·遵化期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于点，连接，且平分，则下列结论：①；②为的中点；③；④，其中正确的是（　　）.
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意
①；
AE平分线， BE平分
故①的结论正确
②为的中点；
延长AE交BC于F，
BE平分
(三线合一定理的逆定理)
AE平分线
(ASA)
故②结论正确
③；
在②的证明中，
故③结论正确
④
故④结论正确
故答案为：D
【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理进行推算即可判定；在①的结论下，由垂直和顶角平分线想到三线合一逆定理判定等腰三角形，提示作辅助线进而证明CE、DE所在的三角形全等；在全等的基础上，可以证明线段的等量关系；在全等的基础上，可以等量代换证得面积间的等量关系。
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2019八上·台州开学考）如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD ∠BPC=(x 40)°，
∴∠BAC=∠ACD ∠ABC=2x° (x° 40°) (x° 40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
10．（2024八上·曾都期末）如图，在四边形中，，，，点M，N分别在，上，当的周长最小时，的度数为　 　度．
【答案】40
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，如图所示：
∵∠ABC＝90°，∠BAD＝110°，∠C＝70°，
∴∠ADC＝360° 90° 110° 70°＝90°，
∵BC垂直平分AE，DC垂直平分AF，
∴点A与点E关于直线BC对称，点A与点F关于直线DC对称，
∴AM＝EM，AN＝FN，
连接EF交BC于点G，交DC于点H，
∵AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，
∴当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，
∵∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，
∴∠AGH＝∠GEA＋∠GAE＝2∠GEA，∠AHG＝∠HFA＋∠HAF＝2∠HFA，
∴∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，
∴∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°，
故答案为：40．
【分析】延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，连接EF交BC于点G，交DC于点H，再结合AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，可得当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，再结合∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，可得∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，最后求出∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°即可.
11．（2024八上·成都期末）在中，，，在的延长线上有一点使得，过点作的垂线，垂足为，若，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】BD=AD，
AE=AD，
解得
是等腰直角三角形，
，
即
CD=AD=2，
【分析】根据等腰三角形的性质得到由外角性质得到再由AE=AD，得到从而得到利用平行线的性质可得求得得到证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得DE的值，再由余角的性质得到从而得到CD=AD=2，根据线段的和差关系即可求解.
12．（2024八上·奉化期末）如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为　 　.
【答案】40°
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA，OB与点Q，P，连接MP，PQ，QN，如图，
此时，MP+PQ+QN最小.
∴ ∠MPO=∠M'PO=∠N'PN，
∴ ∠N'PN=，
同理可得，∠OQM'=，
∴ ∠N'PN=∠OQM'+∠AOB，
即=+20°，
则β-α=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据最短路径问题作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，可得MP+PQ+QN最小值为M'N'，根据轴对称的性质得 ∠MPO=∠M'PO=∠N'PN推出 ∠N'PN=和∠OQM'=，再根据外角的性质，即可求得.
13．（2024八上·桂林期末）如图①，点分别为长方形纸带的边上的点，，将纸带沿折叠成图②（为和的交点），再沿折叠成图③（为和的交点），则图③中的　 　（结果用含的代数式表示）．
【答案】3α 360°
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在图①中，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＋∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝α，
∴∠DEF＝180° ∠EFC＝180° α，
∴∠EFB＝180° ∠EFC＝180° α，
∴图②中，∠EFB＝180° α，
由折叠的性质得：图②中，∠FEG＝∠DEF＝180° α，
∵∠DGF是△EFG的一个外角，
∴∠DGF＝∠FEG＋∠EFB＝180° α＋180° α＝360° 2α，
由折叠的性质得：图③中，∠DGF＝360° 2α，∠EFB＝180° α，
∵∠DHF四△HGF的一个外角，
∴∠DHF＝∠DGF＋∠EFB＝360° 2α＋180° α＝540° 3α，
在图③中，DH∥CF，
∴∠DHF＋∠HFC＝180°，
∴∠HFC＝180° ∠DHF＝180° （540° 3α）＝3α 360°．
故答案为：3α 360°．
【分析】利用长方形的性质、折叠的性质及角的运算求出∠HFC＝180° ∠DHF＝180° （540° 3α）＝3α 360°即可．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·柯桥期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=α，D是直线BC上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）【发现】如图1，点D在线段BC上．
①求证：△ABD≌△ACE；
②当∠BAC＝100°时，求∠BCE的度数；
（2）【探究】在点D的运动过程中，当DE垂直于△ABC的某边所在直线时，求∠DEC的度数．（用含α的式子表示）
【答案】（1）解： ①∵，
∴，
∵AB=AC， AD=AE，
∴， ，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
②∵∠BAC =100°， AB=AC， AD = AE，∠DAE =∠BAC，
∴∠B=∠ACB=40°，
同理△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=40°，
∴∠BCE =∠ACB+∠ACE=80°；
（2）解：如图，当DE⊥AC时，AC平分∠DAE，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠ACE，
∴∠DEC＝∠DAC＝α．
如图，当DE⊥BC时，
∠CED＝∠CAD＝∠ACB﹣∠ADC＝（180°﹣α）﹣[90°﹣（180°﹣α）]＝90°﹣α．
如图，当DE⊥AB时，
∠DEC＝∠AEC+∠AED＝∠ADB+∠AED＝∠ABC﹣∠DAB+∠AED＝（180°﹣α）﹣α+（180°﹣α）＝180°﹣α．
综上所述，满足条件∠EDC的值为α或90°﹣α或180°﹣α．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）发现： ①由“SAS”可证△BAD≌△CAE；
②同理由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC =∠ACE=40°， 可求∠BCE的度数；
（2）探究： 分三种情形： DE⊥AC、DE⊥BC和DE⊥AB时，利用三角形内角和定理以及全等三角形的性质求解即可.
15．（2024八上·中山期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点．
（1）的度数为_______°，______（填“是”或“不是”）智慧三角形；
（2）若，求证：为“智慧三角形”；
（3）当为“智慧三角形”时，求的度数．
【答案】（1）30；是
（2）∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
（3）∵为“智慧三角形”①当点在线段上时，
∵，
∴，
I、当时，，
∴，
II、当时，
∴
∴此种情况不存在，
III、当时，
∴，
∴，
∴，
IV、当时，
∴，
∴，
∴(舍去)，
V、当时，
∴，
∴(舍去)，
VI、当时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在，
②当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
1．当时，
∴，
∴，
∴，
II、当时，
，
当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
【分析】本题属于几何综合题，考查三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念．
（1）根据垂直的定义可求出、利用三角形内角和定理求出的度数，据此可得：，再根据“智慧三角形”的概念可作出判断；
（2）根据，可推出，利用
”智慧三角形”的概念可证明结论；
（3）分两大类：点在线段上和线段的延长线上；当点在线段上时，分以下几种情况：当时；当时；当时；当时；当时；当时；利用角的运算可求出答案；当点在线段的延长线上时，分两种情况：当时，当时，利用角的运算可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
（2）∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
（3）∵为“智慧三角形”
①当点在线段上时，
∵，
∴，
I、当时，，
∴，
II、当时，
∴
∴此种情况不存在，
III、当时，
∴，
∴，
∴，
IV、当时，
∴，
∴，
∴(舍去)，
V、当时，
∴，
∴(舍去)，
VI、当时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在，
②当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
1．当时，
∴，
∴，
∴，
II、当时，
，
当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
16．（2024八上·青原月考）如图，在中，与的平分线相交于点．
（1）若，则的度数是　 　；
（2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系；
（3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数．
【答案】（1）；
（2）解：，之间的数量关系是，理由如下：
∵，，，
∴，
∵点是和的角平分线的交点，
∴，
∴，
∴，
∴，之间的数量关系是；
（3）解：∵平分，平分，，
∴，，
∴ ，
即，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴，
如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况：
①当时， 则，
∴，
此时，
②当时，则，
∴，则，
此时，
③当时，则，
∴，
此时，
④当时，则，
∴，
∴，
此时，
综上所述，的度数是或或或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）在中，=180°-60°=120°，
∵与的平分线相交于点，
∴，，
∴ ，
∴
故答案为：；
【分析】（）先由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，再由角平分线定义得，，则，再由三角形内角和得；
（）∠Q，之间的数量关系是，理由如下：由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得∠Q，之间的数量关系；
（）先由角平分线的定义及平角定义求出，由直角三角形量锐角互余得，由（2）得结论得，然后分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可.
（1）在中，，
∵与的平分线相交于点，
∴，，
∴ ，
∴
∵，
∴，
故答案为：；
（2），之间的数量关系是，理由如下：
∵，，，
∴，
∵点是和的角平分线的交点，
∴，
∴，
∴，
∴，之间的数量关系是；
（3）∵平分，平分，，
∴，，
∴ ，
即，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴，
如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况：
当时， 则，
∴，
此时，
当时，则，
∴，则，
此时，
当时，则，
∴，
此时，
当时，则，
∴，
∴，
此时，
综上所述，的度数是或或或．
17．（2024八上·游仙开学考）如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点，交于点
（1）当所放位置如图①所示时，则与的数量关系为_______；请说明理由．
（2）当所放位置如图②所示时，与的数量关系为________；
（3）在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数．
【答案】解：（1）；理由如下，
如下图，过点P作，
∵，
∴，
∵，
，
∴.
；
（2）；
（3）由（2）得，，
.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（2）关系：
如图，过点M作MG∥AB交PN于点G
同理可得∠PMN=∠AEM+∠MOC
∵∠PFC=∠FON+∠FNO
∴∠PFC=∠MOC+∠FNO
∴∠AEM+∠PFD=∠AEM+∠MOC+∠PNO=∠PMN+∠PNO
∵∠P=90°
∴∠AEM+∠PFC=∠PMN+∠PNO=90°
∠PFC=180°－∠PFD代入得：∠AEM+180°－∠PFD=90°
化简得：∠PFD－∠AEM=90°.
故答案为：；
【分析】（1）先用平行线的性质分别说明再根据得出结论；
（2）∠PFD和∠PFO互补，将∠PFO转化为∠FON和∠FNO，结合（1）的结论可证明结论成立；
（3）利用（2）的结论，代入计算可得结果.
18．（2024八上·东阳开学考）如图1，将一张宽度相等的纸条（）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为，，折痕为，且交于点G．
（1）若，则______度．
（2）如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数．
（3）如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数
【答案】（1）26
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，延长B'A'，交GC''于点K，如下图所示：
由（1）得，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵长方形ABCD，
∴∠B'=∠B=∠C=∠C''=90°.
又∵，
∴∠B'KC''=∠C''=∠PB'A'=90°，
∴A'Q//PB'//GC''.
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
∵AD//BC，
∴∠GFE=∠FEC.
设，则∠FEC=x，，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴∠AGE=∠GEC=2x=54°.
∵MG平分∠AGE，ME平分∠BEG，
∴∠AGM=∠EGM=27°，∠MEG=∠MEQ.
∵AD//BC，
∴∠AGE+∠GEB=180°，∠GQE=∠AGM=27°.
∴∠GEB=180°－54°=126°，∠BMQ=∠GQE－∠MBE=27°－8°=19°.
∴∠MEG=∠MEQ=63°.
∴∠BME=180°－∠MBE－∠MEB=180°－8°－63°=109°，
MN平分∠BME，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴∠CEG=180°－∠BEC'=52°.
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据平行线的性质得，从而得∠CEC'的度数，再由折叠的性质可得，即可求出∠FEC的度数．
（2）根据题意可分成两种情况，①当向下翻折时，②当向上翻折时进行讨论即可．①当向下翻折时，根据题意补充全图，延长B'A'，交GC''于点K，根据长方形的性质得∠B'=∠B=∠C=∠C''=90°.于是可证明A'Q//PB'//GC''.根据平行线的性质求得∠A'QG，继而可根据折叠性质求∠AQP，再根据平行线性质即可得∠BPQ；②当向上翻折时，交与点，根据平行线性质求得∠PHG，再根据平行线性质可得∠BPH，继而可根据折叠性质求∠BPQ；
（3）补全图形后，设，则，根据折叠的性质和平行线的性质，可得， ，可得方程，代入数值解得，根据对顶角和角平分线的性质求得∠AGM=∠EGM=27°，∠MEG=∠MEQ；再根据平行线和角平分线的性质求得∠GQE，∠GEQ和∠MEG，最后利用外角的性质求出∠BMQ，；利用三角形内角和的性质求出∠BME，最后再次利用角平分线的性质即可求出．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为．
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
∵，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
再根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
设，则，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．（2024八上·越秀期末）如图1，△ABC是等边三角形，D为AC边上一点，连结BD，点C关于BD的对称点为点E，连结BE．
（1）若AB是∠DBE的平分线，求∠ABD的度数；
（2）如图2，连结EA并延长交BD的延长线于点F，
①求∠F的度数；
②探究EA，AF和BF三者之间满足的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：设∠EBA＝∠ABD＝α，
∵点C与点E关于BD对称，
∴∠CBD＝∠EBD＝2∠EBA＝2α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD+∠CBD＝60°，
∴3α＝60°，
∴α＝20°，
∴∠ABD＝20°。
（2）解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠C＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
设∠ABD＝α，
∴∠EBD＝∠CBD＝60°﹣α，
∴∠EBA＝60°﹣2α，
∵点C与点E关于BD对称，
∴EB＝CB，
∴EB＝AB，
∴∠BAE＝∠E＝＝60°+α，
∴∠FAD＝180°﹣∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣α，
∴∠FAD＝∠DBC，
∵∠ADF＝∠BDC，
∴∠F＝∠C＝60°。
②如图，
BF＝AE+2AF，理由如下：
连接CF，在BF上截取FG＝AF，连接AG，
∵点C与点E关于BD对称，
∴CF＝EF＝AE+AF，∠BFC＝∠AFD，
由①知：∠AFD＝60°，
∴△AGF是等边三角形，∠BFD＝60°，
∴∠AGF＝60°，∠BAC＝∠BFD，
∴∠AGB＝∠AFC＝120°，
∵∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABG≌△ACF（AAS），
∴BG＝CF＝AE+AF，
∴BF＝BG+FG＝AE+AF+AF＝AE+2AF．
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；等边三角形的概念
【解析】【分析】（1）题利用等边三角形的特点、对称的特点和角平分线的特点，找到对应关系列示求解即可；（2）题同样利用等边三角形特点和三角形内角和特点以及对称特点，列示计算即可逐步求出∠F的角度；第二问需要利用全等三角形的特点找到边长的关系，最后即可得出结果。
20．（2024八上·天河期末）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
【答案】（1）证明：在上截取，
平分，
，且，，
≌，
，
，
，
，，
，
∵CD=CD，
≌，
，
平分；
（2）解：由得≌，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为；
（3）解：由知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由得≌，≌，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在上截取，根据角平分线的定义和三角形全等（边角边），求出AD=DF，利用BC=AB+EC，通过等量代换求出CF=CE，在最后根据边边边推出△CDF和△CDE全等，从而求出∠DCF=∠DCE，结合角平分线的判定即可证明。
（2）利用第一问的两个三角形全等和∠BAD的度数，通过等量代换用表示∠CED，再根据的取值范围即可求出∠CED取值范围。
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册 7.5三角形内角和定理 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·拱墅期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC
上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F．以下四个结论正确的是（　　）
①BF＝CF； ②若BE⊥AC，则CF＝DF；
③连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE
④.若BE平分∠ABC，则FG=；
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
2．（2024八上·廊坊期中）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
3．（2024八上·沅江开学考）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
4．（2024八上·顺德期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④
5．（2024八上·越秀期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠得△PEF，连结AP，CP，过点P作PD⊥AC于点D，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分∠BAC，则∠PFC＝（　　）
A．100° B．90° C．80° D．60°
6．（2023八上·汉川月考）如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2023八上·东西湖月考）如图，分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记，当最小时，则关于的数量关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·遵化期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于点，连接，且平分，则下列结论：①；②为的中点；③；④，其中正确的是（　　）.
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2019八上·台州开学考）如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 　．
10．（2024八上·曾都期末）如图，在四边形中，，，，点M，N分别在，上，当的周长最小时，的度数为　 　度．
11．（2024八上·成都期末）在中，，，在的延长线上有一点使得，过点作的垂线，垂足为，若，则　 　．
12．（2024八上·奉化期末）如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为　 　.
13．（2024八上·桂林期末）如图①，点分别为长方形纸带的边上的点，，将纸带沿折叠成图②（为和的交点），再沿折叠成图③（为和的交点），则图③中的　 　（结果用含的代数式表示）．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·柯桥期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=α，D是直线BC上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）【发现】如图1，点D在线段BC上．
①求证：△ABD≌△ACE；
②当∠BAC＝100°时，求∠BCE的度数；
（2）【探究】在点D的运动过程中，当DE垂直于△ABC的某边所在直线时，求∠DEC的度数．（用含α的式子表示）
15．（2024八上·中山期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点．
（1）的度数为_______°，______（填“是”或“不是”）智慧三角形；
（2）若，求证：为“智慧三角形”；
（3）当为“智慧三角形”时，求的度数．
16．（2024八上·青原月考）如图，在中，与的平分线相交于点．
（1）若，则的度数是　 　；
（2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系；
（3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数．
17．（2024八上·游仙开学考）如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点，交于点
（1）当所放位置如图①所示时，则与的数量关系为_______；请说明理由．
（2）当所放位置如图②所示时，与的数量关系为________；
（3）在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数．
18．（2024八上·东阳开学考）如图1，将一张宽度相等的纸条（）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为，，折痕为，且交于点G．
（1）若，则______度．
（2）如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数．
（3）如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数
19．（2024八上·越秀期末）如图1，△ABC是等边三角形，D为AC边上一点，连结BD，点C关于BD的对称点为点E，连结BE．
（1）若AB是∠DBE的平分线，求∠ABD的度数；
（2）如图2，连结EA并延长交BD的延长线于点F，
①求∠F的度数；
②探究EA，AF和BF三者之间满足的等量关系，并说明理由．
20．（2024八上·天河期末）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴点G在BC的中垂线上，
∵
∴点A在BC的中垂线上，
∴AG垂直平分BC，
∴则①正确，
若BE⊥AC， 则
∵
∴
∴
又∵
∴则②正确，
如图，连接EF，
若BE⊥AC， 则
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴则③正确，
若BE平分∠ABC，
∴
∵
∴
∴点G为角平分线的交点，
∴点G到三边的距离为GF的长，
∵
∴
∴
∵
∴则④正确，
综上所述，正确的结论有：①②③④，
故答案为：D.
【分析】利用"SAS"证明得到进而得到即可得到则点G在BC的中垂线上，最后根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可判断②；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断③；根据角平分线的性质可得到点G为角平分线的交点，利用面积法即可判断④.
2．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是的平分线，是的外角的平分线，
∴，
故①正确；
，的平分线交于点，
，，
又∵，
，
，
故②正确；
平分，
，
，，，
，
，
，
故③正确；
如图，
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，
故④正确；
综上正确的有：①②③④．
故答案为：D．
【分析】 先利用角平分线的定义可得，即可判定①；再利用角平分线的定义可得，结合三角形的内角和定理求出
，即可判定②；再根据角平分线的定义可得，并利用三角形外角的性质可判定③；根据三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；从而得解.
3．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【分析】由全等三角形的判定证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，
∵∠EAC是△ABC的一个外角，
∴∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，
∴∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，
∵∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，①正确；
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，②正确；
∵CD平分∠ACF，
∴，
∵∠ACF是△ABC的一个外角，
∴∠BAC=∠ACF-∠ABC，
∵∠DCF是△DCB的一个外角，
∴，
∴∠BAC=2∠BDC，③正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ABC=2∠ABD，∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=2∠ABD，
∵∠ADC+∠ACD+∠DAC=180°，
∴2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，④正确；
∴以上结论，其中正确的是①②③④，；
故答案为：D.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，推得∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，根据同位角相等，两直线平行即可得出AD∥BC，判断①正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，根据角平分线的等于可得，推得，判断②正确，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BAC=∠ACF-∠ABC，，即∠BAC=2∠BDC，判断③正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠DCF，推得∠ACD=∠ADC，∠DAC=2∠ABD，根据三角形内角和是180°可得2∠ADC+2∠ABD=180°，即∠ADC+∠ABD=90°，判断④正确，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠BAC＝50°，AP平分∠BAC ，∴∠PAB=∠PAC=25°，
∵ 点D恰好是AC的中点，∴AD=CD，
∵PD⊥AC于点D ，∴∠ADP=∠CDP=90°，
∵AD=CD，∠ADP=∠CDP=90°，PD=PD，∴△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∠PCD=∠PAC=25°，
连接BP，AP=AP，AB=AC，∠PAB=∠PAC=25°，∴△ABP≌△ACP，BP=CP，
∴∠PBC=∠PCB=（180°-50°）÷2-25°=40°，
而将△BEF沿EF折叠得△PEF，∴BF=PF，∠PBC=∠BPF=40°，
∴ ∠PFC＝∠PBC+∠BPF=40°+40°=80°。
故答案为：C。
【分析】本题需要利用等腰三角形特点、角平分线特点、全等三角形特点、折叠特点，分别求出边的关系和角度的关系，最后利用三角形外角特点进行计算即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于边上的点G，
，
，
，故②正确；
如下图，过点G作于T，于J，于K，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上：正确的有4个；
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质得到，即可判断①；得到，，再根据，判断②；先证明，即可得到，然后证明，判断③；证明，即可得到，然后证明，再根据，判断④即可解题.
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP、PQ、QN，则MP+PQ+QN最小；
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，
∵点M与点M'关于OB对称，
∴∠OPM=∠OPM'，∠OPM'=∠QPN，
∴∠QPN=∠1-30°，
∵∠QPN=∠OQP+∠O=∠OQP+30°，∠3=∠O+∠2=∠2+30°，
∴∠NQN'=∠QPN+∠2=∠1-30°+∠2，
又∵∠N'QN=2∠3
∴∠1-30°+∠2=2（30°+∠2）
∴∠1-∠2=90°.
故答案为：C.
【分析】作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP、PQ、QN，则MP+PQ+QN最小；由三角形外角性质得∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，由轴对称性质及对顶角相等得∠QPN=∠1-30°，再由三角形外角性质可得∠QPN=∠OQP+∠O=∠OQP+30°，∠3=∠O+∠2=∠2+30°，由轴对称性质得∠N'QN=2∠3，据此得出等式，变形整理可得结论.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意
①；
AE平分线， BE平分
故①的结论正确
②为的中点；
延长AE交BC于F，
BE平分
(三线合一定理的逆定理)
AE平分线
(ASA)
故②结论正确
③；
在②的证明中，
故③结论正确
④
故④结论正确
故答案为：D
【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理进行推算即可判定；在①的结论下，由垂直和顶角平分线想到三线合一逆定理判定等腰三角形，提示作辅助线进而证明CE、DE所在的三角形全等；在全等的基础上，可以证明线段的等量关系；在全等的基础上，可以等量代换证得面积间的等量关系。
9．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD ∠BPC=(x 40)°，
∴∠BAC=∠ACD ∠ABC=2x° (x° 40°) (x° 40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
10．【答案】40
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，如图所示：
∵∠ABC＝90°，∠BAD＝110°，∠C＝70°，
∴∠ADC＝360° 90° 110° 70°＝90°，
∵BC垂直平分AE，DC垂直平分AF，
∴点A与点E关于直线BC对称，点A与点F关于直线DC对称，
∴AM＝EM，AN＝FN，
连接EF交BC于点G，交DC于点H，
∵AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，
∴当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，
∵∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，
∴∠AGH＝∠GEA＋∠GAE＝2∠GEA，∠AHG＝∠HFA＋∠HAF＝2∠HFA，
∴∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，
∴∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°，
故答案为：40．
【分析】延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，连接EF交BC于点G，交DC于点H，再结合AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，可得当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，再结合∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，可得∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，最后求出∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°即可.
11．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】BD=AD，
AE=AD，
解得
是等腰直角三角形，
，
即
CD=AD=2，
【分析】根据等腰三角形的性质得到由外角性质得到再由AE=AD，得到从而得到利用平行线的性质可得求得得到证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得DE的值，再由余角的性质得到从而得到CD=AD=2，根据线段的和差关系即可求解.
12．【答案】40°
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA，OB与点Q，P，连接MP，PQ，QN，如图，
此时，MP+PQ+QN最小.
∴ ∠MPO=∠M'PO=∠N'PN，
∴ ∠N'PN=，
同理可得，∠OQM'=，
∴ ∠N'PN=∠OQM'+∠AOB，
即=+20°，
则β-α=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据最短路径问题作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，可得MP+PQ+QN最小值为M'N'，根据轴对称的性质得 ∠MPO=∠M'PO=∠N'PN推出 ∠N'PN=和∠OQM'=，再根据外角的性质，即可求得.
13．【答案】3α 360°
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在图①中，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＋∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝α，
∴∠DEF＝180° ∠EFC＝180° α，
∴∠EFB＝180° ∠EFC＝180° α，
∴图②中，∠EFB＝180° α，
由折叠的性质得：图②中，∠FEG＝∠DEF＝180° α，
∵∠DGF是△EFG的一个外角，
∴∠DGF＝∠FEG＋∠EFB＝180° α＋180° α＝360° 2α，
由折叠的性质得：图③中，∠DGF＝360° 2α，∠EFB＝180° α，
∵∠DHF四△HGF的一个外角，
∴∠DHF＝∠DGF＋∠EFB＝360° 2α＋180° α＝540° 3α，
在图③中，DH∥CF，
∴∠DHF＋∠HFC＝180°，
∴∠HFC＝180° ∠DHF＝180° （540° 3α）＝3α 360°．
故答案为：3α 360°．
【分析】利用长方形的性质、折叠的性质及角的运算求出∠HFC＝180° ∠DHF＝180° （540° 3α）＝3α 360°即可．
14．【答案】（1）解： ①∵，
∴，
∵AB=AC， AD=AE，
∴， ，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
②∵∠BAC =100°， AB=AC， AD = AE，∠DAE =∠BAC，
∴∠B=∠ACB=40°，
同理△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=40°，
∴∠BCE =∠ACB+∠ACE=80°；
（2）解：如图，当DE⊥AC时，AC平分∠DAE，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠ACE，
∴∠DEC＝∠DAC＝α．
如图，当DE⊥BC时，
∠CED＝∠CAD＝∠ACB﹣∠ADC＝（180°﹣α）﹣[90°﹣（180°﹣α）]＝90°﹣α．
如图，当DE⊥AB时，
∠DEC＝∠AEC+∠AED＝∠ADB+∠AED＝∠ABC﹣∠DAB+∠AED＝（180°﹣α）﹣α+（180°﹣α）＝180°﹣α．
综上所述，满足条件∠EDC的值为α或90°﹣α或180°﹣α．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）发现： ①由“SAS”可证△BAD≌△CAE；
②同理由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC =∠ACE=40°， 可求∠BCE的度数；
（2）探究： 分三种情形： DE⊥AC、DE⊥BC和DE⊥AB时，利用三角形内角和定理以及全等三角形的性质求解即可.
15．【答案】（1）30；是
（2）∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
（3）∵为“智慧三角形”①当点在线段上时，
∵，
∴，
I、当时，，
∴，
II、当时，
∴
∴此种情况不存在，
III、当时，
∴，
∴，
∴，
IV、当时，
∴，
∴，
∴(舍去)，
V、当时，
∴，
∴(舍去)，
VI、当时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在，
②当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
1．当时，
∴，
∴，
∴，
II、当时，
，
当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
【分析】本题属于几何综合题，考查三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念．
（1）根据垂直的定义可求出、利用三角形内角和定理求出的度数，据此可得：，再根据“智慧三角形”的概念可作出判断；
（2）根据，可推出，利用
”智慧三角形”的概念可证明结论；
（3）分两大类：点在线段上和线段的延长线上；当点在线段上时，分以下几种情况：当时；当时；当时；当时；当时；当时；利用角的运算可求出答案；当点在线段的延长线上时，分两种情况：当时，当时，利用角的运算可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
（2）∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
（3）∵为“智慧三角形”
①当点在线段上时，
∵，
∴，
I、当时，，
∴，
II、当时，
∴
∴此种情况不存在，
III、当时，
∴，
∴，
∴，
IV、当时，
∴，
∴，
∴(舍去)，
V、当时，
∴，
∴(舍去)，
VI、当时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在，
②当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
1．当时，
∴，
∴，
∴，
II、当时，
，
当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
16．【答案】（1）；
（2）解：，之间的数量关系是，理由如下：
∵，，，
∴，
∵点是和的角平分线的交点，
∴，
∴，
∴，
∴，之间的数量关系是；
（3）解：∵平分，平分，，
∴，，
∴ ，
即，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴，
如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况：
①当时， 则，
∴，
此时，
②当时，则，
∴，则，
此时，
③当时，则，
∴，
此时，
④当时，则，
∴，
∴，
此时，
综上所述，的度数是或或或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）在中，=180°-60°=120°，
∵与的平分线相交于点，
∴，，
∴ ，
∴
故答案为：；
【分析】（）先由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，再由角平分线定义得，，则，再由三角形内角和得；
（）∠Q，之间的数量关系是，理由如下：由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得∠Q，之间的数量关系；
（）先由角平分线的定义及平角定义求出，由直角三角形量锐角互余得，由（2）得结论得，然后分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可.
（1）在中，，
∵与的平分线相交于点，
∴，，
∴ ，
∴
∵，
∴，
故答案为：；
（2），之间的数量关系是，理由如下：
∵，，，
∴，
∵点是和的角平分线的交点，
∴，
∴，
∴，
∴，之间的数量关系是；
（3）∵平分，平分，，
∴，，
∴ ，
即，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴，
如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况：
当时， 则，
∴，
此时，
当时，则，
∴，则，
此时，
当时，则，
∴，
此时，
当时，则，
∴，
∴，
此时，
综上所述，的度数是或或或．
17．【答案】解：（1）；理由如下，
如下图，过点P作，
∵，
∴，
∵，
，
∴.
；
（2）；
（3）由（2）得，，
.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（2）关系：
如图，过点M作MG∥AB交PN于点G
同理可得∠PMN=∠AEM+∠MOC
∵∠PFC=∠FON+∠FNO
∴∠PFC=∠MOC+∠FNO
∴∠AEM+∠PFD=∠AEM+∠MOC+∠PNO=∠PMN+∠PNO
∵∠P=90°
∴∠AEM+∠PFC=∠PMN+∠PNO=90°
∠PFC=180°－∠PFD代入得：∠AEM+180°－∠PFD=90°
化简得：∠PFD－∠AEM=90°.
故答案为：；
【分析】（1）先用平行线的性质分别说明再根据得出结论；
（2）∠PFD和∠PFO互补，将∠PFO转化为∠FON和∠FNO，结合（1）的结论可证明结论成立；
（3）利用（2）的结论，代入计算可得结果.
18．【答案】（1）26
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，延长B'A'，交GC''于点K，如下图所示：
由（1）得，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵长方形ABCD，
∴∠B'=∠B=∠C=∠C''=90°.
又∵，
∴∠B'KC''=∠C''=∠PB'A'=90°，
∴A'Q//PB'//GC''.
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
∵AD//BC，
∴∠GFE=∠FEC.
设，则∠FEC=x，，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴∠AGE=∠GEC=2x=54°.
∵MG平分∠AGE，ME平分∠BEG，
∴∠AGM=∠EGM=27°，∠MEG=∠MEQ.
∵AD//BC，
∴∠AGE+∠GEB=180°，∠GQE=∠AGM=27°.
∴∠GEB=180°－54°=126°，∠BMQ=∠GQE－∠MBE=27°－8°=19°.
∴∠MEG=∠MEQ=63°.
∴∠BME=180°－∠MBE－∠MEB=180°－8°－63°=109°，
MN平分∠BME，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴∠CEG=180°－∠BEC'=52°.
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据平行线的性质得，从而得∠CEC'的度数，再由折叠的性质可得，即可求出∠FEC的度数．
（2）根据题意可分成两种情况，①当向下翻折时，②当向上翻折时进行讨论即可．①当向下翻折时，根据题意补充全图，延长B'A'，交GC''于点K，根据长方形的性质得∠B'=∠B=∠C=∠C''=90°.于是可证明A'Q//PB'//GC''.根据平行线的性质求得∠A'QG，继而可根据折叠性质求∠AQP，再根据平行线性质即可得∠BPQ；②当向上翻折时，交与点，根据平行线性质求得∠PHG，再根据平行线性质可得∠BPH，继而可根据折叠性质求∠BPQ；
（3）补全图形后，设，则，根据折叠的性质和平行线的性质，可得， ，可得方程，代入数值解得，根据对顶角和角平分线的性质求得∠AGM=∠EGM=27°，∠MEG=∠MEQ；再根据平行线和角平分线的性质求得∠GQE，∠GEQ和∠MEG，最后利用外角的性质求出∠BMQ，；利用三角形内角和的性质求出∠BME，最后再次利用角平分线的性质即可求出．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为．
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
∵，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
再根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
设，则，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】（1）解：设∠EBA＝∠ABD＝α，
∵点C与点E关于BD对称，
∴∠CBD＝∠EBD＝2∠EBA＝2α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD+∠CBD＝60°，
∴3α＝60°，
∴α＝20°，
∴∠ABD＝20°。
（2）解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠C＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
设∠ABD＝α，
∴∠EBD＝∠CBD＝60°﹣α，
∴∠EBA＝60°﹣2α，
∵点C与点E关于BD对称，
∴EB＝CB，
∴EB＝AB，
∴∠BAE＝∠E＝＝60°+α，
∴∠FAD＝180°﹣∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣α，
∴∠FAD＝∠DBC，
∵∠ADF＝∠BDC，
∴∠F＝∠C＝60°。
②如图，
BF＝AE+2AF，理由如下：
连接CF，在BF上截取FG＝AF，连接AG，
∵点C与点E关于BD对称，
∴CF＝EF＝AE+AF，∠BFC＝∠AFD，
由①知：∠AFD＝60°，
∴△AGF是等边三角形，∠BFD＝60°，
∴∠AGF＝60°，∠BAC＝∠BFD，
∴∠AGB＝∠AFC＝120°，
∵∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABG≌△ACF（AAS），
∴BG＝CF＝AE+AF，
∴BF＝BG+FG＝AE+AF+AF＝AE+2AF．
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；等边三角形的概念
【解析】【分析】（1）题利用等边三角形的特点、对称的特点和角平分线的特点，找到对应关系列示求解即可；（2）题同样利用等边三角形特点和三角形内角和特点以及对称特点，列示计算即可逐步求出∠F的角度；第二问需要利用全等三角形的特点找到边长的关系，最后即可得出结果。
20．【答案】（1）证明：在上截取，
平分，
，且，，
≌，
，
，
，
，，
，
∵CD=CD，
≌，
，
平分；
（2）解：由得≌，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为；
（3）解：由知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由得≌，≌，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在上截取，根据角平分线的定义和三角形全等（边角边），求出AD=DF，利用BC=AB+EC，通过等量代换求出CF=CE，在最后根据边边边推出△CDF和△CDE全等，从而求出∠DCF=∠DCE，结合角平分线的判定即可证明。
（2）利用第一问的两个三角形全等和∠BAD的度数，通过等量代换用表示∠CED，再根据的取值范围即可求出∠CED取值范围。
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