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人教版八年级上册期末临考冲刺卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列“节水、回收、节能、绿色食品”四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．等边三角形是锐角三角形
C．相等的角是对顶角 D．全等三角形的面积相等
4．如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE ≌△ACD的是
A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠BDC=∠CEB D．BE=CD
5．已知 是一个完全平方式，则k的值是
A．12 B． C．6 D．
6．如图，△为直角三角形，，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．160°
7．关于x的方程 的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0
C．k＞0且k≠4 D．k＜0且k≠﹣4
8．下列关于两个三角形全等的说法：①三个角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知等腰三角形△ABC，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．90°或75°
C．90°或 75°或15° D．75°或15°或60°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若分式的值等于0，则x的值为
12．在中，，外角，则 ．
13．已知 ， ，则 的值为 ．
14．如图，线段，的垂直平分线相交于点O，连接，．若，则的度数为 ．
15．学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页．
16．如图， 是等边三角形， 是 边上的高，且 是 的中点，P是 上的一个动点， 与 的和最小为 .
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若 ， ，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若 请判断 和 的大小关系，并证明；
（3）令 若分式 的值为3，求t的值.
18．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点A在x轴上，点B坐标为(0，-2)。
（1）求点C到y轴的距离；
（2）连接OC，当∠AOC=135°时，求点C的坐标；
（3）在(2)的条件下，猜想线段OA和线段OB的数量关系，并说明理由。
19．（9分）在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1， ， ， ， ，垂足分别为 ， ， ， ，求 的长.”
（1）请你也独立完成这道题：
（2）待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：
在课本原题其它条件不变的前提下，将 所在直线旋转到 的外部（如图2），请你猜想 ， ， 三者之间的数量关系，直接写出结论： .（不需证明）
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在 中， ， ， ， 三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA= ，其中 为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由：
20．（9分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOC=100°，∠AOB=α，以OB为边作等边△BOD，连接CD．
（1）求证：△ABO≌△CBD；
（2）当α=150°时，试判断△COD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时△COD是等腰三角形
21．（9分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．
22．（9分）如图， ， ，点 在 轴上，且 .
（1）求点 的坐标，并画出 ；
（2）求 的面积；
（3）在 轴上是否存在点 ，使以 三点为顶点的三角形的面积为10 若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（9分）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．
（1）问题探究：如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
（2）拓展延伸：如图3，中，，，点D在线段BC上，且，于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
24．（9分）有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影部分的面积．
①方法1： 方法2：
②请写出代数式，，这三个代数式之间的等量关系： ．
（2）解决问题：若，求的值．
（3）如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是： ▲ ．
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数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列“节水、回收、节能、绿色食品”四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
2．如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【解析】【解答】解：由图知：有确定的两角及夹边，
∴师傅配出相同玻璃的依据是角边角（ASA）.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：师傅配出相同玻璃的依据是角边角.
3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．等边三角形是锐角三角形
C．相等的角是对顶角 D．全等三角形的面积相等
【答案】C
【解析】【解答】解：A、若a=b，则a2=b2，逆命题为：若a2=b2，则a=b，a不一定等于b，故此逆命题是假命题，故A不符合题意；
B、等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，故B不符合题意；
C、相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，此命题是真命题，故C符合题意；
D、全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形全等，此命题是假命题，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别写出各个选项中的逆命题，再利用相关的知识对逆命题的真假作出判断。
4．如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE ≌△ACD的是
A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠BDC=∠CEB D．BE=CD
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添加AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添∠BDC=∠CEB，可证明∠ADC=∠AEB，利用AAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定方法一一判断即可。
5．已知 是一个完全平方式，则k的值是
A．12 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】【解答】 是一个完全平方式，
，即
，
故答案为：B.
【分析】由(a b)2=a2 2ab+b2知完全平方公式展开即是首平方a2，尾平方b2，加上或减去2ab， 从而可得kxy= 2·x·6y，继而求出k值.
6．如图，△为直角三角形，，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．160°
【答案】B
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AE、BE分别平分∠CAB、∠CBA，
∴∠EAB+∠EBA=∠CAB+∠CBA=45°，
∵BG平分∠CBF，
∴∠CBG=∠CBF，
∵∠CBE=∠CBA，
∴∠CBE=∠CBG+∠CBE=∠CBF+∠CBA=90°，
∴∠G=90°-45°=45°，
∵∠ADC=∠BDG，
∴∠ADC+∠GBF=∠BDG+∠DBG=180°-∠G=135°，
故答案为：B.
【分析】利用角平分线的定义及等量代换可得∠EAB+∠EBA=∠CAB+∠CBA=45°，再求出∠CBE=∠CBG+∠CBE=∠CBF+∠CBA=90°，最后求出∠ADC+∠GBF=∠BDG+∠DBG=180°-∠G=135°即可.
7．关于x的方程 的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0
C．k＞0且k≠4 D．k＜0且k≠﹣4
【答案】C
【解析】【解答】方程的两边都乘以（2x﹣4），得
k＝2x
∴
因为解为正数，
所以 ，且
解得，k＞0且k≠4．
故答案为：C．
【分析】先解关于x的一元一次方程，把方程的解用含k的代数式表示，再根据解为正数列不等式求解，同时考虑分母不等于0的情况.
8．下列关于两个三角形全等的说法：①三个角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：A、不正确，因为判定三角形全等必须有边的参与；
B、正确，符合判定方法SSS；
C、正确，符合判定方法AAS；
D、不正确，此角应该为两边的夹角才能符合SAS．
所以正确的说法有两个．
故答案为：B．
【分析】三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，逐项分析即可判断.
9．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②符合题意；
∵∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB=∠AOB=36°，故①符合题意；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA=∠OHB=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，故④符合题意；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO=OD，
∵OC=OD，
∴OA=OC，
而OA＜OC，故③不符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②符合题意；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠ADB，得出∠AMB=∠AOB=36°，①符合题意；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA=∠OHB=90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD，④符合题意；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故③不符合题意；即可得出结论．
10．已知等腰三角形△ABC，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．90°或75°
C．90°或 75°或15° D．75°或15°或60°
【答案】C
【解析】【解答】分三种情况：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
由题意知，AD= BC= AB，
∵∠ADB=90°，
∴∠B=30°，∠C= =75°，
∴∠BAC=∠C=75°；
②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知，AD= BC= AC，
∵∠ADB=90°，
∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，
∵∠B=∠CAB，
∴∠BAC=15°；
③AC=AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的三线合一知点D为BC的中点，
由题意知，AD= BC=CD=BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，
故答案为：C.
【分析】本题要分情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三角形的外部以，③BC边为等腰三角形的底边三种情况.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若分式的值等于0，则x的值为
【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意，得x2-1=0且x+1≠0，
所以x-1=0，
所以x=1，
故答案是：1．
【分析】根据分式的值为0的条件可得x2-1=0且x+1≠0，再求出x的值即可。
12．在中，，外角，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACD=110°，
∴∠ACB=180°-∠ACD=70°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=40°；
故答案为：40°.
【分析】先根据题意画出图形，邻补角互补得到三角形一个底角的度数，再根据等腰三角形两底角相等得到另一个底角度数，最后根据三角形内角和为180°得到顶角A的度数.
13．已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】4
【解析】【解答】∵2a=18，2b=3，
∴2a-2b+1
=2a÷（2b）2×2
=18÷32×2
=4．
故答案为：4．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
14．如图，线段，的垂直平分线相交于点O，连接，．若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】连接OB，如图所示：
∵∠AOC=80°，
∴∠AOB+∠BOC=280°，
∵线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，
∴OA=OB，OB=OC，
∴∠ABO=∠A，∠CBO=∠C，
∵∠ABO+∠A+∠AOB+∠CBO+∠C+∠BOC=360°，
∴∠ABO+∠A+∠CBO+∠C=80°，
∴∠ABO+∠CBO=40°，
∴∠ABC=40°，
故答案为：40°.
【分析】利用垂直平分线的性质可得OA=OB，OB=OC，再利用等边对等角的性质可得∠ABO=∠A，∠CBO=∠C，再利用角的运算和等量代换可得∠ABO+∠A+∠CBO+∠C=80°，再求出∠ABO+∠CBO=40°，即可得到∠ABC=40°.
15．学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页．
【答案】
【解析】【解答】解：按原计划每天读 页，实际每天读 页，
故每天比原计划多读的页数是： ，
故答案为： ．
【分析】平均每天比原计划要多读的页数=新工作效率-原工作效率。
16．如图， 是等边三角形， 是 边上的高，且 是 的中点，P是 上的一个动点， 与 的和最小为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，连接CP
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，BC=AC
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，根据两点之间线段最短，BE的长就是PE+PC的最小值，
∵E是AC的中点，
∴BE⊥AC
∵ BC·AD= AC·BE
∴BE=AD=
即PC与PE的和最小值是
故答案为： .
【分析】连接BE，与AD交于点P，连接CP，则BE的长度即为PE与PC和的最小值，根据三角形的面积公式即可证出 ，从而得出结论.
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若 ， ，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若 请判断 和 的大小关系，并证明；
（3）令 若分式 的值为3，求t的值.
【答案】（1）=；=
（2）解： = .理由如下：
设 ，则 ，
∴a=bt，c=dt，
∴ ，
，
∴ =
（3）解：∵ ，
∴a=ct，b=dt.
∵ 2=3，
∴ .
解得：t= .
经检验：t= 是原方程的解.
【解析】【解答】（1）∵ ， ，
∴a=2b，c=2d，
∴ ， .
故答案为：==；
【分析】（1）由 ， ，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论；（2）设 ，则 ，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论；（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.
18．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点A在x轴上，点B坐标为(0，-2)。
（1）求点C到y轴的距离；
（2）连接OC，当∠AOC=135°时，求点C的坐标；
（3）在(2)的条件下，猜想线段OA和线段OB的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）解：过点C做CD⊥y轴于点D，
∴∠BDC=90°
∵∠ABC=90°
∴∠ABD+∠DBC=90°
又∵∠AOB=90°
∴∠ABD+∠OAB=90°，∠AOB=∠BDC=90°
∴∠OAB=∠DBC
又∵B点坐标为(0，-2)
∴OB=2
在△AOB和△BDC中
∴△AOB≌△BDC(AAS)
∴OB=CD=2
∴点C到y轴的距离为2。
（2）解：∵∠AOD=90°，∠AOC=135°
∴∠COD=45°
又∵∠BDC=90°
在△OCD中，∠OCD=180°-∠BDC-∠COD=45°
∴∠COD=∠OCD
∴OD=CD=2
∴C(2，2)
（3）解：猜想：OA=2OB，
理由如下
由(2)知：CD=OD，而由(1)知：CD=OB
∴OB=OD
∴BD=2OB
又由(1)知：△AOB≌△BDC
∴OA=BD，OA=2OB
【解析】【分析】（1）过点C做CD⊥y轴于点D，利用垂直的定义可证得∠AOB=∠BDC，再利用余角的性质可证∠OAB=∠DBC，由点B的坐标，可得到OB的长，然后利用AAS证明△AOB≌△BDC，利用全等三角形的对应边相等，可求出结果。
（2）利用已知可求出∠COD=45°，即可证得△COD是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质，可得到OD=CD=2，由此可求出点C的坐标。
（3）由（2）可证BD=2BO，再利用全等三角形的饿对应边相等，可证得OA=BD，从而可得线段OA和线段OB的数量关系。
19．（9分）在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1， ， ， ， ，垂足分别为 ， ， ， ，求 的长.”
（1）请你也独立完成这道题：
（2）待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：
在课本原题其它条件不变的前提下，将 所在直线旋转到 的外部（如图2），请你猜想 ， ， 三者之间的数量关系，直接写出结论： .（不需证明）
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在 中， ， ， ， 三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA= ，其中 为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由：
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴
（2）
（3）（2）中的猜想还成立，
证明：∵ ， ， ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【解析】【解答】（2） ，
证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE＋DE＝AD＋BE；
【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答．（2）继续利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答．（3）还是利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答．
20．（9分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOC=100°，∠AOB=α，以OB为边作等边△BOD，连接CD．
（1）求证：△ABO≌△CBD；
（2）当α=150°时，试判断△COD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时△COD是等腰三角形
【答案】（1）证明：∵△ABC和△OBD都是等边三角形，
∴BA=BC，BO=BD，
∵∠ABC=∠OBD=60°
∴∠ABO=∠CBD，
∴△ABO≌△CBD（SAS）
（2）解：直角三角形；
理由：∵△ABO≌△CBD
∴∠BDC=∠AOB=150°
又∵∠ODB=∠OBD=60°
∴∠CDO=150°-60°=90°
∴△COD是直角三角形．
（3）解：①要使CO=CD，需∠COD=∠CDO，
∴200°-α = α-60°，
∴α=130°；
②要使OC=OD，需∠OCD=∠CDO，
∴2（α-60°）=180°-（200°-α），
∴α=100°；
③要使OD=CD，需∠OCD=∠COD，
∴2（200°-α）=180°-（α -60°），
∴α=160°．
所以当α为100°、130°、160°时，△COD是等腰三角形．
【解析】【分析】(1)由于 △ABC和△OBD都是等边三角形，可得BA=BC，BO=BD，由角推出∠ABO=∠CBD，即可证明△ABO≌△CBD.(2)由△ABO≌△CBD，可得∠BDC=150°，由于∠BDO=60°，即可推出∠CDO的度数为90°，即可证明为直角三角形.(3)分三类讨论：①要使CO=CD， ②要使OC=OD，③要使OD=CD.
21．（9分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴ AB=AC， ∠BAC=∠C=600
∵ AE=CD
∴ △ABE≌△CAD
∴
BE=AD
（2）解：∵△ABE≌△CAD
∴ ∠ABE=∠CAD
∴ ∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠BAC
=60°
（3）解：∵ BQ⊥AD
∴ ∠BQP=90°
∵ ∠BPQ=60°
∴ ∠PBQ=30°
∴ BP=2PQ=2×3=6
∴ BE=BP+PE=6+1=7
∴ AD=BE=7
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可知AB=AC、 ∠BAC=∠C ，结合AE=AD，利用SAS即可证明；
（2）由（1）可得∠ABE=∠CAD ，利用三角形外角的性质可知∠BPQ=∠BAC，据此即可解答；
（3）由（2）结合条件可知 ∠PBQ=30° ，根据含30°的直角三角形的性质可得BP的长，从而可知BE的长，结合（1）即可解答。
22．（9分）如图， ， ，点 在 轴上，且 .
（1）求点 的坐标，并画出 ；
（2）求 的面积；
（3）在 轴上是否存在点 ，使以 三点为顶点的三角形的面积为10 若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）点B在点A的右边时，-1+3=2，
点B在点A的左边时，-1-3=-4，
所以，B的坐标为（2，0）或（-4，0），
如图所示：
（2）解：△ABC的面积= ×3×4=6；
（3）解：设点P到x轴的距离为h，
则 ×3h=10，
解得h= ，
点P在y轴正半轴时，P（0， ），
点P在y轴负半轴时，P（0，- ），
综上所述，点P的坐标为（0， ）或（0，- ）．
【解析】【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况解答；（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（3）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可．
23．（9分）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．
（1）问题探究：如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
（2）拓展延伸：如图3，中，，，点D在线段BC上，且，于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：，理由如下：
延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，
∵，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）CD=2BE，理由：延长BE交CA延长线于F，先证明△CEF≌△CEB，可得EF=BE，再证△ACD≌△ABF，可得CD=BF，即得CD=2BE；
（2）BE=DF.理由：过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H， 先证明△BGH≌△DFH，可得BG=DF，再证明△BDE≌△GDE，可得EG=BE，从而得出BE=BG=DF.
24．（9分）有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影部分的面积．
①方法1： 方法2：
②请写出代数式，，这三个代数式之间的等量关系： ．
（2）解决问题：若，求的值．
（3）如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是： ▲ ．
【答案】（1）；；
（2）解：
（3）解：选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），
则长方形的面积为：
而
所以该长方形的边长为 如图所示：
该图形反映的面积恒等式为：
故答案为：
【解析】【解答】解：（1）①方法1：
方法2：
故答案为：
②由阴影部分的面积不变可得：
【分析】（1）①利用不同的表达式表示出阴影部分的面积即可；
②根据①的表达式可得；
（2）根据非负数之和为0的性质可得，再将其代入计算即可；
（3）根据图象可得。
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