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北师大版九年级上册期末考点集训进阶卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用板制作的“中”字的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作于点．若，，，则（ ）
A．15 B．16 C． D．
4．如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（ ）
A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m
5．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．在平面直角坐标系中，已知A(6，-3)，B(3，9)，连接OA、OB、AB，以原点O为位似中心，位似比为，把△OAB缩小，则点B 的对应点B'的坐标为（ ）
A．(1，3) B．(-1，-3)
C．(1，3)或(-1，-3) D．(2，-1) 或(-2，1)
7．近年来，国内汽车市场经历了翻天覆地的变化，随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，燃油汽车销量持续下滑．某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元．设该款汽车每次降价的平均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件.设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形一定是矩形
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D．“用长分别为 、12cm、 的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件
10．函数 与 （ ）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
12．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数 的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于 ，其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知 ，则的值为
14．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为10，则这个矩形较短边的长为 ．
15． 在平面直角坐标系中，已知，在轴上有一点，它与两点形成的三角形与相似（全等除外），则点的坐标是 .
16．电路图上有四个开关和一个小灯泡，如果同时闭合中的两个开关，那么使得小灯泡发亮的概率是 ．
17．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，△ABC的顶点均为网格中的格点.
（1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）.
（2）证明：△ADE∽△ABC.
20．（6分）如图，某墙壁左侧有一木杆和一棵松树.某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在墙壁上，已知，.
（1）请画出在同一时刻下松树AB在阳光下的投影；
（2）若木杆，木杆DP的投影，同一时刻松树AB在阳光下的投影，求松树的高度.
21．（9分）下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000
合格品数 188 471 946 1426 1898 2850
合格品频率（精确到0.001） 0.940 0.942 0.946 0.951 a b
（1）a= ，b= ；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01）
（3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE=AD：
（2）当D为AB中点时，证明：四边形BECD是菱形．
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由．
23．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数 的图象交于M、N两点.
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）连接OM、ON，求三角形OMN的面积.
24．（9分）同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m(分别用A1、A2、A3表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用T1、T2表示)．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1为 ， 利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为 ．
25．（9分） 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．
（1）求证：；
（2）若，，求的值；
（3）在（2）的条件下，在中，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连接，若与以点，，为顶点的三角形相似，求的值．
26．（9分）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x，
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）直接写出：当△CDP为等腰三角形时x的值.
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北师大版九年级上册期末考点集训进阶卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用板制作的“中”字的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知，该图形的俯视图为：
故选：C
【分析】从上往下看展板得到俯视图即可，注意看不见用虚线表示.
2．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故答案为：D．
【分析】根据一次函数、反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
3．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作于点．若，，，则（ ）
A．15 B．16 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】四边形是矩形，，，，
，，
，
于点，
，
，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先根据勾股定理得到EA长，然后得到，即可得到解题即可．
4．如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（ ）
A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m
【答案】D
【解析】【解答】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，
则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH，
∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，
∴，
即，
解得：BC=1.2，DE=2.4，
∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），
即此时小明影子的长度缩短了1.2m.
故答案为：D．
【分析】先求出△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，再求出BC=1.2，DE=2.4，最后求解即可。
5．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴．
∵关于的一元二次方程为，
∴．
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C
【分析】先根据反比例函数的图象得到，再根据一元二次方程根的判别式得到，从而即可求解。
6．在平面直角坐标系中，已知A(6，-3)，B(3，9)，连接OA、OB、AB，以原点O为位似中心，位似比为，把△OAB缩小，则点B 的对应点B'的坐标为（ ）
A．(1，3) B．(-1，-3)
C．(1，3)或(-1，-3) D．(2，-1) 或(-2，1)
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
点B 的对应点B'的坐标为或
即 (1，3)或(-1，-3)
故答案为：C
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
7．近年来，国内汽车市场经历了翻天覆地的变化，随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，燃油汽车销量持续下滑．某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元．设该款汽车每次降价的平均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】 设该款汽车每次降价的平均下降率是，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设该款汽车每次降价的平均下降率是，根据“ 某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元 ”列出方程即可.
8．某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件.设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为 x ，由题意得出， ．
故答案为：B．
【分析】根据2019年“双十一”期间完成投递的件数=2017年“双十一”期间完成投递的件数 列方程即可．
9．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形一定是矩形
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D．“用长分别为 、12cm、 的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件
【答案】D
【解析】【解答】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项不符合题意；
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项不符合题意；
C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项不符合题意；
D. “用长分别为 、12cm、 的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.
10．函数 与 （ ）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 时， ， 在一、二、四象限， 在一、三象限，无选项符合．
时， ， 在一、三、四象限， （ ）在二、四象限，只有D符合；
故答案为：D．
【分析】利用一次函数的图象与其系数的关系及反比例函数图象与其系数的关系逐项判定即可。
11．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作CF⊥AD交AD延长线于点F，作CG⊥CD交AB延长线于点G.
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCD 是正方形.
∴BC=CF，AF=AB=4，∠F=∠BCF=90°.
∵AD＝3，
∴DF=AF-AD=1.
∵∠BCG+∠BCD=90°，∠DCF+∠BCD=90°，
∴∠BCG=∠DCF.
∵∠CBG=∠F=90°，BC=CF，
∴△BCG△DCF.
∴CG=CD，BG=DF=1.
∵∠ECG=ECB+∠BCG=ECB+∠DCF=∠BCF- ∠DCE＝90°-45° =45° ，
∴∠ECG= ∠DCE .
∵CE=CE，CF=CG，
∴△ECG△ECD.
∴EG=DE.
∵S正方形ABCD = S△AED + 2S△ECG，
∴AE·AD+2×GE·BC = AB2，即AE +4（5-AE）=16.
∴AE=1.6.
∴DE =GE=5-AE=3.4.
故答案为：B.
【分析】作CF⊥AD交AD延长线于点F，作CG⊥CD交AB延长线于点G，先证明 四边形ABCD 是正方形，然后证明△BCG△DCF和△ECG△ECD，接着根据S正方形ABCD = S△AED + 2S△ECG， 求得AE的长，即可求得DE的长.
12．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数 的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于 ，其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：设点D的坐标为（x，kx），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0． ∴S△DFE= DF OF= |xD| | |= k，
同理可得S△CEF= k，故⑤正确； 故S△DEF=S△CEF．故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S△DEF=S△BED， 同理可得S△ACF=S△ECF；
由①得：S△DBE=S△ACF． 又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，故④正确；
法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形， 而且EF是公共边， 即AC=EF=BD，
∴BD=AC，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：C．
【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S△DFE=|xD| |yD|=k，同理可求得△CEF的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知 ，则的值为
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a=2b，
∴ .
故答案为：.
【分析】首先根据比例的基本性质得出a=2b，然后把a=2b代入到中，即可得出答案。
14．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为10，则这个矩形较短边的长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵矩形的两条对角线相等且互相平分，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的较短边长为；
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质证明是等边三角形，利用矩形的性质和等边三角形的性质求解即可。
15． 在平面直角坐标系中，已知，在轴上有一点，它与两点形成的三角形与相似（全等除外），则点的坐标是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设P(m，0)
∵点P与A，C两点形成的三角形与△ABC相似，∠BAC=∠PAC
∴
∵
∴
解得：m=3
∴P（3，0）
故答案为：（3，0）
【分析】设P(m，0)，根据相似三角形性质可得，结合勾股定理代值计算即可求出答案.
16．电路图上有四个开关和一个小灯泡，如果同时闭合中的两个开关，那么使得小灯泡发亮的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：列表如下，
S1 S2 S3 S4
S1 S1S2 S1S3 S1S4
S2 S2S1 S2S3 S2S4
S3 S3S1 S3S2 S3S4
S4 S4S1 S4S2 S4S3
由表可知，共有12种结果，能使小灯泡发亮的有4种，
能使小灯泡发亮的概率是.
故答案为： .
【分析】先根据题意列表，然后数出所有出现的结果数，并找出符合题意的所有结果数，再根据概率计算公式计算即可.
17．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
【答案】-2024
【解析】【解答】解：，是方程的两个实数根，
.
故答案为：-2024.
【分析】根据根与系数关系求出再整体代入计算即可.
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交y轴于点F，
∵点是菱形对角线的中点，
∴点三点共线．轴
设点，则，
故直线
故直线
点是的中点，
故答案为：．
【分析】如图， 连接AM， 延长BA交y轴于点F， 点A， M，C三点共线.. 轴， 设点M(m，n)， 则B(2m，2n)， 推出 推出 再证明 的面积= 的面积=6.可得 整理得
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，△ABC的顶点均为网格中的格点.
（1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）.
（2）证明：△ADE∽△ABC.
【答案】（1）解：如图，△ADE就是所求的三角形，答案不唯一，
（2）证明：∵AD=2AB，AE=2AC，
∴，
又∵∠BAC=∠DAE，
∴△ △ADE∽△ABC .
【解析】【分析】（1）延长AB至点D使AD=2AB，延长AC至点E，使AE=2AC，再连接ED，△ADE就是所求的三角形；
（2）由作图过程易得，∠BAC=∠DAE，根据两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ABC .
20．（6分）如图，某墙壁左侧有一木杆和一棵松树.某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在墙壁上，已知，.
（1）请画出在同一时刻下松树AB在阳光下的投影；
（2）若木杆，木杆DP的投影，同一时刻松树AB在阳光下的投影，求松树的高度.
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，即，
得.
答：松树的高度为8米.
【解析】【分析】（1）连接DM即为木杆DP的影子，过A作AC∥DM，则AC即为松树AB的影子；
（2）根据平行线的性质可得∠ACB=∠DMP，由垂直的概念可得∠ABC=∠DPM=90°，证明△ABC∽△DPM，然后利用相似三角形的性质进行计算.
21．（9分）下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000
合格品数 188 471 946 1426 1898 2850
合格品频率（精确到0.001） 0.940 0.942 0.946 0.951 a b
（1）a= ，b= ；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01）
（3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？
【答案】（1）0.949；0.950
（2）解：由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.95附近波动，
所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是0.95；
（3）解：（个）．
答：该厂估计要生产400000个N95口罩．
【解析】【解答】解：（1）1898÷2000=0.949，2850÷3000=0.950；
故答案为：0.949，0.950；
【分析】（1）根据表格中的数据计算即可；
（2）利用频率估算概率的计算方法求解即可；
（3）根据题意列出算式求解即可。
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE=AD：
（2）当D为AB中点时，证明：四边形BECD是菱形．
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD．
（2）证明：∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD=CD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=CD，
∴四边形BECD是菱形．
（3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形．
【解析】【分析】（1）先证明四边形ADEC是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得CE=AD；
（2）先证明四边形BECD是平行四边形，再结合BD=CD，可得四边形BECD是菱形；
（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形。
23．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数 的图象交于M、N两点.
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）连接OM、ON，求三角形OMN的面积.
【答案】（1）解：将N（﹣1，﹣4）代入反比例解析式得：k＝4，
即反比例解析式为y＝ ，
将M（2，m）代入反比例解析式得：m＝2，
即M（2，2），
将M与N坐标代入一次函数解析式得： ，
解得： .
即一次函数解析式为y＝2x﹣2；
（2）解：根据图形得：x＜﹣1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值；
（3）解：设一次函数与x轴交于A点，
对于一次函数y＝2x﹣2，令y＝0，得到x＝1，即OA＝1，
则S△MON＝S△AOM+S△AON＝ ×1×2+ ×1×4＝1+2＝3.
【解析】【分析】（1）由题意把点N的坐标代入反比例函数的解析式计算可求得反比例函数的解析式；把M的坐标代入反比例函数的解析式计算可求得m的值，再用待定系数法可求得一次函数的解析式；
（2）根据图形找出反比例函数的图象在一次函数的图象上方部分相应的自变量的取值范围可求解；
（3）设一次函数与x轴交于A点，令一次函数的解析式中的y=0可得关于x的方程，解方程可求得点A的坐标，再根据S△MON＝S△AOM+S△AON可求解.
24．（9分）同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m(分别用A1、A2、A3表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用T1、T2表示)．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1为 ， 利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为 ．
【答案】（1）.
（2）.画树状图如下：共有20种结果，它们出现的可能性相等，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，则恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==.
（3）.
【解析】【解答】（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=.
故答案为：.
（3）由（2）知，两个项目都是径赛项目的结果为6，
则两个项目都是径赛项目的概率P2==.
故答案为：.
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）先画出树状图，共有20种等可能的结果，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，进而求出恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率；（3）由（2）找出两个项目都是径赛项目的结果数，进而求出两个项目都是径赛项目的概率.
25．（9分） 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．
（1）求证：；
（2）若，，求的值；
（3）在（2）的条件下，在中，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连接，若与以点，，为顶点的三角形相似，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵△ABE沿BE折叠为△FBE，
∴∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠CFB+∠DFE＝180°-∠BFE＝90°，
又∵∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠DFE，
∴△CFB∽△DEF；
（2）解：∵，
∴设DE＝a，EF＝3a，则，
∵△ABE沿BE折叠为△FBE，
∴AE＝EF＝3a，AD＝DE+AE＝4a，∠EBA＝∠EBF，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝
∴a＝，
则AE＝EF＝，DF＝4，
由（1）得：△CFB∽△DEF，
∴，
∴，
∴BF=6；
（3）解：∵BC＝cm，BF＝6cm，
∵∠CBF＝∠QBP，
①当△CBF∽△QBP时，∠PQB＝90 ，如图，
此时，，
即，
∴t＝
②当△CBF∽△PBQ时，∠BPQ＝90 ，如图，
此时，
即，
∴t=，
综上，t＝或．
【解析】【分析】（1）先利用矩形的性质可得∠A＝∠D＝∠C＝90°，再利用角的运算和等量代换可得∠CBF＝∠DFE， 即可证出△CFB∽△DEF；
（2）设DE＝a，EF＝3a，则，再求出AE＝EF＝，DF＝4，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出BF的长即可；
（3）分类讨论：①当△CBF∽△QBP时，∠PQB＝90 ，②当△CBF∽△PBQ时，∠BPQ＝90 ，先分别画出图形，再利用相似三角形的判定及性质列出方程求解即可.
26．（9分）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x，
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）直接写出：当△CDP为等腰三角形时x的值.
【答案】（1）解：过点D作DE//BC交AB于点E，
∵BE//CD，DE//BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
又∵BC＝4，
∴DE=BC=4，
∵DE//BC，∠B＝60°，
∴∠DEA=∠B＝60°，
∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠ADE= 90°-∠DEA=30°，
∴AE=DE=2，
∴AD==2.
（2）解：∵△ADP中，∠A=90°，
∴△PBC是直角三角形，
∵∠B＝60°，
∴∠BPC=90°或∠BCP=90°，
①当∠BPC=90°时，△BCP≌△EDA，
∴AE=BP=2，CP=AD=2，
∴AP=x=AB-BP=10-2=8，
∴≠，
又∵∠A=∠BPC=90°，
∴△ADP与△CPB不相似；
②当∠BCP=90°时，∠BPC=90°-∠B=30°，
∵BC＝4，AB＝10，
∴BP=2BC=8，AP=x=AB-BP=10-8=2，
∴==2，
又∵∠A=∠BCP=90°，
∴△ADP∽△CPB，
综上可知，x=2时，结论成立.
（3）解：①当PD=PC时，x=4；
②DP=DC时， x= 2 ；
③PC=CD时，x=8-2.
【解析】【解答】解：（3）作CF⊥AB交AB于F，
∵BC＝4，∠B＝60°，
∴BF=BC=2，
∵AB＝10，
∴AF=CD=10-2=8，
∵AP=x，AD=2，
∴PF=8-x，CF=2，
①当PD=PC时，
∴AD2+AP2=PF2+CF2，
即x2=（8-x）2，
∴x=4；
②DP=DC=8时，
∴AD2+AP2=DP2，
即12+x2=64，
∴x= 2 ；
③PC=CD=8时，
∴PF2+CF2=PC2，
即12+（8-x）2=64，
∴x=8-2.
【分析】（1）作DE//BC交AB于点E，由平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE=BC=4，由两直线平行，同位角相等得∠DEA=∠B＝60°，根据三角形的内角和定理得∠ADE= 90°-∠DEA=30°，直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可得AE=DE=2，根据勾股定理即可求出AD的值.
（2）由∠A=90°得△PBC是直角三角形，又知∠B＝60°，根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°或∠BCP=90°，①当∠BPC=90°时，根据已知条件得△BCP≌△EDA，由全等三角形的性质知AE=BP=2，CP=AD=2，AP=x=8，从而得≠，根据相似三角形的判定知△ADP与△CPB不相似；
②当∠BCP=90°时，由三角形内角和定理知：∠BPC=90°-∠B=30°，由已知条件知BC＝4，AB＝10，BP=2BC=8，AP=x=AB-BP=10-8=2，
从而得==2，根据相似三角形的判定知△ADP∽△CPB.
（3）作CF⊥AB交AB于F，由已知条件知：BC＝4，∠B＝60°，直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可得BF=2，可以求得
AF=CD=8，AP=x，AD=CF=2 ，PF=8-x，之后分三种情况讨论：①当PD=PC时，②DP=DC=8时，③PC=CD=8时，根据勾股定理分别求得x的值.
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