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浙教版九年级上册期末押题上分攻略卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3）
C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
2．如图，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线 向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
7．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A． B． C．3 D．1
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A． a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
9．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E. 若，则下列结论中正确的是（ ）
①
②与的周长比为
③
④S△ABE·S△DCE=S△ADE·S△BCE
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．现有函数 如果对于任意的实数 ，都存在实数 ，使得当 时， ，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知的半径为，点A在外，则的长可以为 ．
12．如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是 ．
13．二次函数的顶点坐标为，且开口向上，则的值为 ．
14．如图，在等腰中，，请将等腰以点为旋转中心旋转得到，延长与直线交于点，若，则线段的长为 ．
15．已知，那么 ．
16．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长为 ．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）如图，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C.
（1）求b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m.当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值.
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
18．（9分）如图，正比例函数y1＝kx与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，4）和点B，点C的坐标是（4，0），点D在y2＝的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设点E在x轴上，∠AEB＝90°，求点E的坐标；
（3）设点M在x轴上，点N在平面直角坐标系内．当四边形CDNM是正方形时，直接写出点M的坐标．
19．（9分）为了科学精准地做好校园常态化疫情防控工作，某校通过新生培训、主题班会、专题教育、知识竞赛等方式，指导学生科学防疫．在该校九年级疫情防控知识竞赛中，若干名参赛选手的成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将竞赛成绩绘制如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加县级知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ， ）对称．
21．（9分）已知二次函数 的图象经过点（1，0）和（0，2）.
（1）求b，c的值；
（2）当 时，求 的取值范围；
（3）已经点P(m，n)在该函数的图象上，且 ，求点P的坐标.
22．（9分）如图1，四边形ABCD内接于，AC为直径，，AC，BD交于点E，，过点O作，垂足为G，交BD于点H.
（1）求的半径；
（2）当时，求的值；
（3）延长GH交CB的延长线于点Q，当时，求BQ的长.
23．（12分）如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）.
（1）问题发现
当α＝0°时，的值为 ，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为 ；
（2）拓展探究
试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明；
（3）问题解决
当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积.
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浙教版九年级上册期末押题上分攻略卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3）
C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3，
∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）.
故答案为：A.
【分析】抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），据此解答即可.
2．如图，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用圆周角的性质可得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可.
3．将抛物线 向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】将抛物线y=-x2向上平移2个单位得到的抛物线是y=-x2+2．
故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象平移的规律来求解.抛物线的图象平移的规律：左加右减，上加右减.
4．如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：如图：连接PC，
∵ 点是等边三角形ABC的重心，
∴BD平分∠ABC，PC平分∠ACB，BD⊥AC，
∵三角形ABC是等边三角形，AB=3，
∴∠PBC=∠PCB=PCD=30°，.
∴，
∵PQ⊥BP，
∴∠BPQ=∠ADC=90°，
∴PQ//CD.
∴，即
∴BQ=2.
故答案为：D.
【分析】根据点是等边三角形ABC的重心，可得BD平分∠ABC，BD⊥AC.连接PC，有PC平分∠ACB，PC=PB，于是可根据∠PCD=30°，AB=3，求出PD，PC的长.根据PQ⊥BP，可得PQ//CD.根据平行线分线段成比例即可求出BQ的长.
5．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴
设a=5k，b=8k，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用比例的性质可得到a：b的值，设a=5k，b=8k，再代入代数式进行化简即可。
6．如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形的周长是．
故答案为：B
【分析】连接，先根据题意结合正多边形的性质得到，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，从而即可求解。
7．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可知，过点，，和过点，，的二次函数开口向下，，故排除A和B，
越大，开口越小，
当时，开口小的那个最大，
由图可知，过点，点，点三点的二次函数的的值最大，
把，，代入得，
解得．
故答案为：C．
【分析】利用开口方向得到a值的正负先排除A和B选项，然后根据越大，开口越小，得到过点，点，点三点的二次函数的的值最大，利用待定系数法求解析式即可．
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A． a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0；
故答案为：C.
【分析】观察抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围；抛物线与y轴的交点位置，可以确定出c的取值范围；根据对称轴的位置：左同右异，结合a的值，可确定出b的取值范围，即可求解.
9．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E. 若，则下列结论中正确的是（ ）
①
②与的周长比为
③
④S△ABE·S△DCE=S△ADE·S△BCE
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴①正确；
相似三角形周长比等于相似比，②正确
∵，且△BDC和△BAC共有底BC
∴得到A，B，C，D四点共圆；
若，则，则AB=AC，但题目中并没有告诉这个条件，所以③不一定正确；
∵△ABE和△ADE共有高，
∴，
∵△CBE和△CDE共有高，
∴
∴即，，故④正确；
①②④正确.
故答案为：C.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△ABE∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例可得 ，据此判断①；根据相似三角形周长比等于相似比可判断②；根据确定圆的条件判断出得到A，B，C，D四点共圆，若∠ADE=∠ABC，根据圆周角定理，则∠ADE=∠ABC=∠ACB，根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等得AB=AC，但题目中并没有告诉这个条件，据此可判断③；根据同高三角形面积之比等于底之比可得，，据此就不难判断④.
10．现有函数 如果对于任意的实数 ，都存在实数 ，使得当 时， ，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：联立方程组
解得 ，
即直线y=x+4与抛物线 的交点坐标为（-1，3），（4，8），如图，
所以，抛物线 的顶点坐标为（1，-1），
当直线y=x+4的y值取-1时，x=-5，
根据图象可知：
①当a＜-5时，直线y=x+4＜-1，抛物线 ≥-1
故y不能取所有实数，舍去；
②当-5≤a≤4时，函数的y值可取所有实数，
③当a＞4时，函数y=x+4＜ ，不符合题意，舍去；
故答案为：A．
【分析】画出函数图象，根据图象进行分类讨论即可解答。
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知的半径为，点A在外，则的长可以为 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵的半径为，点在外，
∴，
线段的长可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】设点与圆心的距离为，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，判断即可．
12．如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵DA=DO，∠ADO=120°，
∴∠DAO=∠DOA=，
在Rt△DEO中，OD=AB=2，
∴DE=OD=1，OE=DE=，
∴圆心点D的坐标为，
故答案为：.
【分析】先利用角的运算求出∠DAO=∠DOA=，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD=AB=2，再求出DE和OE的长即可得到点D的坐标.
13．二次函数的顶点坐标为，且开口向上，则的值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴a2-9=0，，
解得：a1=3，a2=-3，b=0，
∵二次函数的开口向上，
∴a<0，
∴a=3，
∴，
故答案为：3.
【分析】利用二次函数的顶点坐标为（0，0）可得a2-9=0，，求出a、b的值，再结合二次函数的开口方向求出a的值，最后将其代入a+b计算即可.
14．如图，在等腰中，，请将等腰以点为旋转中心旋转得到，延长与直线交于点，若，则线段的长为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠ACB=90°
∴∠CAB=∠B=45°
将等腰Rt△ABC绕以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到，线段的延长线交线段AB于点D
∴AC1=AC=2，∠CAC1=60°，∠AC1B1=∠ACB=90°
∴∠DAC1=∠CAC1-∠CAB=15°
在AC1取一点E，连接DE，使得AE=DE，则∠EDA=∠BAC1=15°
∴∠DEC1=∠EDA+∠BAC1=30°
∵∠DC1E=∠AC1B1=90°
∴AE=DE=2C1D
∴
∴
∴
将等腰Rt△ABC绕以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到，线段的延长线交线段AB于点D
∴AC1=AC=2，∠CAC1=60°，∠AC1B1=∠AC1D=∠ACB=90°
∴∠BAC1=∠CAC1+∠CAB=105°
∴∠D=∠AC1B1-∠AC1D=15°
在DC1取一点E，连接AE，使得AE=DE，则∠EAD=∠D=15°
∴∠AEC1=∠EAD+∠D=30°
∴AE=DE=2AC1=4
∴
∴
综上所述，C1D的长为或或
故答案为：或
【分析】根据等腰直角三角形性质可得∠CAB=∠B=45°，分情况讨论：将等腰Rt△ABC绕以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到，线段的延长线交线段AB于点D，将等腰Rt△ABC绕以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到，线段的延长线交线段AB于点D，根据角之间的关系，含30°角的直角三角形性质，勾股定理即可求出答案.
15．已知，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】由得到代入进行化简从而求解.
16．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，
∴∠CMB=∠CMD=90°，
由旋转性质知：CD=CB，∠B=∠CDE，∠E=∠A，
在和中，
∵CB=CD，CM=CM，
∴≌，
∴BM=DM，∠B=∠CDM，
∴∠CDM=∠CDE，
又∵，
∴∠CFD=90°，
∴∠CMD=∠CFD，
在和中：
∵∠CMD=∠CFD，∠CDM=∠CDE，CD=CD，
∴≌，
∴DF=DM=BM，
∵AB∥CE，
∴∠A=∠ACE，
∴∠E=∠ACE，
∴∠A=∠ADF=45°，
∴AF=DF，
∴2DF2=AD2，
∴2DF2=()2，
∴DF=1，
∴DM=BM=1，
∴AB=AD+DM+BM=.
故答案为：2+.
【分析】过点C作CM⊥AB于点M，首先根据HL证明≌，得出BM=DM，∠B=∠CDM，进而可根据AAS证明≌，从而得到DF=DM=BM，再根据平行线的性质得出∠E=∠ACE，进而得到∠A=∠ADF=45°，再根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求得DF=DM=BM=1，即可得出AB=2+。
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）如图，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C.
（1）求b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m.当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值.
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点A（1，0）和点B（-3，0）代入y＝-x2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝-x2-2x+3；
（2）解：
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
则有，
解得，
∴y＝x+3，
过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，
由已知可得P（m，-m2-2m+3），则Q（m，m+3），
∴S△PBC＝×3×（-m2-2m+3-m-3）＝（-m2-3m）＝-（m+）2+，
∵－3＜m＜0，－＜0，
∴当m＝-时，S△PBC有最大值，
此时P（-，）；
（3）存在，M坐标为（1，4）或（-3，）或（--3，-）或（-，）
【解析】【解答】解：（3）∵y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4，
将抛物线向左平移2个单位长度，则y＝-（x+3）2+4＝-x2-6x-5，
联立得：-x2-2x+3＝-x2-6x-5，
∴x＝-2，
∴D（-2，3），
∵B（-3，0），
∴BD＝，
∵M点在直线BC上，
设M（t，t+3），
当四边形BDMN为菱形时，如图1，
∴DB＝DM，
∴10＝（t+2）2+t2，
∴t＝1或t＝-3（舍），
∴M（1，4）；
当四边形BDNM为菱形时，如图2，
∴BD＝BM，
∴10＝（t+3）2+（t+3）2，
∴t＝-3或t＝--3，
∴M（-3，）或M（--3，-）；
当四边形BMDN为菱形时，如图3，
设BD的中点为G，则G（-，），
∵GM⊥BD，
∴BM2＝BG2+GM2，
∴2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2，
∴t＝-，
∴M（-，）；
综上所述：M点的坐标为（1，4）或（-3，）或（--3，-）或（-，）.
【分析】（1）将点A（1，0）和点B（-3，0）代入y＝-x2+bx+c中进行计算可求出b、c的值；
（2）易得C（0，3），利用待定系数法求出直线BC的解析式，过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，由已知可得P（m，-m2-2m+3），则Q（m，m+3），根据三角形的面积公式表示出S△PBC，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）由二次函数图象的几何变换可得平移后抛物线的解析式为y＝-x2-6x-5，联立平移前的解析式求出x、y的值，可得点D的坐标，利用两点间距离公式求出BD的值，设M（t，t+3），当四边形BDMN为菱形时，DB＝DM，代入求解可得t的值，进而可得点M的坐标；当四边形BDNM为菱形时，BD＝BM，同理可得点M的坐标；当四边形BMDN为菱形时，设BD的中点为G，则G（-，），由BM2＝BG2+GM2，可得t的值，进而可得点M的坐标.
18．（9分）如图，正比例函数y1＝kx与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，4）和点B，点C的坐标是（4，0），点D在y2＝的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设点E在x轴上，∠AEB＝90°，求点E的坐标；
（3）设点M在x轴上，点N在平面直角坐标系内．当四边形CDNM是正方形时，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数y2=的图象过点A（2，4），
∴m=2×4=8，
∴反比例函数的表达式为y=；
（2）解：如图1，作AG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H，
∵正比例函数y1=kx与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，4）和点B，
∴B（-2，-4），
∴OG=OH=2，AG=BH=4，
设E的坐标为（x，0）（|x|＞2），则EG=|2-x|，EH=|x+2|，
∵∠AEG+∠BEH=∠AEB=90°，∠BEH+∠EBH=90°，
∴∠AEG=∠EBH，
∵∠AGE=∠EHB=90°，
∴△EBH∽△AEG，
∴，即，
整理得，x2-4=16，
解得x=±2，
∴点E的坐标为（2，0）或（-2，0）；
（3）解：M的坐标为（2，0）或（6，0）．
【解析】【解答】(3)解：当四边形CDNM是正方形时，
当点M在点C左侧时，如图，
设M的坐标为（a，0），
∵点C的坐标是（4，0），
∴MC=4-a，
∴ND=4-a，
∴D（4，4-a），
∵点D在y2=的图象上，
4×(4-a )=8，
∴a=2，
∴M（2，0），
当点M在点C右侧时，如图，
同理求得点M的坐标为（6，0）．
综上，点M的坐标为（2，0）或（6，0）．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得答案；
（2） 如图1，作AG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H， 通过证明 △EBH∽△AEG， 即可得出 ， 解得x的值，即可求得点E的坐标；
（3）根据正方形的性质得出点D的坐标，代入反比例函数的解析式得出关于a的方程，解方程即可得出点M的坐标。
19．（9分）为了科学精准地做好校园常态化疫情防控工作，某校通过新生培训、主题班会、专题教育、知识竞赛等方式，指导学生科学防疫．在该校九年级疫情防控知识竞赛中，若干名参赛选手的成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将竞赛成绩绘制如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加县级知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
【答案】（1）500；36°
（2）解：B等级的人数为：
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：选取规则不合理，理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两个数字之和为奇数的结果有8种，两个数字之和为偶数的结果有4种，
∴选甲乙的概率为，选丙丁的概率为
∵
∴此规则不合理
【解析】【解答】(1)该校九年级共有学生；
则D等级所占圆心角的度数为；
故答案为：500，；
【分析】（1）由A等级的人数除以所占百分比求出该校九年级共有的学生，即可得出答案；
（2）求出B等级的人数，将条形统计图补充完整；
（3）画树状图，两个数字之和为奇数的结果有8种， 两个数字之和为偶数的结果有4种， 再由概率公式计算即可。
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ， ）对称．
【答案】（1）解：点A（1，3），B（4，4），C（2，1）分别向左平移4个单位后的对应点的坐标分别为A1( 3，3)， B1 (0，4)， C1( 2，1)，依次连接这三个点得到平移后的△A1B1C1，如图所示．
（2）解：△ABC的三个顶点A（1，3），B（4，4），C（2，1）绕原点O旋转180゜后可得对应点A2， B2， C2的坐标分别为( 1， 3)，( 4， 4)， ( 2， 1)，依次连接这三个点得到旋转后的△A2B2C2，如图所示；
（3）-2；0
【解析】【解答】解：如（2）中图所示，连接、、，可得关于( 2，0)对称
设直线的解析式为y=kx+b，则有：
解得：
即直线的解析式为
当时，y=0，则( 2，0)是的对称中心；
同理可求得直线的解析式为
当时，y=0，则( 2，0)是的对称中心；
综上所述，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ 2，0）对称．
【分析】（1）根据平移的方向和距离，即可得出答案；
（2）根据 △ABC绕原点O旋转180° ，即可画出旋转后的图形；
（3）根据对称点连线的整点的位置，即可得出答案。
21．（9分）已知二次函数 的图象经过点（1，0）和（0，2）.
（1）求b，c的值；
（2）当 时，求 的取值范围；
（3）已经点P(m，n)在该函数的图象上，且 ，求点P的坐标.
【答案】（1）解：将（1，0），（0，2）代入y＝x2+bx+c得： ，
解得：
（2）解：这个函数的解析式为：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣ ）2﹣ ；
把x＝﹣2代入y＝x2﹣3x+2得，y＝12，
∴y的取值范围是﹣ ≤y≤12
（3）解：∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n＝m2﹣3m+2，
∵m+n＝1，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1，n＝0，
∴点P的坐标为（1，0）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）先把函数式配方化成顶点式求出抛物线的对称轴方程，由于在 的范围内，得出最小值为-，由于x=-2离对称轴最远，则x=-2有最大值，从而得出y的范围；
（3）把P点坐标代入函数式得出m与n的关系式，再和m+n=1联立即可求出m、n的值，则知P点坐标.
22．（9分）如图1，四边形ABCD内接于，AC为直径，，AC，BD交于点E，，过点O作，垂足为G，交BD于点H.
（1）求的半径；
（2）当时，求的值；
（3）延长GH交CB的延长线于点Q，当时，求BQ的长.
【答案】（1）∵AC为直径，
∴，
∵
∴，
则半径为
（2）∵过点O作GH⊥CD，
∴GD=GC，
∵OA=OC，
∴OG为△CAD的中位线，
∴，
∵OG⊥DC， AD⊥DC，
∴OG∥AD，
∴∠ADE=∠OHE.
在△ADE和△OHE中，
，
∴△ADE≌△OHE(ASA)，
∴AD=OH.
∴，
∴OH：OG=2；
（3）∵HG=3OG，
设OG=k，则HG =3k，
∴AD=OH=2k，DG=GC=3k，
∴CD=6k，
∵AD2+CD2=AC2，
∴，
解得：(负数不合题意，舍去)。
∴，
连接EG，CH，如图，
∵HG=3OG，
∴OH：OG=2，
由(2)知：E为DH的中点，
∵G为CD的中点，
∴EG为ADCH的中位线，
∴EG∥CH，
∵EG⊥BD，
∴CH⊥BD，
∴∠CHB=∠ADC=90°，
∵∠DBC=∠DAC，
∴△BHC∽△ADC，
∴，
∴，
∴，
∵∠BDC=45°，HG⊥CD， CH⊥BD，
∴∠DHG=∠GHC=45°，
∴∠BHQ=∠DHG=45°，
∴∠BHQ=∠GHC.
∵∠QBH=∠QBA+∠ABD=90°+∠ABD，
∠HOC =∠OGC+∠ACD=90°+∠ACD，
∠ACD=∠ABD，
∴∠QBH =∠HOC，
∴△QBH~△COH，
∴，
∴，
∴BQ=1.
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质解答即可；
(2)利用垂径定理，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质解答即可；
(3)设OG=k，则HG=3k，利用垂径定理和勾股定理求得k值；连接EG，CH，利用(2)的结论，三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论.
23．（12分）如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）.
（1）问题发现
当α＝0°时，的值为 ，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为 ；
（2）拓展探究
试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明；
（3）问题解决
当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积.
【答案】（1）；45°
（2）解：（1）中的两个结论无变化，理由如下：
根据题意得：△ABC、△BDE都为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠DBE=45°，AC=BC，BD=DE，
∴∠CBD=∠ABE， ，
∴ ，
∴△BCD∽△BAE，
∴ ，∠BAE=∠BCD，
如图，延长CD交AB于点G，并交AE延长线于点F，
∵∠AGF=∠BGC，
∴∠F=∠ABC=45°，即直线AE，CD相交形成的较小角的度数为45°；
（3）解：△ACD的面积.
【解析】【解答】解：（1）在等腰直角△BDE中，BD，BD=DE，∠BDE=90°，
∴ ，∠ABC=45°，即直线AE，CD相交形成的较小角的度数为45°，
∵∠C=90°，
∴DE∥AC，
∴ ，
∴；
故答案为：，45°；
（3）如图，当点D在线段AE上时，则BD⊥AE，过点C作CP⊥DB交DB延长线于点P，
由（2）得：△BCD∽△BAE，∠ADC=45°，
∴∠CDP=45°，
∴∠PCD=45°，
∴∠PCD=∠CDP，
∴PC=PD，
设PB=x，则PC=PD= ，
在 中， ，
∴ ，
解得： 或（舍去），
∴ ，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∴；
如图，当点E在线段AD上时， 过点C作CQ⊥AD于点Q，
由（2）得：△BCD∽△BAE，∠ADC=45°，
∴∠DCQ=45°，
∴∠DCQ=∠ADC，
∴CQ=DQ，
∵△BCD∽△BAE，
∴ ，
∴ ，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴ .
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=BC，BE=BD，由勾股定理求出BE，根据DE∥AC结合平行线分线段成比例的性质进行求解；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DBE=45°，AC=BC，BD=DE，则∠CBD=∠ABE，由勾股定理可得AB=BC，BE=BD，证明△BCD∽△BAE，得到∠BAE=∠BCD，延长CD交AB于点G，并交AE延长线于点F，由对顶角的性质可得 ∠AGF=∠BGC，则∠F=∠ABC=45°，据此解答；
（3）当点D在线段AE上时，则BD⊥AE，过C作CP⊥DB的延长线于P， 由（2）得：△BCD∽△BAE，∠ADC=45°，则∠PCD=∠CDP=45°，推出PC=PD，设PB=x，则PC=PD=+x，由勾股定理求出x，进而得PC，在Rt△ABC、Rt△ABD中，由勾股定理得AB、AD，再由S△ACD=S△ABC+S△ABD-S△BCD得△ACD的面积；当点E在线段AD上时， 过点C作CQ⊥AD于点Q，由（2）得：△BCD∽△BAE，∠ADC=45°，同理可得CQ=DQ，根据勾股定理可得AB、AD，进而求出AE、CD，然后在Rt△CDQ中，由勾股定理求出CQ，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
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