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苏科版八年级上册期末全优冲刺领航卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．以下为2023年成都大运会奖牌“蓉光”上的部分设计元素，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．北偏东 B．信义大道
C．报告厅排 D．东经，北纬
3．已知一次函数y＝kx﹣k，当k＜0时，此函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列关于一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过一、二、三象限
C．当时， D．随的增大而增大
5．如图，将沿直线折叠，使点与点重合，若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．为等腰直角三角形 D．
7．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）
A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°
8．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．21
9．如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在平直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y＝﹣ x+2的图象，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若直线 与 轴的交点坐标为 则关于 的方程 的解是 ．
12．如图，在中，AD是BC边上的高，CE平分，交AD于点，，，则的面积等于 ．
13．如图，，点在的角平分线上，，点、是两边、上的动点，当的周长最小时，点到距离是 .
14．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每分钟走，点Q从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动 分钟后，与全等.
15．如图，AC=DB，AO=DO，CD=100，则 A，B 两点间的距离为 ．
16．在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，则∠A的度数为 ．
17．如图，已知四边形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，CD=12cm，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B-C-B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
18．已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在等边的边，上各取一点，，使，，相交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数.
20．（6分）在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量X（kg）的一次函数.某弹簧不挂物体时，长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
21．（9分）某校组织元旦汇演，准备购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元.A，B文具的费用与x的函数关系如下表.
x（件） 8 9 12
A种文具费用（元） 120 135 ______
B种文具费用（元） 640 ______ 560
（1）将表格补充完整.
（2）求y关于x的函数表达式.
（3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值.
22．（9分）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数函数图象的一部分如图所示.
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分；
（3）问甲、乙两人何时相距360米？
23．（9分）如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动（点 不与点 ， 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．
（1）当 时， °， °， °；
（2）当 等于多少时 ≌ ，请说明理由．
（3）在点 的运动过程中，请直接写出当 是等腰三角形时 的度数．
24．（9分）某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程．盒内钱数y（元）与存钱月数x（月）之间的函数关系如图所示.观察图像回答下列问题：
（1）盒内原来有多少元？2个月后盒内有多少元？
（2）该同学经过几个月才能存够200元？
（3）该同学至少存几个月存款才能超过140元？
25．（9分） 和 是共顶点 的两个大小不一样的等边三角形。
（1） 如图 1， 若点 在同一直线上， 连接 。
①求证： ；
② 的度数为 ；
（2） 如图 2， 点 在同一直线上， 连接 为 中 边上的高，请写出线段 之间的数量关系， 并说明理由。
（3）如图， 在 Rt 中， ， 点 为三角形右侧外一点. 且 . 连接 ， 若 的面积为 ， 则线段 的长度为 。
26．（9分）已知一次函数 .
（1）判断点 是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）若一次函数 ，当 ，试比较函数值 与 的大小；
（3）函数 随 的增大而减小，且与 轴交于点 ，若点 到坐标原点的距离小于 ，点 ， 的坐标分别为 ， .求 面积的取值范围.
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苏科版八年级上册期末全优冲刺领航卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．以下为2023年成都大运会奖牌“蓉光”上的部分设计元素，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、∵该图形不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图形不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图形不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、∵该图形是轴对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义逐项分析判断即可.
2．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．北偏东 B．信义大道
C．报告厅排 D．东经，北纬
【答案】D
【解析】【解答】解：A、在北偏东30°，只有方向，没有距离，无法确定位置，A不符合题意；
B、信义大道，没有方向，没有距离，无法确定位置，B不符合题意；
C、报告厅5排，无法确定位置，C不符合题意；
D、东经103°，北纬30°，能确定位置，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】确定位置需要两个数据，据此对各选项分析判断利用排除法求解．
3．已知一次函数y＝kx﹣k，当k＜0时，此函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，，
∴该函数图象必经过一、二、四象限．
故答案为：A．
【分析】直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k决定增减性，b决定与y轴的交点；时，图像从左到右呈上升趋势，k＜0时，图象从左到右呈下降趋势；b＞0时，图象交于y轴正半轴，b=0时，图象过原点，b＜0时，图象交于y轴负半轴；由题意可知k＜0，图像从左到右呈下降趋势，排除B与C选项.b＞0时，图像交于y轴正半轴，故答案为A.
4．下列关于一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过一、二、三象限
C．当时， D．随的增大而增大
【答案】C
【解析】【解答】解：A、当x＝1时，y＝-2，图象不过点（1，-4），错误；
B、k＝-3＜0，b＝1＞0，图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、∵当x＝1时，y＝-2，
∴x＞1时，函数图象在x轴的下方，
∴当x＞1时，y＜-2，正确；
D、k＝-3＜0，y随x的增大而减小，错误；
【分析】根据一次函数y＝-3x+1的解析式对各选项进行逐一分析判断即可.
5．如图，将沿直线折叠，使点与点重合，若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由折叠可得：DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴△BCD的周长为：BC+BD+DC=BC+BD+DA=BC+AB=6+7=13，C正确.
故答案为：C.
【分析】由折叠可得MN是线段BC的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得DA=DC，利用等量代换可求△BCD的周长。
6．如图，在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．为等腰直角三角形 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵、分别是、边上的高，
∴，
∴，
∴在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即．
∴是等腰直角三角形．
故选项A，B，C结论正确，不符合题意.
故答案为：D．
【分析】由题意，由同角的余角相等得，从而用SAS证，由全等三角形的性质得，，证明，可得答案．
7．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）
A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°
【答案】D
【解析】【解答】若70°为顶角，则此等腰三角形的底角是（180°-70°）÷2=55°；
若70°为底角，则此等腰三角形的底角为70°，
综上，此等腰三角形的底角为70°或55°，
故答案为：D.
【分析】由于70°是一个锐角，故需要分类讨论：①若70°为顶角，则此等腰三角形的底角是（180°-70°）÷2=55°；②若70°为底角，则此等腰三角形的底角为70°，从而得出答案。
8．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．21
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS）；
由题意得AD＝BE＝24cm，DB＝EC＝12cm，
∴DE＝DB+BE＝36cm，
答：两堵木墙之间的距离为36cm.
故答案为：A.
【分析】根据余角的性质可得∠ABD＝∠BCE，根据AAS证明△ABD≌△BCE，可得AD＝BE＝24cm，DB＝EC＝12cm，利用DE＝DB+BE即可求解.
9．如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图1所示，连接，作于，于，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，②正确；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确；
如图2所示，当时，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误；
故答案为：C
【分析】连接，作于，于，先根据角平分线的性质得到，进而进行角的运算得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而个等边三角形的判定即可判断①；根据三角形全等的性质得到，进而结合定点即可判断②；从而结合题意得到的周长为，再根据垂线段最短即可判断③；根据平行线的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质结合题意即可判断④。
10．在平直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y＝﹣ x+2的图象，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】【解答】解：设C（m， m+2），
①当CA＝CB时，点C在线段AB的垂直平分线上，此时C（﹣1， ）．
②当AC＝AB时，（m+4）2+（ m+2）2＝36，
解得：m＝ ，
∴C（ ， ）或（ ， ）
③当BC＝AB时，（2-m）2+（ m+2）2＝36，
解得m＝ ，
∴C（ ， ）或（ ， ）；
综上所述，满足条件的点有5个．
故答案为：D．
【分析】设C（m， m+2）．构建方程即可解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若直线 与 轴的交点坐标为 则关于 的方程 的解是 ．
【答案】x=-3
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（-3，0），
∴关于x的方程kx+b=0的解是：x=-3．
故答案为：x=-3．
【分析】根据一元一次方程与一次函数的关系，可以知道函数与x轴的交点即为方程的解。
12．如图，在中，AD是BC边上的高，CE平分，交AD于点，，，则的面积等于 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：作交AC于点，
平分，，，
，
．
故答案为：6．
【分析】作交AC于点，根据角平分线的性质求得，然后代入三角形面积公式，计算求解即可．
13．如图，，点在的角平分线上，，点、是两边、上的动点，当的周长最小时，点到距离是 .
【答案】5cm
【解析】【解答】解：如图，分别作关于的对称点，连接交于点，连接，，
∴，OP=OE'，
∵，点在的角平分线上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
∴，
∴，
∵当的周长最小时，三点共线，
此时即为到的距离，
∴，
故答案为：5cm.
【分析】 如图，分别作P关于OA、OB的对称点E'、F'，连接E'F'交OP于点Q，连接EE'、FF'、PE'、PF'， 根据轴对称的性质得∠E'OA=∠AOP，OP=OE'，再结合角平分线的性质得∠E'OP=60°，则△E'OP是等边三角形，同理可得△OPF'是等边三角形，根据等边三角形的性质得PE'=PF'，根据等腰三角形的三线合一得OP⊥E'F'，当△PEF的周长最小时，E'、Q、F'三点共线，此时PQ即为P到EF的距离.
14．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每分钟走，点Q从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动 分钟后，与全等.
【答案】4
【解析】【解答】解：①当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（米），
则BQ＝AP＝AB BP＝12 4＝8（米），
A的运动时间是：4÷1＝4（分钟），
Q的运动时间是：8÷2＝4（分钟），
则当t＝4分钟时，两个三角形全等；
②当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（米），
AP＝BP=AB＝6（米），
则P运动的时间是：6÷1＝6（分钟），
Q运动的时间是：4÷2＝2（分钟），
所以不能成立．
综上所述，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等.
故答案为：4.
【分析】分类讨论：①当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（米），②当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（米），再利用“速度、路程和时间”的关系分别列出算式求出时间即可.
15．如图，AC=DB，AO=DO，CD=100，则 A，B 两点间的距离为 ．
【答案】100
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴A，B两点间的距离为100．
故答案为：100．
【分析】先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得，再结合CD=100即可得到答案。
16．在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，则∠A的度数为 ．
【答案】40°或140°
【解析】【解答】解：如图1：
由翻折的性质可知：EF⊥AB，
∴∠A+∠AFE＝90°．
∵∠AFE＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
如图2，
由翻折的性质可知：EF⊥AB，
∴∠D+∠DAE＝90°．
∵折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，
∴∠EDA＝50°，
∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝140°，
故答案为：40°或140°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用折叠的性质计算求解即可。
17．如图，已知四边形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，CD=12cm，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B-C-B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
【答案】或3或或
【解析】【解答】解：设点P的运动时间为ts，可分为以下几种情况：
（1）当点P没有到达点C时，BP=3t，CP=8-3t，可分为两种情况：
①BE=CP时，可得5=8-3t，解得t=1，此时CQ=BP=3t=3，
∴点Q的运动速度为 ：3÷1=3；
②BP=CP时，可得3t=8-3t，解得：t=，此时CQ=BE=5，
∴点Q的运动速度为 ：5÷=；
（2）当点P从点C返回点B时，CP=3t-8，BP=16-3t，可分为两种情况：
①BE=CP时，可得3t-8=5，解得t=，此时CQ=BP=16-3t=16-3×=3，
∴点Q的运动速度为 ：3÷=；
②BP=CP时，可得16-3t=3t-8，解得：t=4，此时CQ=BE=5，
∴点Q的运动速度为 ：5÷4=；
综上可得，点Q的运动速度为 ：3或或或。
【分析】设点P的运动时间为ts，可分为以下几种情况：
（1）当点P没有到达点C时，BP=3t，CP=8-3t，可分为两种情况：①BE=CP时；②BP=CP时；
（2）当点P从点C返回点B时，CP=3t-8，BP=16-3，可分为两种情况：①BE=CP时；②BP=CP时；
分别列出等式，即可求得答案。
18．已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是 .
【答案】或
【解析】【解答】解：①如图，当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，
∴∠OFB=∠OEA=90°=∠AOB，
∵∠AOE＋∠BOF＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
在△BOF和△OAE中
∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴BF＝OE＝1，OF＝AE＝ ，
∵B的坐标是（1， ）
∴＝k，
检验，当∠AOB>90°时，即k≥ 满足题意；
②当点B与点A关于x轴对称时满足题意，点B坐标为（ ，1），
设AB交x轴与点E，在Rt△AOE中，
∴AE＝ OA，
∴∠EOA＝30°，
∴∠BOA＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴点B（ ，1）
把（ ，1）代入y＝kx得
k=1，
解答k＝ ．
故答案为：k≥ 或k＝ .
【分析】分情况讨论：当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BOF＝∠OAE，∠OFB=∠OEA，利用AAS证明△BOF≌△OAE，利用全等三角形的性质可求出OF，BF的长，可得到点B的坐标，利用待定系数法可求出k的值，可得到k的取值范围；当点B与点A关于x轴对称时满足题意，利用勾股定理求出OA的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可推出∠EOA=30°，由此可得到∠BOA=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB为等边三角形，可得到点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，综上所述可得到k的取值范围.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在等边的边，上各取一点，，使，，相交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAD=60°，
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BOE=∠BAD+∠BAO=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得AB=AC，∠C=∠BAD=60°，利用SAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ABD=∠CAE，再利用三角形外角的性质去证明∠BOE=∠BAC，即可求出∠BOE的度数.
20．（6分）在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量X（kg）的一次函数.某弹簧不挂物体时，长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，由题意，得 ，解得：k=0.5，b=14.5，
故y与x之间的关系式为：y=0.5x+14.5；
（2）解：当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5.
答：当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度为16.5cm.
【解析】【分析】（1）根据题意先设一次函数解析式，利用待定系数法求解；
（2）利用（1）关系式，求出当x=4时的y值即可.
21．（9分）某校组织元旦汇演，准备购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元.A，B文具的费用与x的函数关系如下表.
x（件） 8 9 12
A种文具费用（元） 120 135 ______
B种文具费用（元） 640 ______ 560
（1）将表格补充完整.
（2）求y关于x的函数表达式.
（3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值.
【答案】（1）解：
x（件） 8 9 12
A种文具费用（元） 120 135 180
B种文具费用（元） 640 620 560
（2）解：由题意，A种文具15元/件，B种文具20元/件，
设购进A种文具x件，则B种文具数量为 件，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴y随着x的增大而减小，
∴当 时， ，
答：总费用最少为690元.
【解析】【分析】（1）A文具的单价：120÷8=15元，B文具的单价：640÷32=20元，计算12×15，31×20填入表格中即可；
（2）根据总费用=A费用+B费用列式即可；
（3）把A种文具的费用不大于B种文具的费用转化为不等式，求解得出x的取值范围，然后利用一次函数的增减性求最值即可.
22．（9分）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数函数图象的一部分如图所示.
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分；
（3）问甲、乙两人何时相距360米？
【答案】（1）解：甲行走的速度： （米/分）
（2）解：补画的图象如图所示（横轴上对应的时间为50）；
（3）解：由函数图象可知，当 ，
当
当
∵甲、乙两人相距360米，即 ，
解得 .
∴当甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米.
【解析】【分析】（1）观察函数图象，根据甲出发5分钟走了150米，可求出甲行走的速度.
（2）由图象求出当s=0时的横坐标为50，画出函数图象即可.
（3）利用待定系数法分别求出12.5≤t≤35和35＜t≤50的函数解析式，再根据甲乙相距360千米，即将s=360分别代入函数解析式，可求出对应的t的值.
23．（9分）如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动（点 不与点 ， 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．
（1）当 时， °， °， °；
（2）当 等于多少时 ≌ ，请说明理由．
（3）在点 的运动过程中，请直接写出当 是等腰三角形时 的度数．
【答案】（1）20；70；60
（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，
理由：在△ABD中，∠BAD＋∠BDA＝180° ∠B＝130°，
∵∠BDA＋∠EDC＝180° ∠ADE＝130°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，△ABD≌△DCE，
∴CD＝AB＝3；
（3）∵△ADE是等腰三角形，
∴①当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∵∠C＝50°，
∴点E与点C重合，不符合题意，舍去，
当AD＝ED时，∠AED＝ （180° ∠ADE）＝65°，
∴∠CDE＝∠AED ∠C＝15°，
∴∠BDA＝180° ∠ADE ∠CDE＝115°，
当AE＝DE时，∠AED＝180° 2∠ADE＝80°，
∴∠CDE＝∠AED ∠C＝30°，
∴∠BDA＝180° ∠ADE ∠CDE＝100°，
即当△ADE是等腰三角形时∠BDA的度数为115°或100°．
【解析】【解答】（1）∵∠BDA＝110°，∠ADE＝50°，
∴∠CDE＝180° ∠BDA ∠ADE＝180° 110° 50°＝20°，
∵∠C＝50°，
∴∠AED＝∠CDE＋∠C＝20°＋50°＝70°，
在△ADE中，∠DAE＝180° ∠ADE ∠AED＝180° 50° 70°＝60°，
故答案为：20，70，60；
【分析】（1）根据平角的定义求出∠CDE的度数，利用三角形的外角性质求出∠AED的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠DAE的度数，即可求解；
（2）先证出∠BAD＝∠CDE， 再根据∠B=∠C，AB=CD，利用ASA即可证出△ABD≌△DCE；
（3）分三种情况讨论： ①当AD＝AE时， ② 当AD＝ED时， ③当AE＝DE时， 分别根据等腰三角形的性质进行求解即可.
24．（9分）某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程．盒内钱数y（元）与存钱月数x（月）之间的函数关系如图所示.观察图像回答下列问题：
（1）盒内原来有多少元？2个月后盒内有多少元？
（2）该同学经过几个月才能存够200元？
（3）该同学至少存几个月存款才能超过140元？
【答案】（1）解：由图可得：当x=0时，y=40，当x=8时，y=200，则盒内原来有200元；
设y与x的关系式为y=kx+b，则：
解得 ，
所以y=20x+40，
当x=2时，y=80元，即2个月后盒内有80元
（2）解：当y=200时，x=8，即过8个月才能存够200元
（3）解：当y>140时，即20x+40>140，
解得x>5.
所以至少要5个月存款才能超过140元.
【解析】【分析】（1）由图可得当x=0时，y=40，当x=8时，y=200，再用待定系数解求得函数关系式，再当x=2时，求得y的值即可；（2）当y=200时，求得x的值即可；（3）当y>140时，求得x的值即可.
25．（9分） 和 是共顶点 的两个大小不一样的等边三角形。
（1） 如图 1， 若点 在同一直线上， 连接 。
①求证： ；
② 的度数为 ；
（2） 如图 2， 点 在同一直线上， 连接 为 中 边上的高，请写出线段 之间的数量关系， 并说明理由。
（3）如图， 在 Rt 中， ， 点 为三角形右侧外一点. 且 . 连接 ， 若 的面积为 ， 则线段 的长度为 。
【答案】（1）解：①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°-∠DCB＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
②60°
（2）解：BE＋BD＝BE＝AD，
理由：∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACD＝60°＋∠DCB＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA＝∠CED＝60°；
∵∠ADB＋∠CDA＝∠DCE＋∠CED，
∴∠ADB＝60°，
又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，
∴BE＝2DM，BE＋BD＝BE＝AD.
（3）
【解析】【解答】解：（1）②∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝60°；
故答案为：60°.
（3）解：如图，作BE⊥BD交DC的延长线于点E，连接AE，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BED＝90°-45°＝45°，
∴BD＝BE，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠DBC＝∠EBA，
在△DBC和△EBA中，
，
∴△DBC≌△EBA（SAS），
∴CD＝AE，∠BEA＝∠BDC＝45°，
∴∠AED＝∠BEA＋∠BED＝45°＋45°＝90°，
∴AE⊥DE，
∴S△ACD＝CD AE＝CD CD＝，
∴CD2＝，
∴CD＝（负值舍去）．
故答案为：．
【分析】（1）①利用“SAS”证出△ACD≌△BCE即可；
②利用全等三角形的性质可得∠ADC＝∠BEC＝120°，再利用角的运算和等量代换可得∠AEB＝60°；
（2）先利用“SAS”证出△ACD≌△BCE，再利用全等三角形的性质可得∠CDA＝∠CED＝60°，再利用角的运算和等量代换可得∠ADB＝60°，再证出△CDE为等边三角形，可得BE＝2DM，BE＋BD＝BE＝AD；
（3）如图，作BE⊥BD交DC的延长线于点E，连接AE，先利用“SAS”证出△DBC≌△EBA，可得CD＝AE，∠BEA＝∠BDC＝45°，再利用三角形的面积公式可得S△ACD＝CD AE＝CD CD＝，再求出CD的长即可.
26．（9分）已知一次函数 .
（1）判断点 是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）若一次函数 ，当 ，试比较函数值 与 的大小；
（3）函数 随 的增大而减小，且与 轴交于点 ，若点 到坐标原点的距离小于 ，点 ， 的坐标分别为 ， .求 面积的取值范围.
【答案】（1）解：将点 代入到函数解析式，
得， ，
即 ，
∴点 在该一次函数的图象上；
（2）解：两函数联立得，
∵一次函数 ， ，
∴该函数单调递减，
∵一次函数 ， ，
∴该函数单调递增，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， ；
（3）解：设A(0， ),
∵ 由A(0， )，B ，C 三点构成，
又∵函数 随 的增大而减小，
∴ ，
当 时， ，
解得， ，
∴ ，
∴A(0， )，
∵B ，C ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）直接将点（2,4）代入检验即可；
（2）由于两函数都经过点（2,4），可得两一次函数的交点为（2,4），由于一次函数 单调递减，而一次函数 ， ，该函数单调递增，利用图象可得当x＜2时，y2图象在y1图象上方，当x＞2时，y2图象在y1图象下方，当x=2时，y2图象在y1图象相交，据此即得结论；
（3） 由于函数 随 的增大而减小，可得m＜0，设A(0， ), 可得当 时， ，故 ，即得A(0， )，从而求出 ， 利用三角形面积公式得出，，可得 ，从而得出结论.
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