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苏科版九年级上册期末真题严选提优卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（ ）
A．大于3的点数 B．小于3的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数
2．如图，若⊙的半径为6，圆心到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
4．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
5．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 ，则可列出关于 的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
6．下列事件是不可能事件的是（ ）
A．太阳从东方升起 B．三条线段组成一个三角形
C．（为实数） D．购买一张大乐透，中奖500万
7．若、是方程的两个解，则代数式的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°， ，则 的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，把直角△ABC的斜边AC放在直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B1C2的位置，设AB＝ ，∠BAC＝30°，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为（ ）
A．（ + ）π B．（ + ）π
C．2π D． π
10．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝ .
12．已知方程的两根之和等于两根之积，则方程两根的平方和为 ．
13．如图，分别与相切于A，B两点，C是上异于A，B的点，连接．若，则的大小是 ．
14．已知圆锥的高h＝2cm，底面半径r＝2cm，则圆锥的全面积是 ．
15．如图，在中，点是的内心，若，则 ．
16．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
17．如图，在中，，为的中点，且到的距离为，则圆的半径为 ．
18．如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设 的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠ABD=45°，BC=6，AC=8．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足 ，求a的值。
21．（9分）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 件，并补全条形统计图 ；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
22．（9分）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．
（1）若的度数为，求的度数．
（2）求证：．
（3）连接，若，，求的长．
23．（9分）根据要求，解答下列问题.
（1）根据要求，解答下列问题.
①方程x2－2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2－3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2－4x＋3＝0的解为 ；
…………
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n.
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性.
24．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k－5＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
25．（9分）综合探究
如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE.
（1）求证：AB＝CE；
（2）求证：DC与⊙O相切；
（3）若⊙O半径r＝5，AB＝8，求AE的值.
26．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF.
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30°，求证：DG= DA；
（3）若∠A=30°，且图中阴影部分的面积等于2 ，求⊙O的半径的长.
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苏科版九年级上册期末真题严选提优卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（ ）
A．大于3的点数 B．小于3的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数
【答案】C
【解析】【解答】解：A、大于3的点数的概率==；
B、小于3的点数的概率==；
C、大于5的点数的概率=；
D、小于5的点数的概率==.
∴骰子停止后，出现可能性最小的是大于5的点数.
故答案为：C.
【分析】 掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后 ，朝上一面的数字有六种等可能的结果数，其中大于3的点数有三种情况，小于3的点数有两种情况，大于5的点数有一种情况，小于5的点数有四种情况，从而根据概率公式分别算出每一种情况的概率，再比大小即可.
2．如图，若⊙的半径为6，圆心到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：
d=r
∴直线与圆相切
故答案为：A
【分析】根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
3．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【解析】【解答】解：根据图形可知，直线DG是△ABC的BC边上的中垂线，点D在△ABC的AB边上的中垂线上，
∴点D是△ABC外心．
故答案为：A
【分析】根据三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是这个三角形的外心，结合图形判断即可求解。
4．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点在AC上，所以为半圆，
故答案为：C．
【分析】分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点在AC上且为AC的中点，从而求出∠ABC=90°，根据90°的圆周角所对的弦为直径即可判断.
5．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 ，则可列出关于 的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人，且2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为
∴关于 的方程为：
故答案为：C．
【分析】根据“ 从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人 ”即可列出一元二次方程。
6．下列事件是不可能事件的是（ ）
A．太阳从东方升起 B．三条线段组成一个三角形
C．（为实数） D．购买一张大乐透，中奖500万
【答案】C
【解析】【解答】解：
A：太阳从东方升起，描述正确，对于在地球上来说太阳东升西落是必然事件，不符合题意；
B：三条线段组成一个三角形，描述不完全正确，是可能事件，不符合题意；
C：（为实数），在实数范围内，一个数的绝对值小于0是不可能事件，符合题意；
D：购买一张大乐透，中奖500万，结合生活经验，是可能但极低概率事件，不符合题意。
故答案为：C
【分析】了解事件的可能性和概率的评估，结合生活经验和所学的数学知识判定不可能事件。
7．若、是方程的两个解，则代数式的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解析】【解答】解：
解得，
∴
==12
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法可得方程的解为x1=2，x2=3，然后代入计算即可.
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°， ，则 的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
∵AB是⊙O的直径，∠A=30°，
∴ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】连接OD，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠COD=2∠A=60°，由切线的性质可得∠ODC=90°，从而求出∠C=30°，可得，利用等角对等边可得.
9．如图，把直角△ABC的斜边AC放在直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B1C2的位置，设AB＝ ，∠BAC＝30°，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为（ ）
A．（ + ）π B．（ + ）π
C．2π D． π
【答案】A
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°，AC＝2；
由分析知：点A经过的路程是由两段弧长所构成的：
①A～A1段的弧长：L1＝ ，
②A1～A2段的弧长：L2＝ ，
∴点A所经过的路线为（ + ）π，
故答案为：A．
【分析】A点所经过的弧长有两段，①以C为圆心，CA长为半径，∠ACA1为圆心角的弧长；②以B1为圆心，AB长为半径，∠A1B1A2为圆心角的弧长．分别求出两段弧长，然后相加即可得到所求的结论．
10．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，
分别连接AO，OB，OC，
∴OA=OB=OC=2，
∵将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形 ，
∴∠1=∠2=30°，
又∵OC⊥AD与点D，
∴∠3=30°，
∴OD=DC=1，AD=，
∴一个小的等腰直角三角形的直角边为AE=-1，
∴阴影部分的面积为：8××（-1） =4×（3-2+1）=16-8.
故答案为：C.
【分析】“割圆术”将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形，阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，所以只需要求出一个等腰直角三角形的直角边即可解决问题.先根据十二等分求出一等分的圆心角，从而求出∠3的度数为30°，在直角三角形ODA中求解AE，最后根据三角形面积公式计算出整个阴影部分的面积即可.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝ .
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得m=2，
故答案为：2.
【分析】只含有一个未知数，未知数的次数最高是2，且二次项的系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，据此解答即可.
12．已知方程的两根之和等于两根之积，则方程两根的平方和为 ．
【答案】15
【解析】【解答】设方程的两根分别为，
，
方程的两根之和等于两根之积，
解得k=6，
，
故答案为：15.
【分析】设方程的两根分别为，根据两根之和等于两根之积，求得关于k的方程，解方程得到，再利用完全平方公式进行变形即可求解.
13．如图，分别与相切于A，B两点，C是上异于A，B的点，连接．若，则的大小是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：如图，连接，（即）分别在优弧与劣弧上，
，分别与相切于A，B两点，
，
∵，
，
．
故答案为：或．
【分析】连接，（即）分别在优弧与劣弧上，根据切线性质可得，再根据四边形内角和定理可得∠AOB=130°，再分情况讨论即可求出答案.
14．已知圆锥的高h＝2cm，底面半径r＝2cm，则圆锥的全面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵圆锥的高为2cm，底面半径为2cm，
∴圆锥的母线长为：＝4（cm），
底面周长是：2×2π＝4π（cm），
则侧面积是：×4π×4＝8π（cm2），
底面积是：π×22＝4π（cm2），
则全面积是：8π+4π＝12π（cm2）
故答案为：12πcm2．
【分析】本题考查圆锥的侧面积和底面积.先利用勾股定理求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可求出侧面积，利用圆锥的底面积公式可求出圆锥的底面积，进而求出答案.
15．如图，在中，点是的内心，若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 点O是的内心，
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA
=180°-×(∠BAC+∠BCA)，
=180°-×（180°-50°）
=115°，
故答案为：115°.
【分析】根据三角形内心的性质推出∠AOC=180°-×(∠BAC+∠BCA)，再根据三角形的内角和定理即可求解.
16．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
=3+(-1)
=2
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根的定义得，根据韦达定理得，代入即可求解.
17．如图，在中，，为的中点，且到的距离为，则圆的半径为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OA，OB，OC与AB交于点M，
∵C为AB的中点，
∴∠AOM=∠BOM，
∵OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴AM=AB=×8=4，
∵C到AB的距离为3，
∴CM=3，
设圆的半径是r，则OM=r-3，
∴，
∴，
∴，
∴圆的半径为.
故答案为：.
【分析】连接OC，OA，OB，OC与AB交于点M，由圆心角、弧、弦的关系，得到∠AOM=∠BOM，由等腰三角形的性质得到OC⊥AB，AM=AB=4，设圆的半径是r，则OM=r-3，由勾股定理得到，解之即可得到圆的半径.
18．如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设 的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO= ，
∴∠PIO= - （∠HOP+∠OPH）= - （ - ）= ，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO= ，
所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；
过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，
在优弧AO上取点P，连PA，PO，
∵∠AIO= ，
∴∠APO= - = ，
∴∠A O= ，而OA=4cm，
∴∠AO = ，
∴O′O= OA= ×4=2 ，
∴弧OA的长= （cm），
所以内心I所经过的路径长为 cm.
故答案为： cm..
【分析】如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH）= ，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO= ，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO上取点P，连PA，PO，可得∠APO= - = ，得∠A O= ， OA= ×4=2 ，然后利用弧长公式计算弧OA的长.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠ABD=45°，BC=6，AC=8．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图，连结OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∴OB=OD=5．
∵∠ABD=45°，
∴∠BOD=90°，
∴ ．
∴BD的长为 ．
（2）解：∵ ，
，
∴ ．
∴图中阴影部分的面积为
【解析】【分析】（1）连接OD，利用直径所对的圆周角是直角，可证△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；再证明△OBD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出BD的长。
（2）利用S阴影部分=S扇形BOD-S△BOD，再利用三角形和扇形的面积公式进行计算。
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足 ，求a的值。
【答案】（1）解：∵△=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a
∵方程有两个不相等的实数根
∴△>0，即4+4a>0，解得a>-1，
∴a的取值范围是a>-1
（2）解：由题意，得x1+x2=2，x1x2=-a
∵
∴a=3
【解析】【分析】（1）根据已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围。
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2，x1x2的值，再将等式转化为,再代入建立关于a的方程，解方程求出a的值。
21．（9分）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 件，并补全条形统计图 ；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【答案】（1）抽样调查；24；
（2）150°
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率．
【解析】【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查，
，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为（件），
条形统计图为：
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角；
故答案为抽样调查；6；150°；
【分析】（1）利用A班的作品数除以他所占的百分比得出调查的总件数，用总作品数减去其他班级的作品数求出B班的作品数从而补全统计图；
（2）用360度×C班所占的百分比，即可得出C班圆心角的度数；
（3）画出树状图展示所有等可能结果数，找出抽中一男一女的结果数，再根据概率公式求解即可。
22．（9分）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．
（1）若的度数为，求的度数．
（2）求证：．
（3）连接，若，，求的长．
【答案】（1）解：连接，
，
的度数为，
，
，
；
（2）证明：，
，，
又∵，
，
；
（3）解：连接，交于点，
，
弦是直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质可以求出的度数；
（2）利用平行线的性质可得，，然后根据，即可得到，解题即可；
（3）连接，交于点，利用勾股定理得到，再求出，即可解题．
23．（9分）根据要求，解答下列问题.
（1）根据要求，解答下列问题.
①方程x2－2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2－3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2－4x＋3＝0的解为 ；
…………
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n.
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性.
【答案】（1）x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3
（2）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋ ＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－ ＝± .
∴x1＝1，x2＝8.
【解析】【解答】解：（1） ①x2－2x＋1＝0 ，
∴（x-1）（x-1）=0，
∴x1=1，x2=1；
②x2－3x＋2＝0 ，
（x-1）（x-2）=0，
∴x1=1，x2=2；
③x2－4x＋3＝0 ，
（x-1）（x-3）=0，
∴x1＝1，x2＝3 .
故答案为：①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3.
（2） ①x2－9x＋8＝0 ，
（x-1）（x-8）=0，
∴x1＝1，x2＝8 ；
② 由题意得：（x-1）（x-n）=0，
∴x2－x-nx＋n＝0 ，
∴x2－(1＋n)x＋n＝0 ；
故答案为：①x1＝1，x2＝8；②x2－(1＋n)x＋n＝0
【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3.解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
24．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k－5＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根，
∴△＝22﹣4×1×（2k﹣5）＝﹣8k+24≥0，
解得：k≤3，
∴k的取值范围是k≤3.
（2）解：设方程的另一个根为m，
∴4+m=－2，
解得：m=－6，
∴2k﹣5＝4×（－6）
∴k＝－ ，
∴k的值为－ ，另一个根为－6．
（3）解：∵k为正整数，且k≤3，
∴k＝1或k＝2或k＝3，
当k＝1时，原方程为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
当k＝2时，原方程为x2+2x－1＝0，解得x1＝－1+ ，x2＝－1－ ，（舍去）
当k＝3时，原方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝－1，
∴k的值为1或3．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案；
（3）由（1）可得k≤3，根据k为正整数可得k=1，k=2或k=3，分别代入方程，求出方程的根，根据该方程的根都是整数即可得答案.
25．（9分）综合探究
如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE.
（1）求证：AB＝CE；
（2）求证：DC与⊙O相切；
（3）若⊙O半径r＝5，AB＝8，求AE的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC.
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，∴∠D=∠DEC，
∴CD=CE，∴AB=CE.
（2）证明：如图，连接CO并延长交AB于点H，
∵AC=BC，
∴，且CO是半径，
∴CH⊥AB，AH=BH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.又CH⊥AB.
∴CH⊥CD，且CO是半径，
∴DC与⊙O相切.
（3）解：如图，连接OA
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB=8.
∵AH=BH，AB=8，
∴AH=BH=4.
又AO=5，CH⊥AB，
.
∵AC=BC，∴∠CAB=∠B.
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠CED=∠B，
∵∠B=∠D，
∴ △CDE∽△CAB.
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，再根据圆内接四边形的性质得到∠DEC=∠B，等量代换得到∠D=∠DEC，根据等腰三角形的判定结合题意即可求解；
（2）连接CO并延长交AB于点H，根据垂径定理得到CH⊥AB，AH=BH，再根据平行四边形的性质得到AB∥CD，从而结合题意根据切线的判定即可求解；
（3）连接OA，先根据平行四边形的性质得到AD=BC，CD=AB=8，进而得到AH=BH=4，根据勾股定理即可求出OH和AC，从而得到，根据圆内接四边形的性质得到∠CED=∠B，再根据相似三角形的判定与性质（AA）证明 △CDE∽△CAB得到，代入数值求出DE，从而即可求解。
26．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF.
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30°，求证：DG= DA；
（3）若∠A=30°，且图中阴影部分的面积等于2 ，求⊙O的半径的长.
【答案】（1）解：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴ED= AD，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BEF=60°，
∵∠BEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=30°，
∵∠ADE+∠A=90°，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，
∴∠DGE=30°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
∴DG= DA；
（3）解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵阴影部分的面积
解得：r2=4，即r=2，
即⊙O的半径的长为2.
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠OEG=90°，即可得到结论；（2）根据含30°的直角三角形的性质证明即可；（3）由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.
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