中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版八年级上册期末临考抢分冲刺卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若点在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．三角形的面积是， 它的一条高是3a， 这条高对应的底边长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车的速度是 B．，两地的距离是
C．乙车出发4.5h时甲车到达地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，等边△BEF的顶点F在BC上，边EF交AD于点P，若BE＝10，BC＝14，则PE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，的中线交于点，若阴影部分的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（－0.5，－0.5）
C．（ ＋3， －3） D．（－2，－2）
10．在平面直角坐标系中，已知 ， ，若点 在第一象限，且 为等腰直角三角形，则正确所有点 的 值之和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知等腰三角形的一内角度数为，则它的底角的度数是 ．
12．如图，在△ABC中，AB=3cm，AC=5cm，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点则△ABP周长的最小值是 ．
13．直线平行于直线，且过点，则其解析式为 ．
14．已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），则关于x、y的二元一次方程组 的解是 .
15．在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
16．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
（1）求m和b的值；
（2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值；
18．（8分）某学校积极响应宁波创建全国文明典范城市的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
（1）求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21且为整数；
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
19．（8分）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点，过点作交于点.
（1）求证：是的平分线；
（2）若 ，若， 求的度数.
20．（8分）小明爸爸将容量为40升的小车油箱加满后，从家里出发去某地自驾游.行驶过程中，小车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为8升时，小车会自动显示加油提醒.设小车平均耗油量为0.08升/千米，请根据图象解答下列问题：
（1）求关于的函数关系式；
（2）当为何值时，小车开始显示加油提醒？
21．（8分）如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点F，交BC于点E，D为线段的中点，.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
（2）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角 形是等腰三角形？
23．（8分）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点.
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由.
24．（8分）如图
（1）问题：如图①，在四边形 中， ， 是 上一点， ， .求证： ；
（2）问题：如图②，在三角形 中， ， 是 上一点， ，且 .求 的值.
25．（8分）如图，等边三角形 的边长为4， 为边 上一点，过点 作 ，交 于点 ，在 右侧作等边三角形 ，记 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，
（1）若 ，试求线段 的长，并求m1、m2的值.
（2）若 ，用含 的代数式表示 ， ，并求 在∠C的平分线上时x的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版八年级上册期末临考抢分冲刺卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若点在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵若点在x轴上，
∴纵坐标为0，即m-3=0，解得m=3，
∴m+5=8.
所以坐标是（8，0）.
故答案为：A.
【分析】根据点坐标与坐标轴的关系判断纵坐标为0，即可求得m的值，并解决问题.
2．已知一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一次函数与图象的交点坐标是，
∴方程组的解是，
故答案为：D.
【分析】先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再直接求出方程组的解即可.
3．三角形的面积是， 它的一条高是3a， 这条高对应的底边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ∵三角形的面积是， 它的一条高是3a，
∴这条高对应的底边长为2（）÷ 3a=.
故答案为：A.
【分析】三角形的面积=底×高÷2，据此列式计算即可.
4．如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：当AB为等腰△ABC的腰时，分别以点B和A为圆心，AB的长为半径，画圆，与格点的交点即为所求；如图：
根据题意可得，点C在格点上，且点C在圆上，故符合题意的点C个数为8个；
当AB为等腰△ABC的底边时，分别以点B和A为圆心，AB的长为半径，画圆，连接两个圆的交点，与格点无交点；如图：
根据题意可得，点C在格点上，故不存在符合题意的点C；
综上，符合题意的点C个数为8个；
故答案为：B.
【分析】根据题意，分类讨论：当AB为等腰△ABC的腰时，根据题意的点C的个数为8个，当AB为等腰△ABC的底边时，不存在符合题意的点C，即可得出答案.
5．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车的速度是 B．，两地的距离是
C．乙车出发4.5h时甲车到达地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
【答案】C
【解析】【解答】解：点中可知，乙1小时行驶了60，可求乙的速度60
点中可知，1.5后，甲追上乙，速度差为，可求甲的速度100
点中可知，甲到地，且甲乙相差80，可求出，
点中可知，休息30分钟，可求，，
点中可知，甲乙再次相遇，
A，甲车的速度是120，故选项A错误；
B，已知甲3.5后到达B地，且甲速度为100，所以A、B两地为350，故选项B错误；
C，甲车3.5到达B地，乙车比甲车早出发1，所以是4.5，故选项C正确；
D，从上中和可知，甲出发1.5和与乙车相遇，故选项B错误.
【分析】由两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，可求乙的速度60，甲的速度100，结合图象信息，逐项判断即可．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，等边△BEF的顶点F在BC上，边EF交AD于点P，若BE＝10，BC＝14，则PE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BD＝BC＝7，
∴AD⊥BC，
∵△BEF为等边三角形，
∴∠BFE＝60°，BF＝BE＝EF＝10，
∴DF＝BF﹣BD＝10﹣7＝3，
在Rt△PDF中，∵∠PFD＝60°，
∴∠DPF＝30°，
∴PF＝2DF＝6，
∴PE＝EF﹣PF＝10﹣6＝4．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，再根据等边三角形得到∠BFE＝60°，BF＝BE＝EF＝10，即可得到DF＝3，然后利用30度角的直角三角形的性质得到PF＝2DF＝6，即可解题．
7．如图，的中线交于点，若阴影部分的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵的中线交于点，
∴
∴
∴
∴的面积是：2×7=14.
故答案为：B.
【分析】由等底同高三角形面积相等可得三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，则S△BOD=S△COD，S△COE=S△AOE，S△AOF=S△BOF，再根据阴影部分面积为7，进而即可求解.
8．图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵是的外角，，，
∴，
故答案为：C
【分析】利用三角形外角的性质求出即可。
9．如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（－0.5，－0.5）
C．（ ＋3， －3） D．（－2，－2）
【答案】B
【解析】【解答】解：作 关于直线 对称点 ，
，
∵A（0，1），
的坐标为（1，0）；
连接 并延长，交直线 于 点，此时 ，取得最大值，
设直线 的解析式为 ，
把B（4，1），C（1，0）代入得
，解得 ，
直线 的方程为 ，
解 ，得 ；
点的坐标为 ， ；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质作出A作 关于直线 对称点 ，把PA转化为PC，由三角形两边之差小于第三边可得当B、P、A在一条直线上时， PB－PA取最大值，然后利用待定系数法求出直线BC的函数式，联立y=x，即可求出P点坐标.
10．在平面直角坐标系中，已知 ， ，若点 在第一象限，且 为等腰直角三角形，则正确所有点 的 值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】如图，点C的位置共有三处，
坐标分别为（1，4），（5，4），（3，2），
∴ 值之和是4+4+2=10.
故答案为：A．
【分析】分别从当∠ABC=90°，AB=BC时，当∠BAC=90°，AB=AC时，与当∠ACB=90°，AC=BC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知等腰三角形的一内角度数为，则它的底角的度数是 ．
【答案】40°或70°
【解析】【解答】解： 已知等腰三角形的一内角度数为 ，求底角度数，分两种情况讨论：
①当40°内角是等腰三角形的顶角时，底角=（180°-40°）÷2=70°；
②当40°内角是等腰三角形的底角时，底角=40°；
故答案为：40°或70°。
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，根据三角形的内角和180°，当40°内角为等腰三角形的顶角或底角，即可解答。
12．如图，在△ABC中，AB=3cm，AC=5cm，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点则△ABP周长的最小值是 ．
【答案】8cm
【解析】【解答】解：如图所示：
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于点D，
∴当P和D重合时，AP＋BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是5＋3＝8．
故答案为：8．
【分析】设AC交EF于点D，当P和D重合时，AP＋BP的值最小，最小值等于AC的长，再求出△ABP周长的最小值是5＋3＝8即可．
13．直线平行于直线，且过点，则其解析式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： 由直线平行于直线 ，可知k=3，
所以直线y=kx+b=3x+b，
而过点(1，-2)，代入y=3x+b，即-2=3×1+b，解得b=-5，
所以直线的解析式为y=3x-5，
故填：y=3x-5.
【分析】由两直线平行，斜率相等可知k=3，且过点（1，-2），代入可解得b的值，进而写出直线的解析式.
14．已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），则关于x、y的二元一次方程组 的解是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），
∴则关于x、y的二元一次方程组 的解是
.
故答案为：.
【分析】函数图象的交点坐标即是相对应方程组的解，据此即得.
15．在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，先标注字母，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴S△ABE＝S△ACE，
在△BDF和△CDF中，
BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴S△BDF＝S△CDF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△ABC＝BC AD＝×4×6＝12，
∴S阴影＝S△ABC＝6．
故答案为：6.
【分析】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．
16．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】4.8
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点P'，再过点P'作P'Q'⊥AC于点Q'，
∵AD平分∠BAC，CE⊥AB，P'Q'⊥AC，
∴P'E=P'Q'，
∵CP'+P'Q'=CP'+P'E=CE，由垂线段最短可得CE最短，
∴当P点运动到P'位置，Q点运动到Q'点位置的时候，PC+PQ最小值等于CE，
∵S△ABC=×AC×BC=×AB×CE，
∴6×8=10×CE，
∴CE=4.8，
即PC+PQ的最小值等于4.8.
故答案为：4.8.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交AD于点P'，再过点P'作P'Q'⊥AC于点Q'，由角平分线上的点到角两边的距离相等得P'E=P'Q'，进而根据线段的和差及等量代换得CP'+P'Q'=CP'+P'E=CE，由垂线段最短可得CE最短，故当P点运动到P'位置，Q点运动到Q'点位置的时候，PC+PQ最小值等于CE，从而由等面积法建立方程可求出CE的长，此题得解了.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
（1）求m和b的值；
（2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值；
【答案】（1）解：∵点C（ 2，m）在直线y＝ x＋2上，
∴m＝ （ 2）＋2＝2＋2＝4，
∴点C（ 2，4），
∵函数y＝x＋b的图象过点C（ 2，4），
∴4＝×（ 2）＋b，解得b＝，
即m的值是4，b的值是；
（2）（2）∵函数y＝ x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（2，0），点B（0，2），
∵函数y＝x＋的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（ 14，0），
∴AD＝16，
由题意可得，DE＝2t，
当点E在线段AD上时，AE＝16 2t，
由（1）知点C的坐标为（ 2，4），
∵△ACE的面积为12，
∴，
解得，t＝5，
当点E在线段DA的延长线上时，AE=2t-16，
∵△ACE的面积为12，
∴，
解得，t＝11，
即当△ACE的面积为12时，t的值是5或11.
【解析】【分析】（1）将点C（ 2，m）代入y＝ x＋2，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再将点C的坐标代入y＝x＋b，可以得到b的值；
（2）分别令求y＝ x＋2中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得点A、点B的坐标，令y＝x＋中的y=0算出对应的x的值可得点D的坐标，然后分当点E在线段AD上时与当点E在线段DA的延长线上时两种情况，用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据△ACE的面积为12，建立方程即可得到t的值.
18．（8分）某学校积极响应宁波创建全国文明典范城市的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
（1）求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21且为整数；
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）解：由题意得y=90x+70(21-x)
∴y=20x+1470（0≤x≤21，且为整数）
（2）解：∵21-x∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵x是整数，
∴当且仅当x=11时，ymin=1690（元）
∴当A种购买11棵，B种购买10棵，最省的费用为1690元.
【解析】【分析】（1） 设购买A种树苗x棵，则购进B种树苗（21-x）棵，根据单价乘以数量=总价及购进x棵A种树苗的费用+购进（21-x）棵B种树苗的费用=购买两种树苗所需费用y元，可建立出y关于x的函数解析式；
（2）由“ 购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量 ”列出不等式，求出x的取值范围，进而根据（1）所得函数解析式的性质即可解决问题.
19．（8分）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点，过点作交于点.
（1）求证：是的平分线；
（2）若 ，若， 求的度数.
【答案】（1）证明：是的平分线，
，
，
，
，
是的平分线.
（2）解：，
，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE，根据平行线的性质可得∠DEB=∠CBE=∠ABE，∠ADF=∠ABE，∠EDF=∠DEB，推出∠ADF=∠EDF，据此证明；
（2）根据平行线的性质可得∠AFD=∠AEB，∠AED=∠ACB=81°，则∠AEB=∠AED+∠BEC=109°，据此解答.
20．（8分）小明爸爸将容量为40升的小车油箱加满后，从家里出发去某地自驾游.行驶过程中，小车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为8升时，小车会自动显示加油提醒.设小车平均耗油量为0.08升/千米，请根据图象解答下列问题：
（1）求关于的函数关系式；
（2）当为何值时，小车开始显示加油提醒？
【答案】（1）解：设关于的函数关系式：，
由题意得：，
解得：，
关于的函数关系式为：
（2）解：，
当时，，
解得：，
所以当为2.6时，小车开始显示加油提醒.
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法可求出s关于t的函数关系式；
（2）先根据耗油量算出油箱中还剩下8升油的时候所行驶的路程为400，进而将s=400代入所求的函数解析式即可算出答案.
21．（8分）如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点F，交BC于点E，D为线段的中点，.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：由作法知，MN是AB的垂直平分线
如图，连接AE
∴AE=BE
∵BE=AC
∴AE=AC
∴△AEC是等腰三角形
∵D是CE的中点
∴AD⊥EC
即AD⊥BC
（2）解：由（1）知，BE=AE=AC
∴∠BAE=∠B，∠AEC=∠ACE
∵∠AEC是△ABE的一个外角
∴∠AEC=∠ACE=2∠B
∴∠EAC=180゜－∠AEC－∠ACE=180゜－4∠B
∵∠BAC=72゜
∴∠EAC=∠BAC －∠BAE=72゜－∠B
∴180゜－4∠B=72゜－∠B
∴∠B=36゜
【解析】【分析】（1） 由作法知，MN是AB的垂直平分线 ，连接AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及已知可得AE=AC，进而根据等腰三角形的三线合一即可得出结论；
（2）根据等边对等角得 ∠BAE=∠B，∠AEC=∠ACE ，根据三角形外角相等得 ∠AEC=∠ACE=2∠B ，进而根据三角形内角和定理建立方程求出∠B的度数.
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
（2）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角 形是等腰三角形？
【答案】（1）证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，
∴∠OBC＝∠ABD.
在△OBC和△ABD中，
∴△OBC≌△ABD(SAS)．
（2）解：∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°.
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰．
∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，
∴OC＝1＋2＝3，
∴当点C的坐标为(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠OBC＝∠ABD ，再利用SAS证明三角形全等即可；
（2）先求出 ∠EAC＝120°，∠OEA＝30° ，再求出 AC＝AE＝2， 最后求解即可。
23．（8分）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点.
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由.
【答案】（1）解：证明：连接AD，如图①所示.
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°.
∵点D为BC的中点，
∴AD= BC=BD，∠FAD=45°.
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF；
（2）解：BE=AF，证明如下：
连接AD，如图②所示.
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中，
，
∴△EDB≌△FDA（ASA），
∴BE=AF
【解析】【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF.
24．（8分）如图
（1）问题：如图①，在四边形 中， ， 是 上一点， ， .求证： ；
（2）问题：如图②，在三角形 中， ， 是 上一点， ，且 .求 的值.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过 点做 于点 ，
在△ 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）先利用HL证明△ABP≌△PCD，根据全等三角形的对应角相等得 ，进而即可得到结论；
（2）过D点作DF⊥AC 于点F ，根据同角的余角相等得出∠DPF=∠AEP，进而利用AAS证明△APE≌△FDP，根据全等三角形的对应边相等得出AP=PF，AP=DF， 然后判断出△DPC是等腰直角三角形，进而即可求解.
25．（8分）如图，等边三角形 的边长为4， 为边 上一点，过点 作 ，交 于点 ，在 右侧作等边三角形 ，记 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，
（1）若 ，试求线段 的长，并求m1、m2的值.
（2）若 ，用含 的代数式表示 ， ，并求 在∠C的平分线上时x的值.
【答案】（1）解：如下图，过点 作 ，则 ，延长DP交AC于点G.
∵DE⊥BC，∠EDP=60°，
∴∠PDC=30°，
∵∠C=60°，
∴∠DGC=180°-∠PDC-∠C=90°，
∴ ，
∵ ，∠B=60°，∠BDE=90°，
∴ ，
∵ ，∠PDC=30°，PF⊥BC，
∴ ，
∵ ，
且∠C=60°，PG⊥AC，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由(1)得当点P在三角形ABC内部时， ，
①当 时，点P在三角形ABC内部，同(1)如下图，
同(1)可证∠DGC=90°，
∴ ，
∵ ，∠B=60°，∠BDE=90°，
∴ ，
∵ ，∠PDC=30°，PF⊥BC，
∴ ，
∵DC=BC-BD=4-x，
且∠C=60°，PG⊥AC，
∴ ，
∴ ，
②当 时，点P在三角形ABC一边上，
同(1)可知 ， ，
③当 时，点P在三角形ABC外部，
如下图，过点 做 ，则 ， DP与AC交于点G.
同(1)可证∠DGC=90°，
∴ ，
∵BD=x，∠B=60°，∠BDE=90°，
∴ ，
∵ ，∠PDC=30°，PF⊥BC，
∴ ，
∵DC=BC-BD=4-x，
且∠C=60°，PG⊥AC，
∴ ，
∴ ，
综上所述， ，
当 在 的平分线上时，易知 在三角形内部 ，有 ，
即 ，
解得 x=1；
【解析】【分析】(1)过点 作 ，则 ，延长DP交AC于点G，由题意可得：△BED、△DFP、DGC、均为30°的直角三角形，由 可得 ，由等边三角形 可得 ，故 由于 ，可得 故 ；
（2）由(1)得当点P在三角形ABC内部时， ；
①当 时，点P在三角形ABC内部， 此时，同（1）中的思路；②当 时，点P在三角形ABC一边上，同(1)可知 ， ，
③当 时，点P在三角形ABC外部时，过点 做 ，则 ， DP与AC交于点G. 由题意可得：△BED、△DFP、DGC、均为30°的直角三角形可得 ，由等边三角形 可得 ，故 ，DC=BC-BD=4-x可得 ，故 ；当 在 的平分线上时，此时 在三角形内部 ，有 列出方程 求解即可；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
