【决战期末·50道综合题专练】人教版数学八年级上册期末卷（原卷版 解析版）

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【决战期末·50道综合题专练】人教版数学八年级上册期末卷
1．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°
2．如图，在平面直角坐标系中，、、.
（1）在图中作出关于y轴对称的图形；
（2）写出，的坐标；
（3）求出的面积；
3．如图1，，是直线上两点，点在点左侧，过点的直线与过点的直线交于点.直线交直线于点，满足点在线段上，.
（1）求证：；
（2）如图2，点在直线，之间，平分，平分，点，，在同一直线上，且，求的度数；
（3）在（2）的条件下，若点是直线上一点，直线交直线于点，点在点左侧，请直接写出和的数量关系.（题中所有角都是大于且小于的角）
4．今年5月以来，渭南多地松绑政策，点亮地摊经济，一夜市摊贩购买了，两种布偶玩具，在夜市贩卖，已知每件布偶比布偶便宜2元，购买一定数量的布偶所用资金为3000元，购买相同数量的布偶所用资金为3300．
（1）求，两种布偶的单价分别是多少元？
（2）该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降促销．要使所有布偶销售完后盈利1800元，求的值．
5．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小：520　 　420（填写＞、＜或＝）．
（2）比较233与322的大小（写出比较的具体过程）．
（3）计算42021×0.252020﹣82021×0.1252020
6．受疫情影响，口罩需求量猛增，某商场用4000元购进一批口罩后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种口罩，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了0.2元．
（1）求该商场购进的第二批口罩的单价；
（2）商场销售这种口罩时，每只定价为3元，最后2000只按7.5折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，并交于点H．
（1）若DC＝2，则AD＝　 　；
（2）∠AHB的度数．
8．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
9．
（1）解方程：；
（2）已知≠0，求代数式 （a﹣2b）的值．
10．如图，∠AOB=30°，按下列步骤作图：
①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；
②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；
③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形完成下列问题．
（1）求证：OF垂直平分CG．
（2）求证：OCG为等边三角形
11．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．
（1）求线段DP的最小值；
（2）当DP最小时，求CDP的面积．
12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是　 　；
（2）如图2，求证AD＝CD．
13．
（1）解方程：
（2）已知等腰三角形的两边长为5cm和4cm，求它的周长．
14．已知2m＝3，2n＝5．
（1）求2m+n的值；
（2）求22m-n的值．
15．以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘，得第一步
解得第二步
检验：当时，第三步
所以是原方程的根第四步
（1）小明的解法从第　 　步开始出现错误；
（2）写出正确的解方程的过程．
16．已知：，
（1）化简分式A；
（2）若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围；
（3）当x取什么整数时，分式A的值为整数．
17．
（1）化简：
（2）设S＝ ，a为非零常数，对于每一个有意义的x值，都有一个S的值对应，可得下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 3 5 6 7 …
S … 2 2 …
仔细观察上表，能直接得出方程 的解为　 　.
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是边BC上的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E.
（1）求证：PD＝PE；
（2）若AB＝6cm，∠BAC＝30°，请直接写出PD+PE＝　 　cm.
19．如图在 中， ，将三角板中30度角的顶点D放在AB边上移动，使这个30度角的两边分别与 的边AC，BC相交于点E，F，且使DE，始终与AB垂直
（1）求证： 是等边三角形
（2）若移动点D，使EF//AB时，求AD的长
20．如图，在 中， 于D
（1）若 ，求 的度数
（2）若点E在AB上，EF//AC交AD的延长线于点F
求证：AE=FE
21．在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　 　．
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　 　．
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．
22．一项工程，若由甲、乙两公司合作18天可以完成，共需付施工费144000元，若甲、乙两公司单独完成此项工程，甲公司所用时间是乙公司的1.5倍，已知甲公司每天的施工费比乙公司每天的施工费少2000元．
（1）求甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若由一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
23．按要求完成小题：
（1）计算： +
（2）先化简，再求值：（ ）÷ ，其中x=3．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．
（1）求A1、A2的坐标；
（2）证明：O为线段A1A2的中点．
25．按要求完成下列题目．
（1）求： + + +…+ 的值．
对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成 的形式，而 = ﹣ ，这样就把 一项（分）裂成了两项．
试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出 + + +…+ 的值．
（2）若 = +
①求：A、B的值：
②求： + +…+ 的值．
26．如图所示的象棋棋盘上，若帅位于点（1，0）上，相位于点（3，0）上.
（1）请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系；
（2）炮所在点的坐标是　 　，马与帅的距离是　 　；
（3）若要把炮移动到与它关于y轴对称的点的位置，则移动后炮的位置是　 　（用坐标表示）.
27．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在中，，，，，，则长为　 　；
（2）如图2，在中，，，则的高与的比是　 　；
（3）如图3，在中，（），点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，.若，求的值.
28．2021年12月，我市某区千亩“三月红”柑橘挂满枝头，采摘人员的需求也随之增多，为了尽快抢收成熟柑橘，某脱贫攻坚办公室紧急组织了一支志愿者服务队.某村种植合作社共需要采摘柑橘240吨，村民采摘40吨后，志愿者服务队加入一起采摘.已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的1.5倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天.
（1）求村民每天采摘柑橘多少吨？
（2）已知合作社每天需要支出给村民劳务费2000元，志愿者服务队是义务劳动，不需支出劳务费，只需每天支出饮食费500元，问志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
29．已知，机器人搬运原料，机器人比机器人每小时多搬运20kg，且机器人搬运1000kg所用时间与机器人搬运800kg所用时间相等.
（1）、机器人每小时各搬运原料多少kg？
（2）现有原料1100kg 需要在8小时内搬运完成，、机器人同时搬运3小时后，余下的原料由机器人在不超时的情况下独立搬运完成，那么机器人每小时至少要多搬运原料多少kg？
30．已知：如图， 中， ， ．
（1）用直尺和圆规作出 的垂直平分线，分别交 ， 于点 ， （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想 与 之间有何数量关系，并证明你的猜想．
31．今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进 型和 型两种分类垃圾桶，购买 型垃圾桶花费了2500元，购买 型垃圾桶花费了2000元，且购买 型垃圾桶数量是购买 型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个 型垃圾桶比购买一个 型垃圾桶多花30元．
（1）求购买一个 型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？
（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进 型和 型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整， 型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%， 型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买 型和 型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个 型垃圾桶？
32．两个不相等的实数 ， 满足 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 和 的值．
33．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合作完成这项工程所需的天数．
34．如图， 中， ， ，垂足为 ， ， ，垂足分别是 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，写出图中长度是 的所有线段．
35．化简下列各式
（1） ；
（2） .
36．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：ABDE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
37．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）图②中间空白部分的面积是　 　（填（a＋b）2、（a－b）2或ab）．
（2）观察图②，请写出代数式（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式　 　．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若x＋y＝4，xy＝3，求x－y的值．
38．利用乘法公式解决下列问题：
（1）若，，则　 　；
（2）已知，若满足，求值．
39．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小M值；PC+PF的最小值为　 　（直接写出结果）．
40．在四边形中，，，，E为中点，连接，交于点F．
（1）当时，______，_____；
（2）当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数；
（3）猜想之间的数量关系，并说明理由；
（4）若，则_______．
41．如图
（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ， ，求证： .
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： .
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： .
42．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校.已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍.
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）
43．已知：如图 ，与点 不重合的两点 、 分别在 、 上， 平分 ， 所在的直线与 的平分线所在的直线相交于点 .
（1）当点 、 分别在射线 、 上，且 时，求 的度数；
（2）当点 、 分别在射线 、 上运动时， 的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出 的范围.
44．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB>CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE． (保留作图痕迹，不写作法)
（2）在(1)的条件下，求证：AE⊥DE．
45．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，，，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
46．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）（模型呈现）如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到　 　，　 　.我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（2）（模型应用）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点；
②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
47．图①是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）观察图②，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式 、 、 之间的等量关系是　 　；
（2）有许多等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了　 　；
（3）请你用图③提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解： .要求：在图④的框中画出图形并在下方写出分解的因式.
48．已知实数x满足x4-1= x3- x
（1）试问x2能等于5吗？答：　 　（填“能”或“不能”）
（2）求x2+ 的值.
49．如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．
（1）求证：BD=AE；
（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．
50．图书管理员小张要骑车从学校到教育局，一出校门，遇到了王老师，王老师说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，小张回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速）
（1）如果学校到教育局的路程是15 km，无风时小张骑自行车的速度是20 km/h，他逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的 倍，求风速是多少？
（2）如果设从学校到教育局的路程为s千米，无风时骑车速度为v千米/时，风速为a千米/时（v＞a），那么有风往返一趟的时间　 　无风往返一趟的时间（填“＞”、“＜”或“＝”），试说明理由．
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【决战期末·50道综合题专练】人教版数学八年级上册期末卷
1．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°
【答案】（1）解：结论：AD∥BC．
理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°，
∠ADE+∠BCF=180°，
∴∠ADF=∠BCF，
∴AD∥BC
（2）解：结论：AB与EF的位置关系是：AB∥EF．
理由：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC．
又∵∠ABC=2∠E，
即∠E= ∠ABC，
∴∠E=∠ABE．
∴AB∥EF
（3）解：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠OAB= DAB，∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠E+∠F=90°
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADF=∠BCF， 再根据平行线的判定方法进行求解即可；
（2）根据角平分线先求出 ∠ABE= ∠ABC，再求出∠E=∠ABE ，即可作答；
（3）先求出 ∠DAB+∠CBA=180°， 再求出 ∠EOF=∠AOB=90°， 即可证明。
2．如图，在平面直角坐标系中，、、.
（1）在图中作出关于y轴对称的图形；
（2）写出，的坐标；
（3）求出的面积；
【答案】（1）解：如图，即为所求.
（2）解：，
（3）解：
【解析】【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据点A′、C′的位置可得相应的坐标；
（3）直接根据三角形的面积公式进行计算.
3．如图1，，是直线上两点，点在点左侧，过点的直线与过点的直线交于点.直线交直线于点，满足点在线段上，.
（1）求证：；
（2）如图2，点在直线，之间，平分，平分，点，，在同一直线上，且，求的度数；
（3）在（2）的条件下，若点是直线上一点，直线交直线于点，点在点左侧，请直接写出和的数量关系.（题中所有角都是大于且小于的角）
【答案】（1）证明：，，
，
；
（2）解：过点作，如图，
则，
由（1）知：，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得；
即的度数为；
（3）解：点在点左侧，和的数量关系是或或
【解析】【解答】解：（3）在（2）的条件下，若点是直线上一点，直线交直线于点，点在点左侧，和的数量关系是或或，理由如下：
在（2）的条件下，，
若点在的延长线上，
，
，
，
若点在上，
，
，
，
；
若点在的延长线上，
，
，
，
，，
.
综上所述，点在点左侧，和的数量关系是或或.
【分析】（1）根据已知条件可知∠PGB=∠PHD-∠P，根据外角的性质可得∠PGB+∠P=∠PEB，则∠PEB=∠PHD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过点Q作QK∥AB，则QK∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠GQK=∠EGF，∠HQK=∠CHQ，则∠CQH=∠EGF+∠CHQ，根据角平分线的概念可得∠PGB=2∠GQK，∠QHD=2∠PHD，由外角的性质可得∠PGB+∠P=∠PHD，进而推出∠QHD=4∠GQK+2∠P，结合已知条件可得2∠QHD=240°-4∠QHC，然后利用邻补角的性质进行计算；
（3）若点M在PG的延长线上，由平行线的性质可得∠HEN=∠PHD=80°，然后结合内角和定理进行计算；若点M在PG上，由平行线的性质可得∠HEN=∠PHD=80°，由外角的性质可得∠MNB=∠PHM+∠HEN，据此计算；若点M在GP的延长线上，由平行线的性质可得∠HEN+∠PHD=180°，求出∠HEN的度数，然后结合内角和定理进行计算.
4．今年5月以来，渭南多地松绑政策，点亮地摊经济，一夜市摊贩购买了，两种布偶玩具，在夜市贩卖，已知每件布偶比布偶便宜2元，购买一定数量的布偶所用资金为3000元，购买相同数量的布偶所用资金为3300．
（1）求，两种布偶的单价分别是多少元？
（2）该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降促销．要使所有布偶销售完后盈利1800元，求的值．
【答案】（1）解：设种布偶的单价是元，则种布偶的单价是元，
由题意得，解得，经检验，是原分式方程的解．
．
答：种布偶的单价是20元，种布偶的单价是22元．
（2）解：购买布偶的件数购买布偶的件数．
由题意得，整理得，解得故所求的值为20．
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：每件A布偶的单价=每件B布偶的单价-2；3000÷每件A布偶的单价=3300÷每件B布偶的单价；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
（2）先求出购买布偶A、B的件数，再根据要使所有布偶销售完后盈利1800元，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，即可求解.
5．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小：520　 　420（填写＞、＜或＝）．
（2）比较233与322的大小（写出比较的具体过程）．
（3）计算42021×0.252020﹣82021×0.1252020
【答案】（1）＞
（2）解：∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，
又∵811＜911，
∴233＜322；
（3）解：42021×0.252020﹣82021×0.1252020
＝
＝4×12020﹣8×12020
＝4﹣8
＝﹣4．
【解析】【解答】解：(1)∵5＞4，
∴520＞420，
故答案是：＞；
【分析】（1）根据所给的材料的方法进行求解即可；
（2）把指数转为一样，再比较底数即可；
（3）利用积的乘方的法则进行计算即可。
6．受疫情影响，口罩需求量猛增，某商场用4000元购进一批口罩后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种口罩，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了0.2元．
（1）求该商场购进的第二批口罩的单价；
（2）商场销售这种口罩时，每只定价为3元，最后2000只按7.5折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
【答案】（1）解：设该商场购进的第二批口罩的单价为x元/只，则第一批口罩的单价为元/只，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该商场购进的第二批口罩的单价为2.2元；
（2）解：共获利：
（，
答：在这两笔生意中商场共获得3700元．
【解析】【分析】（1）设该商场购进的第二批口罩的单价为x元/只，则第一批口罩的单价为元/只，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据题意列出算式计算即可。
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，并交于点H．
（1）若DC＝2，则AD＝　 　；
（2）∠AHB的度数．
【答案】（1）4
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
则∠ABC=30°，
∵AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴∠DAB=∠CAB=30°，∠EBA=∠ABC=15°，
∴∠AHB=180°-∠DAB-∠EBA=180°-30°-15°=135°．
【解析】【解答】解：(1)∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，DC=2，
∴AD=2CD=2×2=4，
故答案为：4；
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠CAD=∠BAC=30°，根据含30度角的直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的定义分别求出∠DAB、∠EBA，根据三角形内角和定理计算，即可得出答案。
8．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【解析】【解答】解：（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠A=∠ACD=45°，∠CPE = ∠CEB = 67.5°，即可即可得出结论；
（2）在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=CE，即可得出结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，证明∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，即可得出结论。
9．
（1）解方程：；
（2）已知≠0，求代数式 （a﹣2b）的值．
【答案】（1）解：∵，
∴2x=3x-9，
∴x=9，
经检验，x=9是原方程的解．
（2）解：∵≠0，
设a=2x，b=3x，
原式=
=
=
=
【解析】【分析】（1）利用分式方程的解法求解并检验即可；
（2）先设a=2x，b=3x，再利用分式的混合运算化简，最后将a、b的值代入计算即可。
10．如图，∠AOB=30°，按下列步骤作图：
①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；
②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；
③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形完成下列问题．
（1）求证：OF垂直平分CG．
（2）求证：OCG为等边三角形
【答案】（1）证明：由题意知，
在和中
∵
∴
∴
在和中
∵
∴
∴
∴垂直平分
∴垂直平分得证．
（2）证明：由（1）中知
∴
∴
又∵
∴为等边三角形．
【解析】【分析】（1）利用三角形全等证出，得出，证出，得出，即可得出结论；
（2）由（1）中知，得出，由，即可得出结论。
11．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．
（1）求线段DP的最小值；
（2）当DP最小时，求CDP的面积．
【答案】（1）解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
当DP⊥BC时，DP=AD，
∵AD=3，
∴DP的最小值是3；
（2）解：∵∠A=90°，
∴BD==5，
当DP最小时，DP=3，DP⊥BC，
则∠DPB=∠DPC=90°，
∴PB==4，
∴CP=BC-PB=12-4=8，
∴△CDP的面积=CP×DP=×8×3=12，
即当DP最小时，△CDP的面积为12．
【解析】【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，线段DP的值最小，根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）由勾股定理得出BD的值，当DP最小时，DP=3，DP⊥BC，则∠DPB=∠DPC=90°，利用勾股定理得出PB的值，得出CP的值，再利用三角形面积公式求解即可。
12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是　 　；
（2）如图2，求证AD＝CD．
【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）证明：作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴AD＝CD．
【解析】【解答】解：(1)∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题；
（2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，只要证明△DEA≌△DFC（AAS）即可。
13．
（1）解方程：
（2）已知等腰三角形的两边长为5cm和4cm，求它的周长．
【答案】（1）解：，
方程两边同时乘以：得，
，
检验：时，，
∴是原方程的解；
（2）解：等腰三角形的两边长分别为4cm和5cm，
①当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，4cm，
，满足三角形的三边关系，
∴三角形的周长是（cm）；
②当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，5cm，
，满足三角形的三边关系．
∴三角形的周长是（cm）；
综上，三角形的周长为14cm或13cm．
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
14．已知2m＝3，2n＝5．
（1）求2m+n的值；
（2）求22m-n的值．
【答案】（1）解：∵2m＝3，2n＝5，
∴
（2）解：∵2m＝3，2n＝5，
∴．
【解析】【分析】）（1）根据同底数幂的乘法公式的逆运算可得；
（2）根据同底数幂的除法公式的逆运算可得。
15．以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘，得第一步
解得第二步
检验：当时，第三步
所以是原方程的根第四步
（1）小明的解法从第　 　步开始出现错误；
（2）写出正确的解方程的过程．
【答案】（1）一
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．
【解析】【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
【分析】（1）利用解分式方程的步骤及注意事项逐步判断即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
16．已知：，
（1）化简分式A；
（2）若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围；
（3）当x取什么整数时，分式A的值为整数．
【答案】（1）解：
；
（2）解：由题意：
，
，
．
∵解是非负数，
∴
∴．
∵即，
∴，
解得，
∴且；
（3）解：
．
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0；
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0．
【解析】【分析】（1）利用分式的基本性质化简求值即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）先化简分式，再将x的值代入求解即可。
17．
（1）化简：
（2）设S＝ ，a为非零常数，对于每一个有意义的x值，都有一个S的值对应，可得下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 3 5 6 7 …
S … 2 2 …
仔细观察上表，能直接得出方程 的解为　 　.
【答案】（1）解：原式
；
（2）x＝7或x＝﹣1
【解析】【解答】解： 将 、 代入 ，得： ，
则分式方程为 ，
，
则 或 ，
解得 或 ，
经检验 或 均为分式方程的解，
故答案为： 或 .
【分析】（1）先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将除法专版为乘法，约分即可得出答案；
（2）先从表格中选取利于计算的x、S的值代入 ，求出a的值，从而还原分式方程，解之可得.
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是边BC上的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E.
（1）求证：PD＝PE；
（2）若AB＝6cm，∠BAC＝30°，请直接写出PD+PE＝　 　cm.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵点P是边BC上的中点，
∴PB＝PC，且∠B＝∠C，∠PDB＝∠PEC＝90°，
∴△PDB≌△PEC(AAS)
∴PD＝PE；
（2）3
【解析】【解答】解：（2）过点C作 于H，连接AP，
， ，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】（1）根据等腰三角形性质可知 ，再由“AAS”可证△PDB≌△PEC，可得PD＝PE；
（2）由含30°直角三角形的性质可得CH＝3cm，由S△ABC＝S△ABP+S△ACP，可求解.
19．如图在 中， ，将三角板中30度角的顶点D放在AB边上移动，使这个30度角的两边分别与 的边AC，BC相交于点E，F，且使DE，始终与AB垂直
（1）求证： 是等边三角形
（2）若移动点D，使EF//AB时，求AD的长
【答案】（1）证明：∵ED⊥AB，∠EDF=30°，
∴∠FDB=60°，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°，
∴∠DFB=60°，
∴△BDF是等边三角形；
（2）解：设AD=x，CF=y，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2，
∵CF=y，
∴BF=1-y，
又△BDF是等边三角形，
∴BD=BF=1-y，
∴x=2-（1-y）=1+y，
∴y=x-1，
当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，
∴CF= EF，EF= DF，
∵DF=BF=1-y，
∴4y=1-y，
∴y= ，
∴x=y+1= ，
即AD= .
【解析】【分析】（1）由已知可得∠FDB=60°，∠B=60°，从而可得到△BDF是等边三角；
（2）设AD=x，CF=y，求出y与x之间的关系式，当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，CF= EF，EF= DF，代入计算即可求得AD的长.
20．如图，在 中， 于D
（1）若 ，求 的度数
（2）若点E在AB上，EF//AC交AD的延长线于点F
求证：AE=FE
【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=∠ADB=90°，
∵ ，
设∠C=2x，∠BAC=5x，
则∠B=2x，
则2x+2x+5x=180，
解得：x=20，
∴∠BAC=100°，
∴∠BAD=50°；
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据 设∠C=2x，∠BAC=5x，根据三角形的内角和求出x，即可得到结果；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD根据平行线的性质得到∠F=∠CAD，等量代换得到∠BAD=∠F，根据等角对等边得到结论.
21．在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　 　．
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　 　．
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．
【答案】（1）15°
（2）20°
（3）解：∠BAD=2∠EDC（或∠EDC= ∠BAD）；理由如下：
∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE
【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠EDC=15°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=40°，
∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠EDC=20°；
故答案为：15°；20°．
【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE=30°，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=75°，所以∠DEC=15°；（2）同理，易证∠ADE=70°，所以∠DEC=20°；（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
进而得出∠BAD=2∠CDE．
22．一项工程，若由甲、乙两公司合作18天可以完成，共需付施工费144000元，若甲、乙两公司单独完成此项工程，甲公司所用时间是乙公司的1.5倍，已知甲公司每天的施工费比乙公司每天的施工费少2000元．
（1）求甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若由一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
【答案】（1）解：设乙公司单独完成此项工程需x天，则甲公司单独完成需要1.5x天．
由题意，得 = ．
解得：x=30经检验x=30是原方程的解．
则1.5x=45．
答：甲公司单独完成需要45天，乙公司单独完成需要30天
（2）解：设甲公司每天的施工费用为y元，则乙公司每天的施工费用为（y+2000）元．
由题意，得18（y+y+2000）=144000．
解得y=3000．则y+2000=5000．
甲公司施工费为：3000×45=135000
乙公司施工费为：5000×30=150000
答：甲公司施工费用较少
【解析】【分析】（1）设乙公司单独完成此项工程需x天，则甲公司单独完成需要1.5x天，然后根据两队合作18天完成列出关于x的方程求解即可；（2）设甲公司每天的施工费用为y元，则乙公司每天的施工费用为（y+2000）元，依据两队18天的施工费之和为144000元列出关于y的方程，从而可求得两队每天的施工费，然后再求得两队单独施工的费用，于是可得到问题的答案．
23．按要求完成小题：
（1）计算： +
（2）先化简，再求值：（ ）÷ ，其中x=3．
【答案】（1）解：原式= +
= +
=
（2）解：原式=[ ﹣ ]
=
= ，
当x=3时，原式=
【解析】【分析】（1）首先把分式进行化简，然后进行通分，利用同分母的分式的加法即可求解；（2）首先把括号内的分式通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后代入数值计算即可．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．
（1）求A1、A2的坐标；
（2）证明：O为线段A1A2的中点．
【答案】（1）解：∵点A（2x+y﹣3，x﹣2y）与A1（x+3，y﹣4）关于x轴对称，
∴ ，
解得 ，
所以，A（8，3），
所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）
（2）证明：设经过O、A1的直线解析式为y=kx，
易得：yOA1=﹣ x，
又∵A2（﹣8，3），
∴A2在直线OA1上，
∴A1、O、A2在同一直线上，
由勾股定理知OA1=OA2= = ，
∴O为线段A1A2的中点
【解析】【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出x、y的值，从而得到点A的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”写出点A1的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”写出点A2的坐标；（2）设经过OA1的直线解析式为y=kx，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式，再求出点A2在直线上，然后利用勾股定理列式求出OA1=OA2，最后根据线段中点的定义证明即可．
25．按要求完成下列题目．
（1）求： + + +…+ 的值．
对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成 的形式，而 = ﹣ ，这样就把 一项（分）裂成了两项．
试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出 + + +…+ 的值．
（2）若 = +
①求：A、B的值：
②求： + +…+ 的值．
【答案】（1）解： + + +…+
=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
=1﹣
=
（2）解：①∵ +
= = ，
∴ ，
解得 ．
∴A和B的值分别是 和﹣ ；
②∵ = ﹣
= （ ﹣ ）﹣ （ ﹣ ）
∴原式= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
= ﹣
= ﹣
=
【解析】【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解；（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解；②根据 = ﹣ 把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．
26．如图所示的象棋棋盘上，若帅位于点（1，0）上，相位于点（3，0）上.
（1）请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系；
（2）炮所在点的坐标是　 　，马与帅的距离是　 　；
（3）若要把炮移动到与它关于y轴对称的点的位置，则移动后炮的位置是　 　（用坐标表示）.
【答案】（1）解：根据帅位于点（1，0）上，相位于点（3，0），坐标系如图：
（2）（-2，2）；2
（3）（2，2）
【解析】【解答】解：（2）炮位于点 （-2，2），马与帅的距离是2，
故答案为：（-2，2）；2；
（3）炮移动到关于y轴对称的位置应该为马的右侧一个单位，则移动后炮的位置是（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】（1）将帅表示的点向左移动一个单位长度，所得的点为原点建立直角坐标系；
（2）根据炮所在的位置可得相应的坐标，根据马与帅的位置可得它们之间的距离；
（3）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答.
27．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在中，，，，，，则长为　 　；
（2）如图2，在中，，，则的高与的比是　 　；
（3）如图3，在中，（），点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，.若，求的值.
【答案】（1）
（2）1：2
（3）解：∵，，，，
∴，
又，
∴，
即.
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴；
（2）解：根据题意得：，
∴，
∴
【分析】（1）利用等面积法可得AC×BC=AB×CD，代入计算可得CD的长；
（2）利用等面积法可得AE×BC=AB×CD，进而将等积式根据比例的性质转化为比例式即可得出答案；
（3）由 及三角形面积的计算公式即可得出答案.
28．2021年12月，我市某区千亩“三月红”柑橘挂满枝头，采摘人员的需求也随之增多，为了尽快抢收成熟柑橘，某脱贫攻坚办公室紧急组织了一支志愿者服务队.某村种植合作社共需要采摘柑橘240吨，村民采摘40吨后，志愿者服务队加入一起采摘.已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的1.5倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天.
（1）求村民每天采摘柑橘多少吨？
（2）已知合作社每天需要支出给村民劳务费2000元，志愿者服务队是义务劳动，不需支出劳务费，只需每天支出饮食费500元，问志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
【答案】（1）解：设村民每天可收吨柑橘，志愿服务队每天可收吨，
依题意得：，
解得：，
检验，当时，，所以是原分式方程的解.
则，
答：村民每天可收8吨柑橘.
（2）解：原计划全村需天才能完成，则需花费元.
志愿队工作了天，全村工作了15天，所以实际花费：
元.
共节省了元.
答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省25000元.
【解析】【分析】（1）设村民每天采摘柑橘x吨，则志愿服务队每天采摘柑橘1.5x吨，由题意：从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出原计划村民需要的天数和志愿队工作的天数，再求出实际花费的费用，即可解决问题．
29．已知，机器人搬运原料，机器人比机器人每小时多搬运20kg，且机器人搬运1000kg所用时间与机器人搬运800kg所用时间相等.
（1）、机器人每小时各搬运原料多少kg？
（2）现有原料1100kg 需要在8小时内搬运完成，、机器人同时搬运3小时后，余下的原料由机器人在不超时的情况下独立搬运完成，那么机器人每小时至少要多搬运原料多少kg？
【答案】（1）解：设B机器人每小时搬运原料，则A机器人每小时搬运原料.
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
∴，
答：A、B机器人每小时分另搬运原料100kg和80kg；
（2）解：设A机器人每小时多搬运原料，
根据题意，得：，
解不等式得：
答：A机器人每小时至少要多搬运原料12kg.
【解析】【分析】（1） 设B机器人每小时搬运原料xkg，则A机器人每小时搬运原料（x+20）kg，根据工作总量除以工作效率等于工作时间，由“ A机器人搬运1000kg所用时间与B机器人搬运800kg所用时间相等”建立方程，求解即可；
（2） 设A机器人每小时多搬运原料ykg，根据A机器人5小时的工作量不小于总工作量-A、B两机器人合做3小时的工作量的差，列不等式，求解即可.
30．已知：如图， 中， ， ．
（1）用直尺和圆规作出 的垂直平分线，分别交 ， 于点 ， （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想 与 之间有何数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图： .
理由如下：
连结 ，
， ，
，
又 垂直平分 ，
，
，
，
又 ，
，
即 .
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB的垂直平分线，分别交AC和AB于点M和点N即可；
（2）根据30°角所对的直角边为斜边的一半，即可得到AM和AM之间的关系。
31．今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进 型和 型两种分类垃圾桶，购买 型垃圾桶花费了2500元，购买 型垃圾桶花费了2000元，且购买 型垃圾桶数量是购买 型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个 型垃圾桶比购买一个 型垃圾桶多花30元．
（1）求购买一个 型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？
（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进 型和 型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整， 型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%， 型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买 型和 型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个 型垃圾桶？
【答案】（1）解：设购买一个 型垃圾桶需 元，则购买一个 型垃圾桶需 元．
由题意得： ．
解得： ．
经检验 是原分式方程的解．
∴ ．
答：购买一个 型垃圾桶、 型垃圾桶分别需要50元和80元．
（2）解：设此次购买 个 型垃圾桶，则购进 型垃圾桶 个，
由题意得： ．
解得 ．
∵ 是整数，
∴ 最大为30．
答：此次最多可购买30个 型垃圾桶．
【解析】【分析】根据 购买 A 型垃圾桶数量是购买 B 型垃圾桶数量的2倍 ，列出等量关系，求出 购买一个 A 型垃圾桶、 B 型垃圾桶分别需要50元和80元 ；再根据 此次购买 A 型和 B 型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元 ，列出不等式，进行求解即可。
32．两个不相等的实数 ， 满足 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 和 的值．
【答案】（1）解： ，
∴
∴
（2）解： ，
，
由 得
【解析】【分析】（1）将m+n=-4，两侧同事平方，结合已知条件可得40+2mn=16，求出mn即可；（2）将已知两个式子相减得到m+n=6，再将两个式子相加得到k=20-3（m+n），将所求m+n的值代入即可。
33．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合作完成这项工程所需的天数．
【答案】（1）解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，
根据题意得：
解之得：x=60，
经检验：x=60是原方程的解．
所以乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．
（2）解：设两队合做完成这项工程所需的天数为y天，
根据题意得：( )y=1，
解之得：y=24，
所以两队合做完成这项工程所需的天数为24天．
【解析】【分析】本题主要考查分式方程的应用. 等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，根据题意可得出：甲队的总工作量+乙队的总工作量=1，由此可列出方程求解．
34．如图， 中， ， ，垂足为 ， ， ，垂足分别是 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，写出图中长度是 的所有线段．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴△ABC是等腰三角形，D为BC的中点．
根据等腰三角形的性质可知S△ABD=S△ACD，即 ．
∵AB=AC，
∴DE=DF．
（2）解：∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴BC=AB=AC，∠B=∠C=∠BAC=60°，
∴BD=CD= ．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BDE=∠CDEF=30°
∴EB= ，CF= ．
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的对称性得到△ABD的面积和△ACD的面积相等，再根据面积公式求出DE=DF．(2)根据题意得出△ABC是等边三角形，即可得出Rt△DEB和Rt△DFC是30°特殊直角三角形，再根据性质求出线段关系即可．
35．化简下列各式
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式＝ + ﹣3 +xy
＝﹣ ﹣xy；
（2）解：
原式
.
【解析】【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式以及多项式与单项式的除法法则分别去括号，然后合并同类项即可；
（2）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分化简即可.
36．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：ABDE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
【答案】（1）证明：在ABC和EDC中，
，
∴ABC≌EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，AB=DE=4
∴ABDE．
（2）解：当0≤t≤时，AP＝3tcm；
当＜t≤时，BP＝（3t﹣4）cm，
则AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm；
综上所述，线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm；
（3）解：由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在ACP和ECQ中，
，
∴ACP≌ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤时，3t＝4﹣t，
解得：t＝1；
当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明ABC≌EDC，再利用全等三角形的性质可得∠A＝∠E，AB=DE=4，再利用平行线的判定即可得到AB//DE；
（2）分两种情况，再利用线段的和差及表达式求解即可；
（3）先利用“ASA”证明ACP≌ECQ，再利用全等三角形的性质分两种情况列出方程求解即可。
37．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）图②中间空白部分的面积是　 　（填（a＋b）2、（a－b）2或ab）．
（2）观察图②，请写出代数式（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式　 　．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若x＋y＝4，xy＝3，求x－y的值．
【答案】（1）（a－b）2
（2）（a－b）2＝（a＋b）2－4ab
（3）解：由（2）题关系式可得，
，
∴x－y的值是．
【解析】【解答】解：（1）由题意得：图②中间空白部分的面积是（a－b）2；
故答案为：（a－b）2；
（2）由题意得：（a－b）2＝（a＋b）2－4ab；
故答案为：（a－b）2＝（a＋b）2－4ab．
【分析】（1）图②中间空白部分是边长为a-b的正方形，利用正方形的面积公式计算即可；
（2）图②中间空白部分的面积=大正方形的面积-4个矩形的面积，据此即可求解；
（3） 由（2）题关系式可得，然后代入即得即可.
38．利用乘法公式解决下列问题：
（1）若，，则　 　；
（2）已知，若满足，求值．
【答案】（1）144
（2）解：设，，
由进行变形得，
，
∴
．
【解析】【解答】解：（1）由进行变形得，，
∴=64+80=144；
故答案为：144；
【分析】（1）利用完全平方公式可得，再将数据代入计算即可；
（2）设，，即可得到，再将数据代入计算即可。
39．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小M值；PC+PF的最小值为　 　（直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵AD=DC，
∴点D在线段AC的垂直平分线上；
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上；
根据两点确定一条直线，
∴BD是线段AC的垂直平分线；
∴BD垂直平分AC；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，
∴∠ABD=30°，∠EAD=30°，
∵AD＝DC＝4，
∴BD=8，ED=2，
∴BE=BD-ED=8-2=6；
（3）6
【解析】【解答】（3）∵BD垂直平分AC，
∴点C关于直线BD的对称点为点A，
连接AF，交BD于点P，
则点P即为所求；
∵△ABC是等边三角形，BF=CF，
∴AF⊥BC，
∴AF=BE=6，
故答案为：6．
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，得出BA=BC，从而得出点B在线段AC的垂直平分线上，由此得出结论；
（2）根据△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，得出∠ABD=30°，∠EAD=30°，AD＝DC＝4，得出BD=8，ED=2，再代入计算即可；
（3）连接AF，交BD于点P，则点P即为所求；根据△ABC是等边三角形，BF=CF，得出AF⊥BC，从而得出结论。
40．在四边形中，，，，E为中点，连接，交于点F．
（1）当时，______，_____；
（2）当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数；
（3）猜想之间的数量关系，并说明理由；
（4）若，则_______．
【答案】（1）40°，20°；
（2）结论：不变，证明：如图，连接 ，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵E为中点，
∴，
∵，
∴．
∴；
（3）如图，作，交于点G
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
（4）．
【解析】【解答】（1）∵，，
∴，
如图，连接
∵，，
∴是等边三角形
∴，，
又∵E为中点，
∴
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（4）∵，
∴设，，
∵由（3）得：，
∴，
∵，E为中点，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据等边对等角求出的度数，然后求出，然后利用三角形外角的性质的度数；
（2）连接，证明是等边三角形，然后求出的度数，再利用解题；
（3）如图，作，交于点G，证明是等边三角形，即可得到，即可得到之间的数量关系；
（4）设，，结合（3）得出，然后再根据30度角的直角三角形性质得出，解题即可．
41．如图
（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ， ，求证： .
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： .
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： .
【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵ ， ，
∴ ： =AB：AC；
（2）解：如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，
∴ ，
∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；
（3）解：如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，
∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，
∴∠D=∠AEM，
在△ADC与△AEM中，
，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，
∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，
∴BE：CD=AB：AC；
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，进而根据等高三角形的面积之比等于底之比即可得出 ： =AB：AC；
（2）在AB延长线上取点E，使得AE=AC，根据SAS可证△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出 CD=DE且∠ADC=∠ADE， 根据全等三角形的面积相等及等高三角形的面积之比等于底之比得出 ，再等量代换得出 ，即可求解；
（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据SAS可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即 ，即可得出答案.
42．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校.已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍.
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）
【答案】（1）解：设小红步行的平均速度是 米/分，则骑自行车的平均速度是 米/分.
根据题意，得
，
方程两边同乘最简公分母 ，得
，
解得 .
检验：把 代入最简公分母 ，得
，
因此， 是原方程的根.
答：小红步行的平均速度是70米/分.
（2）解：由（1），得 ， ，
所以小红骑自行车的速度是210米/分，
于是，小红回家取道具共花时间：
（分），
由于 ，
因此，小红能在联欢会开始前赶到学校.
【解析】【分析】（1）设小红步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分，由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可；
（2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论.
43．已知：如图 ，与点 不重合的两点 、 分别在 、 上， 平分 ， 所在的直线与 的平分线所在的直线相交于点 .
（1）当点 、 分别在射线 、 上，且 时，求 的度数；
（2）当点 、 分别在射线 、 上运动时， 的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出 的范围.
【答案】（1）解：∵ ，即 ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ .
（2）解： 的大小不会发生变化，理由如下：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
.
【解析】【分析】（1）根据三角形一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出 ，由角平分线的定义，求出 ∠ABE及∠BAC的度数，最后由三角形外角的性质得 ，代入即可求出答案；
（2）由三角形的外角性质，得 ，再根据角平分线的定义即可求出答案.
44．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB>CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE． (保留作图痕迹，不写作法)
（2）在(1)的条件下，求证：AE⊥DE．
【答案】（1）解：如图，线段DE，AE即为所求．
（2）证明：在DA上截取DH＝CD，连接HE，
由（1）知∠HDE＝∠CDE，
在HDE与CDE中，
，
∴HDE≌CDE（SAS），
∴∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC，
∴∠AHE＝180°－∠DHE＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AHE＝∠B＝90°，
∵AD＝AH＋DH＝AB＋CD，DH＝CD，
∴AH＝AB，
在RtAEG和RtAEB中，
，
∴RtAEH≌RtAEB（HL），
∴∠AEH＝∠AEB，
∵∠DEG＋∠AEG＋∠DEC＋∠AEB＝180°，
∴2(∠DEG＋∠AEG)＝180°，
∴∠DEG＋∠AEG＝90°，
即∠AED＝90°，
∴AE⊥DE．
【解析】【分析】(1)、根据尺规作图步骤作角平分线。（2）、 在DA上截取DH＝CD，连接HE，证明HDE≌CDE（SAS），得出∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC，再得出AH＝AB ，根据HL证明 RtAEH≌RtAEB ，最后证明 AE⊥DE 。
45．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，，，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵
∴，
同理，，
又∵，
∴；
（2）解：如图，
由（1）得，；
同理，，，
∴
∵DE、BE分别平分和，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：如图：
由（2）得，，；
∵，，
∴，，
∴，；
∴，；
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等即可求解；
（2）由（1）得，；同理，，，由角平分线的定义得出，再代入计算即可；
（3）由由（2）得，，，得出，代入求解即可。
46．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）（模型呈现）如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到　 　，　 　.我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（2）（模型应用）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点；
②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
【答案】（1）DE；AE
（2）解：①如图，作于，于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，，，，
∴（），
∴，
同理，
∴，
∵，，
∴，
在与中，，，，
∴（），
∴，
∴点是的中点；
②如图，过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，
∴∠M=90°，
∵∠OBA=90°，
∴∠ABM+∠OBN=90°，
∵∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠OBN=∠BAM，
在△OBN与△BAM中， ，
∴△OBN≌△BAM（AAS），
∴AM=BN，ON=BM，
设AM=x，则BN=AM=x，
∴ON= x+2，
∴MB+NB=x+x+2=MN=4，
∴x=1，x+2=3，
∴点B的坐标（3，1）；
如图
同理可得，点B的坐标（-1，3），
综上所述，点B的坐标为，
【解析】【解答】解：（1）AC=DE，BC=AE；
故答案为：，
【分析】（1）利用全等三角形的性质求解即可；
（2）①作于，于，利用“AAS”证明可得，再利用“AAS”证明可得，从而可得点是的中点；
②过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，利用“AAS”证明△OBN≌△BAM可得AM=BN，ON=BM，设AM=x，则BN=AM=x，再结合MB+NB=x+x+2=MN=4，求出x的值，即可得到点B的坐标。
47．图①是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）观察图②，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式 、 、 之间的等量关系是　 　；
（2）有许多等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了　 　；
（3）请你用图③提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解： .要求：在图④的框中画出图形并在下方写出分解的因式.
【答案】（1）
（2）
（3）先拼接长方形，然后利用面积之间的关系得到 .
.
【解析】【解答】解：（1）大正方形由小正方形和4个长方形组成，大正方形的面积为（m+n）2，小正方形的面积为（m-n）2，长方形的面积为mn
∴ ；
故答案为： ；
（2）大长方形的面积=两个边长为m的正方形的面积+边长为n的正方形的面积+3个边长为m、n的长方形的面积，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）由等面积法大正方形面积=小正方形面积+4个长方形面积，分别表示出来就可以找到关系；
（2）大长方形面积为里面所有小长方形面积之和，找到表示出来即可；
（3）先在图上去画一个边长为m的小正方形，接着画4个长宽分别为m、n的长方形，再画3个边长为n的小正方形，即可找到关系.
48．已知实数x满足x4-1= x3- x
（1）试问x2能等于5吗？答：　 　（填“能”或“不能”）
（2）求x2+ 的值.
【答案】（1）不能
（2）解：当x=±1时，
当x= 时， ，
当x= 时， ，
【解析】【解答】解：（1）x4-1= x3- x，
（x2+1）（x2-1）= x（x2-1），
（x2-1）（x2- x+1）=0，
∴x2-1=0或
∴x=±1或 ，
∴x2≠5，
故答案为：不能；
【分析】（1）先利用分解因式解方程，可作判断；（2）根据完全平方公式将 代入可得结论.
49．如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．
（1）求证：BD=AE；
（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵△ABC、△DCE均是等边三角形，
∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△DCB和△ACE中，∵AC=BC，∠BCD =∠ACE， DC=DE，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴BD=AE
（2）解：△CMN为等边三角形，理由如下：由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN，
∵AC=BC，AM=BN，
在△ACM和△BCN中，∵AC=BC，∠CAM=∠CBN，AM=BN，∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
∵∠ACB=60°即∠BCN+∠ACN=60°，∴∠ACM+∠ACN=60°即∠MCN=60°，∴△CMN为等边三角形
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得 AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°， 根据等量加等量和相等可得 ∠BCD=∠ACE， 用边角边可证得 △DCB≌△ACE，根据全等三角形的性质可得BD=AE；
（2） 由（1）可知：△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得 ∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN， 用边角边可证 △ACM≌△BCN ；由全等三角形的性质可得 CM=CN，∠ACM=∠BCN， 结合题意可证得 ∠MCN=60°， 根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得 △CMN为等边三角形 。
50．图书管理员小张要骑车从学校到教育局，一出校门，遇到了王老师，王老师说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，小张回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速）
（1）如果学校到教育局的路程是15 km，无风时小张骑自行车的速度是20 km/h，他逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的 倍，求风速是多少？
（2）如果设从学校到教育局的路程为s千米，无风时骑车速度为v千米/时，风速为a千米/时（v＞a），那么有风往返一趟的时间　 　无风往返一趟的时间（填“＞”、“＜”或“＝”），试说明理由．
【答案】（1）解：设当天的风速为x km/h．根据题意，得
＝ ．
解这个方程，得x＝5．
经检验，x＝5是所列方程的解．
答：当天的风速为5 km/h
（2）解：＞，理由如下： 有风往返一趟的时间为（ ）小时，无风往返一趟的时间为 小时． ∵ - ＝ ， 又∵v>a， ∴ >0，即 ＞ ． ∴有风往返一趟的时间＞无风往返一趟的时间
【解析】【分析】 （1）由题意可得相等关系： 逆风去教育局所用时间 =× 顺风回学校所用时间 ，根据相等关系列方程即可求解；
（2） 由题意可得： 有风往返一趟的时间=顺风所需时间+逆风所需时间； 无风往返一趟的时间=往返的路程无风时的速度；再求差即可判断大小。
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