吉林省白城市实验高级中学2025届高三上学期1月期末数学（含解析）

白城市实验高级中学2024-2025学年度高三上学期期末考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知正方体 的棱长为 为棱 的中点， 为侧面 的中心，过点 的平面 垂直于 ，则平面 截正方体 所得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角的终边绕原点逆时针旋转 后，得到角的终边，角的终边过点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在披测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频串相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（ ）
A. B. C. D.
4. 设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在侧棱长为2的正三棱锥 中，点 为线段 上一点，且 ，则以 为球心， 为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
7. 如图，在直三棱柱 中， ， ， 为线段 的中点， 为线段 （包括端点）上一点，则 的面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，，对，，使得成立，则正数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点作斜率为的直线与轴相交于点，与交于两点，且，则( )
A. B.
C. 以为直径的圆与抛物线的准线有公共点 D. 以为直径的圆与拋物线的准线没有公共点
10. 已知 中，内角 ， ， 满足 ，则下列不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 若甲、乙两组数据的平均数分别为 ， ，则 >
B. 若甲、乙两组数据的方差分别为 ， ，则 >
C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
12. 将正四棱锥 和正四棱锥 的底面重合组成八面体 ，则（ ）
A. 平面
B.
C. 的体积为
D. 二面角 的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋2b＝________.
14. 若函数在x=2处取极值，则a=______， 的极大值为______.
15. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为 ，则山的高度BC为__________千米.
16. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 是 和 的等比中项.则 的取值范围为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数 ， ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： 在 上单调递增．
18. 在 中， ，且 边上的中线 长为1.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的长.
19. 如图，在三棱柱 中，四边形 为菱形，D，E分别为BC，AC的中点，且 ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
20. 记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，证明： 是等差数列.
21. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于49 000元的概率．
22. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点.
(1)设平面 与直线 相交于点 ，求证： ；
(2)若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的大小.
参考答案
1. 【答案】D
【解析】如图所示，
取 的中点 ，分别连接 ，
在正方形 中，因为 分别为 的中点，可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
又因为 分别为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可证： ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
即平面 截正方体 的截面为 ，
由正方体 的棱长为 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
所以截面的面积为 .
故选：D.
2. 【答案】D
【解析】由，得，化简可得，
解得，， ，
所以．
故选：D．
3. 【答案】C
【解析】由题意：，
故，即，
故340km/h.
故选：C.
4. 【答案】A
【解析】连接交于点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方形边长为，所以，
因为，所以为的中点，
设，在直角中，有，故，
所以，
则，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，
因此的最小值为.
故选：A.
5. 【答案】C
【解析】取 中点 ，连接 、 ，则有 ， ，
又 ， 、 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ，又 ，
， 、 平面 ，故 平面 ，
又 、 平面 ，故 ， ，
由正三棱锥的性质可得 、 、 两两垂直，
故 ，即以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为：
，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为 .
故选：C.

6. 【答案】A
【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面 垂直的直线上，
又因为底面边长为 ，
所以底面正三角形的内切圆的半径为 ，
又因为球的半径 ，即 ，
所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，
如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，

所以 ，
又因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ，
又由题意可知， 平面 ，所以 ，
所以
所以 ，
所以 .
故选：A.
7. 【答案】B
【解析】如图，连接 ，过 作 ，垂足为 ．
在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，异面直线间垂线段最短
故 ．
过 作 于点 ，连接 ，易得 平面 ，
则 ，又 ，所以 ．
因为 ， ， ， ，
所以 ，则 ．
当 与 重合时， ， ；
当 与 重合时，由 ， ， ,得 平面 ，
所以 ，所以 ， ．
所以 的面积的取值范围为 ，
故选：B.
8. 【答案】C
【解析】，
当时， ，，
即值域为.
又，则为增函数，
当时， 值域为.
要使对，，使得 成立，
则，
，解得 ，所以实数的取值范围是.
故选：C.
9. 【答案】AD
【解析】设直线方程为，即，则，
由，消去整理得，
则，,
由可得，，
则，整理得，
所以，解得，.
又因为直线过，所以，即，
验证 ，与抛物线有两个交点.故A正确，B错误；
可知：准线方程为，直线的方程：，
由弦长公式得，
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到准线的距离为，
所以以为直径的圆与抛物线的准线没有公共点，C错误，D正确．
故选：AD．
10. 【答案】ABC
【解析】对于选项A，不妨取 ，满足 ，
但 不成立，故A错误；
对于选项B，由 ，得 ，
即 ，
构造函数 ，则 ，
故 在 上单调递减 .
因为 ，所以 ，故 ，
可得 .
因为 在 上单调递增，所以 ，即 .
因为 在 上单调递减，所以 ，即 .
可得 ，故B错误；
对于选项C，因为 ， ，即 ，
可得 ，故C错误；
对于选项D，因为 ， 即 ，
由正弦定理 ，
可得 ，
即 ，故D正确 .
故选：ABC.
11. 【答案】ACD
【解析】由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他5次考试都高于乙同学，知 > ，A正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故 > ，所以B错误，D正确；极差为数据样本的最大值与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以C正确.
12. 【答案】AC
【解析】令正方形 的中心为 ，连接 ，

对于A，由正四棱锥 ，得 平面 ，同理 平面 ，
则 共线，因此 平面 ，A正确；
对于B，连接 ，显然 是 的中点， ， ，
， 不是 的中点，因此四边形 不是平行四边形， 不平行，B错误；
对于C， 的体积 ，C正确；
对于D，取 中点 ，连接 ，则 ， 是二面角 的平面角，
而 ，则 ，D错误.
故选：AC.
13. 【答案】8
【解析】由logab＋logba＝，且logab·logba＝1，
所以logab，logba是方程x2－x＋1＝0的两根，
解得logba＝2或logba＝，
又a＞b＞1，所以logba＝2，
即a＝b2，又ab＝ba，
从而b2b＝ba，则a＝2b，且a＝b2，
则b＝2，a＝4，所以a＋2b＝8.
14. 【答案】-10
【解析】，由题可知，解得a=-10，
所以，
当 时，得2当 时，得0所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极大值为．
故答案为：-10，．
15. 【答案】2
【解析】由题意得，
所以，且，
在△ABD中，由正弦定理得，即，
，解得，
所以，
故答案为2.
16. 【答案】
【解析】因为 是 和 的等比中项，所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，故 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
即
，
又 ，所以 ，即 .
所以 ，解得 ， ，
由 ，
令 ，
令 ，得 ，得 ，即 在区间 上单调递增；
令 ，得 ，得 ，即 在区间 上单调递减.
因为 ， ， ，
故 ，即 的取值范围为 .
故答案为： .
17. 【答案】(1)解 因为 ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
(2)证明 由(1)知， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以
设 ，则导函数 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增.
18. 【答案】解　(1)由题可知 ，
由勾股定理得， ，所以 是直角三角形，
又 ，所以 ，
又 边上中线 ，
所以 ， ， ，
所以 .
(2)由题可知 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，则 ，①
在 和 中，由余弦定理得
所以 ，②
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，③
将 代入得 ，④
由①④得 ，即 ，即 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 .
故 的长为2.
19. 【答案】(1)证明　由 ， 可得 ，
∴ ，
∵D，E分别为BC，AC的中点，∴ ，且 ，∴ ．
连接 ，则由条件可得 为等边三角形，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ．又 ，且 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴平面 平面 .
(2)解　由(1)可得 平面 ， ， ，
又 ， 平面 ，故 平面ABC，
如图，以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴，过点B且与 平行的直线为z轴建立空间直角坐标系B-xyz，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
由 可得 ，
令 ，可得 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20. 【答案】证明　∵数列 是等差数列，设公差为d= ,
∴ ( )，
∴ ( )，
∴当 时，
,
当n=1时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ( )，
∴
∴ 是等差数列.
21. 【答案】解 （1）当X∈[100,130)时，T=500X-300(130-X)=800X-39000.
当X∈[130,150]时，T=500×130=65000.
所以T
（2）由（1）知，当 时，T 65000>49000符合题意；
当 ，由 ，解得 ，
故利润T不少于49000元时，下一个季度市场需求量在110≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[110,150]的频率为：(0.020+0.030+0.025+0.015)×10=0.9，
所以下一个销售季度内的利润T不少于49 000元的概率的估计值为0.9.
22. 【答案】(1)证明　 平面 与直线 相交于点 ， 平面 平面 ，
四边形 是菱形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
；
(2)解　连接 ，取 中点 ，连接 、 ，
菱形 中， ， ， 是等边三角形，
是 中点， ，
平面 ， 平面 ， ，
、 平面 ， ， 平面 ．
是直线 与平面 的所成角，
是 中点， ， ．
平面 ， 平面 ， ，
为 中点， ， 中， ，
等边 中，高 ，
中， ，
可得 ，即直线 与平面 的所成角等于 ．