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【决战期末·50道综合题专练】北师大版八年级上册期末数学卷
1．如图，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点、点以相同的速度，同时从点、点出发．
（1）如图1，连接、．求证：；
（2）如图1，当点、分别在、边上运动时，、相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）当点、在射线、上运动时，直线、相交于，的大小是否变化？请画出图形，并直接写出的度数．
2．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
3．如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时．并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距A地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是 千米/时，乙车行驶的时间t＝ 小时；
（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距A地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距110千米 ．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E.
（1）
求证：△BCD是等腰三角形；
（2）
若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长.
5．某地计划从甲、乙两个蔬菜基地向A，B两市运送蔬菜.甲、乙两个基地分别可运出80吨和100吨蔬菜.A，B两市分别需要蔬菜110吨和70吨.从甲，乙两基地运往A，B两市的运费单价如下表：
A市（元/吨） B市（元/吨）
甲基地 15 20
乙基地 10 25
设从甲基地运往A市x吨蔬菜时，总运费为y元.
（1）求y关于x的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）当甲基地运往A市多少吨蔬菜时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
6．已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0，1).
（1）若函数图象还经过点(－1，3)，
①求这个函数的表达式；
②若点P（a，a＋3）关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求a的值.
（2）若函数图象与x轴的交点的横坐标满足2＜＜3，求k的取值范围.
7．如果有两点到一条直线的距离相等，那么称这条直线为“两点的等距线”.
（1）如图1，直线CD经过线段AB的中点P，试说明直线CD是点A、B的一条等距线.
（2）如图2，A、B、C是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“A、B的等距线”.
（3）如图3， ABC中，A（1，-2），B（4，-1），C（2，-0.5）.坐标轴上是否存在点P，使S APC＝S BPC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
8．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为，连接BC，过点О作于点D，点Q为线段BC上一个动点.
（1）求BC，OD的长；
（2）在线段BO上是否存在一点P，使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点C关于OQ的对称点恰好落在的边上，请直接写出点Q的坐标.
9．已知函数y=（2m+1）x+m-3.
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围.
10．已知的三边，，.
（1）求证：是直角三角形.
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数.
11．在等式（k，b为常数）中，当时，；时，．
（1）求k，b值；
（2）当时，y的值等于多少？
12．下列表格是刘小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题：（注：每次考试满分都是100分）
考试类别 平时成绩 期中考试 期末考试
第四章 第五章 第六章 第七章
成绩 88 92 90 86 90 96
注：可能用到的公式.
（1）刘小明6次成绩的众数与中位数之差是 ；
（2）计算刘小明平时成绩的平均分；
（3）计算刘小明平时成绩的方差；
（4）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如扇形图所示，请你求出刘小明本学期的综合成绩，要写出解题过程.
13．已知，，直线与直线，分别交于点E，F.
（1）如图1，若，求的度数.
（2）如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，H是上一点，且.求证：.
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.
14．观察下列各式：；；.
（1）请根据以上规律，写出第4个式子： .
（2）请根据以上规律，写出第n个式子（）： .
（3）根据以上规律计算：的值.
15．为提高农民收入，村民自愿投资办起了养鸡场．办场时买来1000只小鸡，经过一段时间，饲养可以出售了。下表是这些鸡出售时质量的统计数据：
质量/ kg 1.0 1.2 1.5 1.8 2
频数 112 230 320 240 98
（1）出售时这些鸡的平均质量是多少(结果保留小数点后一位) ？
（2）质量在哪个值的鸡最多？
（3）中间的质量是多少？
16．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是 ，∠CBD的度数是 ；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，它在y轴上的截距是-2．
（1）求点A的坐标；
（2）若直线AB上有一点C，且，求点C的坐标．
18．某汽车在加油后开始匀速行驶．已知汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，如果油箱中剩余油量与汽车行驶路程之间是一次函数关系．
（1）求一次函数表达式；
（2）写出自变量的取值范围．
19．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，
（1）用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠BAC的平分线交BC于点D；②过点A作△ABC中BC边上的高AE，垂足为点E；
（2）在（1）的基础上，求∠DAE的度数．
20．如图，，是某个轴对称图形上的两点，且互为对称点，已知此图形上有点.
（1）求点C关于该图形对称轴对称的点的坐标；
（2）求的面积
21．已知直线l1：y＝kx过点（1，2），与直线l2：y＝﹣3x+b相交于点A，若l2与x轴交于点B（2，0），与y轴交于点C.
（1）分别求出直线11，l2的解析式；
（2）求△OAC的面积.
22．如图，已知△ABC是等边三角形，D是AB边上任意一点，∠CDE=60°，DE与∠ABC外角平分线相交于点E.
（1）求证：CD=DE；
（2）若D是AB延长线上任意一点，∠CDE=60°，DE与∠ABC外角平分线相交于点E.请画出图形，判断CD=DE是否还成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
23．已知:
（1）求 的值；
（2）若 求 的值；
（3）若 分别求出 和 的值.
24．如图，在 中， 于点E， ，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N， 于点F，交AE于点 求证：
（1） ；
（2） .
25．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作24个盒身，或制作32个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有40张白铁皮请用二元一次方程组的知识解答下列问题.
（1）问用多少张制作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？
（2）已知一张白铁皮的成本为120元，每张制作盒底的加工费为30元/张，而制作盒身的加工方式有横切和纵切两种，横切的加工费为20元/张，纵切的加工费为25元/张，问在（1）的结论下，若想要总费用控制在5900元，应安排多少张横切，多少张纵切？
26．某学生本学期6次数学考试成绩如下表所示：
成绩类别 第一次月考 第二次月考 期中 第三次月考 第四次月考 期末
成绩/分 105 110 108 113 108 112
（1）6次考试成绩的中位数为 ，众数为 .
（2）求该生本学期四次月考的平均成绩.
（3）如果本学期的总评成绩按照月考平均成绩占20%、期中成绩占30%、期末成绩占50%计算，那么该生本学期的数学总评成绩是多少？
27．一辆货车从甲地开往乙地，一辆客车从乙地开往甲地，两车同时出发，设货车离甲地的距离为 ，客车离甲地的距离为 ，两车行驶的时间为 ， 与x之间的关系如图所示.
（1）分别求出 、 与x之间的关系式；
（2）甲、乙两地间有A，B两个加油站，且两个加油站相距 ，当货车进人入A加油站时，客车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离.
28．解答下列各题
（1）计算：
（2）解方程：
（3）某隧道与中山路及人民路大致成直角三角形，如果AB=3km，BC=5km，那么从A到C，走隧道AC比绕道AB和BC少走多少路程？（结果保留根号）
29．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求k、b的值；
（2）若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值．
30．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
（1）特例探究：
如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，∠D与∠A度数的比是 ；
（2）猜想证明：
如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
31．已知点 ，解答下列问题：
（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；
（2）若点A向右平移若干个单位后，与点 关于x轴对称，求点A的坐标．
32．小明同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地、设乙行驶的时间为t（h）．甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图所示．小明思考后发现了图中的部分信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．
请你帮助小明同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）直接写出乙行驶的路程S乙（km）与时间t（h）的函数表达式是 （不需要写出自变量的取值范围）；
（3）丙骑摩托车从Q地沿同一条公路匀速前往P地，若丙与乙同时出发，丙经过1.4h与甲相遇．
①直接写出丙行驶的路程 （km）与时间t（h）的函数表达式是 （不需要写出自变量的取值范围）；
②直接写出甲出发 h后与丙相距10km．
33．已知，直线AB∥CD．
（1）如图1，求证∠AEC=∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，请直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，且∠E+∠F=60°．
①请直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ；
②请直接写出∠E的度数是 ．
34．如图，在中，，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E.
（1）若，求的度数：
（2）若且周长为12，求BC的长.
35．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，求出对应y的值.
36．如图，小赵和小李相约去农庄游玩．小李从小区甲骑电动车出发．同时，小赵从小区乙开车出发，途中，他去超市买了一些东西后，按原来的速度继续去农庄，小区甲、乙、超市和农庄之间的路程图所示，设他们离小区甲的路程为s（km），出发的时间为t（分）．根据下图回答问题：
（1）点A的坐标为 ，小赵的开车速度为 km/分；
（2）求线段CB的函数表达式，并写出自变量t的取值范围
（3）求小赵离开超市后追上小李时，距离农庄多少km？
37．一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角.
（1）若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
（2）如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取.求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
（3）如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数.
38．在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 额温枪
第一次 20 30 6200
第二次 30 20 4300
（1）求酒精消毒液和额温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件15元出售，额温枪以每件220元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的9倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
39．某地气象资料表明此地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t2＝ 来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径.
（1）如果雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
（2）如果一场雷雨持续了2 h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？
40．在中，，是射线上一点，点在的右侧，线段，且，连结.
（1）如图1，点在线段上，求证：.
（2）如图2，点在线段延长线上，判断与的数量关系并说明理由.
41． 如图，直线经过点和点，与x轴交于点C
（1）求k，m的值；
（2）求的面积；
（3）若点P在x轴上，当为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标
42．请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数 的图象和性质，并解决问题.
（1）①当 时，
②当 时， ；
③当 时， ；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分
（2）在平面直角坐标系中，作出函数 的图象.
（3）一次函数 （ 为常数， ）的图象过点 ， 无解，结合函数的图象，直接写出 的取值范围.
43．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，与直线 相交于第二象限，交点为点C，且C点纵坐标为1
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点D为直线 上一点，且点D在第一象限，若 的面积与 的面积相等，求直线 与直线 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点P为线段 上一点，过点P作y轴的平行线，与直线 、直线 分别相交于点E、点F，若 ，求点P的坐标.
44．如图表示甲、乙两车沿相同路线从A地出发到B地行驶过程中，路程y（千米）随时间x（时）变化的图象.
（1）乙车比甲车晚出发 小时，甲车的速度是 千米/时；
（2）当 时，求乙车行驶路程随时间变化的函数表达式；
（3）从乙车出发到停止期间，乙车出发多长时间，两车相距20千米？
45．如图， 中， ， ， ，点P从点A出发，在 的边上以 秒的速度沿 运动一周，设运动时间为 秒.
（1）如图1，点P运动到 边上，且 恰好平分 ，求t的值；
（2）在点P运动过程中，当 是以 为腰的等腰三角形时，求t的值.
46．有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题∶
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得 ，由①＋② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题∶
（1）已知二元一次方程组 则 ， .
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算∶ ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 ， ，那么 .
47．如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．
（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒 个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
48． 年新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球疫情大考面前，中国始终同各国安危与共、风雨同舟，时至 月，中国已经向 多个国家和国际组织提供医疗物资援助．某次援助，我国组织 架飞机装运口罩、消毒剂、防护服三种医疗物资共 吨，按计划 架飞机都要装运，每架飞机只能装运同一种医疗物资，且必须装满．根据如下表提供的信息，解答以下问题：
防疫物资种类 口罩 消毒剂 防护服
每架飞机运载量（吨）
每吨物资运费（完）
（1）若有 架飞机装运口罩，有 架飞机装运消毒剂，求 与 之间的函数关系式；
（2）若此次物资运费为 元，求 与 之间的函数关系式；
（3）如果装运每种医疗物资的飞机都不少于 架，那么怎样安排运送物资，方能使此次物资运费最少，最少运费为多少元
49．如图，中，，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且，连接DE.
（1）如图①，若，，求的度数；
（2）如图②，若，，求的度数；
（3）由（1）和（2）的结果知道和的数量关系是： ；当点D在线段BC的延长线上时，上述关系式是否还成立？请直接写出结论.
50．在△ABC中，DE垂直平分AB ，分别交AB、BC于点D 、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN.
（1）如图1，若∠BAC= 100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=a(a≠90°)，请直接写出∠EAN的度数. (用含a的代数式表示)
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【决战期末·50道综合题专练】北师大版八年级上册期末数学卷
1．如图，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点、点以相同的速度，同时从点、点出发．
（1）如图1，连接、．求证：；
（2）如图1，当点、分别在、边上运动时，、相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）当点、在射线、上运动时，直线、相交于，的大小是否变化？请画出图形，并直接写出的度数．
【答案】（1）证明：三角形为等边三角形，
，，
点、点以相同的速度，同时从点、点出发，
，
在与中，
．
（2）解：角度不变，，理由如下：
∴，
由三角形外角的性质可得：，
故的度数不变，度数为．
（3）解：角度不变，，理由如下：当点、在、的延长线上运动时，
由题意可得：，
又∵
，
，
，
由题意可得：
由三角形外角的性质可得：
由三角形内角和定理可得：
故的度数不变，度数为．
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，再根据点、点以相同的速度，同时从点、点出发，可得，根据全等三角形的判定方法即可求证；
（2）由（1）中可得，再由三角形外角的性质可得，即可求解；
（3）先证出，可得，由三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理即可求解．
（1）解：证明：三角形为等边三角形，
，，
点、点以相同的速度，同时从点、点出发，
，
在与中，
．
（2）角度不变，，理由如下：
，
在中，
，
，
故的度数不变，度数为．
（3）角度不变，，理由如下：
当点、在、的延长线上运动时，
∵，
，
，
，
，
，
故的度数不变，度数为．
2．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【答案】（1）解：由题意，知．
∵，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面3米处折断
（2）解：如图．
∵点D距地面，
∴，
∴，
∴距离旗杆底部周围米的范围内有被砸伤的风险．
【解析】【分析】（1）利用一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，可知AC+BC等于旗杆的高度，同时根据题意可得到AB的长，然后设AC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用已知条件可得到AD的长及B′D的长，然后利用勾股定理求出AB′的长.
3．如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时．并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距A地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是 千米/时，乙车行驶的时间t＝ 小时；
（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距A地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距110千米 ．
【答案】（1）80；6
（2）解：根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时，
∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，
∴结合函数图象可知，当x＝2.5时，y＝300；当x＝5时，y＝0；
设甲车从C地按原路原速返回A地时，即2.5≤x≤5，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y＝kx＋b，
将(2.5，300)，(5，0)代入得
，
解得 ，
故甲车从C地按原路原速返回A地时，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y＝ 120x＋600；
（3）1.45小时
【解析】【解答】解：（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，
∴乙车速度为：80千米/时，
乙车行驶全程的时间t＝480÷80＝6（小时）；
故答案为：80，6．
（3）由题意可知甲车的速度为120千米/时，
①两车相遇前，设甲车出发m小时两车相距110千米，根据题意，得
120m＋80(m＋1)＋110＝480，
解得m＝1.45；
②两车相遇之后，根据图象可得：甲到达C地时，甲车与乙车的距离最大，
乙行驶的路程为：80×（2.5+1）＝280千米，
∴甲车与乙车的最大距离为：280+300－480＝100千米.
∴甲车出发1.45小时两车相距110千米．
故答案为：1.45小时．
【分析】（1）直接利用图象求出速度和时间即可；
（2）根据“乙车比甲车先出发1小时”算出甲车时间，找出函数图象经过点（5，0），（2.5，300），设甲车距A地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为y＝kx＋b，代入计算即可；
（3）先算出甲车的速度，分相遇前和相遇后两种情况进行讨论即可。
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E.
（1）
求证：△BCD是等腰三角形；
（2）
若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长.
【答案】（1） 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝ （180°-∠A）＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∴∠CDB＝∠B＝72°，
∴CD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2） 解：∵△BCD的周长是13，
∴BC+BD+CD＝13，
∵AD＝CD，
∴BC+BD+AD＝13，
∴BC+AB＝13，
∵BC＝5，
∴AB＝13-5＝8，
∴AC＝AB＝8，
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形的内角和定理得∠B=72°，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DC，根据等边对等角及三角形的外角性质可得∠CDB=∠B=72°，再根据等角对等边即可得出CD=CB，据此可得结论；
（2）根据三角形周长的计算方法及等量代换可得BC+AB＝13 ，结合已知可得AB的长，最后根据AC=AB即可得出答案.
5．某地计划从甲、乙两个蔬菜基地向A，B两市运送蔬菜.甲、乙两个基地分别可运出80吨和100吨蔬菜.A，B两市分别需要蔬菜110吨和70吨.从甲，乙两基地运往A，B两市的运费单价如下表：
A市（元/吨） B市（元/吨）
甲基地 15 20
乙基地 10 25
设从甲基地运往A市x吨蔬菜时，总运费为y元.
（1）求y关于x的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）当甲基地运往A市多少吨蔬菜时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
【答案】（1）解：设从甲基地运往A市x吨蔬菜时，总运费为y元，
从甲基地到A市的运费为15x，
从甲基地运往B市运费为：20(80-x)，
从乙基地运往A市运费为10(110-x)，
从乙基地运往B市运费为25(x-10)，
∴总运费为y=15x+20(80-x)+10(110-x)+25(x-10)=10x+2450，
∵ ，
∴10≤x≤80；
（2）解：∵10≤x≤80，
y=10x+2450，
而k=10>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=10时，y最小 ，
答：当甲基地运往A市10吨蔬菜时，最省的总运费，2550元.
【解析】【分析】（1） 设从甲基地运往A市x吨蔬菜时，总运费为y元，根据单价乘以数量=总价，分别表示出： 从甲基地到A市的运费， 从甲基地到B市的运费， 从乙基地到A市的运费， 从乙基地到B市的运费
，再求和即可得出y关于x的函数解析式，进而根据供需关系，运往各地的蔬菜数量不能为负数，建立不等式组，求解可得x的取值范围；
（2）根据（1）所得函数解析式的性质即可解决.
6．已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0，1).
（1）若函数图象还经过点(－1，3)，
①求这个函数的表达式；
②若点P（a，a＋3）关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求a的值.
（2）若函数图象与x轴的交点的横坐标满足2＜＜3，求k的取值范围.
【答案】（1）解：①把点（0，1），（－1，3）代入y=kx+b，得，
解得：
∴一次函数的表达式为y=－2x+1.
②P(a，a＋3)关于x轴对称的对称点是（a，－a－3），
∵该对称点在函数的图象上，
∴－a－3＝－2a＋1，
∴a＝4.
（2）解：由已知，得y=kx+1，
把x=2，y=0代入，得0=2k+1，解得k=－ ，
把x=3，y=0代入，得0=3k+1，解得k=－ ，
∴k的取值范围是－ ＜k＜－ .
【解析】【分析】（1）①将点（0，1）与 (－1，3)分别代入y=kx+b可得关于k、b的方程组，求解得出k、b的值，即可得出所求的函数解析式；②根据关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点P关于x轴的对称点为（a，－a－3） ，进而将该点代入①所求函数解析式，即可求出a的值；
（2） 由已知，得y=kx+1 ，进而将x=2，y=0代入与x=3，y=0分别代入算出对应的k的值，从而即可得出k的取值范围.
7．如果有两点到一条直线的距离相等，那么称这条直线为“两点的等距线”.
（1）如图1，直线CD经过线段AB的中点P，试说明直线CD是点A、B的一条等距线.
（2）如图2，A、B、C是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“A、B的等距线”.
（3）如图3， ABC中，A（1，-2），B（4，-1），C（2，-0.5）.坐标轴上是否存在点P，使S APC＝S BPC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E，F，如图1，
∴∠AEP＝∠BFP＝90°，
∵P是AB中点，
∴AP＝BP，
在△AEP和△AFP，
，
∴△AEP≌△BFP（AAS），
∴AE＝BF，
即直线CD是点A、B的一条等距线.
（2）解：如图2，直线m1、m2就是所作的直线；
（3）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，-2），B（4，-1），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x-，
∵S△APC＝S△BPC，
∴A、B两点到直线PC的距离相等，
①如图3，当PC∥AB时，
设直线PC的表达式是，
∵PC∥AB，
∴，
把点C（2，-0.5）代入得-0.5＝，
解得，
∴此时直线PC的解析式为y＝x，
当x＝0时，y＝，
当 y＝0时，0＝x，解得x＝，
∴直线PC与坐标轴的交点为P（，0），Q（0，），
此时P，Q都满足条件.
②当直线CP过AB中点E时，如图4，
∵A（1，-2），B（4，-1），
∴由中点坐标公式可得AB中点E（，-），
设直线CP的表达式为，把点C（2，-0.5），E（，-）代入得，
，
解得，
∴直线CP的解析式为y＝-2x+，
当x＝0时，y＝，
当y＝0时，x＝，
∴点R的坐标是（0，），点S的坐标是（，0），
此时R，S都满足条件.
综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）或（0，）或（，0）.
【解析】【分析】（1）分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E，F，根据中点的概念可得AP＝BP，证明△AEP≌△BFP，得到AE＝BF，据此解答；
（2）过点C作AB的平行线即可；或找出AB的中点，然后连接该点与点C并延长即可；
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据S△APC＝S△BPC可得A、B两点到直线PC的距离相等，①当PC∥AB时，求出直线PC的解析式，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得直线PC与坐标轴的交点坐标；②当直线CP过AB中点E时，由中点坐标公式求出AB的中点E的坐标，求出直线CP的解析式，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得直线PC与坐标轴的交点坐标，据此解答.
8．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为，连接BC，过点О作于点D，点Q为线段BC上一个动点.
（1）求BC，OD的长；
（2）在线段BO上是否存在一点P，使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点C关于OQ的对称点恰好落在的边上，请直接写出点Q的坐标.
【答案】（1）解：∵令，，得：，
∴，
又∵，
∴，
∴.
令，，得，
∴，
∵，
∴.
（2）解：存在，理由如下：
由（1）可知，
，
，
，
，
，，
，
即，
所以与全等分两种情况：
①当时，，
因为，
所以，即；
②当时，，
（3）点Q坐标为或
【解析】【解答】解：（3）设C点关于OQ的对称点为，
①当落在上时，作QE⊥CO于点E，QF⊥BO于点F，
∴∠COQ＝∠OQ＝45°，
又∵QE⊥CO，QF⊥BO，
∴QE＝QF，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×OC×QE＋×OB×QF，
∴6×8＝（6＋8）×QE，
∴QE＝QF＝，
∴点Q的坐标为.
②点C关于OQ的对称点落在AB上时，
∴OC＝O＝OA，CQ＝Q，∠OCQ＝∠OQ，
∴∠AO＝∠OA，
∴∠OCQ＝∠OQ＝∠AO＝∠OA，
∴∠CBA＝∠QB，
∴BQ＝Q，
∴CQ＝BQ＝Q，
∴点Q是BC的中点，
∴点Q（ 3，4），
综上所述：点Q坐标为或
【分析】（1）令x=0，求出y的值，可得点B的坐标，得到OB的值，由点C的坐标可得OC的值，根据勾股定理求出BC，令y=0，求出x的值，得到点A的坐标，根据勾股定理求出AB，然后根据等面积法就可求出OD；
（2）由（1）可知OA=OC=6，BO=8，AB=BC=10，证明△BOC≌△BOA，得到∠CBO=∠ABO，推出∠QBP′=∠DOA，①当△BPQ≌△ODA时，利用勾股定理可得PQ、DA，由OP=BO-BP求出OP，据此可得点P的坐标；②当△BPQ≌△OAD时，BP=OA=6，由OP=BO-BP求出OP，据此可得点P的坐标；
（3）设C点关于OQ的对称点为C′，①当C′落在OB上时，作QE⊥CO于点E，QF⊥BO于点F，则∠COQ＝∠C′OQ＝45°，易得QE＝QF，根据三角形的面积公式求出QE，进而可得点Q的坐标；②点C关于OQ的对称点C′落在AB上时，有OC＝OC′＝OA，CQ＝C′Q，∠OCQ＝∠OC′Q，进而推出CQ＝BQ＝C′Q，然后根据点Q是BC的中点就可求出点Q的坐标.
9．已知函数y=（2m+1）x+m-3.
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围.
【答案】（1）解：把（0，0）代入，得m-3=0，m=3；
（2）解：根据y随x的增大而减小说明k＜0，即2m+1＜0，m＜-；
（3）解：若图象经过第一、三象限，得m=3.
若图象经过第一、二、三象限，则2m+1＞0，m-3＞0，解得m＞3，
综上所述：m≥3.
【解析】【分析】（1）把原点坐标（0，0）代入函数y=（2m+1）x+m-3即可求出m的值；
（2）一次函数y=kx+b（a≠0）中，当k＜0时， y随着x的增大而减小 ，据此列出不等式，求解即可；
（3）y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＞0，b=0时，图象经过一、三象限；当a＜0，b=0时，图象经过二、四象限，据此列出不等式，求解即可.
10．已知的三边，，.
（1）求证：是直角三角形.
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数.
【答案】（1）证明：∵△ABC的三边a=m2-1（m＞1），b=2m，c=m2+1，
而当m＞1时，m2-1＜m2+1，2m＜m2+1，
∴（m2-1）2+（2m）2=m4+1-2m2+4m2=（m2+1）2，
即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：当m=2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m=3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）.
【解析】【分析】（1）一个三角形的三边只要满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此证明即可；
（2）给定m的值代入表示三边的代数式，计算即可.
11．在等式（k，b为常数）中，当时，；时，．
（1）求k，b值；
（2）当时，y的值等于多少？
【答案】（1）解：将，；，分别代入等式，可得：
，
解得
（2）解：把代入，可得
【解析】【分析】（1）将，；，分别代入可得，再求出k、b的值即可；
（2）将x=4代入解析式求出y的值即可。
12．下列表格是刘小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题：（注：每次考试满分都是100分）
考试类别 平时成绩 期中考试 期末考试
第四章 第五章 第六章 第七章
成绩 88 92 90 86 90 96
注：可能用到的公式.
（1）刘小明6次成绩的众数与中位数之差是 ；
（2）计算刘小明平时成绩的平均分；
（3）计算刘小明平时成绩的方差；
（4）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如扇形图所示，请你求出刘小明本学期的综合成绩，要写出解题过程.
【答案】（1）0
（2）解：平时成绩的平均分，
∴小明平时成绩的平均分为89分
（3）解：小明平时成绩的方差：，
∴小明平时成绩的方差为5；
（4）解：（分）.
∴小明本学期的综合成绩是93.5分.
【解析】【解答】（1）由表格分析可知，出现次数最多的数是90，小明6次成绩的众数是90分，中位数也是90，故众数与中位数之差是0；
【分析】（1）找出出现次数最多的数据即为众数，将成绩按照由低到高的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数，然后作差即可；
（2）首先求出平时总成绩，然后除以总次数即可求出平均成绩；
（3）根据方差的计算公式可求出方差；
（4）根据平时成绩×所占的比例+期中成绩×所占的比例+期末成绩×所占的比例可得综合成绩.
13．已知，，直线与直线，分别交于点E，F.
（1）如图1，若，求的度数.
（2）如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，H是上一点，且.求证：.
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠EFD，
∵∠EFD+∠2=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=58°，
∴∠2=122°
（2）证明：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF.
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∵∠PHK=∠HPK，
∴∠PKG=2∠HPK.
又∵GH⊥EG，
∴∠KPG=90°-∠PKG=90°-2∠HPK.
∴∠EPK=180°-∠KPG=90°+2∠HPK.
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK.
∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK=45°.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠1=∠EFD，根据邻补角的性质可得∠EFD+∠2=180°，则∠1+∠2=180°，据此计算；
（2）由（1）知：AB∥CD，由平行线的性质可得∠BEF+∠EFD=180°，结合角平分线的概念可得∠FEP+∠EFP=(∠BEF+∠EFD)=90°，则EG⊥PF，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行进行证明；
（3）由已知条件可知∠PHK=∠HPK，则∠PKG=2∠HPK，由余角的性质可得∠KPG=90°-2∠HPK，根据邻补角的性质可得∠EPK=90°+2∠HPK，由角平分线的概念可得∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK，然后根据∠HPQ=∠QPK-∠HPK进行计算.
14．观察下列各式：；；.
（1）请根据以上规律，写出第4个式子： .
（2）请根据以上规律，写出第n个式子（）： .
（3）根据以上规律计算：的值.
【答案】（1）
（2）
（3）解：===9
【解析】【解答】解：（1）根据以上规律，第4个式子为：；
（2）第n个式子（n≥1）为：；
【分析】（1）观察发现：等号右边的式子为左边分式的分母之差，据此解答；
（2）根据发现的规律可得第n个式子；
（3）根据规律可将原式变形为 ，据此计算.
15．为提高农民收入，村民自愿投资办起了养鸡场．办场时买来1000只小鸡，经过一段时间，饲养可以出售了。下表是这些鸡出售时质量的统计数据：
质量/ kg 1.0 1.2 1.5 1.8 2
频数 112 230 320 240 98
（1）出售时这些鸡的平均质量是多少(结果保留小数点后一位) ？
（2）质量在哪个值的鸡最多？
（3）中间的质量是多少？
【答案】（1）解：这些鸡的平均质量为：
=1.496≈1.5 (kg)
（2）解：质量在1.5kg的鸡最多
（3）解：中间的质量是1.5 kg
【解析】【分析】（1）根据加权平均数的公式列出算式进行计算，即可求解；
（2）根据众数的定义即可得出答案；
（3）根据中位数的定义解答即可.
16．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是 ，∠CBD的度数是 ；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
【答案】（1）116°；58°
（2）解：不变，
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1
（3）解：当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是29°
∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°，
【解析】【解答】解：（1） ∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°
【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到∠ABN的度数；利用角平分线的性质即可得到∠CBD=∠ABN，得到答案即可；
（2）根据题意证明得到∠APB=∠PBN，∠PBN=2∠DBN，即可得到答案；
（3）先证明∠ABC=∠DBN，继而推出∠CBD=58°，即可得到∠ABC的度数。
17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，它在y轴上的截距是-2．
（1）求点A的坐标；
（2）若直线AB上有一点C，且，求点C的坐标．
【答案】（1）解：直线在y轴上的截距是，
，
将代入上式，解得，
点A的坐标是．
（2）解：设中边上的高等于h，
；
将代入，得；
将代入，得，
点的坐标为或
【解析】【分析】（1）先求一次函数解析式，再将y=0代入求出x的值即可；
（2）设中边上的高等于h，利用三角形的面积公式可得，求出h=2，再将x=2和-2的值分别代入求出y的值即可得到点C的坐标。
18．某汽车在加油后开始匀速行驶．已知汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，如果油箱中剩余油量与汽车行驶路程之间是一次函数关系．
（1）求一次函数表达式；
（2）写出自变量的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，则
每千米的耗油量为：，
所以一次函数解析式为：y=53+20×0.1 0.1x，
∴y= 0.1x+55
（2）解：∵，
∴自变量的取值范围为：0≤x≤550．
【解析】【分析】（1）先求出每千米的耗油量，再根据题意直接列出解析式y= 0.1x+55即可；
（2）根据实际问题直接求出自变量的取值范围即可。
19．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，
（1）用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠BAC的平分线交BC于点D；②过点A作△ABC中BC边上的高AE，垂足为点E；
（2）在（1）的基础上，求∠DAE的度数．
【答案】（1）解：①线段AD即为所求；②如图，线段AE即为所求．
（2）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°，
∴∠CAD=55°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°-∠C=20°，
∴∠DAE=35°-20°=15°．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）根据角平分线和三角形的内角和求出∠CAD=55°，再根据∠CAE=90°-∠C=20°，最后利用角的运算求出∠DAE=35°-20°=15°即可。
20．如图，，是某个轴对称图形上的两点，且互为对称点，已知此图形上有点.
（1）求点C关于该图形对称轴对称的点的坐标；
（2）求的面积
【答案】（1）解：，是某个轴对称图形上的两点，且互为对称点，
这个轴对称图形的对称轴平行于轴，且对称轴上的点的纵坐标都为，
，
点关于该图形对称轴对称的点的坐标，即为．
（2）解：如图，
，，
，
又，
边上的高为，
则的面积为．
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质求出点坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可。
21．已知直线l1：y＝kx过点（1，2），与直线l2：y＝﹣3x+b相交于点A，若l2与x轴交于点B（2，0），与y轴交于点C.
（1）分别求出直线11，l2的解析式；
（2）求△OAC的面积.
【答案】（1）解：∵直线l1：y＝kx过点（1，2），
∴k＝2，
∴直线l1的解析式为y1＝2x；
∵直线l2：y＝﹣3x+b与x轴交于点B（2，0），
∴﹣3×2+b＝0，
∴b＝6，
∴直线l2的解析式为y2＝﹣3x+6
（2）解：由 ，解得 ，
∴点A的坐标为（ ， ）.
∵直线l2：y＝﹣3x+6与y轴交于点C，
∴C（0，6）.
∴S△OAC＝ ×6× ＝ .
故答案为：（1）y1＝2x；y2＝﹣3x+6；（2） .
【解析】【分析】（1）将点 （1，2） 代入 y＝kx 即可求出k的值，从而得出 直线l1的解析式 ；将点 B（2，0） 代入 y＝﹣3x+b 算出b的值，从而即可求出直线l2的解析式；
（2）将两函数的解析式组成的方程组，求出点A的坐标，根据直线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，进而即可根据三角形的面积计算方法算出△OAC的面积。
22．如图，已知△ABC是等边三角形，D是AB边上任意一点，∠CDE=60°，DE与∠ABC外角平分线相交于点E.
（1）求证：CD=DE；
（2）若D是AB延长线上任意一点，∠CDE=60°，DE与∠ABC外角平分线相交于点E.请画出图形，判断CD=DE是否还成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，过点D作DF//BC，交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，DF//BC，
∴CF=BD，∠AFD=60°，
∴∠CFD=180°-60°=120°，
∵DE是外角平分线，
∴∠CBE=60°，
∴∠DBE=120°，
∴∠CFD=∠DBE，
∵∠FCD+∠CDF=∠AFD=60°，∠BDE+∠CDF=180°-∠ADF-∠CDE=180°-60°-60°=60°，
∴∠FCD=∠BDE，
∴△CFD≌△DEB，
∴CD=DE.
（2）解：过点D作DP//BC，交AC延长线于点P，
∵△ABC是等边三角形，DP//BC，
∴PC=BD，∠P=60°，
∵BE是外角平分线，
∴∠DBE=60°，
∴∠DBE=∠P，
∵∠PCD=∠A+∠ADC=60°+∠ADC，∠BDE=∠ADC+∠CDE=60°+∠ADC，
∴∠PCD=∠BDE，
∴△PCD≌△BDE，
∴CD=DE
【解析】【分析】（1）过点D作DF//BC，交AC于F，由等边三角形的性质可得AF=AD，进而可得CF=BD，根据外角性质可知∠FCD+∠CDF=60°，由∠CDE=60°，∠ADF=60°可得∠CDF+∠EDB=60°，进而可得∠FCD=∠EDB，由BE是外角平分线可得∠CBE=60°，即可证明∠DBE=∠CFD=120°，即可证明△CFD≌△DEB，进而可得CD=DE；（2）过点D作DP//BC，交AC延长线于点P，由等边三角形及平行线性质可得CP=BD，根据外角性质可得∠PCD=∠A+∠ADC=60°+∠ADC，由∠BDE=∠CDE+∠ADC=60°+∠ADC可证明∠PCD=∠BDE，根据BE是外角平分线可得∠EBD=∠P=60°，即可证明△PCD≌△BDE，进而可得CD=DE.
23．已知:
（1）求 的值；
（2）若 求 的值；
（3）若 分别求出 和 的值.
【答案】（1）解：∵a+b=5，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=25，
∵ab=4，
∴a2+b2=25-2×4=17.
（2）解：∵(a-b)2= a2-2ab+b2=17-2×4=9，
∴a-b= 3，
∵a>b，
∴a-b=3.
（3）解：由已知和（2）得 ，
解得 .
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式解答即可；（2）根据（1）所得结果，利用完全平方公式及a>b的条件即可得出答案；（3）根据（2）所得结果及a+b=5，解方程组即可.
24．如图，在 中， 于点E， ，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N， 于点F，交AE于点 求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明： 是AB的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明： ， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
.
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ，得到 ，根据三角形的外角性质得到 ，进而得到 ，利用等角对等边得到结论；（2）证明 ≌ ，根据全等三角形的性质证明结论.
25．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作24个盒身，或制作32个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有40张白铁皮请用二元一次方程组的知识解答下列问题.
（1）问用多少张制作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？
（2）已知一张白铁皮的成本为120元，每张制作盒底的加工费为30元/张，而制作盒身的加工方式有横切和纵切两种，横切的加工费为20元/张，纵切的加工费为25元/张，问在（1）的结论下，若想要总费用控制在5900元，应安排多少张横切，多少张纵切？
【答案】（1）解：设用x张制盒身，y张制盒底可以使盒身与盒底正好配套，
依题意，得：
，解得： ，
答：用16张制盒身，24张制盒底可以使盒身与盒底正好配套；
（2）解：设安排m张横切，则安排（16 m）张纵切，
120×40＋30×24＋20m＋25（16 m）=5900
解得：m=4，
答：在（1）的结论下，应安排4张横切，12张纵切才能使总费用控制在5900元.
【解析】【分析】（1）设用x张制盒身，y张制盒底可以使盒身与盒底正好配套，根据共有40张白铁皮且制作的盒底总数是制作的盒身的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排m张横切，则安排（16 m）张纵切，根据总费用＝40张白铁皮的成本＋总加工费，列出关于m的方程，即可解决问题.
26．某学生本学期6次数学考试成绩如下表所示：
成绩类别 第一次月考 第二次月考 期中 第三次月考 第四次月考 期末
成绩/分 105 110 108 113 108 112
（1）6次考试成绩的中位数为 ，众数为 .
（2）求该生本学期四次月考的平均成绩.
（3）如果本学期的总评成绩按照月考平均成绩占20%、期中成绩占30%、期末成绩占50%计算，那么该生本学期的数学总评成绩是多少？
【答案】（1）109；108
（2）解：平时测试的数学平均成绩= （分）；
（3）解：总评成绩= （分）
答：该生本学期的数学总评成绩为110.2分.
【解析】【解答】解：（1）这6个数从小到大排列为：105，108，108，110，112，113，中位数是 =109，众数是108.
故答案为：109，108；
【分析】（1）把6个数从小到大排列，第3与4两个数据的平均数就是这组数据的中位数，这组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数；
（2）把平时测试4次的成绩相加，其和再除以4即可算出答案；
（3）取4次月考成绩平均分的20％加上期中成绩的30%加上期末成绩的50%计算即可.
27．一辆货车从甲地开往乙地，一辆客车从乙地开往甲地，两车同时出发，设货车离甲地的距离为 ，客车离甲地的距离为 ，两车行驶的时间为 ， 与x之间的关系如图所示.
（1）分别求出 、 与x之间的关系式；
（2）甲、乙两地间有A，B两个加油站，且两个加油站相距 ，当货车进人入A加油站时，客车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离.
【答案】（1）解：设 ＝ x，
由图可知，函数图象经过点（15，900），
∴15 ＝900，
解得： ＝60，
∴ ＝60x（0≤x≤15），
设 ＝ x+b，由图可知，
函数图象经过点（0，900），（10，0），
则 ，
解得： ，
∴ ＝﹣90x+900（0≤x≤10）；
（2）解：由题意，得
①当A加油站在甲地与B加油站之间时，
（﹣90x+900）﹣60x＝150，
解得x＝5，
此时，A加油站距离甲地：60×5＝300km，
②当B加油站在甲地与A加油站之间时，
60x﹣（﹣90x+900）＝150，
解得x＝7，
此时，A加油站距离甲地：60×7＝420km，
综上所述，A加油站到甲地距离为300km或420km.
【解析】【分析】（1）直接运用待定系数法就可以求出 、 关于x的函数图关系式；
（2）分A加油站在甲地与B加油站之间，B加油站在甲地与A加油站之间两种情况列出方程求解即可.
28．解答下列各题
（1）计算：
（2）解方程：
（3）某隧道与中山路及人民路大致成直角三角形，如果AB=3km，BC=5km，那么从A到C，走隧道AC比绕道AB和BC少走多少路程？（结果保留根号）
【答案】（1）解：
（2）解：
或
（3）解：如图，
，
所以走隧道AC比绕道AB和BC少走
【解析】【分析】（1）先计算开方运算，再利用有理数的加减法即可算出答案；
（2）把（x-1）看成一个整体，首先将含未知数项的系数化为1， ，再利用直接开平方法解方程即可得到答案；
（3）先利用勾股定理求解 AC， 再计算 AB+BC-AC可可得出答案.
29．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求k、b的值；
（2）若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值．
【答案】（1）解：由题意得 ，
解得 ．
∴k，b的值分别是1和2
（2）解：将k=1，b=2代入y=kx+b中得y=x+2．
∵点A（a，0）在 y=x+2的图象上，
∴0=a+2，
即a=﹣2
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据图象与函数坐标轴交点坐标求法得出a的值．
30．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
（1）特例探究：
如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，∠D与∠A度数的比是 ；
（2）猜想证明：
如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【答案】（1）30°；50°；1：2
（2）解：成立.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，
∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠DCE＝∠DBC＋∠D，∵2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），
∴∠D＝ ∠A，即∠D：∠A＝1：2
【解析】【解答】解：(1)、30；50；1：2；
【分析】 （1）①根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC=30°，∠ACD=∠DCE=60°，根据三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ，从而得出∠D=30° ；②根据等腰三角形的性质得出∠ABC=40° ，根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC=20°，根据三角形的外角定理得出∠ACE=∠A＋∠ABC＝140° ，∠ACD=∠DCE=70° ，根据三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ，从而得出∠D=50° ；
（2）根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCE，根据三角形的外角定理得出∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，∠DCE＝∠DBC＋∠D，从而得出2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），即∠D：∠A＝1：2 。
31．已知点 ，解答下列问题：
（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；
（2）若点A向右平移若干个单位后，与点 关于x轴对称，求点A的坐标．
【答案】（1）解：若点A在第一象限或第三象限，
，解得 ，
．
∴点A的坐标为 ，
若点A在第二象限或第四象限，
，解得 ，
， ，
∴点A的坐标为 ．
综上所述，点A的坐标为 或 ．
（2）解：∵若点A向右平移若干个单位，其纵坐标不变，为 ，
又∵点A向右平移若干个单位后与点 关于x轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
即点A的坐标为 ．
【解析】【分析】（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出答案；
（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案。
32．小明同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地、设乙行驶的时间为t（h）．甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图所示．小明思考后发现了图中的部分信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．
请你帮助小明同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）直接写出乙行驶的路程S乙（km）与时间t（h）的函数表达式是 （不需要写出自变量的取值范围）；
（3）丙骑摩托车从Q地沿同一条公路匀速前往P地，若丙与乙同时出发，丙经过1.4h与甲相遇．
①直接写出丙行驶的路程 （km）与时间t（h）的函数表达式是 （不需要写出自变量的取值范围）；
②直接写出甲出发 h后与丙相距10km．
【答案】（1）解：由图象可知：B（ ，0），C（ ， ），D（4，0）
设线段BC所在直线的函数表达式为y=ax＋b
将点B和点C的坐标分别代入，得
解得：
∴线段BC所在直线的函数表达式为y=40x－60；
设线段CD所在直线的函数表达式为y=cx＋d
将点D和点C的坐标分别代入，得
解得：
∴线段CD所在直线的函数表达式为y=-20x＋80；
（2）S乙=20t
（3） =40t； 或
【解析】【解答】解：（2）结合图象可知：点C表示甲到达终点，由CD段可知：乙用（4－
）小时，行驶了
千米
∴乙的速度为
÷（4－
）=20（千米/小时）
∴S乙=20t；
（3）①由图象可得：P、Q两地之间的距离为20×4=80（千米）
∴甲的速度为80÷（
－1）=60（千米/小时）
设丙的速度为v
由题意可得
解得：v=40
∴ =40t
故答案为：
=40t；
②设甲出发mh后与丙相距10km
若甲与丙在相遇之前相距10km
由题意可得60 m＋40（m＋1）＋10=80
解得：m =
；
若甲与丙在相遇之后相距10km
由题意可得60 m＋40（m＋1）－10=80
解得：m =
；
综上：甲出发 或 h后与丙相距10km．
故答案为：
或
．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，即可解答；
（2）先求出甲、乙的速度，可得出 S乙（km）与时间t（h）的函数表达式 ；
（3） ①显得出P、Q地之间的距离，进而求出丙的速度；②分两种情况：相遇前相距10km和相遇后10km，利用一元一次方程可得出答案。
33．已知，直线AB∥CD．
（1）如图1，求证∠AEC=∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，请直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，且∠E+∠F=60°．
①请直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ；
②请直接写出∠E的度数是 ．
【答案】（1）证明：过点E作EF∥AB，如图所示
∵AB∥CD
∴EF∥AB∥CD
∴∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF
∴∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠BAE＋∠DCE；
（2）解：∠DCE=∠AEC＋∠BAE，理由如下
过点E作EF∥AB，如图所示
∵AB∥CD
∴EF∥AB∥CD
∴∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF
∴∠CEF=∠AEC＋∠AEF
∴∠DCE=∠AEC＋∠BAE；
（3）①∠AEC=∠BAE－∠DCE；40° ②∠AEC=40°
【解析】【解答】解：（3）①∠AEC=∠BAE－∠DCE
过点E作EG∥AB，如图所示
∵AB∥CD
∴EG∥AB∥CD
∴∠BAE=∠AEG，∠DCE=∠CEG
∴∠AEC=∠AEG－∠CEG=∠BAE－∠DCE
故答案为：∠AEC=∠BAE－∠DCE；
②过点F作FH∥AB
∵AB∥CD
∴FH∥AB∥CD
∴∠BAF=∠AFH，∠DCF=∠CFH
∴∠AFC=∠AFH－∠CFH=∠BAF－∠DCF
∵CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，
∴∠BAF= ∠BAE，∠DCF= ∠DCE
∴
= ∠BAE－ ∠DCE
= （∠BAE－∠DCE）
= ∠AEC
∵∠AEC＋∠AFC=60°
∴∠AEC＋ ∠AEC=60°
解得：∠AEC=40°
故答案为：40°．
【分析】（1） 过点E作EF∥AB，由AB∥CD，得出EF∥AB∥CD ， 推出∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF ，由此得出 ∠AEC=∠BAE+∠DCE；
（2） 过点E作EF∥AB，由AB∥CD，得出EF∥AB∥CD ， 推出∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF ，由此得出 ∠DCE=∠AEC＋∠BAE；
(3) ①过点E作EG∥AB，由AB∥CD，得出EG∥AB∥CD ， 推出∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEG，由此得出∠AEC=∠AEG－∠CEG=∠BAE－∠DCE； ②过点F作FH∥AB，由AB∥CD，得出FH∥AB∥CD ， 推出∠BAF=∠AFH，∠DCF=∠CFH，得出∠AFC=∠AFH－∠CFH=∠BAF－∠DCF，由CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，推出∠BAF= ∠BAE，∠DCF= ∠DCE，得出∠BAF= ∠BAE，∠DCF= ∠DCE，因为∠AEC＋∠AFC=60°，得出∠AEC＋ ∠AEC=60°。
34．如图，在中，，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E.
（1）若，求的度数：
（2）若且周长为12，求BC的长.
【答案】（1）解：，
（2）解：是的垂直平分线
又
周长为
，
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC，然后利用内角和定理进行计算；
（2）根据垂直平分线的性质可得DA=DB，结合AB=AC可得△CBD的周长为AB+BC=12，据此求解.
35．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，求出对应y的值.
【答案】（1）解：设一次函数解析式为，把，；，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为
（2）解：把代入得：
.
【解析】【分析】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，将x=0、y=3；x=-2、y=6代入求出k、b的值，据此可得对应的函数表达式；
（2）令x=3，求出y的值即可.
36．如图，小赵和小李相约去农庄游玩．小李从小区甲骑电动车出发．同时，小赵从小区乙开车出发，途中，他去超市买了一些东西后，按原来的速度继续去农庄，小区甲、乙、超市和农庄之间的路程图所示，设他们离小区甲的路程为s（km），出发的时间为t（分）．根据下图回答问题：
（1）点A的坐标为 ，小赵的开车速度为 km/分；
（2）求线段CB的函数表达式，并写出自变量t的取值范围
（3）求小赵离开超市后追上小李时，距离农庄多少km？
【答案】（1）（0，4）；1
（2）解：（6+10）÷1+（26-6）=16+20=36（分），
∴点C的坐标为（36，20），
∵超市与小区甲的距离为：6+4=10（千米），
∴点B的坐标为（26，10），
设线段CB的表达式为s=kt+b，
将点B（26，10）与点C（36，20）代入得，
解得，
∴线段CB的解析式为s=t-16（26≤t≤36）；
（3）解：∵点D（40，20），
∴线段OD的解析式为：，
当小赵离开超市后追上小李时，
解得t=32，
∴（千米），
∴ 小赵离开超市后追上小李时，距离农庄 的距离为：20-16=4（千米）.
【解析】【解答】解：（1）∵小区乙与小区甲的距离为4km，
∴点A的坐标为（0，4），
∵6÷6=1（千米/分 ）
∴小赵的开车速度为1千米/分 ；
故答案为：（0，4），1；
【分析】（1）根据小区乙与小区甲的距离为4km即可求出点A的坐标，由于小区乙距离超市6千米，小赵行驶了6分钟，根据速度=路程÷时间即可求出小赵开车的速度；
（2）小区乙距离农庄（6+10）千米，根据时间=路程÷速度计算出小赵行驶完全程所用的时间，再加上小赵超市购物的时间可得点C的横坐标，由小区甲距离超市（4+6）千米可得点B的纵坐标，结合图象可得点C、B的坐标，从而利用待定系数法可求出线段BC的解析式，结合B、C两点的纵坐标即可求出t的取值范围；
（3）利用待定系数法求出线段OD的解析式，根据小赵离开超市后追上小李时两人距离小区甲的距离相等建立方程，求解得出t的值，代入算出s的值，最后用小区甲距离农庄的距离减去S的值即可得出答案.
37．一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角.
（1）若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
（2）如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取.求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
（3）如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数.
【答案】（1）120°；
（2）解：设，
∵CD＝CB，AE＝AD
∴，
∴，
，
∴即∠ABC是∠EDB的倍余角.
（3）解：由（2）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，.
【解析】【解答】解：（1）∵∠1＝30°，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90° 30°）＝120°；
∵∠1＝α，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90° α）＝180° 2α.
故答案为：120°；180° 2α.
【分析】（1）根据∠2是∠1的倍余角可得∠2=2×(90°-∠1)，据此解答；
（2）设∠AED=a，∠CBD=b，由等腰三角形的性质可得∠AED=∠ADE=a，∠DBC=∠BDC=b，由内角和定理可得∠EDB=180°-a-b，∠ABC=180°-(180°-2a)-(180°-2b)=2a+2b+180°，甲车证明；
（3）由（2）得∠EDB=45°，根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBF=45°，根据等腰三角形的性质可得∠DBC=45°+a=∠BDC，则∠DBP=45°-a，∠DBP+∠DBC=90°，甲车解答.
38．在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 额温枪
第一次 20 30 6200
第二次 30 20 4300
（1）求酒精消毒液和额温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件15元出售，额温枪以每件220元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的9倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
【答案】（1）解：设酒精消毒液每件的进价为x元，额温枪每件的进价为y元，
根据题意得： ，
解得： ．
∴酒精消毒液每件的进价为10元，额温枪每件的进价为200元
（2）解：设购进酒精消毒液m件，获得的利润为W元，则购进额温枪（1000﹣m）件，
根据题意得：
W＝（15﹣10）m+（220﹣200）（1000﹣m）＝-15m+2200，
∵酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的9倍，
∴m≥9（1000 m），
解得：m≥900．
又∵在W＝-15m+2200中，k＝-15<0，
∴W的值随m的增大而减小，
∴当m＝900时，W取最大值，最大值为4500+20×100＝6500，
∴当购进购进酒精消毒液900件、额温枪100件时，销售利润最大，最大利润为6500元．
【解析】【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x，y，根据第一次购买20件酒精消毒液和30件测温枪的总费用为6200可以列出20x+30y=6200，根据第二次购买30件酒精消毒液和20件测温枪的总费用为4300可以列出30x+20y=4300，联立这两个方程即可求解；（2）设购进酒精消毒液m件，则购进测温枪1000 m件，销售完这1000件商品获得的利润为W，根据酒精消毒液以每件15元出售，测温枪以每件220元出售，可以得到酒精消毒液每件的利润为5元，测温枪每件的利润为20元，由此可以求出利润的表达式；同时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的9倍列出不等式m≥9（1000 m），即可求出m的取值范围，从而求出最大利润．
39．某地气象资料表明此地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t2＝ 来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径.
（1）如果雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
（2）如果一场雷雨持续了2 h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？
【答案】（1） ，
，
将d＝8代入得： .
答：这场雷雨大约能持续 .
（2） ，
，
，
将t＝2代入可得 .
答：这场雷雨区域的直径大约是60 km.
【解析】【分析】（1）根据 ，其中 是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；（2）根据 ，其中 是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案.
40．在中，，是射线上一点，点在的右侧，线段，且，连结.
（1）如图1，点在线段上，求证：.
（2）如图2，点在线段延长线上，判断与的数量关系并说明理由.
【答案】（1）证明： ，
，
在与中，
，
，
，
，
，
即：.
（2），理由：
，
，
在与中，
，
，
.
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据∠DAE=∠BAC结合角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠ABD，然后在△ABC中，应用内角和定理求解即可；
（2）同理证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠ABD，由内角和定理可得∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°，根据平角的概念可得∠ACE+∠ACB+∠DCE=180°，据此解答.
41． 如图，直线经过点和点，与x轴交于点C
（1）求k，m的值；
（2）求的面积；
（3）若点P在x轴上，当为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标
【答案】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∵直线经过点，
∴，
即；
（2）解：在函数中，令，则，
解得，
∴点C的坐标为，
∴．
过点作轴于点M，过点作轴于点N，
∴，，
∴
；
（3）解：点P的坐标为或，，．
【解析】【解答】解：（3）∵，，轴，
∴，，
∴在中，．
①如图，当，为等腰三角形，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②如图，当，为等腰三角形，
此时点P是线段的垂直平分线与x轴的交点，
∵，
∴点N在线段线段的垂直平分线上，
又点N在x轴上，
∴点P与点N重合，
∵，，
∴点P的坐标为；
③如图，当，为等腰三角形，若点P在x轴的负半轴，
则，
∴点P的坐标为；
④如图，当，为等腰三角形，若点P在x轴的正半轴，
则，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或，，．
【分析】（1）将点B的坐标代入求出k的值，再将点代入解析式求出m的值即可；
（2）过点作轴于点M，过点作轴于点N，先求出，， 再利用三角形的面积公式及割补法求出△AOB的面积即可；
（3）分类讨论：①当，为等腰三角形，②当，为等腰三角形，③当，为等腰三角形，若点P在x轴的负半轴，④当，为等腰三角形，若点P在x轴的正半轴，再分别画出图形并求解即可.
42．请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数 的图象和性质，并解决问题.
（1）①当 时，
②当 时， ；
③当 时， ；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分
（2）在平面直角坐标系中，作出函数 的图象.
（3）一次函数 （ 为常数， ）的图象过点 ， 无解，结合函数的图象，直接写出 的取值范围.
【答案】（1）；
（2）如图所示
（3）如图所示：
方程组 无解，表示 与 的函数图象没有交点：
①当 时，一次函数呈上升状态，要保证 与 的图象没有交点，临界位置如图 所示，此时一次函数过点 和 ， ，在此基础上将 顺时针旋转即符合题意，则 的取值范围为 ；
②当 时，一次函数呈下降状态，要保证 与 的图象没有交点，临界位置如图 所示，此时一次函数与 平行， ，在此基础上将 逆时针旋转符合题意且 时也符合题意，则 的取值范围为 ；综上， 的取值范围为 且 .
【解析】【解答】解：（1）②当 时， ，
故答案为： ；
③当 时， ，
故答案为： ；
【分析】（1）直接利用绝对值的性质化简可求解；
（2）直接利用（1）中所求可画出函数图象；
（3）直接利用函数图象可求解．
43．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，与直线 相交于第二象限，交点为点C，且C点纵坐标为1
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点D为直线 上一点，且点D在第一象限，若 的面积与 的面积相等，求直线 与直线 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点P为线段 上一点，过点P作y轴的平行线，与直线 、直线 分别相交于点E、点F，若 ，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵一次函数y＝ x＋2的图象交x轴、y轴分别于点A、B两点，
∴令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝-4，
∴A（-4，0），B（0，2）；
（2）解：∵C点纵坐标为1，
∴把y＝1代入y＝ x＋2，得x＝-2，
∴C（-2，1），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴-2k＝1，
∴k＝ ，
∴直线OC的解析式为y＝ x；
设点D(m， )，
∵△OCD的面积与△ABO的面积相等，
∴ ，
解得：m=2，
∴D(2，3)，
设直线OD的函数关系式为： ，
代入D(2，3)可得 ，
解得： ，
∴直线OD的函数关系式为： ；
（3）解：设P(n， )，
∴E(n， )，F(n， )，
①当点P在线段BD上时，
∵PE=2EF，
∴ ，
∴n= ，
∴ ，
∴点P的坐标为( ， )；
②当点P在线段BC上时，
∵PE=2EF，
∴ ，
∴n= ，
∴ ，
∴点P的坐标为( ， )；
综上可知，P点坐标为( ， )或( ， ).
【解析】【分析】（1）将x=0与y=0分别代入函数 算出对应的y及x的值可求出点A、B的坐标；
（2）由点C的纵坐标为1代入解析式得到点C的坐标，即可求出OC的解析式， 设点D(m， )， 根据 △OCD的面积与△ABO的面积相等， 即可建立方程求得m，即可求出OD的解析式；
（3）分①当点P在线段BD上和②当点P在线段BC上两种情况，根据 即可得出点P的坐标.
44．如图表示甲、乙两车沿相同路线从A地出发到B地行驶过程中，路程y（千米）随时间x（时）变化的图象.
（1）乙车比甲车晚出发 小时，甲车的速度是 千米/时；
（2）当 时，求乙车行驶路程随时间变化的函数表达式；
（3）从乙车出发到停止期间，乙车出发多长时间，两车相距20千米？
【答案】（1）2；20
（2）解：当 时，设乙车行驶路程随时间变化的函数表达式为 ，
将点 ， 代入 ，得 ，解得 ，
∴乙车行驶路程随时间变化的函数表达式是 ；
（3）解：设甲车行驶路程随时间变化的函数表达式是 ，
把点 代入，得 ，解得 ，
∴ ，
令 ，解得， ， ，
∴ 或3，
答：乙车出发1小时、3小时，两车相距20千米.
【解析】【解答】解：（1）根据图象的x轴，可以看出乙车比甲车晚出发2小时，
，故甲车的速度是
故答案为：2，20；
【分析】（1）根据图象可知：乙车比甲车晚出发2小时，然后找出总距离以及甲车所用的时间，根据距离÷时间就可求得速度；
（2） 当2≤x≤6时，设乙车行驶路程随时间变化的函数表达式为y=kx+b ， 然后将（2，0）、（6，160）代入求解即可；
（3） 设甲车行驶路程随时间变化的函数表达式是y=kx ，将（8，160）代入可得k=20，则y=20x，然后令|20x-(40x-80)|=20，求解即可.
45．如图， 中， ， ， ，点P从点A出发，在 的边上以 秒的速度沿 运动一周，设运动时间为 秒.
（1）如图1，点P运动到 边上，且 恰好平分 ，求t的值；
（2）在点P运动过程中，当 是以 为腰的等腰三角形时，求t的值.
【答案】（1）解：点P在BC上时，如图所示：过点P作PE⊥AB交AB于E，
PA=PB，
在Rt△ACB中，AC＝
则PC=2t-8，PB=8+6-2t=14-2，
∵AP平分∠BAC，且PC⊥AC
∴PE=PC
在△ACP与△AEP中，
，
∴△ACP≌△AEP（AAS），
∴AE=AC=8，
∴BE=2，
在Rt△PEB中，依勾股定理得：PE2+EB2=PB2
即：（2t-8）2+22=（14-2t）2
解得：t＝ ；
∴点P在∠BAC的平分线上时，t的值为 秒.
（2）解： 是以 为腰的等腰三角形，
①当点P在AC上时，
CB=CP=6，
∴AP=AC-PC=8-6=2，而AP=2t，即2t=2，
∴t=1；
②点P在AB边上，CP=CB，作CE⊥AB交AB于点E，
在Rt△CEP和Rt△CEB中，
，
∴Rt△CEP≌Rt△CEB，
∴PE=BE，AC+BC+BP=2t，
∴BP=2t-14，
∴BE=t-7，AE=10-(t-7)=17-t，CE =AC -AE =64-(17-t) ，CE =BC -BE =36-(t-7) ，
∴64-(17-t) =36-(t-7) ，
解得：t= 秒，
③点P在AB上，
PB=BC，
∴PB=6，PB=2t-14，
∴2t-14=6，
∴t=10，
综上所述：t=1秒或10秒或 秒.
【解析】【分析】（1） 过点P作PE⊥AB交AB于E，根据勾股定理求得AC的值，然后表示出PC，PB，由角平分线的性质可得PE=PC，进而证明△ACP≌△AEP，得到BE的值，接下来在Rt△PBE中根据勾股定理计算即可；
（2）①当点P在AC上时，求出CB、AP的值，据此可得t的值；②点P在AB边上，CP=CB，作CE⊥AB交AB于点E，证明Rt△CEP≌Rt△CEB，然后表示出BP，BE，AE，CE2，据此可得t的值；③点P在AB上时， PB=BC ，表示出PB，进而求得t的值.
46．有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题∶
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得 ，由①＋② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题∶
（1）已知二元一次方程组 则 ， .
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算∶ ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 ， ，那么 .
【答案】（1）4；2
（2）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
根据题意得
①②得： ，
∴ ，
答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元.
（3）24
【解析】【解答】解：（1）
①-②得 ，
①+②得 ，
∴ ；
故答案为：4，2；
（3） ， ，
①-②得 ，
②×3-①×2得 ，
，
.
【分析】（1）方程组中2个方程分别相加、相减即可得出答案；
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元 ，利用共需31元和55元列方程组，求得即可得出答案；
（3） 利用新定义运算 ，得方程组,求得,进而结合新定义运算即可的值.
47．如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．
（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒 个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
【答案】（1）（0，3）
（2）解：存在．
如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，
此时△PDE的周长最小，
在Rt△CEF中，BE＝EF＝BC﹣CE，EF2+CF2＝CE2，BC＝8，CF＝4，
∴CE＝5，BE＝3，
作EG⊥OA，
∵OD＝AG＝BE＝3，OA＝8，
∴DG＝2，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，EG＝4，
∴DE＝
在Rt△D′EG中，EG2+D′G2＝D′E2，EG＝4，D′G＝8，
∴D′E＝ ，
∴△PDE周长的最小值为DE+D′E＝；
（3）解：由（2）得，E（4，5），D′（0，﹣3），
设直线D′E的解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
∴直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，
令y＝0，得2x﹣3＝0，
解得：x＝ ，
∴P（，0），
过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，
设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，
则 ，
解得： ，
∴直线DE的解析式为y＝ x+3，
设Q（t，t+3），则H（t，5），
∴QH＝5﹣（t+3）＝2﹣t，EH＝4﹣t，
由勾股定理得：DE＝ ＝（2﹣ t）＝ QH，
∴点H在整个运动过程中所用时间＝ ＝PQ+QH，
当P、Q、H在一条直线上时，PQ+QH最小，即为PH′＝5，点Q坐标（ ， ），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，
【解析】【解答】解：（1）设D（0，m），且m＞0，
∴OD＝m，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∵将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，
∴CD＝AD＝OA﹣OD＝8﹣m，
在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+42＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴点D的坐标为（0，3）；
【分析】（1）先求出OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，再利用勾股定理计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用勾股定理计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出 直线D′E的解析式为y＝2x﹣3， 再求出 2x﹣3＝0， 最后利用勾股定理计算求解即可。
48． 年新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球疫情大考面前，中国始终同各国安危与共、风雨同舟，时至 月，中国已经向 多个国家和国际组织提供医疗物资援助．某次援助，我国组织 架飞机装运口罩、消毒剂、防护服三种医疗物资共 吨，按计划 架飞机都要装运，每架飞机只能装运同一种医疗物资，且必须装满．根据如下表提供的信息，解答以下问题：
防疫物资种类 口罩 消毒剂 防护服
每架飞机运载量（吨）
每吨物资运费（完）
（1）若有 架飞机装运口罩，有 架飞机装运消毒剂，求 与 之间的函数关系式；
（2）若此次物资运费为 元，求 与 之间的函数关系式；
（3）如果装运每种医疗物资的飞机都不少于 架，那么怎样安排运送物资，方能使此次物资运费最少，最少运费为多少元
【答案】（1）解：根据题意得，
设有 架飞机装运口罩，有 架飞机装运消毒剂，则有 架飞机装运防护服，
解得： ；
与 之间的函数关系式： 且x为正整数；
（2）解：
且x为正整数；
（3）解：由题意得：
解得： 且x为正整数，
或 ，
随 的增大而减小，
当 时，
最小， （元）
答：9架飞机装运口罩，4架飞机装运消毒剂，7架飞机装运防护服，方能使此次物资运费最少，最少运费为24200元．
【解析】【分析】（1）分别计算每种飞机所运载的重量，根据总重量120吨，列出函数关系式，注意x的实际意义；
（2）根据表格信息，分别计算每种飞机所承担的运费，再相加可得总运费，注意x的实际意义；
（3）由每种医疗物资的飞机都不少于4架，列出一元一次不等式组，解得x的取值范围，即可解得最少运费。
49．如图，中，，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且，连接DE.
（1）如图①，若，，求的度数；
（2）如图②，若，，求的度数；
（3）由（1）和（2）的结果知道和的数量关系是： ；当点D在线段BC的延长线上时，上述关系式是否还成立？请直接写出结论.
【答案】（1）解：∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝50°，
∴∠ADE＝∠AED＝65°，
∴∠CDE＝180° 50° 30° 65°＝35°；
（2）解：∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，
∴∠E＝70° 15°＝55°，
∴∠ADE＝∠AED＝55°，
∴∠ADC＝40°，
∵∠ABC＝∠ADC＋∠DAB＝70°，
∴∠BAD＝30°；
（3）2∠CDE＝∠BAD
【解析】【解答】解：（3）由（1）和（2）的结果知道∠CDE和∠BAD的数量关系是：2∠CDE＝∠BAD，
当点D在线段BC的延长线上时，上述关系式还成立，理由如下：
设∠ABC＝∠ACB＝y，∠ADE＝∠AED＝x，∠CDE＝α，∠BAD＝β，
如图
当点D在线段BC的延长线上时，∠ADC＝x α
∴，
②-①得，2α β＝0，
∴2α＝β，即：2∠CDE＝∠BAD.
故答案为：2∠CDE＝∠BAD.
【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠BAC＝120°，从而可得∠DAE=∠BAC-∠BAD＝50°，利用三角形内角和定理先求出∠ADE＝∠AED＝65°，再求出∠CDE即可；
（2）利用三角形外角的性质可得∠E=∠ACB-∠CDE＝55°， 即得 ∠ADE＝∠AED＝55°， 利用角的和差求出∠ADC＝40°，利用三角形外角的性质可得∠ABC＝∠ADC＋∠DAB ，据此即可求解；
（3）2∠CDE＝∠BAD；当点D在线段BC的延长线上时，上述关系式还成立，理由：设∠ABC＝∠ACB＝y，∠ADE＝∠AED＝x，∠CDE＝α，∠BAD＝β，可得∠ADC＝x α，利用三角形的内角和定理可得
据此求出2α＝β，即得结论.
50．在△ABC中，DE垂直平分AB ，分别交AB、BC于点D 、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN.
（1）如图1，若∠BAC= 100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=a(a≠90°)，请直接写出∠EAN的度数. (用含a的代数式表示)
【答案】（1）解：因为DE垂直平分AB，
所以AE=BE，∠BAE=∠B，
同理可得∠CAN= ∠C，
所以∠EAN=∠BAC -∠BAE-∠CAN=∠BAC -(∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C=180°- ∠BAC=80°，
所以∠EAN=
100-80=20°
（2）解：因为 DE垂直平分AB，
所以AE= BE，∠BAE=∠B，
同理可得∠CAN= ∠C，
所以∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 110°，
所以∠EAN=110°-
70°=40°
（3）解：当0
当180°>a>90°时，∠EAN=2a
-180°
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解；（2）同（1）的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解；（3）根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答．
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