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【决战期末·50道综合题专练】北师大版九年级上册期末数学卷
1．临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压： .享受美食， .交流谈心， .体育锻炼， .欣赏艺术.
（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 .
（2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率.
2．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值.
3．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
4．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
5．今年以来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款万元，个月结清．与的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）确定与的函数解析式，并求出首付款的数目．
（2）若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？
（3）如果张先生打算每月付款万元，那么他要多少个月才能结清余款？
6．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，计算DE的长
7．已知关于x的方程．
（1）当k 时，方程是一元二次方程；
（2）若方程有两个实数根，求k的取值范围；
8．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的部分学生人数是 ▲ 人；并把条形统计图补充完整；
（2）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，连接AE．
（1）求证：AB=AE；
（2）若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．
10．
（1）计算： ；
（2）解方程： .
11．“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年的绿化面积约1200万平方米，预计2020年的绿化面积约1587万平方米.假设每年绿化面积的平均增长率相同.
（1）求每年绿化面积的平均增长率.
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
12．如图，在 ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当 ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
（3）四边形DBFE能否是正方形？如果能， ABC应满足什么条件？如果不能，说明理由.
13．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程.开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速 （千米/小时）与时间 （小时）成反比例函数关系缓慢减弱.
（1）这场沙尘暴的最高风速是 千米/小时，最高风速维持了 小时；
（2）当 时，求出风速 （千米/小时）与时间 （小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，求“危险时刻”共有几小时.
14．如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作 ，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若 ， ，请直接写出EF的长为 .
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2.
（1）求实数k的取值范围.
（2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
16．以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，M为EG的中点，连接AM.
（1）如图1，∠BAC=90°，试判断AM与BC关系？
（2）如图2，∠BAC≠90°，图1中的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，给出证明.
17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
18．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．
19．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
20．已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
21．某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a的值为 ；
（2）求C等级对应扇形的圆心角的度数；
（3）获得A等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= (x>0)的图象与直线y=x-2交于点A(3，m)。
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y= (x>0)的图象于点N。
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由：
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围。
23．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求一次函数 与反比例函数 的函数关系式；
（2）连结OA、OC，求 的面积；
24．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米．
（1）求建筑物OB的高度；
（2）求旗杆的高AB．
25．某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水，水池的底面为正方形．由设计单位核算知，水池的总储水量为．若水池底面为S，高为h．
（1）求出S与h的函数关系，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
（2）若底面S为，则水池高度为多少m？
（3）楼顶平台长为30m，宽为15m，规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%，同时考虑到楼顶平台承受能力，水池底面不能小于，则水池高度h在什么范围？
26．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．
( 1 )在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
( 2 )以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；
( 3 )的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
27．在△ABC 中，D 是
BC 边的中点，E、F 分别在
AD 及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF ≌△CDE；
（2）若 DE = BC，试判断四边形 BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论．
28．如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（指针指在分界线时取指针右侧扇形的数）．
（1）小王转动一次转盘指针指向3所在扇形的概率是 ．
（2）请你用树状图或列表的方法求一次游戏结束后两数之和是5的概率．
29．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？
（1）设提价了 元，则这种衬衫的售价为 元，销售量为 件.
（2）列方程完成本题的解答.
30．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若m，n是方程的两根，且，求k的值；
31．计算
（1）解方程：
（2）画出图中空心圆柱的主视图、左视图、俯视图．
32．如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2．
（1）求点F的坐标；
（2）求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似．
33．
（1）解方程：
（2）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到，若∠A＝100°，求证：．
34．只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如16=3+ 13.
（1）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是 ；
（2）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，再从余下的3个数字中随机抽取1个素数，用面树状图或列表的方法求抽到的两个素数之和大于等于30的概率，
35．解方程
（1）x2﹣4x+2＝0
（2）（x﹣3）2＝2x﹣6
36．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN= .
（1）求证：ΔADM∽ΔBMN；
（2）求∠DMN的度数.
37．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B（0，5），与反比例函数y＝在第二象限内的图象相交于点A（﹣1，a）.
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移6个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；
（3）设直线CD的解析式为y＝mx＋n，根据图象直接写出不等式mx＋n≤的解集.
38．已知关于的一元二次方程.
（1）若是方程的一个解，写出，满足的关系式？
（2）当时，利用根的判别式判断方程根的情况.
（3）若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的，的值，并求出此时的方程根.
39．如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF，CD＜CF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是4.5元.若CF＝x米，计划修建费为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏的修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由.
40．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE//AC，CE//BD.
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，如图，
①求证：△AFO≌△EFD；
②当∠ADB=30°，DE=4时，求AF的长度.
41．如图，正方形的边长是3，点是直线上一点，连接，将线段，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，在直线上取点，使，且点与点在同侧，连接，．
（1）如图①，当点在延长线上时，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图②，当点在线段上时，四边形是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在图②的条件下，四边形的面积是否存在正好等于正方形的面积的一半，若存在求出此时长；若不存在，请说明理由
42．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
43．如图，在 中， ，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足 ，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证： ；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分 ．
44．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作 ECFG.
（1）如图1，证明 ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC=120°，连接BG、CG，并求出∠BDG的度数：
（3）如图3，若∠ABC=90°，AB=6，AD=8，M是EF的中点，求DM的长.
45．如图1，四边形中，，平分，若，．
（1）求的长．
（2）如图2，过点作交于，连接交于，求的长．
46．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，2）是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点P（n，0）且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM＞S△OPN时，直接写出n的取值范围
47．在菱形 中， ，点 是对角线 上一点，连接 ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 并延长得到射线 ，交 的延长线于点 ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系： ．
48．综合与实践
已知四边形 与 均为正方形．
（1）数学思考：
如图1，当点 在 边上，点 在 边上时，线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）在图1的基础上，将正方形 以点 为旋转中心，逆时针旋转角度 ，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
拓展探索：
（3）如图3，若点 ， ， 在同一直线上，且 ，则线段 长为 ．（直接写出答案即可，不要求写过程）．
49．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
（1）求证：∠DAF＝∠CDE；
（2）求证：△ADF∽△DEC；
（3）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.
50．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，且OC=x1+x2，OA=x1x2
（1）求B点的坐标.
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BD的解析式．
（3）在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平形四边形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
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【决战期末·50道综合题专练】北师大版九年级上册期末数学卷
1．临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压： .享受美食， .交流谈心， .体育锻炼， .欣赏艺术.
（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 .
（2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的结果数为7，∴他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率为 .
【解析】【解答】解：（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式有4种等可能结果，他选择“享受美食”的只有1种结果，∴他选择“享受美食”的概率是 .
故答案为： .
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先利用树状图得出所有等可能结果，从中找到至少有一人选择“欣赏艺术”的结果数，再利用概率公式计算可得.
2．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值.
【答案】（1）解：∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4k2＞0，
解得：k ，
即k的取值范围为：k>- ；
（2）解：方程的两个实数根分别为x1，x2，
（1+x1）（1+x2）
＝1+（x1+x2）+x1x2
＝3，
x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2，
则1﹣（2k+1）+k2＝3，
整理得：k2﹣2k﹣3＝0，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去），
即k的值为3.
【解析】【分析】（1）根据“一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根”，得到△＞0，根据判别式公式，得到关于k的不等式，解之即可，（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2和x1x2关于k的等式，代入（1+x1）（1+x2）＝3，得到关于k的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案.
3．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
【答案】（1）解：方法一画树状图：
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有6种．∴P（和为奇数）= ． 方法二列表如下：
1 2 3 4
5 1+5=6 2+5=7 3+5=8 4+5=9
6 1+6=7 2+6=8 3+6=9 4+6=10
7 1=7=8 2+7=9 3+7=10 4+7=11
由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有6种．∴P（和为奇数）=
（2）解：∵P（和为奇数）= ，∴P（和为偶数）= ，∴这个游戏规则对双方是公平的
【解析】【分析】（1）由题意画出树状图，根据树状图中的信息可知 所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种，则甲获胜的概率 可求解；
（2）由题意知， 和为奇数与和为偶数 的概率相同，所以这个游戏是公平的。
4．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
5．今年以来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款万元，个月结清．与的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）确定与的函数解析式，并求出首付款的数目．
（2）若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？
（3）如果张先生打算每月付款万元，那么他要多少个月才能结清余款？
【答案】（1）解：由图象可知y与x成反比例关系，设y与x的函数关系式为，
把代入关系式得，
∴，
∴y与x的函数关系式为，
∴（万元）．
∴首付款为5万元；
（2）解：由题意可得：
当时，（万元），
答：平均每月应付万元；
（3）解：由题意可得：
当时，，
解得．
答：张先生至少要50个月才能结清余额．
【解析】【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据待定系数法将点代入反比例函数解析式可得y与x的函数关系式为，即可求出答案.
（2）将x=40代入反比例函数解析式即可求出答案.
（3）将y=0.3代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：由图象可知y与x成反比例关系，设y与x的函数关系式为，
把代入关系式得，
∴，
∴y与x的函数关系式为，
∴（万元）．
∴首付款为5万元；
（2）解：当时，（万元），
答：平均每月应付万元；
（3）解：当时，，
解得．
答：张先生至少要50个月才能结清余额．
6．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，计算DE的长
【答案】（1）解：DE在阳光下的投影是EF如图所示；
（2）解：在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB＝5m，BC＝3m，EF＝6m，
∴，
∴，
∴DE＝10（m），
答：DE的长为10m．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）先证明△ABC∽△DEF，可得，再将数据代入求出DE的长即可。
7．已知关于x的方程．
（1）当k 时，方程是一元二次方程；
（2）若方程有两个实数根，求k的取值范围；
【答案】（1）≠1
（2）解：∵方程有两个实数根，
∴，且
解得且
【解析】【解答】解：（1）∵方程是一元二次方程
∴k≠1
故答案为：≠1
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，再求出k的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
8．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的部分学生人数是 ▲ 人；并把条形统计图补充完整；
（2）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
【答案】（1）解：60；把条形统计图补充完整如图：
（2）解：把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D，画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种，
则小军被选中的概率为：．
【解析】【解答】(1)本次抽样测试的人数为：24÷40%＝60（人），故答案为：60；
D组人数：60-3-18-24=15
【分析】（1）利用“C级”的人数除以对应的百分比即可得到总人数，再求出“D级”的人数，再作图条形统计图即可；
（2）利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，连接AE．
（1）求证：AB=AE；
（2）若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，
∴∠BCE＝60°，BC=EC．
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACE＝30°=∠ACB．
∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACE(SAS)，
∴AB=AE；
（2）解：∵△ABC 绕点C顺时针旋转得到△DEC ，
∴AC=DC，AB=ED，
由（1）可知AB=AE，
∴AE=DE，
若AB=AC，则AC=AE，
∴AC=DC=DE=AE，
∴四边形ACDE是菱形．
【解析】【分析】（1）由△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，得出∠BCE＝60°，BC=EC．而∠ACB＝30°，得出∠ACE＝30°=∠ACB．证出△ACB≌△ACE(SAS)， 即可得出结论；
（2）根据△ABC 绕点C顺时针旋转得到△DEC ，AB=AC， 得出AC=DC=DE=AE， 即可得出证明。
10．
（1）计算： ；
（2）解方程： .
【答案】（1）解：
；
（2）
，
∴ ， .
【解析】【分析】（1）利用乘法的分配律进行计算即可；
（2）利用因式分解进行解方程即可.
11．“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年的绿化面积约1200万平方米，预计2020年的绿化面积约1587万平方米.假设每年绿化面积的平均增长率相同.
（1）求每年绿化面积的平均增长率.
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
【答案】（1）设每年绿化面积的平均增长率为x.
由题意，得 .
解得： （不合题意，舍去）.
答：每年绿化面积的平均增长率为15%.
（2） （万平方米）.
答：2021年的绿化面积是1825.05万平方米.
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：2018年的绿化面积×（1+增长率）2=2020年的绿化面积，设未知数，列方程，然后求出方程的解，即可求解；
（2）根据若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，由2020年的绿化面积×（1+增长率）列式计算求出2021年的绿化面积.
12．如图，在 ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当 ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
（3）四边形DBFE能否是正方形？如果能， ABC应满足什么条件？如果不能，说明理由.
【答案】（1）解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）AB＝BC，
理由是：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝ BC，BD＝ AB ，
∵AB＝BC，∴DE＝BD，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形，
即当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；
（3）∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝ BC，BD＝ AB
∵AB＝BC，
∴DE＝BD，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形，
∵∠ABC＝90°，
∴菱形DBFE是正方形，
即当∠ABC＝90°，AB＝BC时，四边形DBFE是正方形.
【解析】【分析】（1）易得DE为△ABC的中位线，则DE∥BF，然后利用平行四边形的判定定理进行证明；
（2）由中位线的性质可得DE＝BC，由中点的概念可得BD＝AB ，则可得DE＝BD，然后利用菱形的性质进行解答；
（3）同（2）可得四边形DBFE是菱形，当∠ABC＝90°时，菱形DBFE是正方形，据此解答.
13．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程.开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速 （千米/小时）与时间 （小时）成反比例函数关系缓慢减弱.
（1）这场沙尘暴的最高风速是 千米/小时，最高风速维持了 小时；
（2）当 时，求出风速 （千米/小时）与时间 （小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，求“危险时刻”共有几小时.
【答案】（1）32；10
（2）设 ，将 代入，得： ，
解得： .
所以当 时，风速 （千米/小时）与时间 （小时）之间的函数关系为： .
（3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，
∴4.5时风速为10千米/时.
将 代入 ，
得 ，解得 ，
（小时）
故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有59.5小时.
【解析】【解答】解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；
4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时，
10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20 10=10小时；
故答案为：32，10.
【分析】（1）根据：0～4时，风速平均每小时增加2千米可得4时风速；4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，可得10时风速，10～20时，风速不变，据此可得最高风速维持的时间；
（2）设， 将（20，32）代入可得k，据此可得x≥20时，y与x的函数关系式；
（3）将y=10代入（2）中关系式中求出x，易得4.5时风速为10千米/时，据此求解.
14．如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作 ，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若 ， ，请直接写出EF的长为 .
【答案】（1）证明： 四边形ABCD是矩形，
，
，
是AC的中点，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，且
四边形AECF是平行四边形，
又 ，
四边形AECF是菱形；
（2）
【解析】【解答】（2） 四边形AECF是菱形，
， ， ，
，
，
，
， ，
故答案为： .
【分析】(1)由矩形的性质可得∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，即可证四边形AECF是菱形；(2)由菱形的性质可得AE=EC，AO=CO，EO=FO，由勾股定理可求CE、EO的长，即可求EF的长.
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2.
（1）求实数k的取值范围.
（2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤
（2）解：根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16.
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3.
∴k＝﹣3.
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值.
16．以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，M为EG的中点，连接AM.
（1）如图1，∠BAC=90°，试判断AM与BC关系？
（2）如图2，∠BAC≠90°，图1中的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，给出证明.
【答案】（1）解：结论：AM= BC.
理由：∵∠BAC=∠EAG=90°，EM=GM，
∴AM= EG，
在△BAC和△EAG中，
，
∴△BAC≌△EAG，
∴BC=EG，
∴AM= BC.
（2）解：（1）中结论仍然成立.
理由：延长AM到N，使得AM=MN，连接EN、NG.
∴EM=MG，AM=MN，
∴四边形AENG是平行四边形，
∴EN=AG，EN∥AG，
∴∠NEA+∠EAG=180°，
∵∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∴∠NEA=∠BAC，
∵AB=AE，AC=EN，
∴△BAC≌△AEN，
∴BC=AN，
∴AM= BC.
【解析】【分析】（1）结论：AM= BC.易知AM= EG，只要证明△BAC≌△EAG即可解决问题；（2）结论仍然成立.延长AM到N，使得AM=MN，连接EN、NG.只要证明△BAC≌△AEN，即可解决问题.
17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形
（3）解：当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1
【解析】【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
18．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
∵点E是AD中点，
∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中，
，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形
（2）AM=1．
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四边形AMDN是矩形，
∴DM⊥AB，
即∠DMA=90°，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM= AD=1
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
19．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得
（）2+（）2=58，
解得：x1=12，x2=28，
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；
（2）解：李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得
（）2+（）2=48，
变形为：m2﹣40m+416=0，
∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．
【解析】【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
20．已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
【答案】（1）解答：（1）∵a=1，b=2m，c= m2-1，
∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+ m2-1=0，
解得，m=-4或m=-2．
【解析】【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
21．某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a的值为 ；
（2）求C等级对应扇形的圆心角的度数；
（3）获得A等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率．
【答案】（1）8
（2）解：
∴C等级对应扇形的圆心角的度数为 ．
（3）解：画树状图如图：(画图正确）
由树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．
∴P（一男一女）
答：恰好选中一男一女参加比赛的概率为 ．
【解析】【解答】解：（1）班级总人数为 人，B等级的人数为 人，故a的值为8；
故答案为：8；
【分析】（1）根据D等级的人数除以其百分比得到班级总人数，再乘以B等级的百分比即可得a的值；
（2）用C等级的人数除以班级总人数即可得到其百分比，用360°乘以其百分比得到其扇形圆心角度数；
（3）画树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．然后根据概率公式求解即可.
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= (x>0)的图象与直线y=x-2交于点A(3，m)。
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y= (x>0)的图象于点N。
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由：
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围。
【答案】（1）解：将A(3，m)代入y=-x-2
得：m=1，即A(3，1)
将A(3，1)代入y=
得：k=3
∴m=1，k=3
（2）解：①当n=1时PM=PN，理由如下
因为n=1即P(1，1)时
将x=1代入y=x-2得y=3，即N(1，3)
将y=1代入y= 得x=3，即M(3，1)
∴PM=2，PN=2
∴PM=PN
②0【解析】【分析】（1）根据直线的解析式即可得到点A的坐标，由点A的坐标计算得到k的值即可；
（2）①根据题意，已知点P的坐标，即可得到M和N的两个点的坐标，即可得到PM和PN的关系。
②根据函数的图象，直接得到n的取值范围即可。
23．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求一次函数 与反比例函数 的函数关系式；
（2）连结OA、OC，求 的面积；
【答案】（1）解： 把 代入代入 ，得： ，
，
把 代入得： ，
，
把A、C的坐标代入 得：
，
解得： ， ，
，
反比例函数的表达式是 ，一次函数的表达式是 ；
（2）解： 把 代入 得： ，
， ，
，
即 的面积是 ；
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，把C的坐标代入反比例函数解析式求出n，把A、C的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；（2）求出一次函数与x轴的交点坐标，的OD值，根据三角形的面积公式求出即可.
24．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米．
（1）求建筑物OB的高度；
（2）求旗杆的高AB．
【答案】（1）解：根据题意得：，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴米
（2）解：根据题意得：，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴米，
由（1）得米，
∴（米），
∴旗杆的高是米．
【解析】【分析】（1）证明， 利用相似三角形的对应边成比例即可求解；
（2） 证明， 可得，据此求出AO的长，利用AB=AO-BO即可求解.
25．某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水，水池的底面为正方形．由设计单位核算知，水池的总储水量为．若水池底面为S，高为h．
（1）求出S与h的函数关系，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
（2）若底面S为，则水池高度为多少m？
（3）楼顶平台长为30m，宽为15m，规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%，同时考虑到楼顶平台承受能力，水池底面不能小于，则水池高度h在什么范围？
【答案】（1）解：水池的总储水量为，
，
，
所以与的函数关系式为，
函数大致图象如图所示：
（2）解：当时，
，
故底面积为时，水池高度为．
（3）解：解：规定水池地面边长不超过楼顶平面宽的，
水池边长，
由题意得，
又，
，
，
故水池高度的取值范围为．
【解析】【分析】（1）根据底面积×高=体积，可求出S与h的函数关系式，利用函数特点画图即可；
（2）将S=30代入（1）中求出h值即可；
（3）先求出底面积的范围，再利用解析式求出对应高的范围即可.
26．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．
( 1 )在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
( 2 )以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；
( 3 )的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
【答案】解：⑴如图，点P为所作；
故答案为：；
⑵如图，为所作；
⑶．
【解析】【解答】解：（3）点M在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）根据位似图形的性质求解即可；
（2）根据位似图形的性质找出点O、A、B的对应点，再连接即可；
（3）利用位似图形的性质求解即可。
27．在△ABC 中，D 是
BC 边的中点，E、F 分别在
AD 及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF ≌△CDE；
（2）若 DE = BC，试判断四边形 BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵CE∥BF，
∴∠CED=∠BFD.
∵D是BC边的中点，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDE中， ，
∴△BDF≌△CDE（AAS）
（2）解：四边形BFCE是矩形.理由如下：
∵△BDF≌△CDE，
∴DE=DF，
又∵BD=DC，
∴四边形BFCE是平行四边形.
∵DE= BC，DE= EF，
∴BC=EF，
∴平行四边形BFCE是矩形．
【解析】【分析】（1）根据平行线得出∠CED=∠BFD，利用“AAS”推出两个三角形全等即可；
（2）根据全等的性质可得DE=DF，利用BD=DC推出四边形BFCE是平行四边形，求出∠BEC=90°，根据矩形的判定推出即可。
28．如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（指针指在分界线时取指针右侧扇形的数）．
（1）小王转动一次转盘指针指向3所在扇形的概率是 ．
（2）请你用树状图或列表的方法求一次游戏结束后两数之和是5的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有9个等可能的结果数，其中两个数字之和为5的结果数为2个，
∴两个数字之和为5的概率＝
【解析】【解答】解：（1）∵转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，转盘中有3的数字为1个，
∴小王转动一次转盘指针指向3所在扇形的概率是 ，
故答案为： ；
【分析】（1）利用几何概率公式求解即可；
（2）利用列表法或树状图法将所有情况求出来，再利用概率公式求解即可。
29．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？
（1）设提价了 元，则这种衬衫的售价为 元，销售量为 件.
（2）列方程完成本题的解答.
【答案】（1）（60+x）；（800-20x）
（2）解：根据（1）得：
（60＋x 50）（800 20x）＝12000
整理，得x2 30x＋200＝0
解得：x1＝10，x2＝20．
为使顾客获得更多的优惠，
所以x＝10，60＋x＝70．
答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为70元．
【解析】【解答】（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60＋x）元，
销售量为（800 x）＝（800 20x）件．
故答案为（60＋x）；（800 20x）．
【分析】（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60＋x）元，列出方程，即可得出答案；
（2） 根据（1）整理得出方程，解之即可得出X的值。
30．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若m，n是方程的两根，且，求k的值；
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且．
（2）解：根据题意，.
由，得，
∴代入得：，
整理得：，
解得：．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ，，再求出 ， 最后求解即可。
31．计算
（1）解方程：
（2）画出图中空心圆柱的主视图、左视图、俯视图．
【答案】（1）解：
∴，
∴或，
解得：，．
（2）解：空心圆柱的主视图、左视图、俯视图如下图所示：
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根据所给的几何体作图即可。
32．如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2．
（1）求点F的坐标；
（2）求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似．
【答案】（1）解：由题意知，
∴有相同的纵坐标，有相同的横坐标
∴
将代入中，解得
∴反比例函数解析式为
将代入中得
∴．
（2）证明：由题意得，
∵，
∴
∴“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似．
【解析】【分析】（1）先求出 有相同的纵坐标，有相同的横坐标 ，再利用待定系数法求出 反比例函数解析式为 ，最后求点的坐标即可；
（2）根据题意先求出 ，再证明即可。
33．
（1）解方程：
（2）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到，若∠A＝100°，求证：．
【答案】（1）解：
或
所以 或
（2）证明：∵∠ABC＝30°，∠A＝100°，
∴∠C＝50°．
∵△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先求出 ∠C＝50°，再求出， 最后求解即可。
34．只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如16=3+ 13.
（1）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是 ；
（2）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，再从余下的3个数字中随机抽取1个素数，用面树状图或列表的方法求抽到的两个素数之和大于等于30的概率，
【答案】（1）
（2）解：由题意画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两个素数之和大于等于30的结果有8种，故所求概率
【解析】【解答】解： （1） 因为7， 11， 19， 23共有4个数，其中素数7只有1个，
所以从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是 ，
故答案为： .
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得.
35．解方程
（1）x2﹣4x+2＝0
（2）（x﹣3）2＝2x﹣6
【答案】（1）解：∵x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
解得x﹣2＝ ，
则x＝2
（2）解：∵（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得x＝3或x＝5.
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，①移项，将常数项移到方程的右边，②配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方4，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，③利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，方程的右边利用提取公因式法分解因式后整体移到方程的左边，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，求解即可.
36．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN= .
（1）求证：ΔADM∽ΔBMN；
（2）求∠DMN的度数.
【答案】（1）证明：∵AD=4，AM=1
∴MB=AB-AM=4-1=3
∵ ，
∴
又∵∠A=∠B=90°
∴ΔADM∽ΔBMN
（2）解：∵ΔADM∽ΔBMN
∴∠ADM=∠BMN
∴∠ADM+∠AMD=90°
∴∠AMD+∠BMN=90°
∴∠DMN=180°-∠BMN-∠AMD=90°
【解析】【分析】（1）首先推出 ，再加上∠A=∠B=90°，就可以得出△ADM∽△BMN；
（2）由△ADM∽△BMN就可以得出∠ADM=∠BMN，又∠ADM+∠AMD=90°，就可以得出∠AMD+∠BMN=90°，从而得出∠DMN的度数.
37．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B（0，5），与反比例函数y＝在第二象限内的图象相交于点A（﹣1，a）.
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移6个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；
（3）设直线CD的解析式为y＝mx＋n，根据图象直接写出不等式mx＋n≤的解集.
【答案】（1）解：∵点A（﹣1，a）在反比例函数的图象上，
∴a＝6，
∴A（﹣1，6），
∵点B（0，5），
∴设直线AB的解析式为y＝kx＋5，
∵直线AB过点A（﹣1，6），
∴6＝﹣k＋5，解得k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋5；
（2）解：∵将直线AB向下平移6个单位后得到直线CD的解析式为y＝﹣x﹣1，
∴D（0，﹣1），
∴BD＝5＋1＝6，
又∵直线CD与反比例函数相交于C、E两点，
联立 解得或，
∴C （﹣3，2），E（2，﹣3），
连接BC，则△BCD的面积＝
由平行线间的距离处处相等可得△ACD与△BCD同底等高，即两者面积相等，
∴△ACD的面积为9.
（3）解：由题意可知不等式的解集即为直线CD图象在反比例函数图象下方或交点处的横坐标范围
∵C （﹣3，2），E（2，﹣3），
∴不等式的解集：﹣3≤x＜0或x≥2.
【解析】【分析】（1）将点A（ 1，a）代入反比例函数y＝ 求出a的值，确定A的坐标，再由待定系数法求一次函数的解析式；
（2）根据直线的平移规律“上加下减，左加右减”可得直线CD的解析式为y＝ x 1，从而求得D的坐标，联立解方程组求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等；
（3）求不等式的解集即为直线CD图象在反比例函数图象下方或交点处的横坐标范围， 根据图象即可求解．
38．已知关于的一元二次方程.
（1）若是方程的一个解，写出，满足的关系式？
（2）当时，利用根的判别式判断方程根的情况.
（3）若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的，的值，并求出此时的方程根.
【答案】（1）解：把x＝1代入方程可得a＋b＋＝0；
（2）解：∵，
∴△＝b2 4a×＝1-2a，
∴当1-2a≥0时，即：时，方程有实根，当1-2a＜0时，即：时，方程没有实根；
（3）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴b2 2a＝0，即b2＝2a，
取a＝2，b＝2，
则方程为2x2＋2x＋＝0，
解得：x1＝x2＝ .
【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程即可求解；
（2）当b=1时，计算出根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可；
（3） 由方程有两个相等的实数根，可得△=b2 2a＝0，求出满足此关系的a、b一组值，然后代入方程并解方程即可.
39．如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF，CD＜CF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是4.5元.若CF＝x米，计划修建费为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏的修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由.
【答案】（1）解：y＝1.75x+4.5（×2+x），
＝1.75x++4.5x，
＝6.25x+（0＜x≤25）；
（2）解：当y＝150时，6.25x+＝150
整理得：x2﹣24x+144＝0
解得：x1＝x2＝12
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意.
答：应利用旧围栏12米.
【解析】【分析】（1）根据题意可得整修旧围栏的修建费为1.75x，根据长方形草坪的面积可得宽为，则修建新围栏的修建费为4.5×(×2+x)，相加即可得到y与x的函数关系式，
（2）令（1）求出的关系式中的y=150，求出x的值即可.
40．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE//AC，CE//BD.
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，如图，
①求证：△AFO≌△EFD；
②当∠ADB=30°，DE=4时，求AF的长度.
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形DECO是矩形；
（2）解：①证明：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，AC⊥BD，
∵四边形DECO是矩形，
∴OC=DE，
∴AO=DE，
∵DE∥AC，
∴∠FAO=∠DEF，
在△AFO和△EFD中，
，
∴△AFO≌△EFD（AAS）；
②解：∵四边形DECO是矩形，四边形ABCD是菱形，
∴OC=DE=AO=4，AC⊥BD，
∵△AFO≌△EFD，
∴OF=DF，
∵∠ADB=30°，AO=4，
∴AD=8，
∴OD==4，
∴OF=OD=2，
∴AF=.
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形DECO是平行四边形，由菱形的性质可得AC⊥BD，进而根据有一个角是直角的平行四边形是菱形进行证明；
（2）①由菱形的性质可得AO=OC，AC⊥BD，由矩形的性质可得OC=DE，则AO=DE，根据平行线的性质可得∠FAO=∠DEF，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
②根据矩形、菱形的性质可得OC=DE=AO=4，AC⊥BD，由全等三角形的性质可得OF=DF，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=8，由勾股定理求出OD，进而得到OF，然后利用勾股定理就可求出AF.
41．如图，正方形的边长是3，点是直线上一点，连接，将线段，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，在直线上取点，使，且点与点在同侧，连接，．
（1）如图①，当点在延长线上时，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图②，当点在线段上时，四边形是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在图②的条件下，四边形的面积是否存在正好等于正方形的面积的一半，若存在求出此时长；若不存在，请说明理由
【答案】（1）证明： 四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，．
，
．
，
．
，
，
即，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
理由：四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：不存在．
理由：设，则平行四边形的面积为，
由题意得：
整理为，
∵，
∴此方程无解，
∴四边形的面积不存在正好等于正方形的面积的一半．
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AB=BC，，根据SAS证明△PBA≌△FBC，可得PA=CF，∠PAB=∠FCB，由旋转知PA=PE，即得PE=FC，再证，可得EP∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即证结论；
（2）同（1）方法证明即可；
（3） 不存在．理由：设，则平行四边形的面积为，由于
，根据方程无实根即可判断.
42．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，
∴点B的坐标为(4，3)，
∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上
∴k=12，
∴反比例函数解析式为y=，
设点P的横坐标为m(m>0)，
∵．
∴，
∴，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则 ，
∴点P的坐标为(3，4)．
（2）解：取点F（6，0），连接FP，CF，
∴O、F关于直线对称，
由（1）知，点P的横坐标为3，
∴点P在直线上，
∴PF=PO，
∴PC+PO=PF+PC，
∴当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，
∴PO+PC的最小值=PF+PC=CF=；
（3）解：或或或
【解析】【解答】（3）解：设点Q的坐标为（m，n），点P的坐标为（3，t）
如图3-1所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，由菱形的性质可知PB=BC=4，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或，
∴点Q的坐标为或；
如图3-2所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，由菱形的性质可知PC=BC=4，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或，
∴同理可得点Q的坐标为或；
综上所述，点Q的坐标为或或或
【分析】（1）先确定点B坐标，从而确定反比例函数解析式，设点P的横坐标为m(m>0)， 根据 构建方程求出m值，即得点P坐标；
（2）取点F（6，0），连接FP，CF， 即得O、F关于直线对称， 由（1）可推出点P在直线x=3上，可得PF=PO，即得PC+PO=PF+PC，当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，利用勾股定理求出CF的长即可；
（3）分两种情况：①当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，②当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，根据菱形的性质分别求解即可.
43．如图，在 中， ，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足 ，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证： ；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分 ．
【答案】（1）证明：因为AB=AC，所以∠B=∠C，
因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
所以 ，
所以△BDE∽△CEF；
（2）证明：因为△BDE∽△CEF，所以 ，
因为点E是BC的中点，所以BE=CE，即 ，
所以 ，又 ，故△CEF∽△EDF，
所以 ，即FE平分∠DFC．
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE， ，即可判定 ，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF；（2）由相似三角形的性质可得 ，再由点E是BC的中点，可得BE=CE，即可得 ，又因 ，即可判定△CEF∽△EDF，根据相似三角形的性质可得 ，即可证得即FE平分∠DFC．
44．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作 ECFG.
（1）如图1，证明 ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC=120°，连接BG、CG，并求出∠BDG的度数：
（3）如图3，若∠ABC=90°，AB=6，AD=8，M是EF的中点，求DM的长.
【答案】（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）结论：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由(1)知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG= ∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG(SAS)，
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG=60°；
（3）解： 如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由(1)可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形.
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵BE=CD，∠BEM=∠DCM，EM=CM，
∴△BME≌△DMC(SAS)，
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形.
∵AB=6，AD=8，则BD= =10，∴DM=5 .
【解析】【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可用SAS判断出△BEG≌△DCG，再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）连接BM，MC，结合题意，根据矩形的判定得到四边形ABCD和四边形ECFG为正方形.因为∠BAF=∠DAF，则BE=AB=DC，因为M为EF中点，所以∠CEM=∠ECM=45°，故∠BEM=∠DCM=135°，根据全等三角形的判定(SAS)得到△BME≌△DMC，则由全等三角形的性质可得MB=MD，∠DMC=∠BME，结合题意得到等腰直角三角形.根据勾股定理得到BD=10，故DM=5 .
45．如图1，四边形中，，平分，若，．
（1）求的长．
（2）如图2，过点作交于，连接交于，求的长．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：
（2）解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的长是．
【解析】【分析】（1）利用 ADB~ BDC即可解决问题；
（2）根据已知条件证明 MBD是等腰三角形，求出MB，再证明 MNB~ CND求出DN的值；
46．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，2）是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点P（n，0）且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM＞S△OPN时，直接写出n的取值范围
【答案】（1）解：把代入，得，
∴点A坐标为，
把代入，得，
∴反比例函数表达式为；
（2）或
【解析】【解答】解：（2）
如图，当时，解得：或，
∵，
∴，
∴或．
【分析】（1） 把代入 中求出a值，即得点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出k值即可；
（2）联立反比例函数与一次函数解析式，可求出两函数图象交点的横坐标，由可得
，结合图象可得或．
47．在菱形 中， ，点 是对角线 上一点，连接 ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 并延长得到射线 ，交 的延长线于点 ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系： ．
【答案】（1）解：补全图形，如图所示．
（2）解：方法一：
证明：连接BE，如图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
，
．
是菱形ABCD的对角线，
∴ ．
．
由菱形的对称性可知，
，
．
．
．
，
．
．
在 与 中，
∴ ≌ ．
．
方法二：
证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
，
．
是菱形ABCD的对角线，
∴ ．
．
由菱形的对称性可知，
， ．
，
．
．
在 与 中，
∴ ≌ ．
．
（3） .
【解析】【解答】（3）由（2）得，EC=BG，EG=BC
在三角形ABC中，BA=BC，
．
【分析】（1）根据题意直接作图即可；
（2）连接BE，根据已知条件和图形可以证明 ≌ ，即可得到答案；
（3）根据 ≌ ，得到EC=BG，EGBC，根据等腰三角形的性质和∠BAC=30°，求出AB和BC的关系即可。
48．综合与实践
已知四边形 与 均为正方形．
（1）数学思考：
如图1，当点 在 边上，点 在 边上时，线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）在图1的基础上，将正方形 以点 为旋转中心，逆时针旋转角度 ，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
拓展探索：
（3）如图3，若点 ， ， 在同一直线上，且 ，则线段 长为 ．（直接写出答案即可，不要求写过程）．
【答案】（1）BE=DG；BE⊥DG
（2）解：成立，
如图，延长 ，与 交于点 ，
∵四边形 与 均为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形 与 均为正方形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案是： ， ；
（3）如图，过点A作 于点M，
由（2）知 ，
∵GE是正方形AEFG的对角线，
∴ ，
则 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案是： ．
【分析】（1）根据正方形的性质得到 ， ， ，即可证明 ， ；（2）延长 ，与 交于点 ，证明 ，得 ， ，再由 即可证明结论；（3）过点A作 于点M，由 ，证明 是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM和EM的长，再算出BM的长，即可得到BE的长．
49．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
（1）求证：∠DAF＝∠CDE；
（2）求证：△ADF∽△DEC；
（3）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC
∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2
∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠1=∠3
∴∠DAF=∠CDE
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∴∠2=∠4
由（1）得∠1=∠3
∴△ADF∽△DEC
（3）解：∵AE⊥BC，∴AE⊥AD
∴DE=
由上可得△ADF∽△DEC，CD=AB=7
∴
∴
∴AF=
【解析】【分析】（1）由平行四边形对角相等可知：∠AFE=∠B=∠ADC；由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可知∠AFE=∠ADF+DAF，即可得∠DAF＝∠CDE；
（2）利用对应两角相等的两个三角形相似即可得证；
（3）利用勾股定理可求出DE长，再由（2）中已证的相似三角形的性质即可求出AF长。
50．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，且OC=x1+x2，OA=x1x2
（1）求B点的坐标.
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BD的解析式．
（3）在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平形四边形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=2 ，x1x2=2
∵OC= x1+x2，OA= x1x2
∴OC=2 ，OA=2
∴B(2 ，2)
（2）解：在矩形OABC中，BC=2，AB=2
∴∠BAC=30°=∠AOB
∴△ABC≌△AB’C
∴∠B’AC=30°
∴∠B’AO=30°
∴AD=DC
∴AD=2 -DO
∵AD2=OD2+OA2
∴OD=
∴D( ，0)
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）
代入B(2 ，2)，D( ，0)
得 ，解得
∴直线BD的解析式为y=
（3）解：存在。理由如下：
由（2）可知DC=OC-OD=，
∴当BC或BD 是平行四边形的对角线时，则BP∥DC，BP=DC，
∴P点坐标为()，即P()，或()，
当DC是平行四边形的对角线时，则PD∥BC，PD=BC，
∴P点坐标为()，
即P()，
∴ P1( ，2)，P2( ，2) ，P3( ，-2)
【解析】【分析】（1）根据韦达定理结合题意可知矩形边长OC、OA，利用矩形对边相等即可得B点坐标；
（2）根据折叠的性质利用勾股定理可得D点坐标，结合（1）的结果运用待定系数法即可确定直线BD的解析式；
（3）分BC、DC、BD是平行四边形的对角线三种情况，根据点B、D坐标利用平移的性质，逐个解答即可。
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