江苏省如皋市四校09-10学年高二上学期期中联考试题（数学理）

如皋市四校09-10学年高二上学期期中联考试题
数学（理科）
命题人：薛中 陆建进 审核人：薛中 朱小平
参考公式：
锥体体积公式V=Sh 直棱柱侧面积公式S=ch
台体体积公式V=h(S上底+S下底+)
球的表面积、体积公式 ，其中R为球的半径
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1、命题“”的否定是_ ____.
2、已知点，且该点在三个坐标平面平面，平面，平面上的射影的坐标依次为，和，则的值为 .
3、如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的
直观图，则这个平面图形的面积是 _ ____.
4、设为不重合的三个平面，表示直线，下列叙述正确的序号是 _ ___.
① 若，则PQ；
②若,,则且；
③ 若∥且∥，则∥；
④ 若，则。
第8题图
5、设A是C的充分必要条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么A是B的__ _____条件
6、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为_ ____.
7、已知＝（1，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于 　 　．
8、如右上图，正方体,点M是的中点，点O是底面的中心，
P是上的任意一点，则直线BM与OP所成的角大小为 __
9、个圆台的体积是，它的下底面积是上底面积的9倍，则截得这个圆台的圆锥的体积是　_ ____.
10、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出下面三个判断：
①；②；③与的夹角为600； 其中正确的序号是 ．
11、如图有一根高为，底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 （结果用表示）
12、已知正三棱锥直观图、主视图如图所示，其中主视图中，，则这个正三棱锥的左视图的面积为 ．
13、设x、y、z是空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，在下列几个条件中，能保证“若x⊥z且y⊥z，则x∥y”为真命题的有 。
①x为直线，y、z是平面； ②x、y、z均为平面；
③x、y为直线，z为平面； ④x、y为平面，z为直线
14、已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为 _ ____.
二．解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15、（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是AA1、CC1的中点，（1） 求证：点D1、E、F、B共面．（2）连结D1E并延长交DA的延长线于M，连结D1F并延长交DC的延长线于N，求证：M、B、N共线
16、（本小题满分14分）在正方体中，分别是，CD的中点，
（1）求证：平面ADE； （2）求的夹角
17、（本小题满分15分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩直观图、主（正）视图和俯视图如图所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积；
（3）该安全标识墩的表面（不包括下底面）由铁皮制成，问制造一个这样的安全标识墩至少需要多少平方厘米的铁皮？

18、（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，，分别为线段的中点，求证：（1）面；（2）平面；（3）试在上找一点，使平面∥平面，并证明你的结论；
19、（本小题满分16分）
如图，正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为、上的点，且CF=2GD=2.求：
（1）DC与面EFG所成的角正弦值；
（2）求二面角E-GF-C的余弦值；
（3）在直线上是否存在点P，使得DP//面EFG?,若存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由。
20.(本题满分16分)
三个全等的等边三角形拼成如图l所示的等腰梯形ABCD，AD∥BC．将△ABE沿AE折起，使平面平面(如图2)，连结BC、BD，点F、P分别是CD、BC的中点．
(1)若M是AE中点，求证：AE⊥平面BMD；(4分) ’
(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(6分)
(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由．(4分)
如皋市四校09-10学年高二上学期期中联考试题
高二数学参考答案及评分标准
填空题
1． 2. 0 3. 4. _① 、 ② 、③ 5. _充要
6. 7. 25 8. 9. 54 10. ① 、 ② 11. 5 12. 13. ①、③、④ 14.
二、解答题
15．（本题满分14分）
证明：（1）取中点G，因为E、G分别为AA1，B1B的中点，所以四边形AEGB1为平行四边形， ，又，所以，即四边形EGC1D1为平行四边形，所以，又四边形BGFC1为平行四边形，C1G∥BF，所以BF∥D1E，所以点D1、E、F、B共面……………7分
（2）由（1）得D1、E、F、B共面，设平面D1EFB平面ABCD=，则B，
又M= D1EDA，所以M平面D1EFB，且M平面ABCD，所以M，同理N
所以M、B、N都在直线上，即M、B、N共线。……………14分
16．解：建立如图所示的直角坐标系……………………………………………………1分
（1）不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），
E（1，1，），F（0，，0），
则＝（0，，－1），＝（1，0，0），
＝（0，1，），
则＝0，
＝0,
，.
平面ADE. ………………………………………7分
（２）（1，1，1），C（0，1，0），
故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），…………………9分
＝－1＋0－＝－，
，，
则cos. ……… ………13分
…………………………………………………14分
17（本题满分15分）．
(1)侧视图同正视图,如下图所示. ………………4分
　（２）该安全标识墩的体积为：
　　
　　…………………………………………………9分
（３）由题意知正四棱锥的斜高为…………………………………………………12分
所以表面积
答：略…………………………………………………15分
18．（本题满分15分）
(1),

，
面；………………4分
(2)
………………………………………………9分
（3）G为中点………………………………………………10分
………………………………………………………………………15分
19. （本题满16分）
解：（1）如图，以D为原点建立空间直角坐标系
则E(1，2，0)，F（0，2，2），G（0，0，1）
∴=（－1，0，2），=（0，－2，－1），
设=（x，y，z）为面EFG的法向量，则
=0，=0，x=2z，z=-2y，取y=1，
得=（－4，1，－2） …………………………4分
=（0，2，0），设DC与面EFG所成的角为θ，
则，=…………………………7分
（2）设二面角E-GF-C的平面角为
易知=（2，0，0）为面的法向量…………………………………8分

二面角E-GF-C的余弦值为………………………………………………11分
（3）存在点P，在B点下方且BP=3， …………………………………13分
假设存在点P（2，2，x）使得DP//面EFG
由 =0得 x=-3
所以：存在点P，在B点下方且BP=3，此时P(2，2，－3)
=(2，2，－3)，∴=0，∴DP//面EFG ……………………………………16分
20. （本题满分16分）
证明：（1）取中点，连接．
与都是等边三角形
平面
平面………………………………………………4分
（2）证明：

…………………………………………………………………………………………10分
（3）与平面不垂直．………………………………………………11分
证明：假设平面， 则
平面
，平面 平面
，这与矛盾
与平面不垂直．
…………………………………………………………………………………16分