第一章 三角形的证明 单元测试B卷提升训练（含详解） 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 单元测试B卷提升训练
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列各命题的逆命题是假命题的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补 B.如果,那么
C.等边三角形每个内角都等于60° D.对顶角相等
2.如图,在中,,以顶点A为圆心,适当长为半径画圆弧,分别交、于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于长为半径画圆弧,两弧交于点F,作射线交边于点G.若,,则的面积是( )
A.150 B.120 C.80 D.60
3.如图，在中，，是等边三角形，与相交于点M，与相交于点N.若，则与的数量关系为( )
A. B.
C. D.
4.如图,中,,,,垂足为Q,延长MN至G,取,若的周长为12,,则周长是( )
A. B. C. D.
5.如图,在中,,,平分交于点D,在上找一点E,连接,使,若,则的长为( )
A. B. C.6 D.5
6.如图,等腰三角形的底边长为4,面积是16,腰的垂直平分线分别交,边于E,F点,若点D为边的中点,点M为线段上一动点,则周长的最小值为( )
A.12 B.8 C.10 D.20
7.如图，M，A，N是直线l上的三点，，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N处停止，在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )
A.直角三角形、等边三角形、直角三角形、等腰三角形
B.直角三角形、等腰三角形、直角三角形、等边三角形
C.等腰三角形、直角三角形、等腰三角形、直角三角形
D.等腰三角形、直角三角形、等边三角形、直角三角形
8.如图,在等边中,与的平分线交于点D,分别作,的垂直平分线,,分别交于点M,N,则与边长的关系是( )
A. B.
C. D.无法确定其倍比关系
9.如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点F，连接，将三角形沿着折叠后，点C的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交于点M，点N，连接，，下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论序号是( ).
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.如图,P,Q是边上的两点,且,则的度数为______.
12.如图,中,动点D在直线上,当为等腰三角形,______.
13.如图,在中,,,的面积是,的垂直平分线分别交,边于点E,F.若点D为边的中点,点M为线段上一动点,连接,,则的最小值为______.
14.如图,在中,,平分交于点D,于点E,则下列结论：①平分；②；③平分；④若,则.其中正确的有____________(填写正确的序号)
15.如图,已知为等边三角形,边长为,点D,E分别是过,上的动点,点D从点A开始沿射线方向运动,同时点E从点B开始沿射线方向运动,点D运动速度始终是点E运动速度的2倍,以为边向右侧作等边三角形.点G是边的中点,连接,则的最小值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）如图是风筝的结构示意图,点D是等边三角形的外部一点,且,过点D作交于点F,交于点E.
(1)求证：垂直平分线段；
(2)若,,求的长.
17.（8分）已知,如图,在中,,,的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D,过点D的直线于点E,于点F(或AC延长线)
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求AE的长.
18.（10分）如图,P为等边三角形内一点,分别连接,,,,,.以为边作等边三角形,连接.
(1)求证：；
(2)求的度数.
19.（10分）数学课上刘老师提出了下面的问题：
如图,在中,,的垂直平分线分别交,于D,E,,于G,,你能得到什么结论 (此问题不用解答).
(1)智慧小组同学通过观察,于G,这些条件,发现能得出这一结论请判断智慧小组同学的结论是否正确,并说明理由.
(2)创新小组同学在智慧小组同学发现结论的基础上,结合,的垂直平分线分别交,于D,E,这两个条件,通过深入思考,发现能证明,他们又进行了创新尝试,发现：若,,则可求线段的长度.请尝试证明,并求解创新小组同学提出的新问题：求出线段的长度.
20.（12分）综合与实践
【情境再现】
如图①,的平分线与的外角的平分线相交于点E.
【提出问题】
(1)试说明与满足怎样的数量关系,请写出证明过程.
【数学感悟】
(2)如图②,在中,,D是上一点,将沿翻折得到,与相交于点F.延长交于点M,若平分,平分,求的度数.
【学以致用】
(3)如图③,在四边形中,平分,,若,求的度数.
21.（12分）如图,在中,点E在线段的延长线上,连接、,,；
(1)如图1,求证：是等腰三角形；
(2)如图2,,求证：；
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,点F是线段中点,连接,,于点H,,的面积为,求线段的长.
答案以及解析
1.答案：D
解析：A、两直线平行,同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补,两直线平行,逆命题是真命题,不符合题意;
B、如果,那么的逆命题是如果,那么.逆命题是真命题,不符合题意;
C、等边三角形每个内角都等于的逆命题是每个内角都等于的三角形是等边三角形,逆命题是真命题,不符合题意;
D、对顶角相等是逆命题是相等的角是对顶角,逆命题是假命题,符合题意;
故选:D.
2.答案：D
解析：如图,过点G作于点H,
由作图过程可知平分,
∵,
∴,
∴,
∴.
故选D.
3.答案：C
解析：如图，
∵是等边三角形，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
.
故选C.
4.答案：C
解析：∵,,
∴是等边三角形,
∵,
∴,,,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∵的周长为12,,
∴,,,
∴周长是,
故选C.
5.答案：C
解析：过点D作于F,
∴,
∵,平分,
∴,
∵,
∴,
∵,平分,
∴,
∴.
故选：C.
6.答案：C
解析：连接,
∵是等腰三角形,点D是边的中点,
∴,,
∴,
解得,
∵是线段的垂直平分线,
∴点C关于直线的对称点为点A,
∴的长为的最小值,
∴周长的最小值为.
故选：C.
7.答案：D
解析：当点Q移动到AM的三等分点（靠近点A）处时，，此时Q在A的左侧，且，是等腰三角形；当点Q移动到点A的右侧，且时，是直角三角形；当点Q移动到点A的右侧，且时，是等边三角形；当点Q移动到点A的右侧，且时，是直角三角形.综上，在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、直角三角形.
8.答案：B
解析：连接、,
∵是等边三角形,
∴,
∵是是角平分线,是的角平分线,
∴,,
∵、分别是、的垂直平分线,
∴,,
∴,,
∴,,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
故选：B.
9.答案：C
解析：如图所示：
当点A与点重合时，
∵三角形沿着折叠后，点C的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，
∴，
∵等腰三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点A与点重合时，，
∴；
当点A与点F重合时，如图所示：
∵三角形沿着折叠后，点C的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，
∴，
∵等腰三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点A与点F重合时，，
综上可得：
故选：C.
10.答案：A
解析：是等边三角形，
，，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，故①正确；
设，则，
，，
中，，，
，
，故②正确；
③如图，过作于，连接，
在等边三角形中，
，
平分，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，故③正确；
设
在中，，
，是的中点，，则，
设则，，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
故④错误，
故①②③正确.
故选：A.
11.答案：/120
解析：,
∴是等边三角形,,,
,
又∵,,
,
,
故答案为：.
12.答案：或或或
解析：若,
则；
若,
则,
∴；
若,且三角形是锐角三角形,
则；
若,且三角形是钝角三角形,
则.
综上：的度数为或或或,
故答案为：或或或.
13.答案：
解析：连接,
∵是等腰三角形,点D是边的中点,
∴,
∴,
∴,
∵是线段的垂直平分线,
∴点C关于直线的对称点为点A,连接,则
∴当点M在线段上时,的值最小,
∴的长为的最小值,即为,
故答案为：.
14.答案：①②④
解析：平分,
,
,,
,
,
,
,
①平分正确；
无法证明,
③平分错误；
,,
,
,,
,,
,
④正确；
,,
,
②正确.
故答案是：①②④.
15.答案：
解析：∵点D运动速度始终是点E运动速度的2倍,
∴设,则,,
如图,在上截取,连接,,
则,,
∵为等边三角形,
∴,
∵,
∴为等边三角形,
∴,
∵为等边三角形,
∴,
∵,
∴,
在和中,
∴,
∴,
∴
作射线,如图所示,
在中,,,,
取的中点M,连接,
则,
∴,
∴为等边三角形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴是的角平分线,
即：点在的角平分线上运动,
如图所示,作于,此时,最小,
∵G是的中点,
∴,
在中,,
∴,
∴的最小值为.
故答案为：.
16.答案：(1)见解析
(2)6
解析：(1)证明：∵等边三角形,
∴,
又∵,
∴垂直平分线段；
(2)∵等边三角形,
∴,
∵垂直平分线段,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴的长为6.
17.答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
解析：(1)证明：,,
,
AD平分,
,
,
；
(2)连接BD,CD,
DG平分且垂直BC,
,
,
平分,且,,
,
,
；
(3)∵,,
∴,
在中,,,
∴.
18.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：∵、都是等边三角形,
∴,,,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴；
(2)∵是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
而,
∵,
,
∴,
∴为直角三角形,且,
∴.
19.答案：(1)正确,详见解析
(2)
解析：(1)正确,理由如下：
∵,,
∴,
∴,,
∴,
∵,
,
∴；
(2)连接,
∵垂直平分,
∴,
∴,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
20.答案：(1),证明见解析
(2)
(3)
解析：(1),
证明：∵平分,平分,
∴,,
∵,,
∴,
∴；
(2)延长到N,如图,
∵,
∴,
∵平分,
∴,
∴平分,
∵平分,
∴由(1)得,
由折叠得,
∴,
∵,
∴；
(3)过点D作,,,垂足分别为M、N、O,
∵,,
∴,
∴平分,
∵平分,,
∴由()得,
∴,
∵平分,平分,,,,
∴,,
∴,
∴平分,
∴.
21.答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
解析：(1)证明：,
,
,
,即,
,
是等腰三角形；
(2)证明：,,
是等边三角形,
,
如图,延长至H,使,
又,
是等边三角形,
,,
,
,
在和中,
,
,
,
；
(3)由(2)知是等边三角形,
如图,延长至P,使,连接,过点E作于G,
点F是线段中点,
,
,
,
设,则,
,
,
在和中,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
由(2)知：,
,
在和中,
,
,
,
∵,
,
,,
,
,
,
,
.