7.1 相交线
7.1.1 两条直线相交
课时学习目标 素养目标达成
1.理解对顶角、邻补角的概念. 几何直观、模型观念
2.探索并掌握对顶角相等的性质. 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
【新知要点】 【对点小练】
1.邻补角的概念及性质 邻补角概念有一条 公共边 ,而且另一边互为 反向延长线 的两个角 性质邻补角 互补
1.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠COF的邻补角有 2 个.
2.对顶角的概念及性质 对顶角概念有一个 公共顶点 ,而且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角 性质对顶角 相等
2.判断题(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)两条直线相交所成的四个角都相等.(×) (2)两条直线相交,对顶角相等.(√)
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1对顶角、邻补角的定义(模型观念)
【典例1】如图,直线AB与CD相交于点O,OE为射线.
(1)写出∠AOC的对顶角.
(2)写出∠AOE的邻补角.
【自主解答】(1)∠AOC的对顶角是∠BOD.
(2)∠AOE的邻补角是∠BOE.
【举一反三】
1.(2024·武汉期中)在下列图形中,∠1与∠2是对顶角的是(B)
2. (2024·上海期中)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥AB,那么下列选项中与∠AOC互为邻补角的是(A)
A.∠BOC B.∠BOD
C.∠COE D.∠BOE
【技法点拨】
邻补角、对顶角的识别方法
1.识别邻补角:①找顶点,②分别以一边为公共边,找另一边的反向延长线;
2.识别对顶角:①找顶点,②找两边的反向延长线.
重点2对顶角、邻补角的性质(推理能力)
【典例2】(教材再开发·教材P3例1拓展)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数;
(2)若∠EOC=∠EOD,求∠BOD的度数.
【自主解答】(1)因为OA平分∠EOC,
所以∠AOC=∠EOC=35°,
所以∠BOD=∠AOC=35°;
(2)因为∠EOC=∠EOD,∠EOC+∠EOD=180°,
所以∠EOD+∠EOD=180°,
所以∠EOD=108°,
所以∠EOC=×108°=72°.
因为OA平分∠EOC,
所以∠AOC=∠EOC=×72°=36°,
所以∠BOD=∠AOC=36°.
【举一反三】
1.(2024·深圳期中)如图,我们把剪刀的两边抽象成两条相交的直线,若∠1=40°,则∠2=(A)
A.40° B.50° C.100° D.130°
2.如图,直线AB,CD交于一点.
(1)若∠1+∠2=100°,则∠4的度数为 130° .
(2)若∠3-∠2=40°,则∠1的度数为 70° .
(3)若∠4∶∠2=5∶3,则∠1的度数为 67.5° .
【技法点拨】
应用对顶角、邻补角性质的两点注意
(1)利用对顶角、邻补角的性质,可以解决与相交线有关的角度计算问题.正确辨析对顶角、邻补角,掌握它们的性质是应用的前提.
(2)解决这类问题要善于寻找对顶角和邻补角,利用它们把所求的角与已知角联系起来.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)如图,直线AC和直线BD相交于点O,若∠1=50°,则∠2的度数是(C)
A.20° B.25° C.50° D.65°
2.(4分·运算能力)若∠AOB和∠BOC互为邻补角,且∠AOB比∠BOC大18°,则∠AOB的度数是(C)
A.54° B.81° C.99° D.162°
3.(4分·推理能力)如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α = ∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β 不一定是 对顶角.
4.(8分·运算能力)如图,AB,CD交于O点.
(1)如果∠AOD=3∠BOD,那么∠BOD= °,∠COB= °;
(2)如果∠AOC=2x°,∠BOC=(x+90)°,∠BOD=(y+4)°,求x,y的值.
【解析】(1)如果∠AOD=3∠BOD,
可以设∠BOD=a°,则∠AOD=3a°,
∵∠AOD+∠BOD=180°,∴3a°+a°=180°
解得a=45,
则∠BOD=45°,∠COB=135°;
答案:45 135
(2)已知∠AOC=2x°,∠BOC=(x+90)°,
根据这两个角互补,得2x°+x°+90°=180°,
解得x=30,∵∠BOD=∠AOC,∴(y+4)°=60°,∴y=56.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 一”7.1 相交线
7.1.1 两条直线相交
课时学习目标 素养目标达成
1.理解对顶角、邻补角的概念. 几何直观、模型观念
2.探索并掌握对顶角相等的性质. 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
【新知要点】 【对点小练】
1.邻补角的概念及性质 邻补角概念有一条 ,而且另一边互为 的两个角 性质邻补角
1.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠COF的邻补角有 个.
2.对顶角的概念及性质 对顶角概念有一个 ,而且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角 性质对顶角
2.判断题(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)两条直线相交所成的四个角都相等.(×) (2)两条直线相交,对顶角相等.(√)
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1对顶角、邻补角的定义(模型观念)
【典例1】如图,直线AB与CD相交于点O,OE为射线.
(1)写出∠AOC的对顶角.
(2)写出∠AOE的邻补角.
【举一反三】
1.(2024·武汉期中)在下列图形中,∠1与∠2是对顶角的是( )
2. (2024·上海期中)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥AB,那么下列选项中与∠AOC互为邻补角的是( )
A.∠BOC B.∠BOD
C.∠COE D.∠BOE
【技法点拨】
邻补角、对顶角的识别方法
1.识别邻补角:①找顶点,②分别以一边为公共边,找另一边的反向延长线;
2.识别对顶角:①找顶点,②找两边的反向延长线.
重点2对顶角、邻补角的性质(推理能力)
【典例2】(教材再开发·教材P3例1拓展)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数;
(2)若∠EOC=∠EOD,求∠BOD的度数.
【举一反三】
1.(2024·深圳期中)如图,我们把剪刀的两边抽象成两条相交的直线,若∠1=40°,则∠2=( )
A.40° B.50° C.100° D.130°
2.如图,直线AB,CD交于一点.
(1)若∠1+∠2=100°,则∠4的度数为 .
(2)若∠3-∠2=40°,则∠1的度数为 .
(3)若∠4∶∠2=5∶3,则∠1的度数为 .
【技法点拨】
应用对顶角、邻补角性质的两点注意
(1)利用对顶角、邻补角的性质,可以解决与相交线有关的角度计算问题.正确辨析对顶角、邻补角,掌握它们的性质是应用的前提.
(2)解决这类问题要善于寻找对顶角和邻补角,利用它们把所求的角与已知角联系起来.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)如图,直线AC和直线BD相交于点O,若∠1=50°,则∠2的度数是( )
A.20° B.25° C.50° D.65°
2.(4分·运算能力)若∠AOB和∠BOC互为邻补角,且∠AOB比∠BOC大18°,则∠AOB的度数是( )
A.54° B.81° C.99° D.162°
3.(4分·推理能力)如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α ∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β 对顶角.
4.(8分·运算能力)如图,AB,CD交于O点.
(1)如果∠AOD=3∠BOD,那么∠BOD= °,∠COB= °;
(2)如果∠AOC=2x°,∠BOC=(x+90)°,∠BOD=(y+4)°,求x,y的值.
