7.2.3 平行线的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握平行线的性质定理:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 几何直观、推理能力、模型观念
2.探索并证明平行线的性质定理:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补). 几何直观、推理能力、模型观念
3.能用平行线的性质进行简单的推理和计算. 推理能力、模型观念
4.能熟练地运用平行线的判定与性质进行推理和计算. 推理能力、模型观念、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
【新知要点】 【对点小练】
1.平行线的性质1 文字语言符号语言两直线平行,同位角 ∵AB∥CD, ∴∠1=
1.如图,已知直线a∥b,∠1=70°,则∠2等于( ) A.110° B.80° C.70° D.20°
2.平行线的性质2 文字语言符号语言两直线平行,内错角 ∵AB∥CD, ∴∠2=
2.如图,街道AB与CD平行,拐角∠ABC=137°,则拐角∠BCD=( ) A.43° B.53° C.107° D.137°
3.平行线的性质3 文字语言符号语言两直线平行,同旁内角 ∵AB∥CD, ∴∠3+∠4 =180°
3.如图,AB∥CD,AD⊥AC,若∠1=55°,则∠2的度数为( ) A.35° B.45° C.50° D.55°
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1平行线的性质(推理能力)
【典例1】 (教材再开发·P16例2拓展)如图,AB∥CD,CE平分∠ACD交AB于点E.若∠1=54°,
求∠2的度数.
【举一反三】
1.(2024·济宁模拟)将一副三角尺(厚度不计)如图摆放,使有刻度的两条边互相平行,则图中∠1的大小为( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
2.(2024·福州期中)如图是一款折叠LED护眼灯示意图,点C在底座AB上,CD,DE分别是长臂和短臂,若DE∥AB,∠DCA=70°,则∠CDE= .
【技法点拨】
利用平行线的性质求角度的方法
1.分析图形特征,得到角的位置关系;
2.应用平行线相关性质,明确数量关系(相等或互补);
3.结合角平分线、垂线等知识求解.
重点2平行线的性质与判定的综合应用(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P18例4拓展)如图,已知∠D=108°,∠BAD=72°,AC⊥BC于点C,EF⊥BC于点F.
试说明:∠1=∠2.
【举一反三】
1.(2024·兰州模拟)如图,已知∠1=∠2,∠3=118°,则∠4=( )
A.48° B.62° C.68° D.72°
2.如图,∠B+∠DCB=180°,AC平分∠DAB,若∠BAC=50°,则∠D= °.
3.填空完成下面说理过程.
已知:如图,∠1=∠2,BE,DF分别是∠ABC与∠ADE的平分线.证明DE∥BC.
解:∵∠1=∠2( ),
∴DF∥BE( ),
∴∠3=∠ ( ).
∵BE,DF分别是∠ABC与∠ADE的平分线( ),
∴∠ADE=2∠4,∠ABC=2∠ ( ),
∴∠ADE=∠ABC,
∴DE∥BC( ).
4.如图,DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1=35°,∠2=145°.
(1)说明:DE∥BF;
(2)求∠AFG的度数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)如图,AB⊥BC,AD∥BE,若∠BAD=28°,则∠CBE的大小为( )
A.66° B.64° C.62° D.60°
2.(3分·推理能力)如图,已知直线a⊥c,b⊥c,如果∠1=70°,那么∠2的度数是( )
A.70° B.100° C.110° D.120°
3.(3分·推理能力)如图,AB⊥AE,AB∥CD,∠CAE=42°,则∠ACD= .
4.(3分·推理能力)如图,GA∥FD,一副直角三角板ABC和DEF如图摆放,∠EDF=60°,∠BAC=45°,若BC∥DE,则下列结论:
①∠CAB=30°;②AB∥EF;③∠AED=120°;④EC平分∠DEF,正确的有 .(填序号)
5.(8分·推理能力)如图,DE∥AB,BF交DE于点C,∠ABC=∠ADC.
(1)AD与BF平行吗 请说明理由.
(2)若BD平分∠ABC,且∠1+∠2=115°,求∠2的度数.7.2.3 平行线的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握平行线的性质定理:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 几何直观、推理能力、模型观念
2.探索并证明平行线的性质定理:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补). 几何直观、推理能力、模型观念
3.能用平行线的性质进行简单的推理和计算. 推理能力、模型观念
4.能熟练地运用平行线的判定与性质进行推理和计算. 推理能力、模型观念、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
【新知要点】 【对点小练】
1.平行线的性质1 文字语言符号语言两直线平行,同位角 相等 ∵AB∥CD, ∴∠1= ∠3
1.如图,已知直线a∥b,∠1=70°,则∠2等于(C) A.110° B.80° C.70° D.20°
2.平行线的性质2 文字语言符号语言两直线平行,内错角 相等 ∵AB∥CD, ∴∠2= ∠3
2.如图,街道AB与CD平行,拐角∠ABC=137°,则拐角∠BCD=(D) A.43° B.53° C.107° D.137°
3.平行线的性质3 文字语言符号语言两直线平行,同旁内角 互补 ∵AB∥CD, ∴∠3+∠4 =180°
3.如图,AB∥CD,AD⊥AC,若∠1=55°,则∠2的度数为(A) A.35° B.45° C.50° D.55°
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1平行线的性质(推理能力)
【典例1】 (教材再开发·P16例2拓展)如图,AB∥CD,CE平分∠ACD交AB于点E.若∠1=54°,
求∠2的度数.
【自主解答】∵∠1=54°,
∴∠ACD=180°-∠1=180°-54°=126°,
又∵CE平分∠ACD,∴∠DCE=∠ACD=63°,
又∵AB∥CD,
∴∠2=180°-∠DCE=180°-63°=117°.
【举一反三】
1.(2024·济宁模拟)将一副三角尺(厚度不计)如图摆放,使有刻度的两条边互相平行,则图中∠1的大小为(B)
A.100° B.105° C.115° D.120°
2.(2024·福州期中)如图是一款折叠LED护眼灯示意图,点C在底座AB上,CD,DE分别是长臂和短臂,若DE∥AB,∠DCA=70°,则∠CDE= 110° .
【技法点拨】
利用平行线的性质求角度的方法
1.分析图形特征,得到角的位置关系;
2.应用平行线相关性质,明确数量关系(相等或互补);
3.结合角平分线、垂线等知识求解.
重点2平行线的性质与判定的综合应用(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P18例4拓展)如图,已知∠D=108°,∠BAD=72°,AC⊥BC于点C,EF⊥BC于点F.
试说明:∠1=∠2.
【自主解答】∵∠D=108°,∠BAD=72°(已知),∴∠D+∠BAD=180°,
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等).
又∵AC⊥BC于点C,EF⊥BC于点F(已知),∴∠ACB=∠EFB=90°,
∴EF∥AC(同位角相等,两直线平行),
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等),
∴∠1=∠2(等量代换).
【举一反三】
1.(2024·兰州模拟)如图,已知∠1=∠2,∠3=118°,则∠4=(B)
A.48° B.62° C.68° D.72°
2.如图,∠B+∠DCB=180°,AC平分∠DAB,若∠BAC=50°,则∠D= 80 °.
3.填空完成下面说理过程.
已知:如图,∠1=∠2,BE,DF分别是∠ABC与∠ADE的平分线.证明DE∥BC.
解:∵∠1=∠2( 已知 ),
∴DF∥BE( 内错角相等,两直线平行 ),
∴∠3=∠ 4 ( 两直线平行,同位角相等 ).
∵BE,DF分别是∠ABC与∠ADE的平分线( 已知 ),
∴∠ADE=2∠4,∠ABC=2∠ 3 ( 角平分线的定义 ),
∴∠ADE=∠ABC,
∴DE∥BC( 同位角相等,两直线平行 ).
4.如图,DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1=35°,∠2=145°.
(1)说明:DE∥BF;
(2)求∠AFG的度数.
【解析】(1)∵∠AGF=∠ABC,∴FG∥CB,
∴∠3=∠1=35°,
∵∠2=145°,
∴∠2+∠3=180°,∴DE∥BF;
(2)由(1)得:DE∥BF,
∴∠AFB=∠AED,
∵DE⊥AC,∴∠AED=90°即∠AFB=90°,
∴∠AFG=∠AFB-∠1=90°-35°=55°.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)如图,AB⊥BC,AD∥BE,若∠BAD=28°,则∠CBE的大小为(C)
A.66° B.64° C.62° D.60°
2.(3分·推理能力)如图,已知直线a⊥c,b⊥c,如果∠1=70°,那么∠2的度数是(C)
A.70° B.100° C.110° D.120°
3.(3分·推理能力)如图,AB⊥AE,AB∥CD,∠CAE=42°,则∠ACD= 132° .
4.(3分·推理能力)如图,GA∥FD,一副直角三角板ABC和DEF如图摆放,∠EDF=60°,∠BAC=45°,若BC∥DE,则下列结论:
①∠CAB=30°;②AB∥EF;③∠AED=120°;④EC平分∠DEF,正确的有 ②④ .(填序号)
5.(8分·推理能力)如图,DE∥AB,BF交DE于点C,∠ABC=∠ADC.
(1)AD与BF平行吗 请说明理由.
(2)若BD平分∠ABC,且∠1+∠2=115°,求∠2的度数.
【解析】(1)AD∥BF,理由如下:
∵DE∥AB,∴∠ABC=∠BCE,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠BCE=∠ADC,
∴AD∥BF;
(2)∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠1=∠ABC,
∵DE∥AB,
∴∠DCF=∠ABC=2∠1,
∵∠DCF+∠2=180°,
∴2∠1+∠2=180°,即∠2=180°-2∠1,
∵∠1+∠2=115°,
∴∠1+180°-2∠1=115°,
解得∠1=65°,
∴∠2=180°-2∠1=50°.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 六”
