7.3 定义、命题、定理
课时学习目标 素养目标达成
1.通过具体实例,了解命题、定理的意义. 推理能力、模型观念
2.结合具体实例,会区分命题的条件和结论. 推理能力、模型观念
3.经历判断命题真假的过程,对命题的真假有一个初步的了解. 推理能力、模型观念
4.知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑. 推理能力、模型观念
5.初步培养学生不同几何语言相互转化的能力. 几何直观、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
【新知要点】 【对点小练】
1.命题 1.(1)下列句子,是命题的是(B) A.美丽的天空 B.相等的角是对顶角 C.作线段AB=CD D.你喜欢运动吗 (2)命题“如果x2=y2,那么x=y”是 假 (填“真”或“假”)命题.
2.定理 有些命题的正确性是通过推理证实的,这样得到的 真命题 叫作定理,定理也可以作为继续推理的依据. 2.把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……,那么……”的形式: 如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线互相平行 .
3.证明 3.举反例说明下面命题是假命题. (1)两个负数的差一定是负数. (2)一正一负两个数的和为0. 【解析】(1)-1-(-2)=-1+2=1, 所以两个负数的差一定是负数是假命题; (2)-1+2=1,所以一正一负两个数的和为0是假命题.
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1命题的判定与改写(模型观念)
【典例1】把下列命题改成“如果……那么……”的形式.
(1)不相交的两条直线是平行线;
(2)相等的两个角是对顶角;
(3)绝对值相等的两个数相等.
【自主解答】(1)不相交的两条直线是平行线,∵原命题的题设是“两条直线不相交”,结论是“这两条直线平行”,∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果……那么……”的形式为“如果两条直线不相交,那么这两条直线平行”.
(2)相等的两个角是对顶角,
∵原命题的题设是“两个角相等”,结论是“这两个角是对顶角”,∴命题“相等的两个角是对顶角”写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角相等,那么这两个角是对顶角”.
(3)绝对值相等的两个数相等,
∵原命题的题设是“两个数的绝对值相等”,结论是“这两个数相等”,
写成“如果……那么……”的形式为“如果两个数的绝对值相等,那么这两个数也相等”.
【举一反三】
1.下列选项中属于命题的是(C)
A.任意一个三角形的内角和一定是180°吗
B.画一条直线
C.异号两数之和一定是负数
D.连接A,B两点
2.(2024·北京模拟)把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果……,那么……”的形式是 如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角 .
【技法点拨】
确定命题的题设和结论的三点注意
(1)在找命题的题设和结论时,要分清命题的“已知事项”和“推出事项”.
(2)准确地找出“题设”和“结论”,不能增加或减少“题设”和“结论”的内容.
(3)为了准确表达命题的题设和结论,有时对命题的词序进行调整或增减,使之语句通顺,语意明确,但是不能改变原意.
重点2命题的真假与证明(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P24习题7.3T1拓展)将下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并判断它们是真命题还是假命题,若是假命题,请举出反例.
(1)互为相反数的两个数的和为零;
(2)同旁内角互补.
【自主解答】(1)如果两个数互为相反数,那么它们的和为零;是真命题;
(2)如果两个角是同旁内角,那么它们互补;是假命题,
反例:如图,
∠1和∠2是同旁内角,
但两直线不平行,故∠1和∠2不互补.
【举一反三】
下列命题为假命题的是(C)
A.垂线段最短
B.两条直线相交,若邻补角相等,则这两条直线互相垂直
C.相等的角是对顶角
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
【技法点拨】
关于证明的三点说明
(1)要说明一个命题是真命题需要通过推理证明;
(2)对于证明的每一步,必须有推理依据,不能“想当然”,这些依据可以是已知的条件,也可以是定义、定理和基本事实等;
(3)说理过程应符合逻辑顺序,同时使用规范性语言和证明格式,能说出证明过程每一步的依据.
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课时学习目标 素养目标达成
1.通过具体实例,了解命题、定理的意义. 推理能力、模型观念
2.结合具体实例,会区分命题的条件和结论. 推理能力、模型观念
3.经历判断命题真假的过程,对命题的真假有一个初步的了解. 推理能力、模型观念
4.知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑. 推理能力、模型观念
5.初步培养学生不同几何语言相互转化的能力. 几何直观、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
【新知要点】 【对点小练】
1.命题 1.(1)下列句子,是命题的是( ) A.美丽的天空 B.相等的角是对顶角 C.作线段AB=CD D.你喜欢运动吗 (2)命题“如果x2=y2,那么x=y”是 (填“真”或“假”)命题.
2.定理 有些命题的正确性是通过推理证实的,这样得到的 叫作定理,定理也可以作为继续推理的依据. 2.把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……,那么……”的形式: .
3.证明 3.举反例说明下面命题是假命题. (1)两个负数的差一定是负数. (2)一正一负两个数的和为0.
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1命题的判定与改写(模型观念)
【典例1】把下列命题改成“如果……那么……”的形式.
(1)不相交的两条直线是平行线;
(2)相等的两个角是对顶角;
(3)绝对值相等的两个数相等.
【举一反三】
1.下列选项中属于命题的是( )
A.任意一个三角形的内角和一定是180°吗
B.画一条直线
C.异号两数之和一定是负数
D.连接A,B两点
2.(2024·北京模拟)把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果……,那么……”的形式是 .
【技法点拨】
确定命题的题设和结论的三点注意
(1)在找命题的题设和结论时,要分清命题的“已知事项”和“推出事项”.
(2)准确地找出“题设”和“结论”,不能增加或减少“题设”和“结论”的内容.
(3)为了准确表达命题的题设和结论,有时对命题的词序进行调整或增减,使之语句通顺,语意明确,但是不能改变原意.
重点2命题的真假与证明(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P24习题7.3T1拓展)将下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并判断它们是真命题还是假命题,若是假命题,请举出反例.
(1)互为相反数的两个数的和为零;
(2)同旁内角互补.
【举一反三】
下列命题为假命题的是( )
A.垂线段最短
B.两条直线相交,若邻补角相等,则这两条直线互相垂直
C.相等的角是对顶角
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
【技法点拨】
关于证明的三点说明
(1)要说明一个命题是真命题需要通过推理证明;
(2)对于证明的每一步,必须有推理依据,不能“想当然”,这些依据可以是已知的条件,也可以是定义、定理和基本事实等;
(3)说理过程应符合逻辑顺序,同时使用规范性语言和证明格式,能说出证明过程每一步的依据.
