8.1 平方根
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解平方根的概念,会用根号表示数的平方根. 抽象能力、运算能力、推理能力
2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求一个数的平方根. 抽象能力、运算能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
【新知要点】 【对点小练】
1.平方根 (1)定义:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. (2)表示与读法:正数a的平方根可以用符号 ± 表示,读作 正、负根号a . 1.“的平方根是±”,下列各式表示正确的是(B) A.=± B.±=± C.= D.±=
2.平方根的性质 (1)正数有 两个 平方根,它们 互为相反数 . (2)0的平方根是 0 . (3)负数 没有 平方根. 2.若2m-4与3m-1是同一个正数两个不同的平方根,则m的值为(B) A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1
3.开平方 (1)定义:求一个数的 平方根 的运算,叫作开平方. (2)平方与开平方的关系: 互为逆运算 . 3.因为42= 16 ,(-4)2= 16 ,所以4和-4都是 16 的平方根.
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1求一个非负数的平方根(模型观念)
【典例1】(教材再开发·P40例1强化)
求下列各数的平方根:
(1)121;(2)2;(3)(-13)2; (4)-(-4)3.
【自主解答】(1)因为(±11)2=121,
所以121的平方根是±11;
(2)2=,因为(±)2=,
所以2的平方根是±;
(3)(-13)2=169,因为(±13)2=169,
所以(-13)2的平方根是±13;
(4)-(-4)3=64,因为(±8)2=64,
所以-(-4)3的平方根是±8.
【举一反三】
1.若x2-9=0,则x的值为(C)
A.3 B.-3 C.±3 D.81
2.(1)的平方根为 ± ;
(2)1.44的平方根为 ±1.2 ;
(3)(-2)2的平方根为 ±2 ;
(4)0.12的平方根为 ±0.1 .
【技法点拨】
求一个数的平方根的方法
(1)对于易求出平方根的数,通常先写出哪个数的平方等于已知数,然后写出这个数的平方根.
(2)对于带分数,应先把其化为假分数,再求其平方根.
(3)对于不易求出平方根的正数a,其平方根为±,它的大小可以用计算器直接得出.
重点2平方根性质的应用(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P41思考拓展)
(1)25的平方根是 ,
的平方根是 ;
(2)根据(1)的结论可得:一个正数的平方根有 个,它们互为 ;
(3)一个正数的两个平方根是4a-5和2-3a,求a及这个正数.
【自主解答】(1)因为(±5)2=25,
所以25的平方根为±5.
因为(±)2=,所以的平方根为±.
答案:±5 ±
(2)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.
答案:两 相反数
(3)由题意得,4a-5+2-3a=0,解得a=3,
当a=3时,4a-5=7,2-3a=-7,
所以这个正数为(±7)2=49.
【举一反三】
1.[数学传统文化]中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数术》,卷首有“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之”,说明了所谓“代数”,就是用符号来代表数的一种方法.若一个正数的平方根分别是2a-3和5-a,则这个正数是 49 .
2.若m是169的正的平方根,n是121的负的平方根,求:
(1)m+n的值;
(2)(m+n)2的平方根.
【解析】(1)因为132=169,所以m=13.
因为(-11)2=121,所以n=-11,
所以m+n=13+(-11)=2;
(2)因为(m+n)2=4=(±2)2,
所以(m+n)2的平方根是±2.
【技法点拨】
依据平方根的性质求字母的值的思路
(1)若已知一个正数的两个平方根,则这两个平方根互为相反数;
(2)若已知两个数都是一个正数的平方根,则这两个数相等或互为相反数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)0.04的平方根是(B)
A.0.2 B.±0.2 C.0.02 D.±0.02
2.(4分·推理能力)平方根等于它本身的数是(B)
A.-1 B.0 C.1 D.±1
3.(4分·推理能力)下列说法中,正确的是(C)
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.-10是100的一个平方根
D.-1的平方根是-1
4.(8分·运算能力)求下列各式的平方根.
①36; ②; ③; ④0.01.
【解析】①±=±6;②±=±;
③±=±;④±=±0.1.
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第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解平方根的概念,会用根号表示数的平方根. 抽象能力、运算能力、推理能力
2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求一个数的平方根. 抽象能力、运算能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
【新知要点】 【对点小练】
1.平方根 (1)定义:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. (2)表示与读法:正数a的平方根可以用符号 表示,读作 . 1.“的平方根是±”,下列各式表示正确的是( ) A.=± B.±=± C.= D.±=
2.平方根的性质 (1)正数有 平方根,它们 . (2)0的平方根是 . (3)负数 平方根. 2.若2m-4与3m-1是同一个正数两个不同的平方根,则m的值为( ) A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1
3.开平方 (1)定义:求一个数的 的运算,叫作开平方. (2)平方与开平方的关系: . 3.因为42= ,(-4)2= ,所以4和-4都是 的平方根.
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1求一个非负数的平方根(模型观念)
【典例1】(教材再开发·P40例1强化)
求下列各数的平方根:
(1)121;(2)2;(3)(-13)2; (4)-(-4)3.
【举一反三】
1.若x2-9=0,则x的值为( )
A.3 B.-3 C.±3 D.81
2.(1)的平方根为 ;
(2)1.44的平方根为 ;
(3)(-2)2的平方根为 ;
(4)0.12的平方根为 .
【技法点拨】
求一个数的平方根的方法
(1)对于易求出平方根的数,通常先写出哪个数的平方等于已知数,然后写出这个数的平方根.
(2)对于带分数,应先把其化为假分数,再求其平方根.
(3)对于不易求出平方根的正数a,其平方根为±,它的大小可以用计算器直接得出.
重点2平方根性质的应用(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P41思考拓展)
(1)25的平方根是 ,
的平方根是 ;
(2)根据(1)的结论可得:一个正数的平方根有 个,它们互为 ;
(3)一个正数的两个平方根是4a-5和2-3a,求a及这个正数.
【举一反三】
1.[数学传统文化]中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数术》,卷首有“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之”,说明了所谓“代数”,就是用符号来代表数的一种方法.若一个正数的平方根分别是2a-3和5-a,则这个正数是 .
2.若m是169的正的平方根,n是121的负的平方根,求:
(1)m+n的值;
(2)(m+n)2的平方根.
【技法点拨】
依据平方根的性质求字母的值的思路
(1)若已知一个正数的两个平方根,则这两个平方根互为相反数;
(2)若已知两个数都是一个正数的平方根,则这两个数相等或互为相反数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)0.04的平方根是( )
A.0.2 B.±0.2 C.0.02 D.±0.02
2.(4分·推理能力)平方根等于它本身的数是( )
A.-1 B.0 C.1 D.±1
3.(4分·推理能力)下列说法中,正确的是( )
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.-10是100的一个平方根
D.-1的平方根是-1
4.(8分·运算能力)求下列各式的平方根.
①36; ②; ③; ④0.01.8.1 平方根
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过实际生活中的例子认识算术平方根. 抽象能力、模型观念
2.了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根. 抽象能力、运算能力、模型观念
3.会用平方运算求一个数的算术平方根,会用计算器求算术平方根. 抽象能力、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
【新知要点】 【对点小练】
1.算术平方根 (1)定义:正数a有 个平方根,其中 的平方根叫作a的算术平方根. (2)记法与读法:正数a的算术平方根记作 ,读作 . 2.0的算术平方根 0的算术平方根是 ,也就是说= . 1.(1)52的算术平方根是 ; (2)(-5)2的算术平方根是 ; (3)x2的算术平方根是 ; (4)(x+2)2的算术平方根是 . 2. 的算术平方根是0.
3.的双重非负性 被开方数a是 ,是 . 3.若+=0,则ab等于( ) A.6 B.-6 C.1 D.-1
4.算术平方根的求法 (1)根据算术平方根的定义,用 的方法; (2)利用计算器. 4.已知≈11.09, ≈35.07, 那么≈ .
5.比较算术平方根的大小 被开方数越大,算术平方根 . 5.比较大小: 2.
6.带分数的算术平方根 当被开方数为带分数时,应先将其化为 ,再求其算术平方根. 6.化简:= .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 求非负数的算术平方根(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P42例3拓展)
求下列各数的算术平方根.
(1)169; (2)0.09; (3)2; (4) (-)2.
【举一反三】
1.(2024·石家庄模拟)化简的结果是( )
A.±4 B.4 C.2 D.±2
2.求下列各数的算术平方根.
①1.96; ②; ③; ④289.
【技法点拨】
求算术平方根的方法
(1)熟记常用的平方数可迅速求一个非负数的算术平方根.
(2)当被开方数为带分数或其中含有运算时,应先将其化为假分数或进行整理,再求其算术平方根.
(3)对于开方开不尽的数,求其算术平方根时,直接根据定义进行表示,如5的算术平方根是,然后利用计算器计算出其算术平方根,注意精确度.
重点2 算术平方根的应用(应用意识)
【典例2】(教材再开发·P42探究强化)
小明打算用如图一块面积为900 cm2的正方形木板,沿着边的方向裁出一个面积为768 cm2的长方形桌面,桌面的长宽之比为4∶3,你认为他能做到吗 如果能,计算出桌面的长和宽;如果不能,说明理由.
【举一反三】
将边长分别为1和2的长方形如图剪开,拼成一个与长方形面积相等的正方形,则该正方形的边长是( )
A. B. C. D.2
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)“a的算术平方根”表示为( )
A.± B.- C. D.a2
2.(3分·运算能力)的算术平方根是( )
A. B.- C. D.±
3.(3分·应用意识)面积为5的正方形边长为 .
4.(3分·推理能力)如果+y2=0,那么x+y= .
5.(8分·运算能力)求下列各数的算术平方根:
(1)64; (2)0.25; (3)1; (4)0.01.8.1 平方根
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过实际生活中的例子认识算术平方根. 抽象能力、模型观念
2.了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根. 抽象能力、运算能力、模型观念
3.会用平方运算求一个数的算术平方根,会用计算器求算术平方根. 抽象能力、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
【新知要点】 【对点小练】
1.算术平方根 (1)定义:正数a有 两 个平方根,其中 正 的平方根叫作a的算术平方根. (2)记法与读法:正数a的算术平方根记作 ,读作 根号a . 2.0的算术平方根 0的算术平方根是 0 ,也就是说= 0 . 1.(1)52的算术平方根是 5 ; (2)(-5)2的算术平方根是 5 ; (3)x2的算术平方根是 |x| ; (4)(x+2)2的算术平方根是 |x+2| . 2. 0 的算术平方根是0.
3.的双重非负性 被开方数a是 非负数 ,是 非负数 . 3.若+=0,则ab等于(B) A.6 B.-6 C.1 D.-1
4.算术平方根的求法 (1)根据算术平方根的定义,用 平方 的方法; (2)利用计算器. 4.已知≈11.09, ≈35.07, 那么≈ 3.51 .
5.比较算术平方根的大小 被开方数越大,算术平方根 越大 . 5.比较大小: < 2.
6.带分数的算术平方根 当被开方数为带分数时,应先将其化为 假分数 ,再求其算术平方根. 6.化简:= .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 求非负数的算术平方根(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P42例3拓展)
求下列各数的算术平方根.
(1)169; (2)0.09; (3)2; (4) (-)2.
【自主解答】(1)因为132=169,
所以169的算术平方根是13,即=13;
(2)因为(0.3)2=0.09,所以0.09的算术平方根是0.3,即=0.3.
(3)因为()2==2,所以2的算术平方根是,即=;
(4)因为()2=(-)2,所以(-)2的算术平方根是,即=.
【举一反三】
1.(2024·石家庄模拟)化简的结果是(B)
A.±4 B.4 C.2 D.±2
2.求下列各数的算术平方根.
①1.96; ②; ③; ④289.
【解析】①=1.4;②=;③=;④=17.
【技法点拨】
求算术平方根的方法
(1)熟记常用的平方数可迅速求一个非负数的算术平方根.
(2)当被开方数为带分数或其中含有运算时,应先将其化为假分数或进行整理,再求其算术平方根.
(3)对于开方开不尽的数,求其算术平方根时,直接根据定义进行表示,如5的算术平方根是,然后利用计算器计算出其算术平方根,注意精确度.
重点2 算术平方根的应用(应用意识)
【典例2】(教材再开发·P42探究强化)
小明打算用如图一块面积为900 cm2的正方形木板,沿着边的方向裁出一个面积为768 cm2的长方形桌面,桌面的长宽之比为4∶3,你认为他能做到吗 如果能,计算出桌面的长和宽;如果不能,说明理由.
【解析】不能裁出长宽之比为4∶3的长方形桌面.理由如下:
设桌面的长为4x cm,宽为3x cm,
根据题意,得4x·3x=768,
整理,得x2=64.因为x>0,所以x=8,
所以桌面的长为4x=32,宽为3x=24.
因为正方形木板的面积为900 cm2,
所以正方形木板的边长为30 cm.因为32>30,
所以不能裁出长宽之比为4∶3的长方形桌面.
【举一反三】
将边长分别为1和2的长方形如图剪开,拼成一个与长方形面积相等的正方形,则该正方形的边长是(C)
A. B. C. D.2
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)“a的算术平方根”表示为(C)
A.± B.- C. D.a2
2.(3分·运算能力)的算术平方根是(C)
A. B.- C. D.±
3.(3分·应用意识)面积为5的正方形边长为 .
4.(3分·推理能力)如果+y2=0,那么x+y= 1 .
5.(8分·运算能力)求下列各数的算术平方根:
(1)64; (2)0.25; (3)1; (4)0.01.
【解析】(1)=8;(2)=0.5;(3)==;(4)=0.1.
