8.3 实数及其简单运算
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解无理数和实数的概念. 抽象能力
2.了解实数的分类. 抽象能力、运算能力
3.知道实数与数轴上的点一一对应. 抽象能力、运算能力
4.能求实数的相反数与绝对值. 抽象能力、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
【新知要点】 【对点小练】
1.实数的定义 有理数 和 无理数 统称为实数. 任何 有限 小数或 无限循环 小数都是有理数, 无限不循环 小数是无理数 1.下列实数中,是无理数的是(D) A.3.14159 B.-0. C. D.
2.实数的分类 2.把下列各数分别填入相应的集合: -1,,π,-3.14,,-,-,0.. (1)有理数集合{ -1,-3.14,,0. …}; (2)无理数集合{ ,π,-,- …}; (3)负实数集合{ -1,-3.14,- …}.
3.实数与数轴的对应关系 实数与数轴上的点是 一一对应 关系 3.如图,点A在数轴上表示的实数可能是(C) A. B. C. D.
4.实数的性质 (1)相反数:实数a的相反数是 -a (2)绝对值:一个正实数的绝对值是 它本身 , 一个负实数的绝对值是 它的相反数 ,0的绝对值是 0 ,即|a|= (3)倒数:当a≠0时,a的倒数为 . 4.完成下列表格: 实数π-1相反数 -π - 1- 绝对值 π -1
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1无理数的概念及实数的分类(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P53思考拓展)如图,将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴原点上,若将圆沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与点A'重合,则点A'对应的数是 无理数 .(填“有理数”或“无理数”)
【举一反三】
1.(2024·长沙期中)下列四个实数中,无理数是(A)
A. B. C.3.14 D.
2.若a2=1,b2=2,c2=3,d2=4,e2=5,其中表示有理数的字母是 a,d ,表示无理数的字母是 b,c,e .
3.把下列各数分别填在相应的集合中:
-,,-,0,-,,,0.,3.14.
【解析】有理数集合: {-,-,0,,0.,3.14,…},
无理数集合: {,-,,…}.
【技法点拨】
无理数的三种表现形式
(1)开方开不尽的数,如,-,,等.
(2)具有特定意义的数,如π等.
(3)具有特殊结构的数,如5.252 252 225…(两个5之间依次多一个2)等.
特别提醒
对无理数的四种错误认识:
(1)带根号的数都是无理数.
(2)无理数是开方开不尽的数.
(3)分数是无理数.
(4)无限小数是无理数.
重点2实数的性质及应用(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P55例1变式)
(1)的相反数是 5 ,倒数是 - ,绝对值是 5 .
(2)-2的相反数是 2- ,绝对值是 2- .
(3)如图所示,数轴上表示1,的点为A,B,且C,B两点到点A的距离相等,则点C所表示的数是 2- .
【举一反三】
1.(2023·哈尔滨期末)|1-|的值为(B)
A.1- B.-1
C.-1- D.+1
2.-的相反数为 - ,|1-|= -1 ,绝对值为的数为 ±3 .
3.解方程:|x-|=1.
【解析】由互为相反数的两个数绝对值相等,得x-=1或x-=-1.
解得x1=+1,x2=-1.8.3 实数及其简单运算
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握实数的运算律和运算性质,并进行简单的四则运算. 运算能力、推理能力
2.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 抽象能力、运算能力、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
【新知要点】 【对点小练】
1.实数大小的比较 对于某些带根号的无理数,我们可以通过以下方法比较:①比较平方的大小;②比较被开方数的大小;③直接用计算器估计数的大小,进行比较. 1.在实数1,0,,-2中,最小的数是(D) A.1 B.0 C. D.-2
2.实数计算中的运算律 (1)加法交换律:a+b= b+a (2)加法结合律:(a+b)+c= a+(b+c) (3)乘法交换律:ab= ba (4)乘法结合律:(ab)c= a(bc) (5)乘法对加法的分配律:a(b+c)= ab+ac 2.3-= 2 .
3.实数混合运算的运算顺序 先算 乘方和开方 ,再算 乘除 ,最后算 加减 ,有括号的先算 括号里面 的 3.计算:--(-)+. 【解析】--(-)+ =-4++3 =-1.
4.运算结果的近似值 在实数的运算中,当需要求出结果的近似值时,可按照要求的 精确度 用相应的近似 有限小数 进行计算 4.27的立方根与2的算术平方根的差为 1.6 .(结果精确到0.1,≈1.414)
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 实数的运算(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P56例2拓展)计算:
(1)-+()2+.
(2)|-|++.
【解析】(1)-+()2+
=3-2+3+0
=4;
(2)|-|++
=-++2
=+2.
【举一反三】
1.下列各式中运算正确的是(C)
A.2+=2 B.2-=3
C.= D.=-2
2.(2024·重庆期中)计算:-22+(-1)2 024= -1 .
3.计算:-+×.
【解析】-+×
=6-3+(-2)×
=6-3-1
=2.
【技法点拨】
实数运算的两点注意
1.实数的运算要注意按照一定的顺序进行.
2.实数的运算要看清运算的符号.
重点2 无理数的估算与近似运算(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P56例3拓展强化)
计算下列各题:(结果精确到0.01)
(1)2-+π+;
(2)2×(-)+2×.
【自主解答】(1)原式≈2×1.732-1.414+3.142+2.236≈7.43.
(2)原式=2-2+2=2≈2×1.732≈3.46.
【举一反三】
1.(2024·福州期中)无理数在(D)
A.6和7之间 B.5和6之间
C.4和5之间 D.3和4之间
2.(2024·洛阳模拟)写出一个大于2且小于4的无理数: (答案不唯一) .
3.计算:
(1)-|2-3|;(精确到0.001)
(2)4×-×.(精确到0.01)
【解析】(1)原式=-3+2≈1.570 8-3×1.414 2+2×1.732 1=0.792 4≈0.792;
(2)原式=4-≈4×1.732-=6.928-0.63 0≈6.30.
【技法点拨】
无理数近似值的计算方法
1.涉及无理数的近似运算时,可以先用计算器求出无理数的近似值,再进行近似计算,可熟记几个无理数的近似值,如≈1.414,≈1.732,≈2.236,π≈3.14等.
2.通常参与运算的无理数的近似值要比结果要求的精确度多取一位小数.计算的最后结果四舍五入到所要求的精确度.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)在实数0,-2,,2中,最大的数是(C)
A.0 B.-2 C. D.2
2.(3分·运算能力)估算的值在(C)
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
3.(3分·运算能力)计算2×-×3的结果是(A)
A.-5 B.-15 C.1 D.9
4.(4分·运算能力)计算-的结果是 7 .
5.(7分·运算能力)若x为的整数部分,y是的小数部分,求x,y的值.
【解析】因为<<,所以2<<3,
所以在整数2与3之间,所以x=2,y=-2.8.3 实数及其简单运算
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解无理数和实数的概念. 抽象能力
2.了解实数的分类. 抽象能力、运算能力
3.知道实数与数轴上的点一一对应. 抽象能力、运算能力
4.能求实数的相反数与绝对值. 抽象能力、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
【新知要点】 【对点小练】
1.实数的定义 和 统称为实数. 任何 小数或 小数都是有理数, 小数是无理数 1.下列实数中,是无理数的是( ) A.3.14159 B.-0. C. D.
2.实数的分类 2.把下列各数分别填入相应的集合: -1,,π,-3.14,,-,-,0.. (1)有理数集合{ …}; (2)无理数集合{ …}; (3)负实数集合{ …}.
3.实数与数轴的对应关系 实数与数轴上的点是 关系 3.如图,点A在数轴上表示的实数可能是( ) A. B. C. D.
4.实数的性质 (1)相反数:实数a的相反数是 (2)绝对值:一个正实数的绝对值是 , 一个负实数的绝对值是 ,0的绝对值是 ,即|a|= (3)倒数:当a≠0时,a的倒数为 . 4.完成下列表格: 实数π-1相反数 绝对值
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1无理数的概念及实数的分类(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P53思考拓展)如图,将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴原点上,若将圆沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与点A'重合,则点A'对应的数是 .(填“有理数”或“无理数”)
【举一反三】
1.(2024·长沙期中)下列四个实数中,无理数是( )
A. B. C.3.14 D.
2.若a2=1,b2=2,c2=3,d2=4,e2=5,其中表示有理数的字母是 ,表示无理数的字母是 .
3.把下列各数分别填在相应的集合中:
-,,-,0,-,,,0.,3.14.
【技法点拨】
无理数的三种表现形式
(1)开方开不尽的数,如,-,,等.
(2)具有特定意义的数,如π等.
(3)具有特殊结构的数,如5.252 252 225…(两个5之间依次多一个2)等.
特别提醒
对无理数的四种错误认识:
(1)带根号的数都是无理数.
(2)无理数是开方开不尽的数.
(3)分数是无理数.
(4)无限小数是无理数.
重点2实数的性质及应用(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P55例1变式)
(1)的相反数是 ,倒数是 ,绝对值是 .
(2)-2的相反数是 ,绝对值是 .
(3)如图所示,数轴上表示1,的点为A,B,且C,B两点到点A的距离相等,则点C所表示的数是 .
【举一反三】
1.(2023·哈尔滨期末)|1-|的值为( )
A.1- B.-1
C.-1- D.+1
2.-的相反数为 ,|1-|= ,绝对值为的数为 .
3.解方程:|x-|=1.8.3 实数及其简单运算
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握实数的运算律和运算性质,并进行简单的四则运算. 运算能力、推理能力
2.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 抽象能力、运算能力、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
【新知要点】 【对点小练】
1.实数大小的比较 对于某些带根号的无理数,我们可以通过以下方法比较:①比较平方的大小;②比较被开方数的大小;③直接用计算器估计数的大小,进行比较. 1.在实数1,0,,-2中,最小的数是( ) A.1 B.0 C. D.-2
2.实数计算中的运算律 (1)加法交换律:a+b= (2)加法结合律:(a+b)+c= (3)乘法交换律:ab= (4)乘法结合律:(ab)c= (5)乘法对加法的分配律:a(b+c)= 2.3-= .
3.实数混合运算的运算顺序 先算 ,再算 ,最后算 ,有括号的先算 的 3.计算:--(-)+.
4.运算结果的近似值 在实数的运算中,当需要求出结果的近似值时,可按照要求的 用相应的近似 进行计算 4.27的立方根与2的算术平方根的差为 .(结果精确到0.1,≈1.414)
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 实数的运算(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P56例2拓展)计算:
(1)-+()2+.
(2)|-|++.
【举一反三】
1.下列各式中运算正确的是( )
A.2+=2 B.2-=3
C.= D.=-2
2.(2024·重庆期中)计算:-22+(-1)2 024= .
3.计算:-+×.
【技法点拨】
实数运算的两点注意
1.实数的运算要注意按照一定的顺序进行.
2.实数的运算要看清运算的符号.
重点2 无理数的估算与近似运算(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P56例3拓展强化)
计算下列各题:(结果精确到0.01)
(1)2-+π+;
(2)2×(-)+2×.
【举一反三】
1.(2024·福州期中)无理数在( )
A.6和7之间 B.5和6之间
C.4和5之间 D.3和4之间
2.(2024·洛阳模拟)写出一个大于2且小于4的无理数: .
3.计算:
(1)-|2-3|;(精确到0.001)
(2)4×-×.(精确到0.01)
【技法点拨】
无理数近似值的计算方法
1.涉及无理数的近似运算时,可以先用计算器求出无理数的近似值,再进行近似计算,可熟记几个无理数的近似值,如≈1.414,≈1.732,≈2.236,π≈3.14等.
2.通常参与运算的无理数的近似值要比结果要求的精确度多取一位小数.计算的最后结果四舍五入到所要求的精确度.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)在实数0,-2,,2中,最大的数是( )
A.0 B.-2 C. D.2
2.(3分·运算能力)估算的值在( )
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
3.(3分·运算能力)计算2×-×3的结果是( )
A.-5 B.-15 C.1 D.9
4.(4分·运算能力)计算-的结果是 .
5.(7分·运算能力)若x为的整数部分,y是的小数部分,求x,y的值.
