11.1.2 不等式的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解不等号的含义,能够用不等式表示实际问题 抽象能力
2.会用不等式的性质解简单的不等式,并表示其解集 应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
【新知要点】 【对点小练】
1.对不等号的理解: x≥a表示x>a或x=a. x≤a表示x
或x=
2.用数轴表示不等式的解集: 2.在数轴上表示不等式x≥-2的解集正确的是( )
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】解不等式,用数轴表示解集(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P126例3拓展)利用不等式的性质解不等式,并把解集在数轴上表示出来.
2x-8>2-3x
【举一反三】
1.不等式x+5<2的解在数轴上表示为( )
2.请在横线上填写相应的不等号,在后边括号里填写相应的依据.
解不等式-≤1.
解:2(2x-1)-3(5x+1) 6( ),
4x-2-15x-3≤6( ),
4x-15x≤6+2+3( ),
-11x≤11,x -1.
3.利用不等式性质解不等式5x-3≤1+3x,并在数轴上表示解集.
【技法点拨】
用数轴表示不等式的解集的方法
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”.
(1)确定“边界点”:若边界点是不等式的解,则用实心圆点;若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈.
(2)确定“方向”:对边界点a而言,x>a或x≥a向右画,x【重点2】不等式的简单应用(模型观念)
【典例2】(教材再开发·P127例4强化)某码头上有20名工人装载一批货物,已知每人往一艘轮船上装载2吨货物,装载完毕恰好用了6天,轮船到达目的地后,另一批工人开始卸货,计划平均每天卸货v吨,刚要卸货时遇到了紧急情况,要求船上的货物卸载完毕不超过4天,则这批工人实际每天至少应卸货多少吨
【举一反三】
用适当的符号表示下列关系并在数轴上表示解集:
(1)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米;
(2)x的与x的2倍的和是非正数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)下列按条件列出的不等式中,正确的是( )
A.a不是负数,则a>0
B.a与3的差不等于1,则a-3<1
C.a是不小于0的数,则a>0
D.a与b的和是非负数,则a+b≥0
2.(3分·运算能力、模型观念)某单位为响应政府号召,需要购买分类垃圾桶8个,市场上有A型和B型两种分类垃圾桶,A型分类垃圾桶400元/个,B型分类垃圾桶450元/个,总费用不超过3 300元,则不同的购买方案有( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
3.(4分·运算能力、模型观念)不等式x-3≥9的解集为 .
4.(4分·运算能力、模型观念)已知关于x的不等式x+a≤1的解集如图所示,则a的值为 .
5.(6分·应用意识)解不等式:2x+1≥3x-1,并把它的解集在数轴上表示出来.11.1.2 不等式的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索不等式的基本性质 抽象能力
2.能用不等式的基本性质对不等式进行变形 抽象能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
【新知要点】 【对点小练】
1.不等式的基本事实 (1)交换不等式两边,不等号的方向改变,即如果a>b,那么b < a. (2)不等关系可以传递,即如果a>b,b>c,那么a > c. 2.不等式的性质 语言叙述式子表示性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 不变 如果a>b,那么a±c > b±c 性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向 不变 如果a>b,c>0,那么ac > bc(或 > )性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向 改变 如果a>b,c<0,那么ac < bc(或 < )
1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)如果x>y,则4x>4y.(√) (2)如果x>y,则-2x>-2y.(×) (3)如果mn-6.(×) 2.若x>y,则下列式子中错误的是(D) A.x-3>y-3 B.> C.x+3>y+3 D.1-3x>1-3y 3.将不等式-4x>2的两边同时除以-4,得(C) A.x>-2 B.x<-2 C.x<- D.x>- 4.已知m>n,则-3.5m+1 < -3.5n+1.(填“>”“=”或“<”) 5.如果不等式ax>a的解集是x<1,那么a的取值范围是 a<0 .
3.用不等式的性质解不等式: 解不等式就是把不等式变形为“ x>a,x≥a ”或“ x重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】不等式的性质(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P125例2强化)
已知m>n,比较下列式子的大小,并说明理由.(用“<”或“>”填空)
(1)2m-4 > 2n-4;
(2)-5m+3 < -5n+3;
(3) < .
【举一反三】
1.下列不等式的变形正确的是(C)
A.由aB.由acC.由aD.由a-c>b-c,得a2.如果(a-3)x>5,那么x<,则a的取值范围是 a<3 .
【技法点拨】
关于不等式性质的四点说明
1.可加性:若a>b,则a+c>b+c.
2.可乘性:①若a>b,c>0,则ac>bc;②若a>b,c<0,则ac3.对称性:若a>b,则b4.传递性:若a>b,b>c,则a>c.
易错警示
在利用不等式性质2和性质3时,一定注意不等号的方向是否应改变.
【重点2】利用不等式的性质解不等式(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P125T2强化)
利用不等式的性质解下列不等式:
(1)3x>2x-4; (2)5x-1<14;
(3)-x<-3; (4)x【自主解答】(1)因为3x>2x-4,
所以3x-2x>2x-4-2x,所以x>-4;
(2)因为5x-1<14,所以5x<14+1,
即5x<15,所以x<3;
(3)因为-x<-3,所以-x×(-9)>-3×(-9),所以x>27;
(4) 因为x-6.
【举一反三】
指出下面变形根据的是不等式的哪一条性质:(填阿拉伯数字)
(1)由a+3>0,得a>-3;根据不等式的性质 1 ;
(2)由-2a<1,得a>-;根据不等式的性质 3 .
【技法点拨】
应用不等式的性质解不等式
1.在不等式两边同时加上一个适当的式子,使含未知数的项在不等式的左边,常数项在不等式的右边;
2.在不等式两边同时乘(除以)未知数的系数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)若mA.m+5>n+5 B.mC.m-6
2.(3分·运算能力)若m>-1,则下列各式中错误的是(B)
A.6m>-6 B.-5m<-5
C.m+1>0 D.1-m<2
3.(4分·抽象能力)由3<5,得3x>5x,则x的值可能是(D)
A.1 B.0.5 C.0 D.-1
4.(4分·运算能力、应用意识)若a>b,则2a-3 > 2b-3(用“>”或“<”填空).
5.(6分·应用意识)利用不等式的性质解下列不等式:
(1)6x-4≥2; (2)1-2x>9.
【解析】(1)6x-4≥2,不等式两边同时加上4,得6x-4+4≥2+4,即6x≥6,不等式两边同时除以6,得x≥1;
(2)1-2x>9不等式两边同时减去1,
得1-2x-1>9-1,
即-2x>8,不等式两边同时除以-2,
得x<-4.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十五”11.1.2 不等式的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索不等式的基本性质 抽象能力
2.能用不等式的基本性质对不等式进行变形 抽象能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
【新知要点】 【对点小练】
1.不等式的基本事实 (1)交换不等式两边,不等号的方向改变,即如果a>b,那么b a. (2)不等关系可以传递,即如果a>b,b>c,那么a c. 2.不等式的性质 语言叙述式子表示性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 如果a>b,那么a±c b±c 性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向 如果a>b,c>0,那么ac bc(或 )性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向 如果a>b,c<0,那么ac bc(或 )
1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)如果x>y,则4x>4y.( ) (2)如果x>y,则-2x>-2y.( ) (3)如果mn-6.( ) 2.若x>y,则下列式子中错误的是( ) A.x-3>y-3 B.> C.x+3>y+3 D.1-3x>1-3y 3.将不等式-4x>2的两边同时除以-4,得( ) A.x>-2 B.x<-2 C.x<- D.x>- 4.已知m>n,则-3.5m+1 -3.5n+1.(填“>”“=”或“<”) 5.如果不等式ax>a的解集是x<1,那么a的取值范围是 .
3.用不等式的性质解不等式: 解不等式就是把不等式变形为“ ”或“ ”的形式. 6.(1)由5x≥4x-6,得x≥-6,依据 . (2)由x≥-3,得x≥-6,依据 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】不等式的性质(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P125例2强化)
已知m>n,比较下列式子的大小,并说明理由.(用“<”或“>”填空)
(1)2m-4 2n-4;
(2)-5m+3 -5n+3;
(3) .
【举一反三】
1.下列不等式的变形正确的是( )
A.由aB.由acC.由aD.由a-c>b-c,得a2.如果(a-3)x>5,那么x<,则a的取值范围是 .
【技法点拨】
关于不等式性质的四点说明
1.可加性:若a>b,则a+c>b+c.
2.可乘性:①若a>b,c>0,则ac>bc;②若a>b,c<0,则ac3.对称性:若a>b,则b4.传递性:若a>b,b>c,则a>c.
易错警示
在利用不等式性质2和性质3时,一定注意不等号的方向是否应改变.
【重点2】利用不等式的性质解不等式(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P125T2强化)
利用不等式的性质解下列不等式:
(1)3x>2x-4; (2)5x-1<14;
(3)-x<-3; (4)x【举一反三】
指出下面变形根据的是不等式的哪一条性质:(填阿拉伯数字)
(1)由a+3>0,得a>-3;根据不等式的性质 ;
(2)由-2a<1,得a>-;根据不等式的性质 .
【技法点拨】
应用不等式的性质解不等式
1.在不等式两边同时加上一个适当的式子,使含未知数的项在不等式的左边,常数项在不等式的右边;
2.在不等式两边同时乘(除以)未知数的系数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)若mA.m+5>n+5 B.mC.m-6
2.(3分·运算能力)若m>-1,则下列各式中错误的是( )
A.6m>-6 B.-5m<-5
C.m+1>0 D.1-m<2
3.(4分·抽象能力)由3<5,得3x>5x,则x的值可能是( )
A.1 B.0.5 C.0 D.-1
4.(4分·运算能力、应用意识)若a>b,则2a-3 2b-3(用“>”或“<”填空).
5.(6分·应用意识)利用不等式的性质解下列不等式:
(1)6x-4≥2; (2)1-2x>9.11.1.2 不等式的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解不等号的含义,能够用不等式表示实际问题 抽象能力
2.会用不等式的性质解简单的不等式,并表示其解集 应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
【新知要点】 【对点小练】
1.对不等号的理解: x≥a表示x>a或x=a. x≤a表示x或x=
2.用数轴表示不等式的解集: 2.在数轴上表示不等式x≥-2的解集正确的是(D)
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】解不等式,用数轴表示解集(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P126例3拓展)利用不等式的性质解不等式,并把解集在数轴上表示出来.
2x-8>2-3x
【自主解答】在不等式的两边同时加3x,得2x-8+3x>2-3x+3x,即5x-8>2,
在不等式的两边同时加8,得5x-8+8>2+8,即5x>10,
在不等式的两边同时除以5,得x>2.
把不等式解集表示在数轴上如图所示.
【举一反三】
1.不等式x+5<2的解在数轴上表示为(D)
2.请在横线上填写相应的不等号,在后边括号里填写相应的依据.
解不等式-≤1.
解:2(2x-1)-3(5x+1) ≤ 6( 不等式的性质2 ),
4x-2-15x-3≤6( 乘法分配律 ),
4x-15x≤6+2+3( 不等式的性质1 ),
-11x≤11,x ≥ -1.
3.利用不等式性质解不等式5x-3≤1+3x,并在数轴上表示解集.
【解析】在不等式的两边同时减去3x,得5x-3-3x≤1+3x-3x,即2x-3≤1,在不等式的两边同时加3,得2x-3+3≤1+3,即2x≤4,在不等式的两边同时除以2,得x≤2.
【技法点拨】
用数轴表示不等式的解集的方法
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”.
(1)确定“边界点”:若边界点是不等式的解,则用实心圆点;若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈.
(2)确定“方向”:对边界点a而言,x>a或x≥a向右画,x【重点2】不等式的简单应用(模型观念)
【典例2】(教材再开发·P127例4强化)某码头上有20名工人装载一批货物,已知每人往一艘轮船上装载2吨货物,装载完毕恰好用了6天,轮船到达目的地后,另一批工人开始卸货,计划平均每天卸货v吨,刚要卸货时遇到了紧急情况,要求船上的货物卸载完毕不超过4天,则这批工人实际每天至少应卸货多少吨
【解析】设这批工人实际每天应卸货x吨,
根据题意得2×6×20≤4x,解得x≥60,
故这批工人实际每天至少应卸货60吨.
【举一反三】
用适当的符号表示下列关系并在数轴上表示解集:
(1)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米;
(2)x的与x的2倍的和是非正数.
【解析】(1)设炮弹的杀伤半径为r,则应有r≥300,将不等式的解集在数轴上表示为:
(2)x+2x≤0,合并同类项可得,x≤0,
由不等式的性质2可得,x≤0,
将不等式的解集在数轴上表示为:
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)下列按条件列出的不等式中,正确的是(D)
A.a不是负数,则a>0
B.a与3的差不等于1,则a-3<1
C.a是不小于0的数,则a>0
D.a与b的和是非负数,则a+b≥0
2.(3分·运算能力、模型观念)某单位为响应政府号召,需要购买分类垃圾桶8个,市场上有A型和B型两种分类垃圾桶,A型分类垃圾桶400元/个,B型分类垃圾桶450元/个,总费用不超过3 300元,则不同的购买方案有(B)
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
3.(4分·运算能力、模型观念)不等式x-3≥9的解集为 x≥12 .
4.(4分·运算能力、模型观念)已知关于x的不等式x+a≤1的解集如图所示,则a的值为 -1 .
5.(6分·应用意识)解不等式:2x+1≥3x-1,并把它的解集在数轴上表示出来.
【解析】在不等式的两边同时减1,
得2x≥3x-2,
在不等式的两边同时减3x,得-x≥-2,
在不等式的两边同时除以-1,得x≤2.
将解集在数轴上表示如下:
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十六”