12.2.2 直方图
课时学习目标 素养目标达成
1.了解频数和频数分布的意义 抽象能力
2.能画频数分布直方图 数据观念、模型观念
3.能利用频数分布直方图解释数据中的信息 数据观念、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
【新知要点】 【对点小练】
1.频数分布直方图的相关概念: (1)组距 ①定义:把所有数据分成若干组,每个小组的两个 端点 之间的 距离 (组内数据的取值范围). ②与组数间的关系:= 组数 . ③分组:组距和组数的确定 没有 固定的标准,要凭借经验和所研究的具体问题来决定,数据越多分的组数 越多 ,当数据在100个以内时,按照数据的多少常分成 5~12 组. (2)频数:落在各个小组内的数据的 个数 . (3)频数分布直方图中的频数:以小长方形的 面积 来反映,等距分组时,一般直接用小长方形的 高 表示频数. 1.(1)将数据83,85,87,89,84,85,86,88,87分组,86.5~88.5这一组的频数是(B) A.2 B.3 C.4 D.0.3 (2)有一组数据,最小55,最大98,若组距为6,则这组数据可分成(B) A.7组 B.8组 C.9组 D.10组 (3)一组数据共有50个数,最大的数为100,最小的数为70.如果准备将这组数据分为5组,那么组距应是(B) A.5 B.6 C.7 D.8
2.频数分布直方图的制作与阅读: (1)画频数分布直方图的步骤 ①计算 最大值 与 最小值 的差. ②决定 组距 和 组数 . ③列 频数分布 表. ④画频数分布直方图. (2)结合频数分布表去理解直方图中的信息. 2.杨老师将某次数学测试的成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图(一共分为五组,每组不含前一个边界值,含后一个边界值),下列说法正确的是(C) A.成绩在60~70分的人数最多 B.人数最少的分数段的频数为4 C.该图数据分组的组距为10 D.成绩大于60分的有12人
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 组距与频数(抽象能力)
【典例1】某生产车间对所有工人的年龄(均为整数)进行统计,制成如图所示的频数分布表:
组别(岁) 频数
19.5~24.5 2
24.5~29.5 9
29.5~34.5 11
34.5~39.5 8
39.5~44.5 7
44.5~49.5 3
解答下列问题:
(1)表中的组距是多少
(2)这个生产车间共有多少人
(3)哪个年龄段的人数最多 哪个年龄段的人数最少
(4)30岁及以上的有多少人 占全车间人数的百分比是多少
【自主解答】(1)由题中频数分布表可得:表中的组距是5;
(2)这个生产车间共有2+9+11+8+7+3=40(人);
(3)由频数分布表得:29.5~34.5年龄段的人数最多,19.5~24.5年龄段的人数最少;
(4)30岁及以上的人数:11+8+7+3=29(人),
占全车间人数的百分比是×100%=72.5%.
【举一反三】
1.一组数据共50个,分为5组,第1至第3组的频数分别为8,9,11,第4组的频数占比为20%,则第5组的频数为(B)
A.11 B.12 C.13 D.14
2.统计得到一组数据,其中最大值是136,最小值是52,取组距为10,可以分成(B)
A.10组 B.9组 C.8组 D.7组
【技法点拨】
直方图中有关概念之间的关系
极差=最大值-最小值
组距=或组数=(整除)
数据的个数=各组的频数之和
重点2 频数分布表与直方图(数据观念、模型意识)
【典例2】(教材再开发·P168例3拓展)梁启超的《少年中国说》:“少年强则国强”,加强体育锻炼,促进学生体质是学校的重要工作.某校为了解七年级男生的“一分钟跳绳”项目的训练情况,从全校七年级男生中随机抽取50名男生为样本进行了测试.根据测试结果,绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图所示:
组别 次数x 频数(人数)
第1组 80≤x<100 6
第2组 100≤x<120 8
第3组 120≤x<140 a
第4组 140≤x<160 18
第5组 160≤x<180 6
请结合图表完成下列问题:
(1)填空:表中a= ,并补全频数分布直方图;
(2)如果将其绘制成扇形统计图,请求出第5组所在扇形圆心角的度数;
(3)这50名男生中,一分钟跳绳次数不低于140次的人数占抽取学生总人数的百分之几
(4)如果这个学校七年级男生一共500人,请你估计一分钟跳绳次数在160≤x<180的有多少人
【解析】(1)a=50-6-8-18-6=12.
补全频数分布直方图如下:
答案:12
(2)由题意得,第5组所在扇形圆心角的度数为360°×=43.2°;
(3)×100%=48%,所以这50名男生中,一分钟跳绳次数不低于140次的人数占抽取学生总人数的48%;
(4)500×=60,所以一分钟跳绳次数在160≤x<180的约有60人.
【举一反三】
1.小李随机调查了一些顾客在某商场购物的时间(单位:分钟),并绘制成如图所示的频数分布直方图.
(1)小李调查的顾客总人数是多少
(2)数据分组的组距是多少
(3)购物时间在8~22分钟之间的顾客约占百分之几
【解析】(1)小李调查的顾客总人数是:5+12+14+9+4+2+4=50(人);
(2)由频数分布直方图可知,数据分组的组距是5分钟;
(3)购物时间在8~22分钟之间的顾客约占的百分比为:×100%=70%.
2.为了解某校七年级学生100米跑成绩(精确到0.1秒),对该年级全部学生进行100米跑测试,把测得的数据分成五组,绘制成如下不完整的频数表和如图所示的频数分布直方图(每组不含前一个边界值,含后一个边界值).
某校七年级全部学生
成绩(秒) 频数
12.5~13.5 32
13.5~14.5 a+16
14.5~15.5 112
15.5~16.5 a
16.5~17.5 32
(1)求该年级学生的总人数.
(2)把频数分布直方图补充完整.
(3)求该年级100米跑成绩不超过15.5秒的学生人数占该年级全部学生人数的百分比.
【解析】(1)由频数表和频数分布直方图得到:a+16=80,∴a=64,∴该年级总人数为:32+80+112+64+32=320.
(2)∵成绩为15.5~16.5的有64人,
∴补全频数分布直方图如下:
(3)100米跑成绩不超过15.5秒的学生人数占该年级全部学生人数的百分比:×100%=70%.
【技法点拨】
频数分布直方图应用的四点注意
1.弄清频数与频率的关系:频数=频率×数据总数.
2.确定好分界点的数据的归属问题,在画统计图,确立组距时,一般比原始数据多保留一位小数.
3.组中值是指表示组距的两个数的平均数(或每组中点所对应的数据).
4.把频数分布表与直方图有机结合,达到信息“共享”,相互查漏补缺.
特别提醒
1.准确理解直方图横轴、纵轴分别表示的意义.
2.在直方图中的每一组“含下限,不含上限”.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(2分·抽象能力)已知一个样本如下:63,65,67,69,66,64,66,64,65,68,对这些数据进行分组,其中64.5~66.5这一组的频数是(C)
A.0.4 B.0.5 C.4 D.5
2.(2分·运算能力)已知在一个样本中,40个数据分别落在4个组内,第一、二、四组数据个数分别为5,12,8,则第三组的频数为(C)
A.0.375 B.0.6 C.15 D.25
3.(4分·抽象能力)某次考试中,某班的数学成绩统计图如图所示,下列说法错误的是(D)
A.得分在70~80分内的人数最多
B.该班的总人数为40
C.得分在90~100分内的人数最少
D.不及格(<60分)的人数是6
4.(4分·运算能力、应用意识)一组数据共有80个数,最大数为120,最小数为70.若取组距为6,则应分为 9 组.
5.(8分·应用意识)为了普及足球运动的有关知识,某校举办了一场关于足球运动的知识竞赛.为了解此次知识竞赛成绩的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,得到频数分布直方图,如图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).请根据该直方图,回答下列问题:
(1)数据分组时的组距为 分.
(2)自左至右分别为第1,2,3,4组,频数最大的是哪一组
(3)学校决定为成绩在80分以上(包括80分)的学生颁发优秀证书,若该校共有800名学生,请估计能拿到优秀证书的学生人数.
【解析】(1)数据分组时的组距为:70-60=10(分).
答案:10
(2)频数最大的是80~90这一组.
(3)抽取的部分参赛学生的成绩在80分以上(包括80分)的有800×=580(人).
答:估计能拿到优秀证书的学生人数为580.12.2.2 直方图
课时学习目标 素养目标达成
1.了解频数和频数分布的意义 抽象能力
2.能画频数分布直方图 数据观念、模型观念
3.能利用频数分布直方图解释数据中的信息 数据观念、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
【新知要点】 【对点小练】
1.频数分布直方图的相关概念: (1)组距 ①定义:把所有数据分成若干组,每个小组的两个 之间的 (组内数据的取值范围). ②与组数间的关系:= . ③分组:组距和组数的确定 固定的标准,要凭借经验和所研究的具体问题来决定,数据越多分的组数 ,当数据在100个以内时,按照数据的多少常分成 组. (2)频数:落在各个小组内的数据的 . (3)频数分布直方图中的频数:以小长方形的 来反映,等距分组时,一般直接用小长方形的 表示频数. 1.(1)将数据83,85,87,89,84,85,86,88,87分组,86.5~88.5这一组的频数是( ) A.2 B.3 C.4 D.0.3 (2)有一组数据,最小55,最大98,若组距为6,则这组数据可分成( ) A.7组 B.8组 C.9组 D.10组 (3)一组数据共有50个数,最大的数为100,最小的数为70.如果准备将这组数据分为5组,那么组距应是( ) A.5 B.6 C.7 D.8
2.频数分布直方图的制作与阅读: (1)画频数分布直方图的步骤 ①计算 与 的差. ②决定 和 . ③列 表. ④画频数分布直方图. (2)结合频数分布表去理解直方图中的信息. 2.杨老师将某次数学测试的成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图(一共分为五组,每组不含前一个边界值,含后一个边界值),下列说法正确的是( ) A.成绩在60~70分的人数最多 B.人数最少的分数段的频数为4 C.该图数据分组的组距为10 D.成绩大于60分的有12人
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 组距与频数(抽象能力)
【典例1】某生产车间对所有工人的年龄(均为整数)进行统计,制成如图所示的频数分布表:
组别(岁) 频数
19.5~24.5 2
24.5~29.5 9
29.5~34.5 11
34.5~39.5 8
39.5~44.5 7
44.5~49.5 3
解答下列问题:
(1)表中的组距是多少
(2)这个生产车间共有多少人
(3)哪个年龄段的人数最多 哪个年龄段的人数最少
(4)30岁及以上的有多少人 占全车间人数的百分比是多少
【举一反三】
1.一组数据共50个,分为5组,第1至第3组的频数分别为8,9,11,第4组的频数占比为20%,则第5组的频数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
2.统计得到一组数据,其中最大值是136,最小值是52,取组距为10,可以分成( )
A.10组 B.9组 C.8组 D.7组
【技法点拨】
直方图中有关概念之间的关系
极差=最大值-最小值
组距=或组数=(整除)
数据的个数=各组的频数之和
重点2 频数分布表与直方图(数据观念、模型意识)
【典例2】(教材再开发·P168例3拓展)梁启超的《少年中国说》:“少年强则国强”,加强体育锻炼,促进学生体质是学校的重要工作.某校为了解七年级男生的“一分钟跳绳”项目的训练情况,从全校七年级男生中随机抽取50名男生为样本进行了测试.根据测试结果,绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图所示:
组别 次数x 频数(人数)
第1组 80≤x<100 6
第2组 100≤x<120 8
第3组 120≤x<140 a
第4组 140≤x<160 18
第5组 160≤x<180 6
请结合图表完成下列问题:
(1)填空:表中a= ,并补全频数分布直方图;
(2)如果将其绘制成扇形统计图,请求出第5组所在扇形圆心角的度数;
(3)这50名男生中,一分钟跳绳次数不低于140次的人数占抽取学生总人数的百分之几
(4)如果这个学校七年级男生一共500人,请你估计一分钟跳绳次数在160≤x<180的有多少人
【举一反三】
1.小李随机调查了一些顾客在某商场购物的时间(单位:分钟),并绘制成如图所示的频数分布直方图.
(1)小李调查的顾客总人数是多少
(2)数据分组的组距是多少
(3)购物时间在8~22分钟之间的顾客约占百分之几
2.为了解某校七年级学生100米跑成绩(精确到0.1秒),对该年级全部学生进行100米跑测试,把测得的数据分成五组,绘制成如下不完整的频数表和如图所示的频数分布直方图(每组不含前一个边界值,含后一个边界值).
某校七年级全部学生
成绩(秒) 频数
12.5~13.5 32
13.5~14.5 a+16
14.5~15.5 112
15.5~16.5 a
16.5~17.5 32
(1)求该年级学生的总人数.
(2)把频数分布直方图补充完整.
(3)求该年级100米跑成绩不超过15.5秒的学生人数占该年级全部学生人数的百分比.
【技法点拨】
频数分布直方图应用的四点注意
1.弄清频数与频率的关系:频数=频率×数据总数.
2.确定好分界点的数据的归属问题,在画统计图,确立组距时,一般比原始数据多保留一位小数.
3.组中值是指表示组距的两个数的平均数(或每组中点所对应的数据).
4.把频数分布表与直方图有机结合,达到信息“共享”,相互查漏补缺.
特别提醒
1.准确理解直方图横轴、纵轴分别表示的意义.
2.在直方图中的每一组“含下限,不含上限”.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(2分·抽象能力)已知一个样本如下:63,65,67,69,66,64,66,64,65,68,对这些数据进行分组,其中64.5~66.5这一组的频数是( )
A.0.4 B.0.5 C.4 D.5
2.(2分·运算能力)已知在一个样本中,40个数据分别落在4个组内,第一、二、四组数据个数分别为5,12,8,则第三组的频数为( )
A.0.375 B.0.6 C.15 D.25
3.(4分·抽象能力)某次考试中,某班的数学成绩统计图如图所示,下列说法错误的是( )
A.得分在70~80分内的人数最多
B.该班的总人数为40
C.得分在90~100分内的人数最少
D.不及格(<60分)的人数是6
4.(4分·运算能力、应用意识)一组数据共有80个数,最大数为120,最小数为70.若取组距为6,则应分为 组.
5.(8分·应用意识)为了普及足球运动的有关知识,某校举办了一场关于足球运动的知识竞赛.为了解此次知识竞赛成绩的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,得到频数分布直方图,如图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).请根据该直方图,回答下列问题:
(1)数据分组时的组距为 分.
(2)自左至右分别为第1,2,3,4组,频数最大的是哪一组
(3)学校决定为成绩在80分以上(包括80分)的学生颁发优秀证书,若该校共有800名学生,请估计能拿到优秀证书的学生人数.
