北京市怀柔区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京市怀柔区2024-2025学年八年级上学期期末考试
数 学
2025．1
选择题（本大题共24分，每小题3分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（The 33rd Summer Olympic Games）在法国巴黎举办. 运动会共设有32个大项，329个小项，共有206个国家和地区参赛，并且本届奥运会新增了滑板、冲浪、竞技攀岩和霹雳舞四个大项. 下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米=0.000000001米，0.000000007米用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是
A．a4·a3=a B．a4·a3=a7 C．a4·a3=a12 D．a4·a3=a64
4．若分式有意义，则x的取值范围是
A．x=3 B．x<3 C．x≠3 D．x>3
5．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A．x(x+1)=x2+x B．(x-5)2=x2-10x+25 C．3x2+1=x2(3+) D．x2-4=(x+2)(x-2)
6．如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠CAB=60°，CD=3，则BC的值为
6 B. 7 C. 8 D. 9
7．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中∠5=35 ，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数和为（ ）
A．180 B．360 C．325 D．145
8．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，)，点C在y轴上．若△ABC为等腰三角形时，∠ABC=30°，则点C的坐标为
A．(0，-2)，(0，)，(0，-4)
B．(0，-2)，(0，)，(0，4+)
C．(0，-2)，(0，)，(0，)
D．(0，-2)，(0，1)，(0，4-)
二、填空题（本大题共16分，每小题2分）
9．计算： ．
10．约分： = ．
11．已知等腰三角形的周长为21，其中一边的长为5，则底边的长为 ．
12．．
13．如图，AF∥CE，∠A=∠C，要使△ABF≌△CDE，可以添加的条件是 ．(添加一个即可)
14．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， 只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何 ”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈 (1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 ．
15．如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法:（1）作射线DM；
（2）以点D为圆心，线段BC的长为半径画弧交射线DM于点E；
（3）以D为圆心，线段AB的长为半径画弧；
（4）以E为圆心，线段AC的长为半径画弧，与前弧相交于点F；
（5）连接DF，EF．
第二步:把作出的剪下来，放到上．
第三步:观察发现和重合．
根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法．
小明探究的是 .
16．如图在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE．连接BD，AE，交于点F．以下四个结论：①BD=AE；②BD⊥AE；③∠AEC+∠DBC=45°；④FC平分∠BFE，其中结论正确有_______________．(写序号)
三、解答题（本大题共60分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分）
17．计算：．
18．分解因式：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF.
21．下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：如图1，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，分别交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解答下列问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形2（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，．
∵QA= ，PA= ，
∴PQ⊥l（ ）（填推理的依据）．
解分式方程：．
23．计算： ．
24．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝BC，DE垂直平分AB，交AC于点E，求∠EBC的度数．
25．我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式A=，B=，A+B=，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为3.
解决下列问题:
(1)已知分式E=，F=，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”；
(2)已知分式M=（其中a是常数，且a≠0），N=，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值.
26．如图，在 ABC中，AB=AC，过点A在 ABC的外部作直线，作点C关于直线的对称点P，连接AP，BP，线段BP交直线于点D，连接CD.
(1) ①依题意补全图1；
②求证：∠ACD=∠ABP；
(2)如图2，若∠BAC=60°，
①依题意补全图2；
②用等式表示线段DP，DB ，DA之间的数量关系并证明．
27．在平面直角坐标系xOy中，将过x轴上的点(t，0)，且平行于y轴的直线，记作直线x=t.对于图形M和N，若存在直线x=t，使得图形M关于x=t的对称图形都在图形N内(包括边界) ，则称图形M是图形N的一阶t包含图形.若存在直线x=m与直线x=n 且m已知 A(a，1)，B(1，1)，C(4，-2)，D (7，1)，E(4，4)
(1)若a=-1，
①A是线段CE的一阶k包含图形，则k= ；
②A是线段BD的一阶s包含图形，则s的取值范围是 ；
(2)若点A为四边形BCDE的二阶-1，1包含图形，则a的取值范围是 .
参考答案
一．选择题（本大题共24分，每小题3分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B D B C D D C A
二、填空题（本大题共16分，每小题2分）
9．. 10．. 11．5．
12．-b2． 13．答案不唯一，如：AB=CD．
．或．或．
15．基本事实SSS． 16．①②④.
三、解答题（本大题共60分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分）
17．计算：．
解：原式………………………………………………………………………4分
．…………………………………………………………………………………5分
18．分解因式：．
解：原式= ………………………………………………………………………3分
=．………………………………………………………………5分
19．
=
=． ……………………………………………………………………………3分
∵，∴．∴．…………………………………4分
∴
=
=． ………………………………………………………………………………………5分
20．证明：
∵BE＝CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC= EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF． ……………………………………………………………………………5分
21．(1)如图，略；………………………………………………………………………………2分
(2)QB，PB；……………………………………………………………………………………4分
等腰三角形底边上的中线与底边的高互相重合（或三线合一）. …………………………5分
22．解分式方程：．
解：．…………………………………………………………………………2分
．
．
． …………………………………………………………………………4分
经检验：是原方程的解．
∴原方程的解． ………………………………………………………………………5分
23．计算： ．
解：原式=
．
．
．………………………………………………………………………5分
24．
解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝30°．
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE．
∴∠EBA＝∠A＝30°．
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝120°﹣30°＝90°．…………………………………………5分
25．
(1)∵E=，F=，
∴E+F= .
∴E与F是“合分式”，E与F关于C的“合值”为3.………………………………3分
(2)∵分式M=（其中a是常数，且a≠0），N=，
∴M+N=+=+=.
∵M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，分式C的分子为常数，分母为关于x的一次式，a是常数，且a≠0.
∴.
∴.
∴ . ………………………………………………………………………………6分
26．
(1)①如图1；……………………………………………………………………………………1分
②证明：∵点C与点P关于直线l对称,
∴AC=AP，DP=DC．
∵AD=AD，
∴ ACD≌ APD．
∴∠ACD=∠APD．
∵AC=AB，
∴AB=AP．
∴∠ABP=∠APD．
∴∠ACD=∠ABP．……………………………………………………………………4分
(2)①如图2；……………………………………………………………………………………5分
②DB= DP+DA．证明如下：
在DB截取DM=CD，
设∠APD=∠ABP=∠ACD=α，
∴∠BAP＝180°-2α．
∴∠CAP =∠BAP-∠BAC=180°-2α - 60°=120°-2α．
由对称可知：∠CAD＝∠PAD，∠CDE=∠PDE．
∴∠CAD＝∠PAD=（120°-2α）＝60°﹣α．
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=60°﹣α +α=60°．
∴∠PDE=60°．
∴∠ADP=120°．∠CDB=180°-∠CDE - ∠PDE=180° - 60° - 60°= 60°．
∴△DCM是等边三角形．
∴DM＝CM＝CD，∠DMC=60°．
∴∠BMC＝∠ADP=120°．
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCM（SAS）．
∴AD＝BM．
∵DB＝DM+MB，
∴DB＝CD+AD．…………………………………………………………………………7分
27．
(1)① 1.5；………………………………………………………………………………………2分
② 0≤s≤3；……………………………………………………………………………………5分
(2)-3≤a≤3.……………………………………………………………………………………7分
2