2024-2025学年北京师大附中高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年北京师大附中高二（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
4.圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
5.的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.某学校名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去个小区，且每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的高为，棱的长为，点为侧棱上一动点，那么面积的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知直线，圆：，若直线上存在两点，，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线：过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为______．
12.圆的圆心到直线的距离为，则的值为 ．
13.若，则 ______．
14.双曲线的渐近线方程为______；若与圆：交于，，，四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ______．
15.已知正方体的棱长为，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面E.给出下列四个结论：
的面积的最大值为；
满足使的面积为的点有且只有个；
点可以是的中点；
线段的最大值为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某小组共有名学生，其中女生名，男生名．
Ⅰ将名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？
Ⅱ从名中选出人参加某公益活动．
共有多少种不同的选择方法？
如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
17.本小题分
已知，，为坐标原点，圆为的外接圆．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．
20.本小题分
如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题．
条件：；
条件：；
条件：平面．
Ⅰ求证：为的中点；
Ⅱ求直线与平面所成角的大小，及点到平面的距离．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅰ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.本小题分
已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ设为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于，两点在第三象限，是椭圆上的动点不与原点重合，直线，分别交直线于点，，记；，求证：为定值．
参考答案
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16.解：Ⅰ将名学生排成一排，且女生不相邻的排法：种．
Ⅱ从名中选出人参加某公益活动．
共有种不同的选择方法．
如果至少有位女生入选，共有种不同的选择方法．
17.解：Ⅰ设圆的方程为，
圆过点，，，
则，解得，
故圆的方程为，
所以圆的标准方程为；
Ⅱ当直线的斜率不存在时，显然不符合题意，
当直线的斜率存在时，可设直线方程为，
过原点的直线被圆截得的弦长为，
，
则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
故，解得或，
所求直线方程为或．
18.解：Ⅰ证明：由于，，，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
因为，
所以，因此；
Ⅱ因为平面，所以平面的一个法向量为，
由知，，，
设平面的一个法向量为，则，，
所以，令，则，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
所以．
19.解：Ⅰ由题意可知，，，
因为，所以，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ设直线的方程为，
，，
联立，消去，得，
则，，
若四边形为平行四边形，则，设，
所以，，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，即，
当四边形为平行四边形时，
直线的斜率为．
20.选条件：
如图所示，连接，相交于点，连接，则为的中点，
若为的中点，则，但由得不出，
所以点不唯一确定，不符合题意．
选条件：
Ⅰ证明：如图所示，连接，
由正方体的性质知，平面，平面，
所以，
因为，，所以，
所以，
又为的中点，所以为的中点．
Ⅱ解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，，
所以直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为．
选条件：
Ⅰ证明：如图所示，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
又为的中点，所以为的中点．
Ⅱ解：以下过程同选择条件．
21.解：Ⅰ由椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，
得，则，
由的离心率为，得，
则，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
Ⅱ证明：由Ⅰ知，，，
由，解得或，
则，，
设，，有，
直线的方程为，
由，解得点的横坐标，
直线的方程为，
由，解得点的横坐标，
由，得，同理，
所以，
而，
所以为定值．
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