2024-2025学年广西百色市田东实验高级中学高二（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西百色市田东实验高级中学高二（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线与轴所成角为，直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.若直线与直线平行，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
3.已知，，则与( )
A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向
4.“”是“直线与直线垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知空间向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是( )
A. 或 B. C. D. 或
8.如图在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
10.对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. ，
D. 若，则为单位向量
11.已知直线：，：，，以下结论正确的是( )
A. 在轴上的截距为
B. 当变化时，与分别经过定点和
C. 无论为何值，与都关于直线对称
D. 无论为何值，与都互相垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数的值是______．
13.若直线：与：平行，则与之间的距离为______．
14.正四面体中，平面与平面所成角余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
求顶点，的坐标；
求．
16.本小题分
已知，．
若，分别求与的值；
与垂直，求．
17.本小题分
求经过直线：与直线：的交点，且满足下列条件的直线方程
与直线平行；
与直线垂直．
18.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：设，因为，
所以，所以．
设，因为，
所以，所以．
因为，
所以．
16.解：因为，，且，
设，即，
即，解得，故，．
由题意可知，，解得，
当时，；当时，．
因此，或．
17.解：由，解得 ，所以，交点．
斜率，由点斜式求得所求直线方程为，即．
斜率，由点斜式求得所求直线方程为，即．
18.Ⅰ证明：连接交于点，连接，
在正方形中，．
因为为的中点，
所以
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ解：不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以所以即
令，则，，
于是．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.Ⅰ证明：因为平面，平面，平面，
所以，，又因为，
所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
，，
，，，
所以，，所以，，
因为平面，平面，，
所以平面D.
Ⅱ解：由Ⅰ知，，
，，
设平面的法向量为，
，令，，
平面的法向量为，
所以二面角的余弦值为．
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